近五年（2018—2022）数学高考真题分类汇编04：不等式（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
四：不等式
一、选择题
1.（2022·全国甲（文）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.（2022·全国甲（理）T12） 已知，则（ ）
A. B. C. D.
3.（2022·新高考Ⅰ卷T7）设，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T12） 对任意x，y，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．（2021·全国（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·全国（文））若满足约束条件则的最小值为（ ）
A．18 B．10 C．6 D．4
7．（2021·浙江）若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·浙江）已知是互不相同的锐角，则在三个值中，大于的个数的最大值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2020·浙江）已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
10．（2020·浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2020·全国（文））已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019·全国（文））记不等式组表示的平面区域为，命题；命题.给出了四个命题：①；②；③；④，这四个命题中，所有真命题的编号是
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
13．（2019·浙江）设，数列中，， ,则
A．当 B．当
C．当 D．当
14．（2019·北京（理））若x，y满足，且y≥ 1，则3x+y的最大值为
A． 7 B．1 C．5 D．7
15．（2018·北京（理））设集合则
A．对任意实数a， B．对任意实数a，（2,1）
C．当且仅当a<0时,（2,1） D．当且仅当 时,（2,1）
16．（2018·全国（理））设，，则
A． B．
C． D．
17．（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
18．（2020·天津）已知，且，则的最小值为_________．
19．（2020·江苏）已知，则的最小值是_______．
20．（2020·全国（文））若x，y满足约束条件 ，则z=3x+2y的最大值为_________．
21．（2020·全国（理））若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为______________.
22．（2019·天津（文）） 设，，，则的最小值为__________.
23．（2019·天津（文）） 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
24．（2019·天津（理））设，则的最小值为______.
25．（2018·江苏）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
26．（2018·北京（理））若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y x的最小值是__________．
27．（2018·天津（理））已知，且，则的最小值为_____________.
28．（2018·天津（文））已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是__________．
29．（2019·北京（文））若x，y满足 则的最小值为__________，最大值为__________.
30．（2018·浙江）若满足约束条件则的最小值是___________，最大值是___________．
参考答案
一、选择题
1.A
【解析】由可得，而，所以，即，所以．
又，所以，即，
所以．综上，．故选：A.
A
【解析】因为,因为当
所以,即,所以；
设，
，所以在单调递增，
则,所以，
所以,所以，故选：A
C
【解析】设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以故选：C.
4.BC
【解析】
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
5．C
【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．
6．C
【解析】
由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
由可得点,转换目标函数为，
上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，
此时.故选：C.
7．B
【解析】画出满足约束条件的可行域，如下图所示：
目标函数化为，
由，解得，设，
当直线过点时，取得最小值为.故选：B.
8．C
【解析】
法1：由基本不等式有，
同理，，
故，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
法2：不妨设，则，
由排列不等式可得：
，
而，
故不可能均大于.
取，，，
则，
故三式中大于的个数的最大值为2，
故选：C.
9．C
【解析】因为，所以且，设，则的零点为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
10．B
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最小值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是.
故选：B.
11．D
【解析】由解得，
所以，
又因为，所以，故选：D.
12．A
【解析】
如图，平面区域D为阴影部分，由得
即A（2，4），直线与直线均过区域D，
则p真q假，有假真，所以①③真②④假．故选A．
13．A
【解析】
若数列为常数列，则，由，
可设方程
选项A：时，，，
，
故此时不为常数列，
，
且，
，则，
故选项A正确；
选项B：时，，，
则该方程的解为，
即当时，数列为常数列，，
则，故选项B错误；
选项C：时，，
该方程的解为或，
即当或时，数列为常数列，或，
同样不满足，则选项C也错误；
选项D：时，，
该方程的解为，
同理可知，此时的常数列也不能使，
则选项D错误.
故选：A.
14．C
【解析】
由题意作出可行域如图阴影部分所示.
设,
当直线经过点时,取最大值5.故选C.
15．D
【解析】若，则且，即若，则，
此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
小结：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设，若，则；若，则，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式.
16．B
【解析】.
,即
又 即 故选B.
17．ABD
【解析】对于A，，
当且仅当时，等号成立，故A正确；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，
当且仅当时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为，
所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD
18．4
【解析】，,
，当且仅当=4时取等号，
结合,解得，或时，等号成立.
故答案为：
19．
【解析】∵ ∴且
∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.
20．7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为，所以，易知截距越大，则越大，
平移直线，当经过A点时截距最大，此时z最大，
由，得，，所以.故答案为：7.
21．1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：，
其中z取得最大值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，
联立直线方程：，可得点A的坐标为：，
据此可知目标函数的最大值为：. 故答案为：1．
22．.
【解析】由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．故所求的最小值为．
23．
【解析】，即，即，故的取值范围是．
24．
【解析】
，
当且仅当，即时成立，故所求的最小值为．
25．9
【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
26．3
【解析】作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.
解析：作可行域，如图，平移直线，
由图可知直线过点A(1,2)时，取最小值3.
27．
【解析】由可知，且，因为对于任意，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.
当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.
28．
【解析】①当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
29．. 1.
【解析】作出可行域如图阴影部分所示.
设,则.当直线经过点时,取最小值，经过点时,取最大值.
30．
【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点时取最大值，过点时取最小值.