北京版九年级数学上册《20．4解直角三角形（第一课时）》教学设计

20．4解直角三角形（第一课时）
教学 目标 1．会用所学过的知识解直角三角形； 2．经历探索发现解直角三角形条件的过程，提高解决开放性问题的能力，体会数学知识之间的联系； 3．通过积极参与数学活动，感受合作学习探索交流的乐趣．
教学重难点 教学重点：解直角三角形条件的得出． 教学难点：解直角三角形条件的得出及依据．
教学过程
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
探 索 新 知 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，除去直角∠C外，我们至少还需要给出怎样的条件，才可以将三边两角中其余的元素都求出来呢？ 利用PPT引导学生认识至少是从最少的条件分析认识所给出的条件数量。（投影片中的“至少”两个字突出） 预设一：至少再给出一条边或一个角． 预设二：至少再给出两个条件． 两个条件又有哪几种不同的情况？每一种情况是否能够举例说明？ 学生可能出现的结果： ①再给出两边，两边都是直角边; ②再给出两边，两边是一直角边和一条斜边; ③再给出两个角; ④再给出一边一邻角; ⑤再给出一边一对角． 为什么已知两边或一边一角就能够将该三角形的其他元素求出来呢？为什么已知一边、一角或者两个角却不能把直角三角形的其余元素都找出来呢？（此时，如果学生没有思路，教师适当引导全等三角形的判定方法，给出的条件可以唯一确定一个三角形） 直接思考或者结合图形进行分析可以从最少的条件入手思考，也可能有学生直接从多个条件进行思考 学生直接举出反例来说明此时不可能把直角三角形的其余结果都找出来 举例说明每一种情况，说明求解思路就可以 学生独立思考后小组内相互交流，并说明自己的想法 开门见山的提出问题，发散学生的思维 感受分类的有序性和完备性，养成良好的学习习惯 体会数学学习的严谨性
课 堂 实 录 节 选 师：回顾一下我们刚才的过程，我们是来研究（解直角三角形）最少需要几个条件，我们是从几个条件开始入手的？ 生：从一个到两个 师：提醒同学们，研究一个问题要注意顺序，一个条件我们是从角和边来考虑，两个我们也是分角和边，把每一种情况都考虑进去，要考虑全面（完备性） 师：我们刚才举了几个例子，我们能不能把所有的例子都举尽了？ 生：摇头，不能 师：而且我们举的几个例子都是包含特殊角的，不是特殊角的解起来还很困难，那么我们怎么说明这四种（一角及其邻边，一角及其对边，两直角边，斜边及直角边）一定都可以解呢？有没有一个理论来保证呢？ 生：沉思 师：如果感觉困难的话，可以交流讨论 生：相互之间交流讨论（但是学生感觉比较紧张） 师：咱们一起来看看，我们给出了哪些条件，一共只有这四类图形，我们先看第一个图，给出了什么条件？ 生：一角一边 师：是不是就给出了一角一边，还有没有第三个条件？ 生：直角 师：那实际上在这个图形里面，我们总共给了几个条件？ 生：三个 师：分别是 生：直角，边，角；两角一边；角角边（不同的说法） 师：简单的说就是两角一边 师：（手指下一个图）这个图形里面 生：两角一边 师：（手指下一个图）这个图形里面 生：两边一角 师：（手指下一个图）这个图形里面 生：两边一角 师：（手指斜边直角边的图）这个应该是 生：斜边直角边 师：（手指两直角边的图）这个应该是 生：边角边 师：（手指一角及其对边的图）这个应该是 生：角角边 师：类似这样的说法，我们在哪见过吗？你有什么想法吗？ 一学生举手 生：我觉得这个可能是固定三角形不变的条件 师：什么是固定三角形不变的条件 生：因为如果要证两个三角形全等的话，可以有不同的证法，比如说角边角，只要说明那两个角和那个边相等，就可以说明这两个三角形全等了，所以我觉得全等的证明条件是证明这个三角形不变的条件 师：注意听最后一句话了吗？我们证明三角形全等的条件就是证明这个三角形不变的条件，不变就说明这个三角形是 生：唯一确定的 师：如果这个三角形都已经唯一确定了，说明它的各角和各边的大小就 生：完全确定了 师：既然确定了，说明就一定可以找出来的 师：一角或一边或两角为什么不行呢？ 生：给出的三角形不确定 师：所以我们判断一个三角形其余元素能不能求出来，我就可以看看条件，如果这个条件能满足我们判定三角形全等的条件，说明此时的直角三角形是唯一确定的，其余的元素我们就都可以求出来。
概 念 形 成 我们把由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 回顾上面的过程，你能用自己的语言将解直角三角形的上述定义完善吗？ 由直角三角形中除直角外的两个已知元素（其中至少一个是边），求出其余三个未知元素的过程，叫做解直角三角形． 用自己的语言说明什么是解直角三角形 学生也可能说成是两边或一边一角，根据学生的接受情况选择最终方案 在逐步完善概念的过程中，感受什么是解直角三角形
练 习 巩 固 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=8，∠B=60°， 解这个直角三角形． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a=4，b=3，解这个直角三角形． （sin37°≈0．6，cos37°≈0．8， tan37°≈0．75） 请你设计一个关于解直角三角形的题目． 变式1已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，△ABC的周长是，解这个直角三角形． 变式2已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6，∠BAC的平分线AD=4，解此直角三角形． （变式1，2灵活掌握，如果学生出题比较充分，变式就不再完成） 结合题目条件，画出图形，完成求解 思考，交流不同的解直角三角形的方法 自己设计题目，并尝试求解 思考改编题目 预案1：改变角度 预案2：已知面积 体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程． 给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心． 让学生自己改编题目，能让他们深刻理解直角三角形中边角之间相互转化的关系，加深理解．
随 堂 检 测 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=3， 解此直角三角形． 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，BC=1， 解此直角三角形． （sin37°≈0．6，cos37°≈0．8， tan37°≈0．75） 3．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=10， 求AB的长． 独立完成检测题． 1题检测对解直角三角形的理解；2题检测解直角三角形方法的选择；3题为学有余力的学生准备．
课 堂 小 结 通过本节课的学习，你有哪些收获？ 1．学到了哪些知识？ 2．体会到了哪些数学思想方法？ 3．还有什么想法或疑惑？ 根据问题进行小结、反思． 养成反思意识，通过小结提升认识．
五、教学后学生情况研究及反思
后测题
本节课的课后检测没能在课上完成，课下集中学生利用自习课的10分钟进行了检测，检测题目如下：
1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=3， 解此直角三角形．
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，BC=1， 解此直角三角形．
（sin37°≈0．6，cos37°≈0．8， tan37°≈0．75）
3．在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=10， 求AB的长．