6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
导学案
【学习目标】
1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系.
2.会两个向量的和差的坐标运算.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
【自主学习】
知识点 1 向量的正交分解及坐标表示
(1)向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，
取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量 a，
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，
我们把有序实数对(x，y)叫做向量 a的坐标，记作 a＝(x，y)，
此式叫做向量 a的坐标表示，其中 x叫做 a在 x轴上的坐标，y叫做 a在 y轴上的坐标．
(3)向量与坐标的关系
设O→A＝xi →＋yj，则向量OA的坐标(x，y)就是终点 A的坐标；
→
反过来，终点 A的坐标(x，y)就是向量OA的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，
即以原点为起点的向量与实数对是一一对应的．
知识点 2 平面向量加、减运算的坐标表示
已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)若点 A坐标为(x1，y1)，点 B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，
O→则 A＝(x1，y1)，O→B＝(x2，y2)，A→B＝O→B－O→A＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【合作探究】
探究一 平面向量的坐标表示
【例 1】在平面直角坐标系中，向量 a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量
a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
3 3 3
－ ，
[答案] ( 2， 2) 2 2 (2 3，－2)
[解析] 设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，c＝(c1，c2)．
a1＝|a|cos45° 2
2
＝ × ＝ 2，
2
a2＝|a|sin45°＝2 2× ＝ 2，
2
1
－
b1＝|b|cos120°＝3× 2 3＝－ ，
2
b 3 3 32＝|b|sin120°＝3× ＝ ，
2 2
c1＝|c|cos(－30°) 4
3
＝ × ＝2 3，
2
1
－
c2＝|c|sin(－30°)＝4× 2 ＝－2.
3 3 3
－ ，
∴a＝( 2， 2)，b＝ 2 2 ，c＝(2 3，－2)．
归纳总结：始点为坐标原点的向量的坐标由终点的坐标决定.一般可以借助三角函数的定义
来确定点的坐标，此时需明确点所在的象限，点到原点的距离，点与原点的连线与 x轴正方
向的夹角.
【练习 1】在平面直角坐标系中，|a|＝4，且 a如图所示，则 a的坐标为( )
A．(2 3，2)
B．(2，－2 3)
C．(－2,2 3)
D．(2 3，－2)
[答案]D
3
解析：x＝|a|·cos(－30°)＝4× ＝2 3，
2
y＝|a|·sin(－30°)＝4×( 1－ )＝－2.
2
探究二 平面向量加、减运算的坐标运算
【例 2】已知边长为单位长度的正方形 ABCD，若 A点与坐标原点重合，边 AB、AD分别落
在 x轴、y轴的正方向上，则向量A→B－B→C＋A→C的坐标为________．
[答案] (2,0)
[解析] 根据题意建立平面直角坐标系(如图)，则各顶点的坐标分别为 A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，
D(0,1) → → → → → →，所以AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)，所以AB－BC＋AC＝(1,0)－(0,1)＋(1,1)＝(2,0)．
[答案] (2,0)
归纳总结：
1 向量的坐标运算主要是利用加法、减法运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，
则应先求出向量的坐标，要注意三角形法则及平行四边形法则的应用.
2 若是给出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.
【练习 2】已知 ABCD的三个顶点 A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，
求顶点 D的坐标．
[答案] (2,2)
→ →
解：设顶点 D 的坐标为(x，y)，在 ABCD中，AD＝BC，
A→又 D＝(x＋2，y－1) B→， C＝(4,1)，
∴(x＋2，y－1)＝(4,1)，
x＋2＝4， x＝2，
即 解得
y－1＝1， y＝2，
∴顶点 D的坐标为(2,2).
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．
2 →．如果用 i，j分别表示 x轴和 y轴方向上的单位向量，且 A(2,3)，B(4,2)，则AB可以表示为
( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
答案：C
→ →
解析：记 O为坐标原点，则OA＝2i＋3j，OB＝4i＋2j →，所以AB＝O→B →－OA＝2i－j.
3 → →．若AB＝(1,1)，AD＝(0,1)，B→C →＋CD＝(a，b)，则 a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：A
→
解析：BC＋C→D B→D →＝ ＝AD A→－ B＝(0,1)－(1,1)＝(－1,0)，故 a＝－1，b＝0，a＋b＝－1.
4．已知 O → →是坐标原点，点 A在第二象限，|OA|＝2 3，∠xOA＝120°，则向量OA的坐标为
( )
A．(－ 3，3) B．(3， 3)
C．(3，－ 3) D．(－ 3，－3)
答案：A
→
解析：设点 A(x，y)，则 x＝|OA|cos120°＝2 3cos120°＝－ 3，
y＝|O→A|sin120°＝2 3sin120°＝3.
即 A(－ 3，3) →，∴OA＝(－ 3，3)．
5．已知 P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，
则 P∩Q＝( )
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
答案：A
解析：本题主要考查向量知识及集合的运算．根据题意知，(1,0)＋m(0,1)＝(1,1)＋n(－1,1)，
1＝1－n n＝0
∴有 ，解得 .
m＝1＋n m＝1
∴P∩Q＝{(1,1)}．
6．已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,1)，则 b－a等于( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
答案 B
解析 b－a＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选 B.
7 →．已知MN＝(2,3)，则点 N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
答案：D
解析：因为点 M的位置不确定，则点 N的位置也不确定．
8．已知向量 a，b满足 a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则 a，b的坐标分别为( )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
答案：C
解析：2a＝(a＋b)＋(a－b)＝(4,0)，于是 a＝(2,0)，所以 b＝(－1，3)．
9 →．向量OA＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点 A在第四象限时，x的取值范围是( )
A．x>0 B．x<1
C．x<0或 x>1 D．0答案：D
2x>0
解析：由 A点在第四象限，所以 ，解得 0x－1<0
二、填空题
10．若向量 a＝(2x－1，x2＋3x－3)与A→B相等，已知 A(1,3)，B(2,4)，则 x＝ .
答案：1
→ →
解析：∵AB＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，AB＝a，
2x－1＝1，
∴ 解得 x＝1.
x2＋3x－3＝1，
11．在平行四边形 ABCD中，AC为一条对角线．若A→B＝(2,4)，A→C＝(1,3)，则B→D等于 .
答案 (－3，－5)
A→C A→解析 ∵ ＝ B →＋AD，∴A→D A→＝ C－A→B＝(－1，－1)，
∴B→D →＝AD－A→B＝(－3，－5)．
12.已知点 A(0,1)， B (2,5)，C(x, 3)，则向量 AB的坐标是________；若 A，B，C三点
共线，则实数 x =________.
答案及解析：(2,4) －2
【分析】
利用点 A和点 B的坐标直接求出向量 AB的坐标；再由共线定理求出求出 x即可.
【详解】因为 A(0,1)， B (2,5)，所以 AB 2 0,5 1 2,4 ；
向量 AC x 0, 3 1 x, 4 ，
因为 A，B，C三点共线，所以 AB//AC，
所以 2 4 4x 0，解得 x 2
故答案为： 2,4 ； 2
13.已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 AC ( 4, 3)，则向量 AB ____，向量BC ____．
答案及解析：(3,1) (－7,－4)；
【分析】
由点 A(0,1)，B(3, 2)，向量 AC ( 4, 3)，先求出点C坐标为 ( 4, 2)，由此利用平面向
量坐标运算法则能求出向量 AB和向量 BC．
【详解】 点 A(0,1)， B(3, 2)，向量 AC ( 4, 3)，
点C坐标为 ( 4, 2)， 向量 AB (3,1)，向量 BC ( 7, 4)．
三、解答题
14 →．已知 O是坐标原点，点 A在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°.
(1) →求向量OA的坐标．
(2)若 B( 3 →，－1)，求BA的坐标．
解：(1)设点 A(x，y)，
则 x＝4 3cos60°＝2 3，y＝4 3sin60°＝6，
A(2 3 6) O→即 ， ， A＝(2 3，6)．
(2)B→A＝(2 3，6)－( 3，－1)＝( 3，7)．
B 组 能力提升
一、填空题
1.设 m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定向量 m，n 之间的一个运算“ ”为 m n＝(ac－bd，ad＋
bc)．已知 p＝(1,2)，p q＝(－4，－3)，则 q＝ ．
答案：(-2,1)
解析：设 q＝(x，y)，则 p q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)，
x－2y＝－4，
所以
y＋2x＝－3.
x＝－2，
解得
y＝1.
2.设OA (1, 2)，OB (a, 1)，OC ( b,0)，a 0，b 0，O为坐标原点，若 A、
1 1
B、C三点共线，则 的最小值是_______．
a b
答案及解析：3 2 2
【分析】
根据 A,B,C三点共线求得 a,b的的关系式，利用基本不等式求得所求表达式的最小值.
【详解】依题意 AB a 1,1 ,AC b 1,2 ，由于 A,B,C三点共线，所以
a 1 2 b 1 1，化简得 2a b 1，故
1 1
2a 1 1 b 2a b 3 3 2 b 2aa b a b a b 3 2 2，当且仅当 a b
b 2a
2，即 a 1 ,b 2 1时，取得最小值
a b 3 2 22
三、解答题
3．已知向量 u＝(x，y)与向量 v＝(y,2y－x)的对应关系记作 v＝f(u)．
(1)求证：对任意向量 a，b与常数 m，n恒有 f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)；
(2)若 a＝(1,1)，b＝(1,0)，用坐标表示 f(a)和 f(b)；
(3)求使 f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量 c的坐标．
解：(1)证明：设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 ma＋nb＝(mx1＋nx2，my1＋ny2)，
所以 f(ma＋nb)＝(my1＋ny2，2(my1＋ny2)－(mx1＋nx2))，
而 mf(a)＋nf(b)＝m(y1,2y1－x1)＋n(y2,2y2－x2)
＝(my1,2my1－mx1)＋(ny2,2ny2－nx2)
＝(my1＋ny2,2(my1＋ny2)－(mx1＋nx2))，
所以 f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝(1,2－1)＝(1,1)，
f(b)＝(0,0－1)＝(0，－1)．
(3)设 c＝(x，y)，则 f(c)＝(y,2y－x)，
y＝p x＝2p－q
令 ，解方程组，得 .
2y－x＝q y＝p
所以 c＝(2p－q，p)．6．3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6．3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
导学案
【学习目标】
1.能用坐标表示向量，知道平面向量基本定理中向量与有序实数对的一一对应关系.
2.会两个向量的和差的坐标运算.
3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．
【自主学习】
知识点 1 向量的正交分解及坐标表示
(1)向量的正交分解
把一个向量分解为 的向量，叫做把向量作正交分解．
(2)向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，设与 x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，
取{i，j}作为基底，对于平面内的任意一个向量 a，
由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj，
我们把有序实数对 叫做向量 a的坐标，记作 a＝ ，
此式叫做向量 a的坐标表示，其中 x叫做 a在 x轴上的坐标，y叫做 a在 y轴上的坐标．
(3)向量与坐标的关系
设O→A →＝xi＋yj，则向量OA的坐标 就是终点 A的坐标；
→
反过来，终点 A的 (x，y)就是向量OA的坐标．
因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序实数对唯一表示，
即以原点为起点的向量与实数对是 的．
知识点 2 平面向量加、减运算的坐标表示
已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：
(1)a＋b＝ ，a－b＝ ，
即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)．
(2)若点 A坐标为(x1，y1)，点 B坐标为(x2，y2)，O为坐标原点，
O→A → → → →则 ＝ ，OB＝ ，AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝ ，
即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．
【合作探究】
探究一 平面向量的坐标表示
【例 1】在平面直角坐标系中，向量 a，b，c的方向如图所示，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，向量
a，b，c的坐标分别为_____，________，________.
归纳总结：
【练习 1】在平面直角坐标系中，|a|＝4，且 a如图所示，则 a的坐标为( )
A．(2 3，2)
B．(2，－2 3)
C．(－2,2 3)
D．(2 3，－2)
探究二 平面向量加、减运算的坐标运算
【例 2】已知边长为单位长度的正方形 ABCD，若 A点与坐标原点重合，边 AB、AD分别落
在 x轴、y →轴的正方向上，则向量AB－B→C →＋AC的坐标为________．
归纳总结：
【练习 2】已知 ABCD的三个顶点 A，B，C的坐标分别为(－2,1)，(－1,3)，(3,4)，
求顶点 D的坐标．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．给出下面几种说法：
①相等向量的坐标相同；
②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；
③一个坐标对应于唯一的一个向量；
④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应．
其中正确说法的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果用 i，j分别表示 x轴和 y轴方向上的单位向量，且 A(2,3)，B(4,2) →，则AB可以表示为
( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
3 A→．若 B＝(1,1)，A→D＝(0,1) B→C C→， ＋ D＝(a，b)，则 a＋b＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4．已知 O → →是坐标原点，点 A在第二象限，|OA|＝2 3，∠xOA＝120°，则向量OA的坐标为
( )
A．(－ 3，3) B．(3， 3)
C．(3，－ 3) D．(－ 3，－3)
5．已知 P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，
则 P∩Q＝( )
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
6．已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,1)，则 b－a等于( )
A．(－2,1) B．(2，－1)
C．(2,0) D．(4,3)
7 →．已知MN＝(2,3)，则点 N位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．不确定
8．已知向量 a，b满足 a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则 a，b的坐标分别为( )
A．(4,0)，(－2,6) B．(－2,6)，(4,0)
C．(2,0)，(－1,3) D．(－1,3)，(2,0)
9 →．向量OA＝(2x，x－1)，O为坐标原点，则点 A在第四象限时，x的取值范围是( )
A．x>0 B．x<1
C．x<0或 x>1 D．0二、填空题
10．若向量 a＝(2x－1 →，x2＋3x－3)与AB相等，已知 A(1,3)，B(2,4)，则 x＝ .
11 → →．在平行四边形 ABCD中，AC为一条对角线．若AB＝(2,4)，AC＝(1,3) →，则BD等于 .
12.已知点 A(0,1)， B (2,5)，C(x, 3) ，则向量 AB的坐标是________；若 A，B，C三点
共线，则实数 x =________.
13.已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量 AC ( 4, 3)，则向量 AB ____，向量BC ____．
三、解答题
14 →．已知 O是坐标原点，点 A在第一象限，|OA|＝4 3，∠xOA＝60°.
(1) →求向量OA的坐标．
(2) →若 B( 3，－1)，求BA的坐标．
B 组 能力提升
一、填空题
1.设 m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定向量 m，n之间的一个运算“ ”为
m n＝(ac－bd，ad＋bc)．已知 p＝(1,2)，p q＝(－4，－3)，则 q＝ ．
2.设OA (1, 2)，OB (a, 1)，OC ( b,0)，a 0，b 0，O为坐标原点，若 A、
1 1
B、C三点共线，则 的最小值是_______．
a b
三、解答题
3．已知向量 u＝(x，y)与向量 v＝(y,2y－x)的对应关系记作 v＝f(u)．
(1)求证：对任意向量 a，b与常数 m，n恒有 f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)；
(2)若 a＝(1,1)，b＝(1,0)，用坐标表示 f(a)和 f(b)；
(3)求使 f(c)＝(p，q)(p，q为常数)的向量 c的坐标．
