6.3.5平面向量数量积的坐标表示
导学案
【学习目标】
1.会用坐标表示平面向量的数量积.
2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.
3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.
【自主学习】
知识点 1 面向量数量积的坐标表示
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ .
即两个向量的数量积等于 .
知识点 2 平面向量长度(模)的坐标表示
(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21.
(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
知识点 3 两向量垂直的坐标表示
设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 a⊥b .
知识点 3 向量的夹角公式
设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为θ，
x x ＋y y
则 cos θ a·b 1 2 1 2＝ ＝ .
|a||b| x21＋y12 x22＋y22
【合作探究】
探究一 平面向量数量积的坐标运算
【例 1】已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求 a 的坐标； (2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.
归纳总结：
【练习 1】若 a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；
a·(b·c)＝____________.
探究二 向量的模的问题
→ →
【例 2】向量AB与向量 a＝(－3,4)的夹角为π，|AB|＝10，若点 A的坐标是(1,2)，则点 B的坐
标为( )
A．(－7,8) B．(9，－4)
C．(－5,10) D．(7，－6)
归纳总结：
【练习 2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为 BC边上的高，求|A→D|
与点 D的坐标．
探究三 向量的夹角与垂直问题
【例 3-1】已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是
( )
A．(－∞，－2)∪( 1－2， ) B．(1，＋∞)
2 2
C 2 2 1．(－2， )∪( ，＋∞) D．(－∞， )
3 3 2
【例 3-2】已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝________.
【例 3-3】已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π B.π C.π D.π
6 4 3 2
归纳总结：
【练习 3-1】已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a 与 b 的夹角为直角；
(2)a 与 b 的夹角为钝角；
(3)a 与 b 的夹角为锐角．
【练习 3-2】设向量 a 与 b 的夹角为θ，且 a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，cosθ＝________.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1.若单位向量 a,b满足 a b，向量 c满足 a c b 1，且向量b,c的夹角为 60°，则 c
（ ）
1
A. B. 2 C. 2 3 D.
2 33
2.已知向量 a m, 2 ,b ( 3,1)，若向量 a在向量b方向上的投影为－2，则向量 a与向量
b的夹角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.已知向量 a,b满足 | a | 1,| b | 3，且 a与b的夹角为 ，则6 | 2a b | （ ）
1
A. B. 13 C. 1 D. 132
1
4.已知 a b , b 1，则 a在b方向上的射影为（ ）2
1 2
A. B. - 1 C. D.
2 2 3 3
5.已知向量 a 5,m ，b 2, 2 ，若 a b b，则实数 m = ( )
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
6.已知向量 a，b满足 a
1， b 2 ，且 a与b的夹角为 ，则向量3 a b与b的夹角为
（ ）
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
7.若 | a | 2， | b |= 1，且a (a 4b)，则向量 a,b的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
8.已知非零向量 a、b满足 a 2 b ，且 (a b) b，则 a与b的夹角为（ ）
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
9.设非零向量m，n则“m n ”是“ m 2n m 2n ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题
10.已知单位向量 a，b 满足 | a b | 3，则 a与b 的夹角是_________.
11.若向量 a 1,2 ，b 2,1 ，则 a b与 a b的夹角等于______.
12. 向量 a 1,0 2，b 1,m ，若 a ma b ，则m _________.
2
13.已知单位向量 e1 ，e2 的夹角是 ，向量 a 3e1 e2 ，若 a e2 ，则实数 ________.3
三、解答题
14.已知向量 a与向量b的夹角为 ，且 a 1， 2a b 7 .3
（1）求 a b；
（2）若 a b a b ，求
15.已知平面向量m 3 sin x, 2sin x ， n 2cos x,sin x ， 0，函数
f x m n 图象的两条相邻的对称轴之间的距离是 ．
2
（Ⅰ）求函数 f(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间 , 上的最值． 6 4
B 组 能力提升
一、选择题
1.非零向量m,n满足： m n m ,m (m n) 0 ，则m n与 n夹角的大小为（ ）
3 2
A. B. C. D.
4 3 3 4
2.已知向量 b 1, 3 ，向量 a在 b 方向上的投影为-4，若 a b b，则实数 的值
为（ ）
1 1 2
A. 3 B. C. D.
2 3 3
3.已知向量 a cos ,sin 5 ，b 1, 2 ，若 a与b的夹角为 ，则 a b （ ）6
A. 2 B. 7 C. 2 D. 1
4.如图所示，在 OAB OAB 中，设 P为 的外心，向量OA a，OB b，OP p，若 a 4，
b 2，则 p a b
等于（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 1
5.已知 a、b、c是在同一平面内的单位向量，若 a与b的夹角为 60°，则
a b a 2c
的最大值是（ ）
1 5
A. B. －2 C. 3 D.
2 2 2
二、填空题
6.如图，在平面四边形 ABCD中， CAD ， AD 2， AB BC CA 4，E、F分别
2
为边 BC、CD的中点，则 AE AF ______．
1 1
7.在△ABC中，若 BAC 120 ， BA 2，BC 3， BM BC BA，则
3 2
MA MC ______.
8.在锐角△ABC中，点 D、E、F分别在边 AB、BC、CA上，若 AB 3AD， AC AF，
且 BC ED 2EF ED 6， ED 1，则实数 的值为_______．
9.已知 AB AC， AB
1
， AC t ,若点 P是△ABC所在平面内一点，且
t
AP A B 4 A C
AB AC ，则 PB PC的最大值等于________.
三、解答题
3 3 x x
10.已知向量 a (cos x,sin x)，b (sin , cos )（ x k ， k Z ），令
2 2 2 2
f (x) ( a
2
b) （ R）.
a b
( a b)2
（1）化简 f (x) ，并求当 1时方程 f (x) 2的解集；
a b
（2）已知集合 P {h(x) | h(x) h( x) 2，D是函数 h(x)与 h( x)定义域的交集且 D不
是空集}，判断元素 f(x)与集合 P的关系，说明理由.
C 组 挑战压轴题
一、选择题
1.设 a，b， c为非零不共线向量，若 a tc 1 t b a c t R 则（ ）
A. a b a c B. a b b c
C. b c a b D. a c b c
2.已知△ABC中， AB 4， AC 4 3， BC 8，动点 P自点 C出发沿线段 CB运动，
到达点 B时停止，动点 Q自点 B出发沿线段 BC运动，到达点 C时停止，且动点 Q的速度
是动点 P的 2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中
AP AQ的最大值是（ ）
7 49
A. B. 4 C. D. 23
2 2
二、填空题
3.已知平面向量 a,b ,e满足 | e | 1， a e 1，b e 1， |a b | 4，则 a b的最小值为
_____
4.已知平面向量 a、b、c满足 b 2 a 1、 c 2， c 4a c 4b 0，则 2a b
的取值范围是______.
5. △ABC是等腰直角三角形， A 90 ，BC 2，点 D满足DA AC，点 E是 BD
所在直线上一点.如果CE xCA yCB，则 x 2y __________；CA在CE上的投影的取
值范围是__________.
6.在面积为 1的平行四边形 ABCD中， DAB ，则
6 AB BC
___________；点 P是
2 2
直线 AD上的动点，则 PB PC PB PC的最小值为___________.6.3.5平面向量数量积的坐标表示
导学案
【学习目标】
1.会用坐标表示平面向量的数量积.
2.能够用向量坐标求数量积、模及两个向量的夹角.
3.能够利用坐标判断向量的垂直关系.
【自主学习】
知识点 1 面向量数量积的坐标表示
若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2.
即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．
知识点 2 平面向量长度(模)的坐标表示
(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x12＋y21.
(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
知识点 3 两向量垂直的坐标表示
设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则 a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
知识点 3 向量的夹角公式
设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为θ，
x x ＋y y
则 cos θ a·b 1 2 1 2＝ ＝ .
|a||b| x12＋y21 x22＋y22
【合作探究】
探究一 平面向量数量积的坐标运算
【例 1】已知 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10.
(1)求 a 的坐标；
(2)若 c＝(2，－1)，求 a(b·c)及(a·b)c.
解 (1)设 a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有 a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4)．
(2)∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，
∴a(b·c)＝0a＝0，
(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．
归纳总结：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有
两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律
将原式展开，再依据已知计算.
【练习 1】若 a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝____________；a·(b·c)＝
____________.
答案 (－16，－8) (－8，－12)
解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，
∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)．
探究二 向量的模的问题
→ →
【例 2】向量AB与向量 a＝(－3,4)的夹角为π，|AB|＝10，若点 A的坐标是(1,2)，则点 B的坐
标为( )
A．(－7,8) B．(9，－4)
C．(－5,10) D．(7，－6)
[解析] (1)∵向量A→B与向量 a＝(－3,4)的夹角为π，
∴设A→B＝ka＝k(－3,4)＝(－3k,4k)(k<0)．
|A→由此可得 B|＝ －3k 2＋ 4k 2＝10，
解之得 k＝－2(k＝2舍去)．
∴A→B＝(6，－8)，
设 B(m，n) A→，得 B＝(m－1，n－2)＝(6，－8)，
m－1＝6
则有 解得 m＝7，n＝－6，
n－2＝－8，
∴B(7，－6)，故选 D.
归纳总结：
(1)要求向量的模需先由条件求出向量的坐标，再求模．
(2)已知向量的模求坐标，要设出坐标列方程(组)求解．
【练习 2】已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为 BC边上的高，求|A→D|
与点 D的坐标．
解 设点 D的坐标为(x，y)，
A→则 D＝(x－2 →，y＋1)，BC＝(－6，－3)，
B→D＝(x－3，y－2)，
→ →
∵D在直线 BC上，即BD与BC共线，
→ →
∴存在实数λ，使BD＝λBC，
即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
x－3＝－6λ，
∴
y－2＝－3λ.
∴x－3＝2(y－2)，即 x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC → →，∴AD·BC＝0，
即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.
即 2x＋y－3＝0.②
x＝1，
由①②可得
y＝1，
→
即 D点坐标为(1,1)，AD＝(－1,2)．
∴|A→D|＝ －1 2＋22＝ 5，
即|A→D|＝ 5，D(1,1)．
探究三 向量的夹角与垂直问题
【例 3-1】已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是
( )
A 1．(－∞，－2)∪(－2， )
2
B．(1，＋∞)
2
C 2 2．(－2， )∪( ，＋∞)
3 3
D 1．(－∞， )
2
[答案] A
[解析] ∵a 与 b 的夹角θ为锐角，
∴cosθ>0且 cosθ≠1，即 a·b>0且 a 与 b 方向不同，
即 a·b＝1－2λ>0，且 a≠mb(m>0)，
1
解得λ∈(－∞，－2)∪(－2， )．故选 A.
2
【例 3-2】已知向量 a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量 a＋b 与 a 垂直，则 m＝________.
[答案] 7
[解析] 因为 a＋b＝(m－1,3)，a＋b 与 a 垂直，
所以(m－1)×(－1)＋3×2＝0，
解得 m＝7.
【例 3-3】已知 a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则 a 与 b 的夹角为( )
A.π B.π C.π D.π
6 4 3 2
答案 B
解析 ∵|a|＝ 10，|b|＝ 5，a·b＝5.
cos a b a·b 5 2∴ 〈 ， 〉＝ ＝ ＝ .
|a||b| 10× 5 2
又∵a，b 的夹角范围为[0，π]．
∴a π与 b 的夹角为 .
4
归纳总结：根据向量的坐标表示求 a 与 b的夹角时，需要先求出 a·b 及|a|，|b|，再求夹
角的余弦值，从而确定θ.
【练习 3-1】已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a 与 b 的夹角为直角；
(2)a 与 b 的夹角为钝角；
(3)a 与 b 的夹角为锐角．
解 设 a 与 b 的夹角为θ，
则 a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 cos θ＝0，
所以 a·b＝0 1，所以 1＋2λ＝0，所以λ＝－ .
2
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos θ<0且 cos θ≠－1，
所以 a·b<0且 a 与 b 不反向．
1
由 a·b<0得 1＋2λ<0，故λ<－ ，
2
由 a 与 b 共线得λ＝2，故 a 与 b 不可能反向．
1
－∞，－
所以λ的取值范围为 2 .
(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cos θ>0，且 cos θ≠1，
所以 a·b>0且 a，b 不同向．
由 a·b>0，得λ> 1－ ，由 a 与 b 同向得λ＝2.
2
1
－ ，2
所以λ的取值范围为 2 ∪(2，＋∞)．
【练习 3-2】设向量 a 与 b 的夹角为θ，且 a＝(3,3)，2b－a＝(－1，－1)，cosθ＝________.
[答案] 1
[ 1 1解析] b＝ a＋ (－1，－1)＝(1,1)，
2 2
a·b＝6.又|a|＝3 2，
cosθ a·b 6所以 ＝ ＝ ＝1.
|a|·|b| 6
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1.若单位向量 a,b满足 a b，向量 c满足 a c b 1，且向量b,c的夹角为 60°，则 c
（ ）
1
A. B. 2 C. 2 3 D.
2 33
【答案及解析】：B
【分析】
由向量垂直得其数量积为 0，从而由向量数量积的运算律可求得 c b，再由数量积的定义可
得模．
【详解】因为 a b，所以a b 0，因为 a c b a b c b c b =1，所以
1 c b = c b cos60 = c =1，所以 c 2，
2
故选：B.
2.已知向量 a m, 2 ,b ( 3,1)，若向量 a在向量b方向上的投影为－2，则向量 a与向量
b的夹角是（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案及解析】：C
【分析】
由已知结合向量数量积的定义可求m，然后根据向量夹角公式即可求解．
【详解】解：由数量积的定义知向量 a在向量b方向上的投影为
| a | cos a,b a b 3m 2 2，所以
2 m 2 3
，
|b |
所以 cos a,b a b 6 2 1 ，所以夹角 a,b 120 .
| a ||b | 4 2 2
故选：C.
3.已知向量 a,b满足 | a | 1,| b | 3，且 a与b的夹角为 ，则6 | 2a b | （ ）
1
A. B.
2 13
C. 1 D. 13
【答案及解析】：C
【分析】
根据 | 2a b | 4a 2 4a b b 2 求解即可.
【详解】解析： | 2a b | 4a 2 4a b b 2 4 4 3 1 3 3 1 .
2
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积与模长的运算等，属于基础题.
1
4.已知 a b , b 1，则 a在b方向上的射影为（ ）2
1 2
A. B. - 1 C. D.
2 2 3 3
【答案及解析】：B
【分析】
a b
由于 a在b方向上的射影为 ，代入值直接求解即可.b
【详解】解：因为 a 1 b , b 1，
2
1
所以 a在b方向上的射影为 a b 1 = 2 ，
b 1 2
故选：B
5.已知向量 a 5,m ，b 2, 2 ，若 a b b，则实数 m= ( )
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
【答案及解析】：B
【分析】
根据向量坐标的线性运算得到 a b，再根据向量垂直的坐标表示，得到关于m的方程，解
出m的值，得到答案.
【详解】因为向量 a 5,m ，b 2, 2
所以 a b 3,m 2 ，
因为 a b b，
所以 a b b 0
所以6 2 m 2 0
解得m 1.
故选：B.
6.已知向量 a，b满足 a 1， b 2，且 a与b的夹角为 ，则向量 a b与b的夹角为3
（ ）
2 5
A. B. C. D.
6 3 3 6
【答案及解析】：D
【分析】
2 a b b
先求 a b，进而可求 (a b)b，再求 a b ，即可求 a b ，利用 cos 结合a b b
0, ，即可求解.
【详解】 a b a b cos 1 1 2 1，
3 2
a b 2 2 2 a b 2a b 1 5 2 1 2 3，2
a b ·b a b b 2 1 4 3，
设向量 a b与b的夹角为 ，
a b b
cos 3 3 ，
a b b 2 3 2
因为 0, ，
5 所以 ，
6
5
所以 a b与b的夹角为 .6
故选：D
7.若 | a | 2， | b |= 1，且a (a 4b)，则向量 a,b的夹角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案及解析】：B
【分析】
由向量垂直则数量积为零，求得 a b 1，再根据夹角公式求得结果.
【详解】根据题意，由于向量 | a | 2， | b |= 1，且a (a 4b)，
2
a (a 4b) 0 a 4a b 0 ， a b 1，
故 cos a b 1 a,b ，又向量夹角的范围为 0, ，
| a | | b | 2
故可知向量 a,b的夹角为 60 .
故选：B．
8.已知非零向量 a、b满足 a 2 b ，且 (a b) b，则 a与b的夹角为（ ）
2
A. B. C. D.
6 4 3 3
【答案及解析】：C
【分析】
由 (a b) b，可得 a b b 0 .根据数量积的运算律和定义，可求 a与b的夹角.
【详解】 a,b是非零向量，且 (a b) b，
2 2
a b b 0, a b b 0, a b b ，
设 a与b的夹角为 ，则0 .
2
2 b
a b cos b , a 1 2 b , cos ，
a b 2
.
3
故选：C
9.设非零向量m，n则“m n ”是“ m 2n m 2n ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案及解析】：C
【分析】
根据m n可得m n 0，由 m 2n m 2n 也可得m n 0，再根据充分条件和必要
条件的定义来判断即可.
【详解】因为m n，
所以m n 0，
因为 m 2n m 2n ，
2 2 2 2
两边平方可得：m 2m n 4n m 2m n 4n
即m n 0，
由充分条件和必要条件可判断出m n是 m 2n m 2n 的充分必要条件
故选：C
二、填空题
10.已知单位向量 a，b 满足 | a b | 3，则 a与b 的夹角是_________.
【答案及解析】：
3
【分析】
将 a+b 3两边平方，代值计算即可.
【详解】设 a 与b 的夹角是 ，由题意 a+b 3两边平方后，得： a2 b 2+2a b 3，
1
因为 a，b 为单位向量， 1 1+2cos 3， cos .2
0 ， .
3
故答案为： .
3
11.若向量 a 1,2 ，b 2,1 ，则 a b与 a b的夹角等于______.
【答案及解析】：
2
【分析】
求出 a b与 a b的坐标，由两垂直向量的数量积关系即可判断.
【详解】 a b 3,3 ， a b 1,1 ，
a b a b =0， a b a b ， a b与 a b的夹角等于 .2
故答案为：
2
12. 向量 a 1,0 ，b 1,m2 ，若 a ma b ，则m _________.
【答案及解析】：1
【分析】
利用向量垂直的表示列方程，解方程求得m的值.
2
【详解】因为ma b m 1, m ，且 a ma b 0，故m 1 0，解得m 1.
故答案为：1
2
13.已知单位向量 e1 ，e2 的夹角是 ，向量 a 3e1 e2 ，若 a e2 ，则实数 ________.3
3
【答案及解析】：
2
【分析】
根据题设知 (3e 2 1 e2 ) e2 0，又单位向量 e1 ， e2 的夹角是 ，即可得方程求 值3
【详解】由向量 a 3e1 e2 ， a e2 ，知： (3e1 e2 ) e2 0
2 2
∴3e e e 0，而单位向量 ， 的夹角是1 2 2 e1 e2 3
∴3 cos 2 0 3，解得
3 2
3
故答案为：
2
三、解答题
14.已知向量 a与向量b的夹角为 ，且 a 1， 2a b 7 .3
（1）求 a b；
（2）若 a b a b ，求
3 5
【答案及解析】：（1） ；（2）
2 21
【分析】
（1）对 2a b 7 进行平方，然后利用平面向量数量积的运算性质，结合平面向量数量
积的定义进行求解即可；
（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质和（1）的结论进行求解即
可.
2 2
【详解】（1）由 2a b 7 得 4a 4a b b 7，
已知向量 a与向量b的夹角为 ，且 a 1，3
2
所以化简得； b 2 b 3 0；
解得 b 3或 b 1（舍去）
∴ b 3；
a b a b cos 1 3 1 3
3 2 2
（2）由 (a b) (a b) 0得
2 2
a (1 )a b b 0 1 (1 ) 3 9 5 0
2 21
15.已知平面向量m 3 sin x, 2sin x ， n 2cos x,sin x ， 0，函数
f x m n 图象的两条相邻的对称轴之间的距离是 ．
2
（Ⅰ）求函数 f(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）求函数 f(x)在区间 ,
上的最值．
6 4
5
【答案及解析】：（Ⅰ） k ,k
k Z ；（Ⅱ）最小值为 1，最大值为 3 1. 3 6
【分析】
（Ⅰ）利用向量数量积的坐标运算、二倍角公式、辅助角公式化简 f x 表达式，结合 f x
图象的两条相邻的对称轴之间的距离求得 ，利用整体代入法求得 f x 的单调减区间.
（Ⅱ）利用三角函数最值的求法，求得函数 f x 在区间 , 上的最值． 6 4
【详解】（Ⅰ） f x m n 2 3 sin x cos x 2sin 2 x
3 sin 2 x cos 2 x 1 2sin 2 x
1 .
6
由于 f x T 图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 ，即 T ，
2 2 2
2
由于 0，所以T 1 .
2
所以 f x 2sin 2x
1
6
3
由 2k 2x 2k ，
2 6 2
解得 k x k 5 ，
3 6
所以 f x 5 的单调递减区间为 k ,k 3 6
k Z .
（Ⅱ）因为 x ，所以 2x ，
6 4 2 6 3
1 sin 2x 3 2 2sin
所以 ， 2x
3，
6 2 6
1 2sin 2x
1 3 1 .
6
所以 f x 在区间 , 6 4
上的最小值为 1，最大值为 3 1.
B 组 能力提升
一、选择题
1.非零向量m,n满足： m n m ,m (m n) 0，则m n与 n
夹角的大小为（ ）
3 2
A. B. C. D.
4 3 3 4
【答案及解析】：.A
【分析】
由m (m n) 0得向量垂直， m n m ，作图表示向量m n和m，由向量减法法则
得 n，从而可得夹角．
【详解】因为m (m n) 0，所以m (m n)，
如图OA m,OB m n，则 BA m (m n)，
又 m n m ，所以 OBA ，
4
3
所以m n与n夹角，即OB,BA的夹角为 ．4
故选：A．
【点睛】本题考查求向量的夹角，考查向量垂直与数量积的关系，本题采取几何作图法得出
向量的夹角，方法简便．
2.已知向量 b 1, 3 ，向量 a在 b 方向上的投影为-4，若 a b b，则实数 的值
为（ ）
1 1 2
A. 3 B. C. D.
2 3 3
【答案及解析】：B
【分析】
由 b 1, 3 ，根据向量模的方法求得 b ，再根据 a在 b 方向上的投影为-4，求得
a b 4 b ，最后根据平面向量垂直的性质，即可求出实数 的值.
2
【详解】解：由题可知 b 1, 3 ，则 b 1 3
2
2，
∵ a在 b方向上的投影为 4，
a b
4
∴ ，则 a b 4 b ，
b
又 a b b
，∴ a b b 0，
2
2
即 a b b 0，即 4 b b 0，
则 8 4 0 1，解得： .
2
故选：B.
3.已知向量 a cos ,sin ，b 1, 2 5 ，若 a与b的夹角为 ，则 a b （ ）6
A. 2 B. 7 C. 2 D. 1
【答案及解析】：B
【分析】
r r r 2
求出 a 、 b ，利用平面向量数量积的运算性质求出 a b 的值，即可得解.
【详解】 a cos ,sin ，b 1, 2 2，则 a cos sin2 1，同理 b 3，
2a b a b 2 a 2 2a b b2 a 2 2 a b cos 5 2 3 b 1 2 1 3 6 3 7 2
，
因此， a b 7 .
故选：B.
4.如图所示，在 OAB中，设 P为 OAB
的外心，向量OA a，OB b，OP p，若 a 4，
b 2，则 p a b
等于（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D. 1
【答案及解析】：A
【分析】
1
取 AB中点C ，根据平面向量线性运算将所求数量积化为 a b a b2
，根据数量积的
运算律可求得结果.
【详解】取 AB中点C，连接CP,OC，
P为 OAB的外心， CP为 AB的垂直平分线，
p a b
OP BA OC CP BA OC BA CP BA ，
1
CP AB ， CP BA 0，又OC a b ， BA a b ，2
1
2 2
p a b a b a b
1 1
a b 16 4 6 .
2 2 2
故选： A .
5.已知 a、b、c是在同一平面内的单位向量，若 a与b的夹角为 60°，则 a b a 2c
的最大值是（ ）
1 5
A. B. 3－2 C. D.
2 2 2
【答案及解析】：D
【分析】
计算出 a b 的值，设向量 a b与 c的夹角为 ，利用平面向量数量积运算律和定义可求得
a b a 2c 的最大值.
a b a b cos60 1【详解】 单位向量 a与b的夹角为60 ，则 ，2
2 2 2 r r
a b 1 a 2a b b 1 2 1 1，则 a b 1，
2
所以，
a b 2a 2c a a b 2 a b c 1 1 2 a b c cos 1 2cos 1 5 2 2 2 2 2
.
故选：D.
二、填空题
6.如图，在平面四边形 ABCD中， CAD ， AD 2， AB BC CA 4，E、F分别
2
为边 BC、CD的中点，则 AE AF ______．
【答案及解析】：6 3
【分析】
以点 A为坐标原点，CA、 AD分别为 x轴、 y轴的正方向建立平面直角坐标系 xAy，计
算出 AE 、 AF 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算计算出 AE AF 的值.
【详解】以点 A为坐标原点，CA、AD分别为 x轴、 y轴的正方向建立如下图所示的平面
直角坐标系 xAy，
uuur uuur
则点 A 0,0 、F 2,1 、 E 3, 3 ， AF 2,1 ， AE 3, 3 ，
uuur uuur
因此， AE AF 2 3 1 3 6 3 .
故答案为：6 3 .
【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，一般利用基底法和坐标法进行计算，考查计算能
力，属于中等题.
1 1
7.在△ABC中，若 BAC 120 ， BA 2，BC 3， BM BC BA，则
3 2
MA MC ______.
6 3
【答案及解析】：
2
【分析】
1 1
利用余弦定理可求得 AC 6 1 ,建立平面直角坐标系,根据 BM BC BA求出M3 2
的坐标,进而求得MA MC 即可.
【详解】由余弦定理可得 BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos120 ,即 AC 2 2AC 5 0 ,
因为 AC 0 ,故解得 AC 6 1 .
过 B作 BO垂直 AC的延长线于O ,再以O为坐标原点,OC为 x轴, OB为 y轴建立平面直
角坐标系.则C 6,0 , B 0, 3 , A(1,0) .
设M x, y ,因为 BM 1 BC 1 BA 1 1,故 x, y 3 6, 3 1, 33 2 3 2 ,
6 1 6 1
x x 3 2 3 2 M 6 1 3
故 ,解得 ,即 ,
3 3 3 3 2 6
.
y 3 y
3 2 6
MA MC 1 6 3
, 2 6 1 3
, 6 1 4 6 1 6 3故
2 3 6
3 2 6 3 4 3 6 12 2
6 3
故答案为：
2
8.在锐角△ABC中，点 D、E、F分别在边 AB、BC、CA上，若 AB 3AD， AC AF，
且 BC ED 2EF ED 6， ED 1，则实数 的值为_______．
【答案及解析】：3
【分析】
1 1 1
将 EF 表示为 EF BC AC，由题意得知 与 不垂直，由 可3 3
ED AC ED EF 3
1 1
得出 0，进而可求得实数 的值.
3
【详解】如下图所示：
1 1
AB 3AD， AC AF， AD AB， AF AC，3
EF ED AD AF ED 1
AB 1
1
AC ED AC AB 1 1 3 3 AC 3
ED 1 BC 1 1
AC，3 3
ABC是锐角三角形，则 ED与 AC不垂直，即 ED AC 0，
ED 1， ED BC 6，
则
2
ED EF ED ED
1
BC 1 1 AC 1 ED ED BC
1 1 ED AC
3 3 3 3
1 1 3
ED AC 3，
3
1 1
即 ED AC 0，
3
1 1
ED AC 0， 0，因此， 3 . 3
故答案为：3 .
1
9.已知 AB AC ， AB ， AC t ,若点 P是△ABC所在平面内一点，且t
AP A B 4 A C
AB AC ，则 PB PC的最大值等于________.
【答案及解析】：13
【分析】
1
建立直角坐标系，由向量式的几何意义易得 P的坐标，可化 PB PC为17 4t
，再
t
利用基本不等式求得它的最大值.
1
【详解】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得 A 0,0 , B ,0 ,C 0,t ,
t
AP A B 4A C
AB AC
P 1, 4 ,
1
PB 1, 4
，PC 1,t 4
t
PB PC 1 1
4 t 4 17
1
4t
17 1t t 2 4t 13
,
t
1 1
当且仅当 4t，即 t 时，取等号
t 2
PB PC的最大值为13 ,
故答案为：13 .
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.
三、解答题
3
10.已知向量 a (cos x,sin 3 x)，b (sin x , cos x)（ x k ， k Z ），令
2 2 2 2
f (x) ( a
2
b) （ R）.
a b
f (x) ( a b)
2
（1）化简 ，并求当 1时方程 f (x) 2的解集；
a b
（2）已知集合 P {h(x) | h(x) h( x) 2，D是函数 h(x)与 h( x)定义域的交集且 D不
是空集}，判断元素 f(x)与集合 P的关系，说明理由.
2 5
【答案及解析】：（1） f x 1 2 sin x ， x 2k 或 x 2k ， k Z ；
sin x 6 6
1
1
（2） 时， f (x) P， 时， f (x) P
2 2
【分析】
r r r r3 2
（1）直接将向量 a (cos x,sin 3 x)，b (sin x , cos x )代入 f (x) ( ar rb) 中化简，
2 2 2 2 a b
可求出 f (x)的解析式，再解方程 f (x) 2即可；
（2）由 f (x) f ( x) 2化简变形可得结果.
【详解】解：（1）因为 a (cos 3 x,sin 3 x)，b (sin x , cos x)，
2 2 2 2
3 x 2
( a b)2 ( cos x sin ) ( sin
3 x cos x) 2
所以 f (x) 2 2 2 2
a b cos 3 xsin x sin 3 xcos x
2 2 2 2
2 1 2 sin x
sin( x)
2 1 2 sin x
，
sin x
f (x) 2 2sin x当 1时， ，
sin x
由 f (x) 2得， sin x 1
2
x 5 解得 2k 或 x 2k ， k Z
6 6
5
所以方程的解集为 x x 2k 或 x 2k ,k Z
6 6
2
f (x) f ( x) 2 1 2 sin x
2 1 2 sin( x)
（2）当 时， 2，
sin x sin( x)
化简得， 2 1 2 sin x 2 1 2 sin x 2sin x
解得
1
，
2
1
所以当 时， f (x) P
1
，当 时， f (x) P
2 2
【点睛】此题考查向量的数量积和向量的加法运算，考查了三角函数恒等变形公式，属于中
档题.
C 组 挑战压轴题
一、选择题
1.设 a，b， c为非零不共线向量，若 a tc 1 t b a c t R 则（ ）
A. a b a c B. a b b c
C. b c a b D. a c b c
【答案及解析】：D
【分析】
2
a tc 1 t b a c 1 t c b a c ，化简得到 4 c b a c 0，
故 c b a c 0，得到答案.
【详解】 a tc 1 t b a c 1 t c b a c ，故
2 2a c 1 t c b a c ，化简整理得到：
2 2 1 t c b 2 1 t c b a c 0 ，
2 2 2 即 c b t 2 2 c b c b a c t c b 2 c b a c 0 ，
4
c b a c 2 0，故 c b a c 0，故 a c
b c .
故选：D.
2.已知△ABC中， AB 4， AC 4 3， BC 8，动点 P自点 C出发沿线段 CB运动，
到达点 B时停止，动点 Q自点 B出发沿线段 BC运动，到达点 C时停止，且动点 Q的速度
是动点 P的 2倍.若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则该过程中
AP AQ的最大值是（ ）
7 49
A. B. 4 C. D. 23
2 2
【答案及解析】：C
【分析】
由题意 BQ 2CP， AB AC , ABC 60 , ACB 30 ，故
AP AQ AC CP AB BQ ，展开可得关于 CP 的一元二次函数，配方，即可求得
AP AQ的最大值.
【详解】△ABC中， AB 4， AC 4 3， BC 8，
AB2 AC 2 BC 2 , AB AC , ABC 60 , ACB 30 .
由题意 BQ 2CP，
AP AQ AC CP AB BQ AC AB AC BQ CP AB CP BQ
0 AC 2CP cos30 CP AB cos60 CP 2CP cos180
3 1 2
4 3 2 CP CP 4 2 CP
2 2
2 2 CP 14 CP 2 CP 7
2
49 ,
2 2
7 CP 49当 时， AP AQ取得最大值，最大值为 .
2 2
故选：C.
二、填空题
| e | 1
3.已知平面向量 a,b ,e满足 ， a e 1，b e 1， |a b | 4，则 a b的最小值为
_____
【答案及解析】：－4
【分析】
a = (x , y ) b (x , y ) a e 1 b e 1 x , x |a
设 e (1,0)， 1 1 ， 2 2 ，由 ， 可求 1 2 ，再代入 b | 4，
可得 y1 y2 2 3，由此表示出 a b 1 y1y2 (y2 3)
2 4，从而可求出最小值.
x 1
【详解】设 e (1,0)， a = (x1, y1)，b (x2 , y2 )，由 a e 1 b e
1 1， 得： ，
x2 1
又 |a b | 4 ，则 a2
2a b b 2 16，解得： y1 y2 2 3，
a b 1 y1y2 1 y
2
2 2 3y2 (y2 3)
2 4，
故 a b的最小值为-4.
故答案为：-4.
4.已知平面向量 a、b、c满足 b 2 a 1、 c 2， c 4a c 4b 0，则 2a b
的取值范围是______.
2 14
【答案及解析】： ,2 2
【分析】
可根据 c 4a c 4b 0得出1 8a b 2c a b ，然后根据 2c a b 2 c a b
3 3 2
解得 a b ，最后通过 2a b 2 4a b即可得出结果.
8 8
2 2 2
【详解】 2a b 4a 4a b b 2 4a b，
因为 c 4a c 4b 0，
2
所以 c 4c a b 16a b 0，1 8a b 2c a b ，
2
2
因为 2c a b 2 c a b 2 2 a 2a b b ，
5 3 3
所以1 8a b 2 2 2a b，解得 a b ，
4 8 8
2
所以 2a b 2 4a b
1 , 7 2 2a b 14 ，解得 ， 2 2 2 2
所以 2a b
2 , 14的取值范围是 .
2 2
2 , 14
故答案为： 2 2
5. △ABC是等腰直角三角形， A 90 ，BC 2，点 D满足DA AC，点 E是 BD
所在直线上一点.如果CE xCA yCB，则 x 2y __________；CA在CE上的投影的取
值范围是__________.
2
【答案及解析】：2 ; ,12
【分析】
首先由条件确定出点D的位置，然后由 B,D,E三点共线可得 x 2y 2，根据条件分别计
CA CE x y
算出CA CE x y和 |CE | x2 2xy 2y2 ，然后可得 ，|CE | x2 2xy 2y2
然后消元变形、分类讨论可求出其范围.
【详解】由CA DA知，D在边CA的延长线上，且 A为CD的中点，
因为点 E是 BD所在直线上一点，且CE xCA yCB
x
CD yCB，
2
x
所以 y 1即 x 2y 2 .
2
因为CA CE xCA2 yCA CB，由题意 |CA | 1,CA CB 1，所以CA CE x y，
2
由 |CE |2 xCA yCB 得 |CE | x2 2xy 2y2 ，
CA C
所以
E x y
.
|CE | x2 2xy 2y2
m x y m 2 2 y令 ，由于 x 2y 2，所 ，
x2 2xy 2y2 2 (y 1)2 1
2 t
令 t 1 y，则 y 1 t且m 2 (t 1)2 1
当 t 0时，m 0；
y 2 1 2
t 0 2 2 2 1 1 1 2当 时， 1 1 1 ，由于 ，2
t 2 t 2 2
2 2
当且仅当 t 2时等式成立，可得0 m 1 .
m 2 1 2
当 t 0 2 2 1 1 1 2时，
2 1 1 1
，则 2 1，所以可得 m 0
t 2 2 2
t 2 2
综上可得，m
2
,1
2
2
故答案为：2， ,1
2
6.在面积为 1的平行四边形 ABCD中， DAB ，则 AB BC ___________；点 P是6
2 2
直线 AD上的动点，则 PB PC PB PC的最小值为___________.
【答案及解析】： 3 ； 3
【分析】
由平行四边形的面积为1可得 AB AD 2，根据向量数量积的定义即可得出 AB BC的值；
2 2 2
由于 PB PC PB PC BC PB PC ，取 BC的中点 Q，连接 PQ，则
1 2 2PB PC 2PQ， PB PC PB PC PB PC ，再利用基本不等式的性质4
即可得出结果.
【详解】∵平行四边形 ABCD的面积为 1，即 AB ADsin DAB 1，
∴ AB AD 2，
故 AB BC AB BC cos DAB 2 3 3 .
2
2 2 2 2
PB PC PB PC PC PB PB PC BC PB PC，
取 BC的中点 Q，连接 PQ，
1 2 2
则 PB PC 2PQ， PB PC PB PC 4 PB PC
，
2 2 1 2 2 3 2 2∴ BC PB PC BC PB PC PB PC BC PQ4 4
3 2 2
2 BC PQ 3 BC PQ 3S ABCD 3，4 四边形
此时 PQ BC，PQ 3 BC ，
2
故答案为： 3， 3 .
