人教A版2019高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线方程 单元测试卷（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版2019高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线方程 单元测试卷（Word版含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 324.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-20 10:56:28 | ||
图片预览
文档简介
人教A版2019高中数学选择性必修一第三章圆锥曲线方程单元测试卷
数学试题
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
第一部分（选择题60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2021江苏无锡一中高二上期中）在平面内，到直线l：x＝－2与到定点P（2 , 0）的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．直线
2．（2020河南信阳高二上期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝± 2 x D．y＝±x
3．（2021北京首师大附中高二上期中）已知椭圆C的焦点为F1（－1 , 0），F2（1 , 0）．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．（2021重庆八中高二上期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为（ ）
A． B．3 C．2 D．6
5．（2021天津河西高二上期中）与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
6．（2021吉林长春外国语学校高二上期中）已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021山西朔州怀仁一中高二上月考）过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1 , y1），B（x2 , y2），则＝（ ）
A．－4 B．4 C．4p D．－4p
8．（2021天津一中高二上期中）已知A、B为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（2021广东高三阶段性质量检测）方程 ( logm3 ) x2＋ ( logn3 ) y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．1＜n＜m B．1＜m＜n
C．1＜m＜3＜n D．3＜m＜n
10．（2021河北邯郸联盟校高二上期中）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设B（－2 , 0），当取得最小值时，（ ）
A．AB的斜率为±
B．|AF|＝4
C．△ABF内切圆的面积为π
D．△ABF内切圆的面积为 (24－16)π
11．（2021山东泰安新泰一中高二上期中）已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：( x＋1)2＋y2＝上的动点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为
B．椭圆C的离心率为
C．圆D在C的内部
D．|PQ|的最小值为
12．（2021山东泰安宁阳一中高二上期中）如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，设C2的方程为＝1（a＞b＞0），则有（ ）
A．a2＋b2＝4
B．△AF1F2的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率为
D．若AF1⊥AF2，则椭圆方程为＝1
第二部分（非选择题90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2021江苏江阴一中高二上期中）抛物线y＝2x2的准线方程为 ．
14．（2021山东日照五莲高二上期中）已知F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 ．
15．（2021天津河东高二上期中）如图，设F1、F2是椭圆C：＝1（a＞2）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AB⊥AF2，|AB|∶|AF2|＝3∶4，则椭圆的离心率为 ．
16．（2021天津六校高二上期中）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2021山东济南章丘第一中学高二上期中）在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋；②C的焦距为6；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知双曲线C：＝1， ，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）（2021浙江金华东阳中学高二上期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上横坐标为2的一点P到焦点的距离为3．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－2，证明：直线l经过定点，并求出定点的坐标．
19．（12分）（2021湖北新高考适应性测试）已知点E到直线l：y＝－2的距离与点E到点F（0 , 1）的距离之差为1．设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若P（x0 , y0）为直线l上任意一点，过点P作曲线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，求点F到直线MN的最大距离．
20．（12分）（2021天津南开中学高二上期中）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线x＋y－＝0经过椭圆的上顶点和右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
21．（12分）（2021河北石家庄二中高二上期中）如图，在平面直角坐标系Oxy中，动点M到点A（－1 , 0）和B（1 , 0）的距离分别为d1和d2，∠AMB＝2θ，且d1d2cos2θ＝1．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）是否存在直线l过点B且与轨迹E交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．（12分）（2021江苏南京高二上期中）在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点的距离为2，且经过点（2，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是线段PQ的中点．若椭圆上存在点N满足＝3，求证：△PQN的面积S为定值．
参考答案
一、单项选择题
1．A；2．A；3．C；4．D；5．B；6．B；7．A；8．C．
二、多项选择题
9．CD；10．BD；11．BC；12．BCD．
三、填空题
13．y＝－；14．2；15．；16．8．
四、解答题
17．选①：因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝．
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c，
所以a＋c＝＝3＋，解得m＝3，
故C的方程为＝1．
选②：若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以c＝．
所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，故C的方程为＝1．
若m＜0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝－3m，所以c＝．
所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝－3，故C的方程为＝1．
综上，C的方程为＝1或＝1．
选③：若m＞0，则a2＝m，所以a＝．
因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，
所以2a＝2＝4，解得m＝4，
故C的方程为＝1．
若m＜0，则a2＝－2m，所以a＝．
因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，
所以2a＝2＝4，解得m＝－2，故C的方程为＝1．
综上，C的方程为＝1或＝1．
18．（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝．
由抛物线的定义可得2－()＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．
（2）设直线l的方程为x＝my＋n，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立 ，得y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．
由k1k2＝·，解得n＝2．
∴直线l经过定点，且定点为（2 , 0）．
19．（1）由题意得，点E到直线l'：y＝－1的距离等于点E到点F（0 , 1）的距离，
则点E的轨迹是以F为焦点，直线l'为准线的抛物线．
设其方程为x2＝2py（p＞0）．
由题意得＝1，解得p＝2．
所以曲线C的方程是x2＝4y．
（2）设M（x1 , y1），N（x2 , y2），过曲线C上点M（x1 , y1）的切线方程为y－y1＝k(x－x1)．联立，得x2－4kx＋4(kx1－y1)＝0，
令Δ＝(－4k)2－4×4(kx1－y1)＝0，
又＝4y1，所以k＝．
所以过曲线C上点M（x1 , y1）的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－．
又切线过点P（x0 , y0），所以y0＝x0－，即y0＝x0－y1．
同理可得，过点N（x2 , y2）的切线方程为y＝x－，
又切线过点P（x0 , y0），所以y0＝x0－，即y0＝x0－y2．
所以点M（x1 , y1），N（x2 , y2）均满足y0＝x0－y，即x0x＝2（y0＋y），
又P（x0 , y0）为直线l：y＝－2上任意一点，所以y0＝－2，所以直线MN的方程为x0x＝2(y－2)．
所以点F（0，1）到直线MN的距离d＝，
当x0＝0时，dmax＝1．
所以点F到直线MN的最大距离为1．
20．（1）对于直线x＋y－＝0，令x＝0，可得y＝1；令y＝0，可得x＝，即直线x＋y－＝0与x轴的交点为（ , 0），与y轴的交点为（0 , 1）．
因为直线x＋y－＝0经过椭圆的上顶点和右焦点，椭圆的焦点在x轴上，
所以c＝，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝4．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
（2）由（1）可得F2（ , 0），显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋，A（x1 , y1），B（x2 , y2）．
联立，得（4＋m2）y2＋2my－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝．
所以S△AOB＝|OF2||y1－y2|＝××＝＝，
整理可得2m4－9m2＋7＝0，解得m＝±1或m＝±，
所以直线l的方程为x＝±y＋或x＝±y＋．
21．（1）当θ≠0时，在△ABM中，由余弦定理得4＝－2d1d2cos 2θ．
又d1d2cos2θ＝1，所以d1＋d2＝2＞2，
所以点M的轨迹E是以A（－1，0）和B（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴的两个端点）．
又当点M为该椭圆的长轴的两个端点，即θ＝0时，也满足d1d2cos2θ＝1，
所以点M的轨迹E的方程是＋y2＝1．
（2）假设存在直线l满足题意，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，
由，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0．
设P（x1 , y1），Q（x2 , y2），
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，则y1y2＝．
由以线段PQ为直径的圆过原点，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以＋＝0，解得k＝±．所以直线l的方程为y＝±(x－1)．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与椭圆方程联立，得y＝±，
不妨令P，Q，经验证·≠0．
综上所述，所求直线l存在，其方程为y＝±(x－1)．
22．（1）由题意得，椭圆C的左顶点为（－a , 0），上顶点为（0 , b），左顶点与上顶点的距离为2，所以＝2，化简得a2＋b2＝12．①
因为椭圆经过点（2 , ），所以＝1．②
由①②解得a2＝8，b2＝4或a2＝6，b2＝6（舍去），
所以椭圆C的方程为 ＝1．
（2）证明：当直线PQ的斜率不存在时，N（±2，0），直线PQ的方程为 x＝ ，易得|PQ|＝，
此时S＝×|MN|×|PQ|＝××＝．
当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋m（m≠0），
联立 ，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2（m2－4）＝0，
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－4)＞0，
得0＜m2＜8k2＋4．（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以线段PQ的中点M的坐标为．
因为＝3，所以N．
将点N的坐标代入椭圆方程，得＝1，
化简得2k2＋1＝m2，符合（*）式．
记点O到直线l的距离为d，则S＝4S△OPQ＝2|PQ|×d＝2|x1－x2|×d＝，
将2k2＋1＝m2代入，得S．
综上，△PQN的面积S为定值．
数学试题
（全卷满分150分，考试用时120分钟）
第一部分（选择题60分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2021江苏无锡一中高二上期中）在平面内，到直线l：x＝－2与到定点P（2 , 0）的距离相等的点的轨迹是（ ）
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．直线
2．（2020河南信阳高二上期末）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（ ）
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝± 2 x D．y＝±x
3．（2021北京首师大附中高二上期中）已知椭圆C的焦点为F1（－1 , 0），F2（1 , 0）．过点F1的直线与C交于A，B两点．若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为（ ）
A．＝1 B．＝1
C．＝1 D．＝1
4．（2021重庆八中高二上期中）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的实轴长为（ ）
A． B．3 C．2 D．6
5．（2021天津河西高二上期中）与圆x2＋y2＝1及圆x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上 B．双曲线的一支上
C．一条抛物线上 D．一个圆上
6．（2021吉林长春外国语学校高二上期中）已知F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，P是椭圆上任意一点，若∠F1PF2＝，则△F1PF2的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021山西朔州怀仁一中高二上月考）过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1 , y1），B（x2 , y2），则＝（ ）
A．－4 B．4 C．4p D．－4p
8．（2021天津一中高二上期中）已知A、B为椭圆的左、右顶点，F为左焦点，点P为椭圆上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线与线段PF交于点M，与y轴交于点E，若直线BM经过OE的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（2021广东高三阶段性质量检测）方程 ( logm3 ) x2＋ ( logn3 ) y2＝1表示焦点在y轴上的椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A．1＜n＜m B．1＜m＜n
C．1＜m＜3＜n D．3＜m＜n
10．（2021河北邯郸联盟校高二上期中）已知抛物线y2＝8x的焦点为F，点A是抛物线上的动点，设B（－2 , 0），当取得最小值时，（ ）
A．AB的斜率为±
B．|AF|＝4
C．△ABF内切圆的面积为π
D．△ABF内切圆的面积为 (24－16)π
11．（2021山东泰安新泰一中高二上期中）已知P是椭圆C：＋y2＝1上的动点，Q是圆D：( x＋1)2＋y2＝上的动点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为
B．椭圆C的离心率为
C．圆D在C的内部
D．|PQ|的最小值为
12．（2021山东泰安宁阳一中高二上期中）如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，设C2的方程为＝1（a＞b＞0），则有（ ）
A．a2＋b2＝4
B．△AF1F2的内切圆与x轴相切于点（1，0）
C．若|F1F2|＝|F1A|，则C2的离心率为
D．若AF1⊥AF2，则椭圆方程为＝1
第二部分（非选择题90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2021江苏江阴一中高二上期中）抛物线y＝2x2的准线方程为 ．
14．（2021山东日照五莲高二上期中）已知F为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为 ．
15．（2021天津河东高二上期中）如图，设F1、F2是椭圆C：＝1（a＞2）的左、右焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，若AB⊥AF2，|AB|∶|AF2|＝3∶4，则椭圆的离心率为 ．
16．（2021天津六校高二上期中）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝ ．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（2021山东济南章丘第一中学高二上期中）在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3＋；②C的焦距为6；③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．
问题：已知双曲线C：＝1， ，求C的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（12分）（2021浙江金华东阳中学高二上期中）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）上横坐标为2的一点P到焦点的距离为3．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）设动直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝－2，证明：直线l经过定点，并求出定点的坐标．
19．（12分）（2021湖北新高考适应性测试）已知点E到直线l：y＝－2的距离与点E到点F（0 , 1）的距离之差为1．设点E的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若P（x0 , y0）为直线l上任意一点，过点P作曲线C的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，求点F到直线MN的最大距离．
20．（12分）（2021天津南开中学高二上期中）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），直线x＋y－＝0经过椭圆的上顶点和右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．
21．（12分）（2021河北石家庄二中高二上期中）如图，在平面直角坐标系Oxy中，动点M到点A（－1 , 0）和B（1 , 0）的距离分别为d1和d2，∠AMB＝2θ，且d1d2cos2θ＝1．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）是否存在直线l过点B且与轨迹E交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
22．（12分）（2021江苏南京高二上期中）在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点的距离为2，且经过点（2，）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与椭圆C相交于P，Q两点，M是线段PQ的中点．若椭圆上存在点N满足＝3，求证：△PQN的面积S为定值．
参考答案
一、单项选择题
1．A；2．A；3．C；4．D；5．B；6．B；7．A；8．C．
二、多项选择题
9．CD；10．BD；11．BC；12．BCD．
三、填空题
13．y＝－；14．2；15．；16．8．
四、解答题
17．选①：因为m＞0，所以a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以a＝，c＝．
因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a＋c，
所以a＋c＝＝3＋，解得m＝3，
故C的方程为＝1．
选②：若m＞0，则a2＝m，b2＝2m，c2＝3m，所以c＝．
所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝3，故C的方程为＝1．
若m＜0，则a2＝－2m，b2＝－m，c2＝－3m，所以c＝．
所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝－3，故C的方程为＝1．
综上，C的方程为＝1或＝1．
选③：若m＞0，则a2＝m，所以a＝．
因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，
所以2a＝2＝4，解得m＝4，
故C的方程为＝1．
若m＜0，则a2＝－2m，所以a＝．
因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，
所以2a＝2＝4，解得m＝－2，故C的方程为＝1．
综上，C的方程为＝1或＝1．
18．（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝．
由抛物线的定义可得2－()＝3，解得p＝2，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x．
（2）设直线l的方程为x＝my＋n，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立 ，得y2－4my－4n＝0，
∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n．
由k1k2＝·，解得n＝2．
∴直线l经过定点，且定点为（2 , 0）．
19．（1）由题意得，点E到直线l'：y＝－1的距离等于点E到点F（0 , 1）的距离，
则点E的轨迹是以F为焦点，直线l'为准线的抛物线．
设其方程为x2＝2py（p＞0）．
由题意得＝1，解得p＝2．
所以曲线C的方程是x2＝4y．
（2）设M（x1 , y1），N（x2 , y2），过曲线C上点M（x1 , y1）的切线方程为y－y1＝k(x－x1)．联立，得x2－4kx＋4(kx1－y1)＝0，
令Δ＝(－4k)2－4×4(kx1－y1)＝0，
又＝4y1，所以k＝．
所以过曲线C上点M（x1 , y1）的切线方程为y－y1＝(x－x1)，即y＝x－．
又切线过点P（x0 , y0），所以y0＝x0－，即y0＝x0－y1．
同理可得，过点N（x2 , y2）的切线方程为y＝x－，
又切线过点P（x0 , y0），所以y0＝x0－，即y0＝x0－y2．
所以点M（x1 , y1），N（x2 , y2）均满足y0＝x0－y，即x0x＝2（y0＋y），
又P（x0 , y0）为直线l：y＝－2上任意一点，所以y0＝－2，所以直线MN的方程为x0x＝2(y－2)．
所以点F（0，1）到直线MN的距离d＝，
当x0＝0时，dmax＝1．
所以点F到直线MN的最大距离为1．
20．（1）对于直线x＋y－＝0，令x＝0，可得y＝1；令y＝0，可得x＝，即直线x＋y－＝0与x轴的交点为（ , 0），与y轴的交点为（0 , 1）．
因为直线x＋y－＝0经过椭圆的上顶点和右焦点，椭圆的焦点在x轴上，
所以c＝，b＝1，所以a2＝b2＋c2＝4．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．
（2）由（1）可得F2（ , 0），显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋，A（x1 , y1），B（x2 , y2）．
联立，得（4＋m2）y2＋2my－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝．
所以S△AOB＝|OF2||y1－y2|＝××＝＝，
整理可得2m4－9m2＋7＝0，解得m＝±1或m＝±，
所以直线l的方程为x＝±y＋或x＝±y＋．
21．（1）当θ≠0时，在△ABM中，由余弦定理得4＝－2d1d2cos 2θ．
又d1d2cos2θ＝1，所以d1＋d2＝2＞2，
所以点M的轨迹E是以A（－1，0）和B（1，0）为焦点，长轴长为2的椭圆（除去长轴的两个端点）．
又当点M为该椭圆的长轴的两个端点，即θ＝0时，也满足d1d2cos2θ＝1，
所以点M的轨迹E的方程是＋y2＝1．
（2）假设存在直线l满足题意，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，
由，得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0．
设P（x1 , y1），Q（x2 , y2），
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，则y1y2＝．
由以线段PQ为直径的圆过原点，得·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
所以＋＝0，解得k＝±．所以直线l的方程为y＝±(x－1)．
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与椭圆方程联立，得y＝±，
不妨令P，Q，经验证·≠0．
综上所述，所求直线l存在，其方程为y＝±(x－1)．
22．（1）由题意得，椭圆C的左顶点为（－a , 0），上顶点为（0 , b），左顶点与上顶点的距离为2，所以＝2，化简得a2＋b2＝12．①
因为椭圆经过点（2 , ），所以＝1．②
由①②解得a2＝8，b2＝4或a2＝6，b2＝6（舍去），
所以椭圆C的方程为 ＝1．
（2）证明：当直线PQ的斜率不存在时，N（±2，0），直线PQ的方程为 x＝ ，易得|PQ|＝，
此时S＝×|MN|×|PQ|＝××＝．
当直线PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋m（m≠0），
联立 ，得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2（m2－4）＝0，
由Δ＝(4km)2－8(1＋2k2)(m2－4)＞0，
得0＜m2＜8k2＋4．（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以线段PQ的中点M的坐标为．
因为＝3，所以N．
将点N的坐标代入椭圆方程，得＝1，
化简得2k2＋1＝m2，符合（*）式．
记点O到直线l的距离为d，则S＝4S△OPQ＝2|PQ|×d＝2|x1－x2|×d＝，
将2k2＋1＝m2代入，得S．
综上，△PQN的面积S为定值．