选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章　圆锥曲线的方程
一、单选题
1．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，过作抛物线的一条切线，切点为，且满足，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率e为（ ）
A． B． C． D．2
5．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．抛物线上一点与焦点间的距离是10，则点到轴的距离是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
7．已知双曲线的右顶点为，直线与双曲线相交，过作双曲线两条渐近线的平行线，分别与直线交于点、，若为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．或
8．以抛物线的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
9．若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p=
A．2 B．3
C．4 D．8
10．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．双曲线的右焦点为，设、为双曲线上关于原点对称的两点，的中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知椭圆的左、右焦点为，，点P为椭圆上动点，则的取值范围是________．
14．双曲线的右焦点到直线的距离为________．
15．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在上，且，若，则______.
16．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，，直线交轴于点，且，则双曲线的离心率为___________.
三、解答题
17．解答下列两个小题：
（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；
（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程．
18．已知双曲线E：的离心率为2，点在E上.
（1）求E的方程：
（2）过点的直线1交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和.
19．双曲线的左顶点为，右焦点为，动点在上．当时，．
（1）求的离心率；
（2）若在第一象限，证明：．
20．已知椭圆的标准方程为：，若右焦点为且离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设，是上的两点，直线与曲线相切且，，三点共线，求线段的长．
21．如图，椭圆的离心率是，短轴长为，椭圆的左 右顶点为、.过椭圆与抛物线的公共焦点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，点为的中点.
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）记的面积为的面积为，若，求直线在轴上截距的范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】
由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】
本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
2．D
根据抛物线方程得出和开口方向即可求得.
【详解】
由抛物线方程可得，开口向左，
则准线方程为.
故选：D.
3．C
本题首先可根据题意得出点，然后设切线方程为、切点为，通过联立抛物线与切线方程解得，最后对、两种情况分别进行讨论，通过即可得出结果.
【详解】
由题意可知，抛物线准线方程为，点，切线斜率一定存在，
设过点与抛物线相切的直线方程为，切点，
联立抛物线与切线方程，转化得，
，解得，
当时，直线方程为，
，解得，则，
因为，所以，解得；
当时，同理得，
综上所述，抛物线方程为，
故选：C.
本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相切的相关问题的求解，考查判别式的灵活应用，考查两点间距离公式，考查转化与化归思想，考查计算能力，是中档题.
4．A
根据题意渐近线的斜率为，所以该渐近线的方程为，所以，求得，利用，求得即可得解.
【详解】
∵双曲线的一条渐近线的倾斜角为，，
∴该渐近线的方程为，∴，
解得或（舍去），∴，
∴双曲线的离心率为．
故选：A．
5．D
由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．
【详解】
由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．
6．B
先求出抛物线准线方程，再利用抛物线的定义转化求解M到准线的距离，即求得点到轴的距离．
【详解】
抛物线的焦点，准线为，因为M到焦点的距离为10，
由定义可知，M到准线的距离也为10，所以到M到轴的距离是9.
故选:B．
7．C
设直线的方程为，将该直线方程与直线的方程联立，求出点的坐标，同理可得出点，结合条件可得出关于、的齐次方程，求出的值，利用离心率公式可求得双曲线的离心率.
【详解】
由题意可令直线的方程为，
联立得，解得，即，同理可得，
则.
由于直线与双曲线相交，则，
所以，整理得，
解得或（舍去），所以，
故选：C.
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
8．B
根据抛物线方程可得抛物线焦点坐标，即为双曲线中的值，根据离心率即可求出的值，从而确定双曲线的标准方程
【详解】
因为抛物线的焦点为，所以，离心率，所以，所以双曲线的标准方程为．
故选：B
9．D
利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，即可解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
【详解】
因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
10．C
根据曲率半径的定义可判断何时曲率半径最大，合适曲率半径最小，再由题设可得基本量的关系，从而可求离心率.
【详解】
因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，
则，因为，所以，所以，．
故选：C.
11．B
设，则，得到，根据题设条件，化简得到，结合，求得的值，根据离心率的定义，即可求解.
【详解】
设，则，
因为的中点为的中点为，所以，
因为原点在线段为直径的圆上，
所以，可得，①
又因为点在双曲线上，且直线的斜率为，所以，②
联立消去，可得，③
又由点是双曲线的右焦点，可得，
代入③，化简整理得，解得或，
由于，所以（舍去），
故，解得，所以离心率为.
故选：B.
求解圆锥曲线的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
12．A
把抛物线方程化为标准方程后可得参数准线方程．
【详解】
由已知抛物线的标准方程是，，，
所以准线方程是．
故选：A．
13．
设为椭圆上任意一点，根据向量数量积运算求，利用二次函数求值域即可.
【详解】
设为椭圆上任意一点,
则，
所以，
因为P在椭圆上，所以，
所以，
即的取值范围是
故答案为：
本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，椭圆的简单几何性质，属于中档题.
14．
先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
15．
设，进而结合抛物线的定义与已知条件得，进而由解得答案.
【详解】
解：设，由题知，，
因为，所以
因为点在上，
所以，解得，
所以，
所以，解得，
故答案为：
16．
解法一：根据已知可得，而可得，进而利用等面积法可得，再根据向量关系可得点的横坐标，将点的坐标代入双曲线方程，解方程即可求得结果；
解法二：设为坐标原点，根据题意可得，根据设及可得，再根据相似比可得，又根据勾股定理可得，最后根据双曲线定义即可求得结果.
【详解】
解法一：由题意知，，
所以.
设，则，所以，
因为，所以，
将代入双曲线方程，整理得，
解得或，
因为，所以.
解法二：设为坐标原点，由题易得，所以，
设，因为，所以，
则，得.
又，所以，
所以，得，
所以.
故答案为：.
17．（1）；（2）.
（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.
（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.
【详解】
（1）由，得，即，
又，即，
双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得．
所以，双曲线的方程为．
（2）椭圆的焦点为，
设双曲线的方程为，
所以，且，
所以，
所以，双曲线的方程为．
18．（1）；（2）.
（1）利用，再代入，联立即得解；
（2）设l的方程为：，，，用坐标表示斜率，将直线与双曲线联立,化简代入韦达定理，即得解
【详解】
（1）由已知可得，
∴，解得①
又∵点在E上，
∴②
由① ②可得，.
∴双曲线E的方程为.
（2）过点的直线l斜率显然存在，
设l的方程为：，，，
将l的方程代入双曲线E的方程并整理得，
依题意，且，
所以且，
因此，可得，.
∴
.
19．（1）；（2）见解析.
（1）根据已知条件可得，据此可求离心率.
（2）设，则，，再计算，利用点在双曲线上化简后可得，从而可得结论成立.
【详解】
（1）设双曲线的半焦距为，则，，
因为，故，故，即，
故.
（2）设，其中.
因为，故，，
故渐近线方程为：，所以，，
当时，
又，，
所以
，
因为，
故.
当，由（1）可得，故.
综上，.
方法点睛：（1）圆锥曲线中离心率的计算，关键是找到一组等量关系（齐次式）.
（2）圆锥曲线中与有角有关的计算，注意通过动点的坐标来刻画角的大小，还要注意结合点在曲线上满足的方程化简目标代数式.
20．（1）；（2）.
（1）根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.
（2）由（1）知曲线为，讨论直线的存在性，设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.
【详解】
（1）由题意，椭圆半焦距且，则，又，
∴椭圆方程为；
（2）由（1）得，曲线为
当直线的斜率不存在时，直线，不合题意：
当直线的斜率存在时，设，又，，三点共线，
可设直线，即，
由直线与曲线相切可得，解得，
联立，得，则，，
∴.
21．（1）椭圆，拋物线；（2）.
（1）依题意得到方程组，求出的值，即可求出拖椭圆方程，再根据抛物线的焦点求出抛物线方程；
（2）设，联立与椭圆，利用韦达定理及弦长公式，点到直线的距离，求出三角形的面积，，再根据得到不等式，解得即可；
【详解】
（1）根据题意得：，解得，，，抛物线焦点，
因此椭圆，拋物线
（2）设，联立与椭圆，
整理得：，判别式：
弦长公式：，所以
联立与抛物线，整理得：，判别式：
弦长公式：，
所以，
因为，因此，解得：
在轴上截距或，因此在轴上截距取值范围是.
答案第1页，共2页
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