6.3.1 平面向量的基本定理
导学案
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
【自主学习】
知识点 1 平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个 向量，
那么对于这一平面内的 向量 a， 实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把 的向量 e1，e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底．
知识点 2 两向量的夹角与垂直
(1) →夹角：已知两个 向量 a 和 b，如图，作OA＝a，O→B＝b，
则 ＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量 a 与 b 的夹角．
①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a 与 b ．
③当θ＝180°时，a 与 b ．
(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是 90°，则称 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
【合作探究】
探究一 基底的概念
【例 1】下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量 a 和一组基底 e1，e2，使 a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④ B．②③④
C．①③ D．①③④
归纳总结：
【练习 1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的
是( )
A．e1＋e2 和 e1－e2 B．3e1－4e2和 6e1－8e2
C．e1＋2e2 和 2e1＋e2 D．e1 和 e1＋e2
探究二 用基底表示向量
→ →
【例 2】如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M、N分别是边 OA、OB →上的点，且OM
1a O→N 1b → → →＝ ， ＝ ，设AN与BM交于点 P，用向量 a、b 表示OP.
3 2
归纳总结：
→
【练习 2】如图所示，已知在平行四边形 ABCD中，E、F分别是 BC、DC边上的中点，若AB
＝a，A→D＝b，试以{a，b} →为基底表示DE B→、 F.
探究三 平面向量基本定理的应用
【例 3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为 BC边上的高，M
AD → → →为 的中点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ的值为( )
A.5 B. 1－
3 2
C.1 D.2
2 3
归纳总结：
【练习 3】如图，在△ABC中，点 M是 BC的中点，点 N在 AC上，且 AN＝2NC，AM与
BN相交于点 P，求 AP : PM与 BP : PN的值．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1 ABC A→．等边△ 中， B与B→C的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
2．若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A 1．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋ e2
2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
3．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数
多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．若 a、b 不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( )
A．a＝0，b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0
5.如图所示，平面内的两条直线 OP1和 OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括
边界) → →，若OP＝aOP1＋bO
→P2，且点 P落在第Ⅰ部分，则实数 a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
6．下列说法中，正确说法的个数是( )
ABC {A→ →①在△ 中， B，AC}可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．如图，设 O是 ABCD两对角线的交点，有下列向量组：
①A→D →与AB；
D→A B→② 与 C；
C→A D→③ 与 C；
O→D O→④ 与 B.
其中可作为该平面内所有向量基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
8．M为△ABC → →的重心，点 D，E，F分别为三边 BC，AB，AC的中点，则MA＋MB＋M→C等
于( )
A．6M→E B →．－6MF C．0 D．6M→D
二、填空题
9.设 e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与 e2－2e1；
③e1－2e2与 4e2－2e1；④e1＋e2与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是
______．(写出所有满足条件的序号)
10. →如图，已知AB＝a，A→C →＝b，BD＝3D→C → →，用 a，b 表示AD，则AD＝________.
11．设向量 m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用 m，n 表示 p，则 p＝________.
12．在△ABC →中，AB＝c →，AC＝b.若点 D B→D →满足 ＝2DC，则A→D＝____________.(用 b、c 表
示)
13．已知向量 e1、e2不共线，实数 x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝3.
14. O→A O→B O→C. O→ →如图，平面内有三个向量 、 、 其中 A与OB的夹角为 120°，O→A →与OC的夹角为 30°，
|O→A| |O→B| 1 |O→C| 2 3 O→C λO→A →且 ＝ ＝ ， ＝ ，若 ＝ ＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
15．设 D，E分别是△ABC 1 2 → → →的边 AB，BC上的点，AD＝ AB，BE＝ BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，
2 3
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
三、解答题
16.如图所示，在△ABC中，点 M为 AB AN 1的中点，且 ＝ NC，BN与 CM →相交于点 E，设AB
2
＝a，A→C →＝b，试以 a，b 为基底表示AE.
17.如图所示，在△ABC中，点 M是 BC的中点，点 N在边 AC上，且 AN＝2NC，AM与 BN
相交于点 P，
求证：AP∶PM＝4∶1.
18．在平行四边形 ABCD →中，AB＝a，A→D＝b，
(1)如图 1，如果 E，F分别是 BC，DC →的中点，试用 a，b 分别表示BF，D→E.
(2) →如图 2，如果 O是 AC与 BD的交点，G是 DO的中点，试用 a，b 表示AG.
B 组 能力提升
一、选择题
1.如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E 是 BC 的中点，F 是 AE 上一
点， AF 2FE，则 BF （ ）
1 1 1
A． AB AD B． AB 1 AD
2 3 3 2
1 1 1 1
C． AB AD D． AB AD
2 3 3 2
2.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于
点 F，若 AC a ， BD b，则 AF （ ）
1 1 2 a b a 1
b 1 a 1
1 2
A． B． C． b D． a b
4 2 3 3 2 4 3 3
3. ABC中，M 、N 分别是 BC、AC上的点，且 BM 2MC，AN 2NC，AM与 BN
交于点 P，则下列式子正确的是（ ）
3 1 1
A． AP AB 3 AC B． AP AB AC
4 2 2 4
1 1 1
C． AP AB AC D． AP AB 1 AC
2 4 4 2
4.如图，在直角梯形 中， = 2 = 2 ， 为 边上一点， = 3 ， 为
的中点，则 =（ ）
A 1 2． B 2． + 1
3 3 3 3
C． 1 + 2 D 2 1．
3 3 3 3
5.如图，正方形 ABCD中，M 是 BC的中点，若 AC AM BD，则 （ ）
4 5 15
A． B． C． D． 2
3 3 8
1 1
6.如图四边形 ABCD 为平行四边形， AE AB,DF FC，若 AF AC DE，则
2 2
的值为（ ）
1 2 1
A． B． C． D．1
2 3 3
3
7.如图，在平行四边形 ABCD中，E为 BC的中点，F 为DE的中点，若 AF xAB AD，
4
则 x ( )
3 2 1 1
A． B． C． D．
4 3 2 4
二、填空题
1
8.如图，在 ABC中， BD BC ，点 E在线段 AD上移动（不含端点），若
3
1
AE AB AC ，则 的取值范围是_____．2
9.在 ABC 中，D 为线段 AB上一点，且 BD 3AD，若CD CA CB ，则
.
10.在 ABC中， E为 AC上一点， AC 3AE， P为 BE 上任一点，若
3 1
AP mAB nAC(m 0,n 0)，则 的最小值是 .
m n
三、解答题
11.如图，△ABC中，AD AG BG为三角形 BC边上的中线且 AE＝2EC，BE交 AD于 G，求 及
GD GE
的值．6.3.1 平面向量的基本定理
导学案
【学习目标】
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
【自主学习】
知识点 1 平面向量基本定理
(1)定理：如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，
那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：把不共线的向量 e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
知识点 2 两向量的夹角与垂直
(1) → →夹角：已知两个非零向量 a和 b，如图，作OA＝a，OB＝b，
则∠AOB＝θ (0°≤θ≤180°)叫做向量 a与 b的夹角．
①范围：向量 a与 b的夹角的范围是[0°，180°]．
②当θ＝0°时，a与 b同向．
③当θ＝180°时，a与 b反向．
(2)垂直：如果 a与 b的夹角是 90°，则称 a与 b垂直，记作 a⊥b.
【合作探究】
探究一 基底的概念
【例 1】下面说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；
③零向量不可作为基底中的向量；
④对于平面内的任一向量 a和一组基底 e1，e2，使 a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．
A．②④ B．②③④
C．①③ D．①③④
[答案] B
[解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由
平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．
归纳总结：根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否
共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线，则它们不能作为一组基底.
【练习 1】设{e1，e2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的
是( )
A．e1＋e2 和 e1－e2 B．3e1－4e2和 6e1－8e2
C．e1＋2e2 和 2e1＋e2 D．e1 和 e1＋e2
[答案] B
解析：在 B 中，因为 6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以(3e1－4e2)∥(6e1－8e2)．所以 3e1－4e2 和
6e1－8e2不能作为基底，其他三个选项中的两组向量都不平行，故都可以作为一组基底．
探究二 用基底表示向量
→ → →
【例 2】如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M、N分别是边 OA、OB上的点，且OM
1a O→N 1b → →＝ ， ＝ ，设AN与BM →交于点 P，用向量 a、b表示OP.
3 2
[答案]O→P 1＝ a 2＋ b.
5 5
[分析] 利用“表示方法的唯一性”确定参数，进而确定λ1，λ2.
[ ] O→P O→M M→P O→P O→N N→解 ∵ ＝ ＋ ， ＝ ＋ P，
设M→P＝mM→B → →，NP＝nNA，
O→P O→M mM→B 1则 ＝ ＋ ＝ a＋m(b 1－ a) 1＝ (1－m)a＋mb，
3 3 3
O→P＝O→N＋nN→A 1＝ (1－n)b＋na.
2
1 1－m ＝n， m 2＝ ，
3 5
∵a与 b不共线，∴ 1 ∴ 1－n ＝m， n 1＝ .
2 5
O→P 1∴ ＝ a 2＋ b.
5 5
归纳总结：将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量
的线性运算法则对待求向量不断转化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用
基底表示向量的唯一性求解.
→
【练习 2】如图所示，已知在平行四边形 ABCD中，E、F分别是 BC、DC边上的中点，若AB
a A→＝ ， D＝b，试以{a，b} → →为基底表示DE、BF.
[答案]D→E=a 1－ b; B→F＝b 1－ a
2 2
解：∵四边形 ABCD是平行四边形，
E、F分别是 BC、DC边上的中点，
→ →
∴AD＝BC 2B→E → → →＝ ，CD＝BA＝2CF，
B→E 1→∴ ＝ AD 1＝ b，
2 2
C→F 1C→D 1B→＝ ＝ A 1→ 1＝－ AB＝－ a.
2 2 2 2
→ →
∴DE＝DA＋A→B＋B→E＝－A→D＋A→B →＋BE＝－b a 1b 1＋ ＋ ＝a－ b.
2 2
B→F B→C C→F A→＝ ＋ ＝ D →＋CF＝b 1－ a.
2
探究三 平面向量基本定理的应用
【例 3】如图所示，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为 BC边上的高，M
为 AD → → →的中点，若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ的值为( )
A.5 B. 1－
3 2
C.1 D.2
2 3
[答案] D
[解析] ∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为 BC边上的高，
∴在△ABD中，BD 1＝ AB＝1.
2
又 BC 1＝3，∴BD＝ BC，
3
A→D A→B →∴ ＝ ＋BD＝A→B 1B→＋ C.
3
∵M为 AD的中点，
A→M 1A→∴ ＝ D 1＝ A→B 1→＋ BC.
2 2 6
∵A→M＝λA→B＋μB→C，
∴λ 1 μ 1＝ ， ＝ ，
2 6
λ μ 2∴ ＋ ＝ .
3
归纳总结：应用平面向量基本定理解题时，关键在于选取合适的基底，要注意与已知条件的
联系.
【练习 3】如图，在△ABC中，点 M是 BC的中点，点 N在 AC上，且 AN＝2NC，AM与
BN相交于点 P，求 AP : PM与 BP : PN的值．
[答案] AP:PM＝4:1，BP:PN＝3:2
→ → → → → → → →
解：设BM＝e1，CN＝e2，则AM＝AC＋CM＝－3e2－e1，BN＝BC＋CN＝2e1＋e2.
因为点 A，P，M和点 B，P，N分别共线，
λ μ A→所以存在实数 ， 使得 P＝λA→M＝－λe1－3λe2，B→P＝μB→N＝2μe1＋μe2.
故B→A＝B→P →＋PA → →＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.
又B→A＝B→C＋C→A＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
λ 4＝ ，
λ＋2μ＝2， 5
得 解得
3λ μ 3 3＋ ＝ ， μ＝ ，
5
A→P 4所以 ＝ A→M →，BP 3B→＝ N，所以 AP:PM＝4:1，BP:PN＝3:2.
5 5
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．等边△ABC → →中，AB与BC的夹角是( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 D
2．若 e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )
A 1．e1－e2，e2－e1 B．2e1＋e2，e1＋ e2
2
C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2，e1－e2
答案 D
3．下面三种说法中，正确的是( )
①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数
多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 B
4．若 a、b不共线，且λa＋μb＝0(λ，μ∈R)，则( )
A．a＝0，b＝0 B．λ＝μ＝0
C．λ＝0，b＝0 D．a＝0，μ＝0
答案 B
5.如图所示，平面内的两条直线 OP1和 OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括
) O→边界 ，若 P → →＝aOP1＋bOP2，且点 P落在第Ⅰ部分，则实数 a，b满足( )
A．a>0，b>0 B．a>0，b<0
C．a<0，b>0 D．a<0，b<0
答案 C
P → → → → →解析 当点 落在第Ⅰ部分时，OP按向量OP1与OP2分解时，一个与OP1反向，一个与OP2同
向，故 a<0，b>0.
6．下列说法中，正确说法的个数是( )
→ →
①在△ABC中，{AB，AC}可以作为基底；
②能够表示一个平面内所有向量的基底是唯一的；
③零向量不能作为基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
[答案] C
解析：①③正确，②错误．
7 → → → → →．如图，设 O是 ABCD两对角线的交点，有下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA
D→C O→D O→与 ；④ 与 B.其中可作为该平面内所有向量基底的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
[答案] B
→
解析：AD与A→B D→A → → → → →不共线， ∥BC，CA与DC不共线，OD∥OB，则①③可以作为该平面内所
有向量的基底．
8．M为△ABC的重心，点 D，E，F分别为三边 BC，AB，AC →的中点，则MA＋M→B＋M→C等
于( )
A → → →．6ME B．－6MF C．0 D．6MD
答案 C
M→A M→解析 ＋ B＋M→C → →＝MA＋2MD M→A A→＝ ＋ M＝0.
二、填空题
9.设 e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与 e1＋e2；②e1－2e2与 e2－2e1；
③e1－2e2与 4e2－2e1；④e1＋e2与 e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是
______．(写出所有满足条件的序号)
答案 ①②④
解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2
＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与 4e2－2e1共线，不能作为基底．
10. A→B a A→如图，已知 ＝ ， C＝b →，BD＝3D→C，用 a，b →表示AD，则A→D＝________.
1 3
答案 a＋ b
4 4
A→D A→B B→D A→B 3B→解析 ＝ ＋ ＝ ＋ C
4
A→B 3(A→C A→B) 1→＝ ＋ － ＝ AB 3→＋ AC
4 4 4
1
＝ a 3＋ b.
4 4
11．设向量 m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，若用 m，n表示 p，则 p＝________.
7m 13答案 － ＋ n
4 8
解析 设 p＝xm＋yn，则 3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，
x 7＝－ ，
2x＋4y＝3 4
得
－3x－2y 2 y 13＝ ＝ .
8
12．在△ABC →中，AB＝c，A→C＝b.若点 D满足B→D＝2D→C →，则AD＝____________.(用 b、c表
示)
2 1
答案 b＋ c
3 3
解析 A→D → →＝AB＋BD＝A→B 2B→C → 2 → → 1→ 2→ 2 1＋ ＝AB＋ (AC－AB)＝ AB＋ AC＝ b＋ c.
3 3 3 3 3 3
13．已知向量 e1、e2不共线，实数 x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则 x－y＝3.
[答案] 3
3x－4y＝6，
解析：∵e1、e2不共线，∴
2x－3y＝3，
x＝6，
解得 ∴x－y＝3.
y＝3，
14. → → → → →如图，平面内有三个向量OA、OB、OC.其中OA与OB的夹角为 120° O→A O→， 与 C的夹角为 30°，
且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|＝2 3 → →，若OC＝λOA＋μO→B(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
答案 6
解析 如图，以 OA、OB → →所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形 ODCE，则OC＝OD
O→＋ E.
在 Rt△OCD →中，∵|OC|＝2 3，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
|O→D| 4 |C→∴ ＝ ， D|＝2 →，故OD＝4O→A，
O→E＝2O→B，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
1 2 → → →
15．设 D，E分别是△ABC的边 AB，BC上的点，AD＝ AB，BE＝ BC，若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，
2 3
λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
1
答案
2
D→E 1A→B 2B→C 1A→B 2(A→C A→B) 1→ 2→解析 易知 ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝－ AB＋ AC.
2 3 2 3 6 3
1
所以λ1＋λ2＝ .
2
三、解答题
16.如图所示，在△ABC中，点 M为 AB 1的中点，且 AN＝ NC，BN与 CM相交于点 E，设A→B
2
＝a，A→C＝b，试以 a，b为基底表示A→E.
A→N 1A→C 1b A→M 1A→ 1解 ∵ ＝ ＝ ， ＝ B＝ a，
3 3 2 2
N E B λ A→E λA→N (1 λ)A→B 1由 ， ， 三点共线知存在实数 满足 ＝ ＋ － ＝ λb＋(1－λ)a.
3
由 C，E，M三点共线知存在实数μ满足
A→E＝μA→M＋(1－μ)A→C μ＝ a＋(1－μ)b.
2
1－λ μ 3＝ ， λ＝ ，
2 5
A→E 2 1∴ λ 解得 4 ∴ ＝ a＋ b.1－μ＝ ， μ＝ . 5 5
3 5
17.如图所示，在△ABC中，点 M是 BC的中点，点 N在边 AC上，且 AN＝2NC，AM与 BN
相交于点 P，
求证：AP∶PM＝4∶1.
证明 设A→B →＝b，AC＝c，
A→M 1b 1c A→N 2→则 ＝ ＋ ， ＝ AC，
2 2 3
B→N →＝BA → 2＋AN＝ c－b.
3
A→P →∵ ∥AM，B→P∥B→N，
λ μ R A→P λA→ → →∴存在 ， ∈ ，使得 ＝ M，BP＝μBN，
A→P P→又∵ ＋ B＝A→B，∴λA→M →－μBN＝A→B，
1b 1＋ c 2c－b
∴由λ 2 2 －μ 3 ＝b得
1λ 1＋μ λ 2－ μ
2 b＋ 2 3 c＝b.
又∵b与 c不共线．
1λ＋μ 4＝1， λ＝ ，
2 5
∴ 1λ 2
解得 3
－ μ＝0. μ＝ .
2 3 5
A→P 4故 ＝ A→M，即 AP∶PM＝4∶1.
5
18 → →．在平行四边形 ABCD中，AB＝a，AD＝b，
(1)如图 1，如果 E → →，F分别是 BC，DC的中点，试用 a，b分别表示BF，DE.
(2)如图 2，如果 O是 AC与 BD →的交点，G是 DO的中点，试用 a，b表示AG.
解 (1)B→F＝B→C＋C→F＝A→D 1＋ C→D
2
→
＝AD 1A→－ B 1＝－ a＋b.
2 2
D→E D→C C→E A→B 1A→ 1＝ ＋ ＝ － D＝a－ b.
2 2
(2)B→D＝A→D－A→B＝b－a，
∵O是 BD的中点，G是 DO的中点，
B→G 3B→D 3∴ ＝ ＝ (b－a)，
4 4
→ → → 3 1
∴AG＝AB＋BG＝a＋ (b－a)＝ a 3＋ b.
4 4 4
B 组 能力提升
一、选择题
1.如图，在梯形 ABCD 中，AB//CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E 是 BC 的中点，F 是 AE 上一
点， AF 2FE，则 BF （ ）
1 1 1 1
A． AB AD B． AB AD
2 3 3 2
1 1 1
C． AB AD D． AB 1 AD
2 3 3 2
【答案】C
【解析】由梯形 ABCD 中，AB // CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E 是 BC 的中点，F 是 AE 上
一点， AF 2 FE，
2 2 1
则 BF BA AF AB AE AB (AB AC)
3 3 2
AB 1 (AB AD DC) AB 1 (AB AD 1 AB) 1 AB 1 AD；故选：C
3 3 2 2 3
2.在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于
点 F，若 AC a ， BD b，则 AF （ ）
1 a 1
b 2
a 1
1 1 1 b 2
A． B． C． a b D． a b
4 2 3 3 2 4 3 3
【答案】B
【解析】如图，可知
AF AC CF AC 2 CD AC 2 2 AB AC (AO OB)
3 3 3
2 1
= AC AC
1 2 1 1 2 1
BD a
a b
a b，选 B.3 2 2 3 2 2 3 3
3. ABC中，M 、N 分别是 BC、AC上的点，且 BM 2MC，AN 2NC，AM与 BN
交于点 P，则下列式子正确的是（ ）
AP 3 AB 1
1 3
A． AC B． AP AB AC
4 2 2 4
1 1 1 1
C． AP AB AC D． AP AB AC
2 4 4 2
【答案】D
【解析】如下图所示：
NC MC 1 PM MN 1
连接MN，则 ， MN //AB， △PMN∽△PAB， ，
AN BM 2 AP BC 3
因此，
3 3 3 AP AM AB BM AB 2 BC 3 AB 1 BC4 4 4 3 4 2
3 AB 1 1 1 AC AB AB AC .故选：D.4 2 4 2
4.如图，在直角梯形 中， = 2 = 2 ， 为 边上一点， = 3 ， 为
的中点，则 =（ ）
A 1． 2 B． 2 + 1
3 3 3 3
C 1． + 2 D 2． 1
3 3 3 3
【答案】B
→ → → → → → → → → → → → →
【解析】由图可知： =
1 +1 ， =
2 ， 1 = ﹣ ， = + ， = ，2 2 3 2
→ 1 → 1 → 1 → → 2 → 1 →∴ =﹣ + （ + ﹣ ）=﹣ + ，故选 B．2 3 2 3 3
5.如图，正方形 ABCD中，M 是 BC的中点，若 AC AM BD，则 （ ）
4 5 15
A． B． C． D． 2
3 3 8
【答案】B
【解析】以 A为坐标原点建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，
uuur uuur
AC 1,1 , AM
uuur
由此， 1,
1
,BD 1,1
1
，故1 ,1 ，
2 2
4 1
解得 , , 5 .故选 B.
3 3 3
1 1
6.如图四边形 ABCD 为平行四边形， AE AB,DF FC，若 AF AC DE，则
2 2
的值为（ ）
1 2 1
A． B． C． D．1
2 3 3
【答案】D
【解析】选取 AB, AD为基底，
则 AF AD DF 1 AB AD，
3
1 又 AF AC DE AB AD AB AD AB AD，
2 2
将以上两式比较系数可得 1．故选 D．
3
7.如图，在平行四边形 ABCD中，E为 BC的中点，F 为DE的中点，若 AF xAB AD，
4
则 x ( )
3 2 1 1
A． B． C． D．
4 3 2 4
【答案】C
【解析】因为 F 为DE的中点，所以 AF
1
AD AE ，
2
1
而 AE AB BE AB 1 BC AB AD，
2 2
1 1 1 3
即有 AF AD AB AD
AB AD，又 AF xAB
3 1
AD，所以 x ．
2 2 2 4 4 2
故选：C．
二、填空题
1
8.如图，在 ABC中， BD BC ，点 E在线段 AD上移动（不含端点），若
3
1
AE AB AC ，则 的取值范围是_____．2
(10【答案】 , )
3
【解析】由题可知， BD 1 BC ，设 AE mAD 0 m 1 ，
3
1 1 则 AE m AB BC m AB BA AC AE 2m AB 1，所以 m AC， 3 3 3 3
2 1 1 m 3
而 AE AB AC ，可得： m, m，所以 0 m 1 ，3 3 2 3 m
设 f x m 3 0 m 1 ，
3 m
1 10
由双钩函数性质可知， f x 在 0,1 上单调递减，则 f x f 1 3 ，
3 3
1 10 10
所以 的取值范围是 ( , ) .故答案为： ( , ) .
2 3 3
9.在 ABC中，D 为线段 AB上一点，且 BD 3AD，若CD CA CB ，则
.
【答案】3
【解析】 BD 3AD
3 3 3 1
CD CB BD CB BA CB (CA CB) CA CB，
4 4 4 4
3 1
又Q CD CA CB， , ， 3，故选：34 4
10.在 ABC中， E为 AC上一点， AC 3AE， P为 BE 上任一点，若
3 1
AP mAB nAC(m 0,n 0)，则 的最小值是 .
m n
【答案】12
【解析】由题意可知： AP mAB nAC mAB 3nAE，
A,B,E三点共线，则：m 3n 1，据此有：
3 1 3 1 m 3n 6
9n m 6 2 9n m 12 ，
m n m n m n m n
1 1
当且仅当m ,n 时等号成立.
2 6
3 1
综上可得： 的最小值是 12.
m n
三、解答题
11.如图，△ABC AG BG中，AD为三角形 BC边上的中线且 AE＝2EC，BE交 AD于 G，求 及
GD GE
的值．
AG BG
解 设 ＝λ， ＝μ.
GD GE
∵B→D＝D→C → →，即AD－AB A→C A→＝ － D，
A→D 1(A→B A→∴ ＝ ＋ C)．
2
→ → → →
又∵AG＝λGD＝λ(AD－AG)，
A→ λ∴ G＝ A→D λ → λ＝ AB＋ A→C.
1＋λ 2 1＋λ 2 1＋λ
B→G μG→又∵ ＝ E →，即AG A→－ B＝μ(A→E →－AG)，
∴(1＋μ)A→G →＝AB＋μA→E →，AG 1＝ A→B μ A→＋ E.
1＋μ 1＋μ
→ 2→
又AE＝ AC，∴A→G 1＝ A→B 2μ A→＋ C.
3 1＋μ 3 1＋μ
∵A→B →，AC不共线，
λ 1
＝ ，
2 1＋λ 1＋μ λ＝4，
∴ λ 2μ 解之，得 3
＝ . μ＝ .
2 1＋λ 3 1＋μ 2
AG BG 3
∴ ＝4， ＝ .
GD GE 2
