6.4.1 平面几何中的向量方法
导学案
【学习目标】
1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”
2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性
运算及数量积表示．
【自主学习】
知识点 1 向量方法在几何中的应用
对于平面向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0) .
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：
非零向量 a，b，a⊥b .
(3) cos θ a·b
x1x2＋y1y2
求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 ＝ ＝ .
|a||b| x12＋y21 x22＋y22
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝ 或 ＝ x12＋y21.
知识点 2 平面几何中的向量方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用 表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转
化为 问题；
(2)通过 运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把 “翻译”成几何关系．
知识点 3 直线的方向向量和法向量
(1)直线 y＝kx＋b的方向向量为 ，法向量为 .
(2)直线 Ax＋By＋C＝0的方向向量为 ，法向量为 .
【合作探究】
探究一 利用向量证明平行或垂直问题
【例 1】如图所示，若四边形 ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与 BF相交于点 N，DE
与 CF相交于点 M.
求证：MN∥AD.
归纳总结：
【练习 1】如图所示，四边形 ABCD是菱形，AC和 BD是它的两条对角线，试用向量证明：
AC⊥BD.
探究二 利用向量解决长度和夹角问题
【例 2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点 D在线段 BC 1上，且 BD＝ DC.
2
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
归纳总结：
【练习 2】如图，平行四边形 ABCD中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线
AC的长．
探究三 利用向量解决直线问题
【例 3】已知△ABC的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F分别为边 BC、
CA、AB的中点．
(1)求直线 DE、EF、FD的方程；
(2)求 AB边上的高线 CH所在直线方程．
归纳总结：
【练习 3】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．在四边形 ABCD A→B C→D 0 → →中，若 ＋ ＝ ，AC·BD＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
2．在△ABC中，已知 A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则 BC边的中线 AD的长是( )
A．2 5 B.5 5
2
C．3 5 D.7 5
2
3．点 O是三角形 ABC → → → → → →所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点 O是△ABC
的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
4．已知直线 l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线 l1与 l2的夹角是( )
A．30° B．45° C．135° D．150°
5．若 O → → →是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋O→C →－2OA|，则△ABC的形状
是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
6．过点 A(2,3)，且垂直于向量 a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
二、填空题
7．过点(1,2)且与直线 3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．
8 ABC C 90° AC BC 4 B→ →．在△ 中，若∠ ＝ ， ＝ ＝ ，则 A·BC＝ .
9．已知直角梯形 ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当 AC⊥BC时，AD＝ .
三、解答题
10.正方形 OABC的边长为 1，点 D、E分别为 AB、BC的中点，试求 cos∠DOE的值．
11．已知直线 l1：3x＋y－2＝0与直线 l2：mx－y＋1＝0的夹角为 45°，求实数 m的值．
12．已知在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相互平分，且 AC⊥BD，求证：四边形 ABCD
是菱形．
→ → → →
证明：设对角线 AC、BD交于点 O，则有AO＝OC，BO＝OD，
B 组 能力提升
一、选择题
A→B A→C
→ → ＋→ → → A
→B A→C
1. 1已知非零向量AB与AC满足 |AB| |AC| ·BC＝0且 · ＝ ，则△ABC的形状是( )
|A→B| |A→C| 2
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
2 → →．在四边形 ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. 5 B．2 5 C．5 D．10
3．已知△ABC → → →是边长为 2的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值
是( )
A．－2 B 3．－
2
C 4．－ D．－1
3
二、填空题
4.如图所示，在△ABC中，点 O是 BC的中点．过点 O的直线分别交直线 AB、AC于不同
的两点 M、N，若A→B →＝mAM，A→C nA→＝ N，则 m＋n的值为________．
5．已知曲线 C：x＝－ 4－y2，直线 l：x＝6.若对于点 A(m,0)，存在 C上的点 P和 l上的点
Q A→P A→使得 ＋ Q＝0，则 m的取值范围为________．
三、解答题
6. CE AF 1点 O是平行四边形 ABCD的中点，E，F分别在边 CD，AB上，且 ＝ ＝ .
ED FB 2
求证：点 E，O，F在同一直线上．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是 BC边的中点，BE⊥AD，延长 BE交 AC
于 F，连接 DF.求证：∠ADB＝∠FDC.
8.如图所示，正三角形 ABC中，D、E分别是 AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点 A、
点 B，且 AE、CD交于点 P.求证：BP⊥DC.6.4.1 平面几何中的向量方法
导学案
【学习目标】
1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的“三步曲”
2.明确平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性
运算及数量积表示．
【自主学习】
知识点 1 向量方法在几何中的应用
对于平面向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：
a∥b(b≠0) b＝λa x1y2－x2y1＝0.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：
非零向量 a，b，a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
x x ＋y y
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式 cos θ a·b 1 2 1 2＝ ＝ .
|a||b| x12＋y21 x22＋y22
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝ a2或 a·a＝ x21＋y21.
知识点 2 平面几何中的向量方法
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化
为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系．
知识点 3 直线的方向向量和法向量
(1)直线 y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)．
(2)直线 Ax＋By＋C＝0的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)．
【合作探究】
探究一 利用向量证明平行或垂直问题
【例 1】如图所示，若四边形 ABCD为平行四边形，EF∥AB，AE与 BF相交于点 N，DE
与 CF相交于点 M.
求证：MN∥AD.
[分析] 本题是求判定直线平行的问题，它可以转化为证明向量共线来解决．
[证明] ∵EF∥AB，∴△NEF∽△NAB，
→ →
设AB＝μEF(μ≠1)，
→ →
AN
则 ＝μ，AE＝(μ－1)EN，
EN
→ → → →
同理，由EF∥CD，可得DE＝(μ－1)EM，
→ → → → → →
∴AD＝ED－EA＝AE－DE＝(μ－1)MN，
→ →
∵μ≠1，令λ＝μ－1，∴AD＝λMN，即 AD∥MN.
归纳总结：
【练习 1】如图所示，四边形 ABCD是菱形，AC和 BD是它的两条对角线，试用向量证明：
AC⊥BD.
A→C A→B A→D B→D A→D A→证明：∵ ＝ ＋ ， ＝ － B，
A→C·B→D (A→B A→D)·(A→D A→∴ ＝ ＋ － B)＝
|A→D|2－|A→B|2＝0.
A→∴ C⊥B→D，∴AC⊥BD.
探究二 利用向量解决长度和夹角问题
1
【例 2】如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝3，点 D在线段 BC上，且 BD＝ DC.
2
求：(1)AD的长；
(2)∠DAC的大小．
[分析] 本题是求线段长度和夹角的问题，它可以转化为求向量的模来解决．
[解] (1)设A→B a A→＝ ， C＝b，
则A→D＝A→B＋B→D →＝AB 1B→＋ C → 1 → →＝AB＋ (AC－AB)
3 3
2
＝ A→B 1A→C 2 1＋ ＝ a＋ b.
3 3 3 3
2 1
|A→∴ D|2 →
a＋ b
＝AD2＝ 3 3 2
4a2 2 2a·b 1＝ ＋ × ＋ b2
9 9 9
4
＝ ×9 2＋2× ×3×3×cos120° 1＋ ×9＝3.
9 9 9
∴AD＝ 3.
(2)设∠DAC＝θ，则θ A→D A→为向量 与 C的夹角．
A→
2 1
D·A→C a＋ b
cosθ 3 3 ·b∴ ＝ ＝
|A→D||A→C| 3×3
1
1b2 2
－
＋ a·b 1 9 2× ＋ ×3×3× 2
＝3 3 ＝3 3 ＝0.
3 3 3 3
∴θ＝90°，∴∠DAC＝90°.
归纳总结：先利用图形特点和已知条件选择基底表示目标向量，再利用公式求解是解决与平
面图形有关的向量夹角及长度问题的常见方法.
【练习 2】如图，平行四边形 ABCD中，已知 AD＝1，AB＝2，对角线 BD＝2，求对角线
AC的长．
A→D → → →解：设 ＝a，AB＝b，则BD＝a－b, AC＝a＋b.
而|B→D|＝|a－b|＝ a2－2a·b＋b2＝ 1＋4－2a·b＝ 5－2a·b＝2，①
∴|A→C|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2
＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝1＋4＋2a·b.
∵由①得 2a·b＝1.
∴|A→C|2＝6，
∴|A→C|＝ 6，即 AC＝ 6.
探究三 利用向量解决直线问题
【例 3】已知△ABC的三个顶点 A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点 D、E、F分别为边 BC、
CA、AB的中点．
(1)求直线 DE、EF、FD的方程；
(2)求 AB边上的高线 CH所在直线方程．
解 (1)由已知得点 D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设 M(x，y)是直线 DE上任意一点，
则D→M∥D→E.
D→M＝(x＋1，y－1)，D→E＝(－2，－2)．
∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即 x－y＋2＝0为直线 DE的方程．
同理可求，直线 EF，FD的方程分别为
x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.
(2)设点 N(x，y)是 CH所在直线上任意一点，
C→N →则 ⊥AB.
∴C→N·A→B＝0.
C→又 N＝(x＋6 →，y－2)，AB＝(4,4)．
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即 x＋y＋4＝0为所求直线 CH的方程．
归纳总结：(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向
量法则进行运算．
(2)直线 Ax＋By＋C＝0的方向向量为 v＝(B，－A)，法向量 n＝(A，B)．这两个概念在求直
线方程、判断两条直线位置关系、求两条直线的夹角时非常有用．
【练习 3】在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线的方程．
解 A→B →＝(3,4)，AC＝(－8,6)，
∠A的平分线的一个方向向量为：
A→B A→C 3 4 4 3 1 7， － ， － ，
＋ ＝ 5 5 ＋ 5 5 ＝→ → 5 5 .|AB| |AC|
∵∠A的平分线过点 A.
7 1
∴所求直线方程为－ (x－4)－ (y－1)＝0.
5 5
整理得：7x＋y－29＝0.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．在四边形 ABCD A→中，若 B＋C→D → →＝0，AC·BD＝0，则四边形为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．等腰梯形 D．菱形
答案 D
→ →
解析：∵AB∥CD，|A→B|＝|C→D| → →，且AC⊥BD，故四边形为菱形．
2．在△ABC中，已知 A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则 BC边的中线 AD的长是( )
A．2 5 B.5 5
2
C 3 5 D.7． 5
2
答案 B
3 5
，6 － ，5
解析 BC中点为 D 2 →，AD＝ 2 ，
|A→∴ D| 5＝ 5.
2
3 O → → → → → →．点 是三角形 ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点 O是△ABC
的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
答案 D
解析 ∵O→A·O→B＝O→B·O→C，∴(O→A－O→C)·O→B＝0.
O→B·C→∴ A＝0.
∴OB⊥AC.同理 OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高的交点．
4．已知直线 l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线 l1与 l2的夹角是( )
A．30° B．45° C．135° D．150°
答案 B
解析 设 l1、l2的方向向量为 v1、v2，则
v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
|v1·v2|
∴|cos〈v1，v | 25 22〉＝ ＝ ＝ .
|v1|·|v2| 5×5 2 2
∴l1与 l2的夹角为 45°.
5．若 O是△ABC → → → → →所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状
是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
答案 B
解析 ∵|O→B → → → →－OC|＝|CB|＝|AB－AC|，
|O→B＋O→C－2O→A|＝|A→B →＋AC|，
∴|A→B →－AC|＝|A→B →＋AC|，
∴四边形 ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
6．过点 A(2,3)，且垂直于向量 a＝(2,1)的直线方程为( )
A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0
C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝0
答案 A
解析 设 P(x，y)为直线上一点，则A→P⊥a，即(x－2)×2＋(y－3)×1＝0，即 2x＋y－7＝0.
二、填空题
7．过点(1,2)且与直线 3x－y＋1＝0垂直的直线的方程是____________．
答案 x＋3y－7＝0
解析 设 P(x，y)是所求直线上任一点，
直线 3x－y＋1＝0的方向向量为(1,3)，
由(x－1，y－2)·(1,3)＝0得 x＋3y－7＝0.
8．在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝BC＝4，则B→A·B→C＝ .
答案 6
解析：由∠C＝90°，AC＝BC＝4，知△ABC是等腰直角三角形，∴BA＝4 2，∠ABC＝45°，
B→∴ A·B→C＝4 2×4×cos45°＝6.
9．已知直角梯形 ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当 AC⊥BC时，AD＝ .
答案 1
解析：
建立平面直角坐标系，如图所示，设 AD＝t(t>0)，则 A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)．
→ →
则AC＝(1，t)，BC＝(－1，t)．
由 AC⊥BC知A→C·B→C＝－1＋t2＝0，
解得 t＝1，故 AD＝1.
三、解答题
10.正方形 OABC的边长为 1，点 D、E分别为 AB、BC的中点，试求 cos∠DOE的值．
解
1 1，
以 OA，OC所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：O→D →＝ 2 ，OE＝
1
，1
2 ，
O→D·O→E
故 cos∠DOE＝
|O→D|·|O→E|
1 1 1× ＋ ×1
2 2 4
＝ ＝ .
5 5 5
×
2 2
即 cos∠DOE 4的值为 .
5
11．已知直线 l1：3x＋y－2＝0与直线 l2：mx－y＋1＝0的夹角为 45°，求实数 m的值．
解 设直线 l1，l2的法向量为 n1，n2，
则 n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．
|3m－1|
由题意：cos 45° |n＝ 1·n2| 2＝ ＝ .
|n1|·|n2| 10· 1＋m2 2
整理得：2m2－3m－2＝0，
1
解得：m＝2或 m＝－ .
2
12．已知在四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相互平分，且 AC⊥BD，求证：四边形 ABCD
是菱形．
AC BD O A→O O→C B→O O→证明：设对角线 、 交于点 ，则有 ＝ ， ＝ D，
∴A→O＋O→D → → → →＝OC＋BO，∴AD＝BC，
故四边形 ABCD是平行四边形．
→
又∵|AO|2＋|O→D|2 |A→＝ D|2，
|O→C|2 →＋|OD|2＝|C→D|2，
∴|A→D|＝|C→D|，故四边形 ABCD是菱形．
B 组 能力提升
一、选择题
A→B A→C
→ → ＋→ → → A
→B A→C
1. 1已知非零向量AB与AC满足 |AB| |AC| ·BC＝0且 · ＝ ，则△ABC的形状是( )
|A→B| |A→C| 2
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形 D．等边三角形
答案 D
A→B A→C
A→＋ → B A
→C → →
解析 由 |A→B| |A→C| ·BC＝0，得角A的平分线垂直于BC.∴AB＝AC.而 · ＝co〈s AB，AC〉
|A→B| |A→C|
1
＝ ，
2
又〈A→B，A→C〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°.
故△ABC为正三角形，选 D.
2．在四边形 ABCD → →中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. 5 B．2 5 C．5 D．10
答案 C
→ →
解析 因为AC·BD＝0，
∴AC⊥BD.
∴四边形 ABCD的面积
S 1＝ |A→C||B→D| 1＝ × 5×2 5＝5.
2 2
3．已知△ABC → → →是边长为 2的等边三角形，P为平面 ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值
是( )
A．－2 B 3．－
2
C 4．－ D．－1
3
答案 B
解析：取 BC的中点 D，以 BC所在直线为 x轴，BC的垂直平分线 AD为 y轴，D为坐标原
点建立平面直角坐标系，
则 A(0， 3)，B(－1,0)，C(1,0)，设 P(x，y)，
→ → →
所以PA＝(－x， 3－y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，
y 3－
所以P→B P→＋ C → → → 3 3＝(－2x，－2y)，PA·(PB＋PC)＝2x2－2y( 3－y)＝2x2＋2 2 2－ ≥－ .
2 2
0 3，
P 2 P→当 时， A·(P→B＋P→C) 3取得最小值，最小值为－ .
2
二、填空题
4.如图所示，在△ABC中，点 O是 BC的中点．过点 O的直线分别交直线 AB、AC于不同
→ → → →
的两点 M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则 m＋n的值为________．
答案 2
→ 1 → →
解析 ∵O是 BC的中点，∴AO＝ (AB＋AC)．
2
A→B mA→M → → → m→ n→又∵ ＝ ，AC＝nAN，∴AO＝ AM＋ AN.
2 2
m n
∵M，O，N三点共线，∴ ＋ ＝1.则 m＋n＝2.
2 2
5．已知曲线 C：x＝－ 4－y2，直线 l：x＝6.若对于点 A(m,0)，存在 C上的点 P和 l上的点
Q使得A→P＋A→Q＝0，则 m的取值范围为________．
答案 [2,3]
→ →
解析 由AP＋AQ＝0知 A是 PQ的中点，设 P(x，y)，则 Q(2m－x，－y)，由题意－2≤x≤0,2m
－x＝6，解得 2≤m≤3
三、解答题
6. O CE AF 1点 是平行四边形 ABCD的中点，E，F分别在边 CD，AB上，且 ＝ ＝ .
ED FB 2
求证：点 E，O，F在同一直线上．
→ →
证明 设AB＝m，AD＝n，
CE AF 1
由 ＝ ＝ ，
ED FB 2
知 E，F分别是 CD，AB的三等分点，
F→∴ O＝F→A＋A→O 1→ 1→ 1 1 1 1＝ BA＋ AC＝－ m＋ (m＋n)＝ m＋ n，
3 2 3 2 6 2
O→E＝O→C＋C→E 1A→C 1C→ 1＝ ＋ D＝ (m＋n) 1－ m
2 3 2 3
1
＝ m 1＋ n.
6 2
→
∴FO＝O→E.
O F→又 为 O和O→E的公共点，故点 E，O，F在同一直线上．
7．已知△ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是 BC边的中点，BE⊥AD，延长 BE交 AC
于 F，连接 DF.求证：∠ADB＝∠FDC.
证明
如图所示，建立直角坐标系，设 A(2,0)，C(0,2)，则 D(0,1)，
A→于是 D＝(－2,1)，
A→C＝(－2,2)，
设 F(x，y) →，由BF A→⊥ D，
B→F·A→得 D＝0，
即(x，y)·(－2,1)＝0，
∴－2x＋y＝0.①
又 F →点在 AC上，则FC∥A→C，
而F→C＝(－x,2－y)，
因此 2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，
即 x＋y＝2.②
由①、②式解得 x 2 4＝ ，y＝ ，
3 3
2 4 2 1
， ，
F 3 3 D→F 3 3 D→∴ ， ＝ ， C＝(0,1)，
D→F·D→C 1＝ ，
3
又D→F·D→C＝|D→F||D→C|cos θ 5＝ cos θ，
3
∴cos θ 5＝ ，即 cos∠FDC 5＝ ，
5 5
|B→D|
cos ADB 1 5又 ∠ ＝ ＝ ＝ ，
|A→D| 5 5
∴cos∠ADB＝cos∠FDC，
故∠ADB＝∠FDC.
8.如图所示，正三角形 ABC中，D、E分别是 AB、BC上的一个三等分点，且分别靠近点 A、
点 B，且 AE、CD交于点 P.求证：BP⊥DC.
→ →
证明 设 PD＝λCD，并设△ABC的边长为 a，则有
P→A → →＝PD＋DA
λC→＝ D 1B→A λ(2B→ → 1＋ ＝ A－BC )＋ B→A
3 3 3
1
＝ (2λ＋1)B→A →－λBC，又 E→A＝B→A 1－ B→C .
3 3
P→A →∵ ∥E A 1，∴ (2λ＋1)B→A λB→－ C＝kB→A 1 →－ kBC.
3 3
于是有：
1 2λ＋1 ＝k，
3
λ 1. P→D 1C→1 解得 ＝ ∴ ＝ D .λ＝ k. 7 7
3
B→P B→C C→P 1B→C 4B→A C→D 2B→∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ， ＝ A－B→C .
7 7 3
B→P ·C→从而 D＝(1B→C 4B→A )·(2B→＋ A →－BC )
7 7 3
8 a2 1 10＝ － a2－ a2cos 60° 0. B→ →＝ ∴ P⊥CD.
21 7 21
∴BP⊥DC.
