近五年（2018—2022）数学高考真题分类汇编05：平面向量（含解析）
文档属性
| 名称 | 近五年（2018—2022）数学高考真题分类汇编05：平面向量（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-21 16:50:18 | ||
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文档简介
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五：平面向量
一、选择题
1.（2022·全国乙（文）T3） 已知向量，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.（2022·全国乙（理）T3） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3.（2022·新高考Ⅰ卷T3） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T4） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
5．（2021·全国新高考1）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（2020·海南）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·全国2（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·全国3（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·全国2（文））已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
12．（2019·全国1（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
13．（2019·全国2（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
14．（2018·北京（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．（2018·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
16．（2018·天津（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
17．（2018·全国1（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
18．（2018·全国2（文））已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
19．（2018·天津（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
二、填空题
20.（2022·全国甲（文）T13） 已知向量．若，则______________．
21.（2022·全国甲（理）T13） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
22．（2021·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
23．（2021·全国甲（文））若向量满足，则_________.
24．（2021·全国甲（理））已知向量．若，则________．
25．（2021·全国乙（理））已知向量，若，则__________．
26．（2021·全国乙（文））已知向量，若，则_________．
27．（2020·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
28．（2020·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
29．（2020·全国1（文））设向量，若，则__________.
30．（2020·全国1（理））设为单位向量，且，则__________.
31．（2020·全国1（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
32．（2019·江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
33．（2019·北京（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.
34．（2019·全国3（文））已知向量，则___________.
35．（2019·全国（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
36．（2019·天津（文）） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
37．（2019·上海）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________
38．（2018·上海）已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
39．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
40．（2018·北京（文））设向量 =（1,0）， =（ 1,m）,若，则m=_________.
41．（2018·全国3（理））已知向量，，．若，则________．
42．（2020·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
43．（2020·北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
44．（2019·浙江）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
参考答案
一、选择题
1.D
【解析】因为，所以.故选：D
2.C
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
3.B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4.C
【解析】解：,,即,解得,故选：C
5．AC
【解析】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
6．B
【解析】
若，则，推不出；若，则必成立，
故“”是“”的必要不充分条件
7．C
【解析】
8．A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
9．D
【解析】，，，.
，
因此，.
10．D
【解析】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
11．A
【解析】由已知，，所以，
12．B
【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
13．C
【解析】由，，得，则，．故选C．
14．C
【解析】因为向量均为单位向量
所以
所以“”是“”的充要条件
15．A
【解析】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
16．A
【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，
所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
17．A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
18．B
【解析】因为
19．C
【解析】如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
二、填空题
20.或
【解析】由题意知：，解得.
故答案为：.
21
【解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
22．
【解析】由题意，设，则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.
23．
【解析】∵ ∴ ∴.
24．.
【解析】,
，解得,故答案为：.
25．
【解析】因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
26．
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.
27．
【解析】，，，
.
28．或0
【解析】∵三点共线，∴可设，
∵，∴，即，
若且，则三点共线，∴，即，
∵，∴，∵,,，∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，∴，解得，∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
29．5
【解析】由可得，又因为，
所以，即，故答案为：5.
30．
【解析】因为为单位向量，所以
所以，解得：
所以，故答案为：
31．
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．
32．.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
33．8.
【解析】向量则.
33．
【解析】．
34．.
【解析】因为，，所以，
，所以，所以 ．
35．.
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，所以．
所以．
36．
【解析】由题意：，
设，，因为，则
与结合 ，又
与结合，消去，可得：
所以
37．
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且 =1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，
可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，
即+的最大值为+，故答案为+．
38．3
【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
40．-1.
【解析】，，
由得：，，即.
41．
【解析】由题可得，
,即，故答案为
42．
【解析】，，，
，
解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
43．
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此，，.
44．0
【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，，
0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
五：平面向量
一、选择题
1.（2022·全国乙（文）T3） 已知向量，则（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2.（2022·全国乙（理）T3） 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3.（2022·新高考Ⅰ卷T3） 在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A. B. C. D.
4.（2022·新高考Ⅱ卷T4） 已知，若，则（ ）
A. B. C. 5 D. 6
5．（2021·全国新高考1）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·浙江）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
7．（2020·海南）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·海南）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·全国2（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·全国3（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2019·全国2（文））已知向量，则
A． B．2
C．5 D．50
12．（2019·全国1（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
13．（2019·全国2（理））已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．-3 B．-2
C．2 D．3
14．（2018·北京（理））设向量均为单位向量，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．（2018·浙江）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A． B． C．2 D．
16．（2018·天津（理））如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A． B． C． D．
17．（2018·全国1（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
18．（2018·全国2（文））已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
19．（2018·天津（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
二、填空题
20.（2022·全国甲（文）T13） 已知向量．若，则______________．
21.（2022·全国甲（理）T13） 设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
22．（2021·浙江）已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为z，则的最小值为___________.
23．（2021·全国甲（文））若向量满足，则_________.
24．（2021·全国甲（理））已知向量．若，则________．
25．（2021·全国乙（理））已知向量，若，则__________．
26．（2021·全国乙（文））已知向量，若，则_________．
27．（2020·浙江）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
28．（2020·江苏）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
29．（2020·全国1（文））设向量，若，则__________.
30．（2020·全国1（理））设为单位向量，且，则__________.
31．（2020·全国1（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
32．（2019·江苏）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
33．（2019·北京（文））已知向量=（－4，3），=（6，m），且，则m=__________.
34．（2019·全国3（文））已知向量，则___________.
35．（2019·全国（理））已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
36．（2019·天津（文）） 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
37．（2019·上海）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为____________
38．（2018·上海）已知实数、、、满足：，，，则的最大值为______．
39．（2018·江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若，则点的横坐标为________．
40．（2018·北京（文））设向量 =（1,0）， =（ 1,m）,若，则m=_________.
41．（2018·全国3（理））已知向量，，．若，则________．
42．（2020·天津）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
43．（2020·北京）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
44．（2019·浙江）已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是________；最大值是_______.
参考答案
一、选择题
1.D
【解析】因为，所以.故选：D
2.C
【解析】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
3.B
【解析】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
4.C
【解析】解：,,即,解得,故选：C
5．AC
【解析】
A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；
6．B
【解析】
若，则，推不出；若，则必成立，
故“”是“”的必要不充分条件
7．C
【解析】
8．A
【解析】
的模为2，根据正六边形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
9．D
【解析】，，，.
，
因此，.
10．D
【解析】由已知可得：.
A：因为，所以本选项不符合题意；
B：因为，所以本选项不符合题意；
C：因为，所以本选项不符合题意；
D：因为，所以本选项符合题意.
11．A
【解析】由已知，，所以，
12．B
【解析】因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
13．C
【解析】由，，得，则，．故选C．
14．C
【解析】因为向量均为单位向量
所以
所以“”是“”的充要条件
15．A
【解析】设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
16．A
【解析】连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，
所以为等边三角形，。设
=
所以当时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。
17．A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
18．B
【解析】因为
19．C
【解析】如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
二、填空题
20.或
【解析】由题意知：，解得.
故答案为：.
21
【解析】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
22．
【解析】由题意，设，则，即，
又向量在方向上的投影分别为x，y，所以，
所以在方向上的投影，
即,
所以，
当且仅当即时，等号成立，所以的最小值为.
23．
【解析】∵ ∴ ∴.
24．.
【解析】,
，解得,故答案为：.
25．
【解析】因为，所以由可得，
，解得．故答案为：．
26．
【解析】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，解方程可得：.
27．
【解析】，，，
.
28．或0
【解析】∵三点共线，∴可设，
∵，∴，即，
若且，则三点共线，∴，即，
∵，∴，∵,,，∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，∴，解得，∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
29．5
【解析】由可得，又因为，
所以，即，故答案为：5.
30．
【解析】因为为单位向量，所以
所以，解得：
所以，故答案为：
31．
【解析】由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．
32．.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
33．8.
【解析】向量则.
33．
【解析】．
34．.
【解析】因为，，所以，
，所以，所以 ．
35．.
【解析】建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，所以．
所以．
36．
【解析】由题意：，
设，，因为，则
与结合 ，又
与结合，消去，可得：
所以
37．
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），=（x1，y1），=（x2，y2），
由x12+y12=1，x22+y22=1，x1x2+y1y2=，可得A，B两点在圆x2+y2=1上，
且 =1×1×cos∠AOB=，即有∠AOB=60°，即三角形OAB为等边三角形，
AB=1，+的几何意义为点A，B两点到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和，显然A，B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=1平行，
可设AB：x+y+t=0，（t＞0），由圆心O到直线AB的距离d=，
可得2=1，解得t=，即有两平行线的距离为=，
即+的最大值为+，故答案为+．
38．3
【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点的横坐标所以.所以，
由得或，
因为，所以
40．-1.
【解析】，，
由得：，，即.
41．
【解析】由题可得，
,即，故答案为
42．
【解析】，，，
，
解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
43．
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，，
则点，，，
因此，，.
44．0
【解析】正方形ABCD的边长为1，可得，，
0，
要使的最小，只需要
，此时只需要取
此时
等号成立当且仅当均非负或者均非正，并且均非负或者均非正．
比如
则.
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