选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 单元练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 单元练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-19 18:43:23 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何
一、单选题
1．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
9．在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是
A． B．
C． D．
10．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是___________.
14．向量，，，若，，共面，则___________.
15．若单位向量与向量，都垂直，则向量的坐标为______．
16．在三棱锥中，，是正三角形，为中点，有以下四个结论：
①若，则三棱锥的体积为；
②若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．
其中结论正确的序号为____________．
三、解答题
17．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
18．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
19．如图所示，在平行六面体中，为的中点.
（1）化简：；
（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.
20．已知在三棱柱中，，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
21．如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
解:
,
故选:A
2．C
由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.
【详解】
解：因为三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使得，
即，
，解得，
所以.
故选：C.
3．C
首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
4．B
由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】
由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
5．C
利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C.
6．A
令，，，令，，问题等价于求的最小值，讨论在平面内，在平面内，在平面内三种情况，分别计算得到的答案.
【详解】
令，，，
原式等价于，
令，，
因为，，所以在平面内，即（平面）.
在，，平面内的任意一点，
所以问题等价于求的最小值，显然点取在各平面内的投影时最小.
往下可分三种情况求解：
①当在平面内时，作的垂面，作，为投影在上投影，易得：作的平面图，，
此时，，，所以，
所以，所以当在点时最小为.
同理：②当在平面内时，在上，可得平面图：
此时：，，，
所以，
同理③当在平面内时，，，，
当时，最小.
所以，，
.
综上：最小为.
故选：.
本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力.
7．C
首先以，，三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，，，，从而可求出向量的坐标，由得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出的最大值．
【详解】
解：根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：
， ， ；
在线段上，设， ；
；
；
设，；
函数是一次函数，且为减函数，；
在恒成立，；
在上单调递减；
时，取到最大值．
故选：．
考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．
8．C
根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
9．C
根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
设，，
则，
而，
所以，解得，
所以，
故选：C.
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.
10．D
利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】
如图，连接，
因为点，分别是，的中点，
所以.
因为点是的中点，
所以
.
因为点是的中点，
所以，
则.
故选：D.
11．D
以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
【详解】
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．
12．B
设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】
如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
13．
由可构造出符合基本不等式的形式，求得的范围；根据向量的数量积运算可求得，利用的范围可求得所求最大值.
【详解】
，，
显然，当时，最大；
当，时，（当且仅当时取等号），；
当，时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：；
，
，的最大值为.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.
14．1
利用向量共面的条件列方程组求解
【详解】
若，，共面，则即
故答案为：1
15．
设，由条件，，可得答案.
【详解】
设单位向量，
由条件，则，所以
又，解得
所以
故答案为：
16．①②④
取中点，建立合适的空间直角坐标系，利用平面几何知识求出所需点的坐标，然后将垂直关系转化我向量的数量积为，求出的长度，再利用球的体积公式和表面积公式进行判断即可得到答案.
【详解】
取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，，，
所以，
由，是正三角形，得三棱锥为正三棱锥，
设外接球球心为，半径为，则，且轴，
所以，，
解得，
若，则，，
所以，解得：，
所以，故选项①正确；
又，所以，故选项②正确；
若，则，
所以，解得：，故选项③错误；
又，所以，故选项④正确；
故答案为：①②④.
17．（1）（2）
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
18．（1），；（2）；（3）.
（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；
（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.
【详解】
（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）；（2）、、.
（1）根据空间向量的线性运算求解；
（2）用基底表示出后可得的值．
【详解】
（1）
（2）
，
、、.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）由线线垂直可得平面，再由线面垂直性质，可得平面；
（2）利用向量法求二面角的余弦即可.
【详解】
（1）证明：在三棱柱中，四边形为平行四边形.
因为，所以四边形为菱形.
则.
因为，且，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，
所以，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则取，得.
平面的一个法向量为，
则.
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
21．（1）；（2）；（3）．
根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，
（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；
（2）连接，因为，所以是平行四边形，所以，这样就可以写出与相反的向量；
（3）连接，用类似（2）的方法可写出与平行的向量．
【详解】
（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
∴与相等的向量为；
（2）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与相反的向量为．
（3）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与平行的向量为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．=（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-2
5．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知空间内，，为三个两两垂直的单位向量，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
7．如图，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段上，E、F分别为、的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．经过点(－，2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）
A．y＋(x－2) B．y＋2＝(x－)
C．y－2(x＋) D．y－2＝(x＋)
9．在空间直角坐标系中，已知，，则点B的坐标是
A． B．
C． D．
10．如图，在三棱锥中，点，，分别是，，的中点，设，， ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在圆锥中，，为底面圆的两条直径，，且，，，异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是___________.
14．向量，，，若，，共面，则___________.
15．若单位向量与向量，都垂直，则向量的坐标为______．
16．在三棱锥中，，是正三角形，为中点，有以下四个结论：
①若，则三棱锥的体积为；
②若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的体积为；
③若，则三棱锥的体积为；
④若，且三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为．
其中结论正确的序号为____________．
三、解答题
17．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=,BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
18．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
19．如图所示，在平行六面体中，为的中点.
（1）化简：；
（2）设是棱上的点，且，若，试求实数，，的值.
20．已知在三棱柱中，，，，，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
21．如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求：
（1）与相等的向量；
（2）与相反的向量；
（3）与平行的向量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用空间向量的基本定理求解.
【详解】
解:
,
故选:A
2．C
由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.
【详解】
解：因为三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使得，
即，
，解得，
所以.
故选：C.
3．C
首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
4．B
由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】
由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
5．C
利用空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
因为，，
所以，
故选：C.
6．A
令，，，令，，问题等价于求的最小值，讨论在平面内，在平面内，在平面内三种情况，分别计算得到的答案.
【详解】
令，，，
原式等价于，
令，，
因为，，所以在平面内，即（平面）.
在，，平面内的任意一点，
所以问题等价于求的最小值，显然点取在各平面内的投影时最小.
往下可分三种情况求解：
①当在平面内时，作的垂面，作，为投影在上投影，易得：作的平面图，，
此时，，，所以，
所以，所以当在点时最小为.
同理：②当在平面内时，在上，可得平面图：
此时：，，，
所以，
同理③当在平面内时，，，，
当时，最小.
所以，，
.
综上：最小为.
故选：.
本题考查了向量模的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，空间想象能力.
7．C
首先以，，三直线为，，轴，建立空间直角坐标系，并设正方形边长为2，，，，从而可求出向量的坐标，由得到，对函数求导，根据导数符号即可判断该函数为减函数，从而求出的最大值．
【详解】
解：根据已知条件，，，三直线两两垂直，分别以这三直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则：
， ， ；
在线段上，设， ；
；
；
设，；
函数是一次函数，且为减函数，；
在恒成立，；
在上单调递减；
时，取到最大值．
故选：．
考查建立空间直角坐标系，利用空间向量解决异面直线所成角的问题，异面直线所成角的概念及其范围，向量夹角的概念及其范围，以及向量夹角余弦的坐标公式，函数导数符号和函数单调性的关系．
8．C
根据k=tan30°求出直线斜率，再利用点斜式即可求解.
【详解】
直线的斜率k=tan30°=，
由直线的点斜式方程可得y－2＝ (x＋)，
故选：C．
9．C
根据空间向量的坐标运算即可求解.
【详解】
设，，
则，
而，
所以，解得，
所以，
故选：C.
本题考查了空间向量的坐标运算，属于基础题.
10．D
利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.
【详解】
如图，连接，
因为点，分别是，的中点，
所以.
因为点是的中点，
所以
.
因为点是的中点，
所以，
则.
故选：D.
11．D
以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值．
【详解】
由题意以为轴建立空间直角坐标系，如图，
，，，，
又，
．
，
则，
设异面直线与所成角为，则，为锐角，
，所以．
故选：D．
12．B
设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】
如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
13．
由可构造出符合基本不等式的形式，求得的范围；根据向量的数量积运算可求得，利用的范围可求得所求最大值.
【详解】
，，
显然，当时，最大；
当，时，（当且仅当时取等号），；
当，时，（当且仅当，即时取等号），；
综上所述：；
，
，的最大值为.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.
14．1
利用向量共面的条件列方程组求解
【详解】
若，，共面，则即
故答案为：1
15．
设，由条件，，可得答案.
【详解】
设单位向量，
由条件，则，所以
又，解得
所以
故答案为：
16．①②④
取中点，建立合适的空间直角坐标系，利用平面几何知识求出所需点的坐标，然后将垂直关系转化我向量的数量积为，求出的长度，再利用球的体积公式和表面积公式进行判断即可得到答案.
【详解】
取中点，连接，以为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，，，，
所以，
由，是正三角形，得三棱锥为正三棱锥，
设外接球球心为，半径为，则，且轴，
所以，，
解得，
若，则，，
所以，解得：，
所以，故选项①正确；
又，所以，故选项②正确；
若，则，
所以，解得：，故选项③错误；
又，所以，故选项④正确；
故答案为：①②④.
17．（1）（2）
（1）建立空间直角坐标系，利用向量数量积求直线向量夹角，即得结果；
（2）先求两个平面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.
【详解】
（1）连
以为轴建立空间直角坐标系，则
从而直线与所成角的余弦值为
（2）设平面一个法向量为
令
设平面一个法向量为
令
因此
本题考查利用向量求线线角与二面角，考查基本分析求解能力，属中档题.
18．（1），；（2）；（3）.
（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；
（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.
【详解】
（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.
19．（1）；（2）、、.
（1）根据空间向量的线性运算求解；
（2）用基底表示出后可得的值．
【详解】
（1）
（2）
，
、、.
20．（1）证明见解析；（2）.
（1）由线线垂直可得平面，再由线面垂直性质，可得平面；
（2）利用向量法求二面角的余弦即可.
【详解】
（1）证明：在三棱柱中，四边形为平行四边形.
因为，所以四边形为菱形.
则.
因为，且，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，所以平面.
（2）以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，，，
所以，，，，，
所以，.
设平面的法向量为，
则取，得.
平面的一个法向量为，
则.
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
方法点睛：向量法求二面角的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
21．（1）；（2）；（3）．
根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解，
（1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出；
（2）连接，因为，所以是平行四边形，所以，这样就可以写出与相反的向量；
（3）连接，用类似（2）的方法可写出与平行的向量．
【详解】
（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等，
∴与相等的向量为；
（2）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与相反的向量为．
（3）连接，由平行六面体的性质可得，
∴是平行四边形，
∴，与平行的向量为．
答案第1页，共2页
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