6.4.2 向量在物理中的应用举例
导学案
【学习目标】
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问
题的步骤.
2.明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.
【自主学习】
知识点 1 力与向量
力与前面学过的自由向量有区别．
(1)相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向．
(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不
同，那么它们是不相等的．
知识点 2 向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是向量．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量
的合成．
(3)动量 mν是数乘向量．
(4)功即是力 F与所产生位移 s的数量积．
【合作探究】
探究一 向量的线性运算在物理中的应用
【例 1】帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受
的风力方向为北偏东 30°，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑
其他因素，求帆船的速度与方向．
解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东 30°，速度为|v1|＝20(km/h)，水流的方
向为正东，速度为|v2|＝20(km/h)，
设帆船行驶的速度为 v，
则 v＝v1＋v2.
由题意，可得向量 v1＝(20cos 60°，20sin 60°)＝(10,10 3)，向量 v2＝(20,0)，
则帆船的行驶速度
v＝v1＋v2＝(10,10 3)＋(20,0)＝(30,10 3)，
所以|v|＝ 302＋ 10 3 2＝20 3(km/h)．
tan α 10 3 3因为 ＝ ＝ (α为 v 和 v2的夹角，α为锐角)，
30 3
所以α＝30°.
所以帆船向北偏东 60°的方向行驶，速度为 20 3 km/h.
归纳总结：利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题
中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过
建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.
【练习 1】某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水的流速为 4 km/h，他必须朝哪个方向游
才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
解 如图所示，设此人的实际速度为O→B，水流速度为O→A.
∵实际速度＝游速＋水速，
→ → →
∴游速为OB－OA＝AB，
|O→A|
在 Rt△AOB →中，|AB|＝4 3，|O→A| 4 |O→B| 4 2 cos BAO 3＝ ， ＝ ， ∠ ＝ ＝ .
|A→B| 3
3
故此人应沿与河岸夹角余弦值为 ，逆着水流方向前进，实际前进速度的大小为 4 2 km/h.
3
探究二 向量的数量积在物理中的应用
【例 2】已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点
B(7,0)．
(1)求 F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求 F1，F2的合力 F对质点所做的功．
解 (1)A→B＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
W →1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W →2＝F2·AB＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力 F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J.
(2)W＝F·A→B＝(F1＋F2)·A
→B
＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力 F对质点所做的功为－102 J.
归纳总结：物理中力 F所做功 W问题常运用向量的数量积解决．
【练习 2】已知 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2，3)，求 F对物体所
做的功．
→
解 AB＝(－4,3)，
W＝F·s F·A→＝ B＝(2,3)·(－4,3)＝－8＋9＝1 (J)．
∴力 F对物体所做的功为 1 J.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1，
F2成 90°角，且 F1，F2的大小分别为 2和 4，则 F3的大小为( )
A．6 N B．2 N
C．2 5 N D．2 7 N
答案 C
2．用力 F推动一物体水平运动 s m，设 F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )
A．|F|·s B．Fcos θ·s
C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s
答案 D
3．两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90°时，合力大小为 20 N，则当它们的夹
角为 120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 2 N
C．20 2N D．10 3 N
答案 B
解析 |F1|＝|F2|＝|F|cos 45°＝10 2，
当θ＝ 120°，由平行四边形法则知：
|F 合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N.
4．共点力 F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体 M上，产生位移 s＝(2lg 5,1)，则共
点力对物体做的功 W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
答案 D
解析 F1＋F2＝(1,2lg 2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)
＝2lg 5＋2lg 2＝2.
5．已知作用在点 A的三个力 f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且 A(1,1)，则合力 f＝f1＋f2
＋f3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
答案 A
解析 f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力 f的终点为 P(x，y)，则
O→P＝O→A＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．
6．如图所示，一力作用在小车上，其中力 F的大小为 10 N，方向与水平面成 60°角，当小
车向前运动 10 m，则力 F做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 3 J D．200 J
【答案】B
1
解析：设小车位移为 s，则|s|＝10 m，WF＝F·s＝|F||s|·cos60°＝10×10× ＝50 J.
2
7．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点 A(4,6)处移动到点 B(7,12)处，其所用时间长短
为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
【答案】B
|ν| 12 22 5 |A→解析： ＝ ＋ ＝ ，又 B|＝ 7－4 2＋ 12－6 2 45＝ 45，∴时间 t＝ ＝3.
5
二、填空题
8.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子
的拉力大小为______ N.
答案 10
解析 设重力为 G，每根绳的拉力分别为 F1，F2，则由题意得 F1，F2与－G都成 60°角，
且|F1|＝|F2|.
∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10 N.
∴每根绳子的拉力都为 10 N.
9.已知一个物体在大小为 6 N的力 F的作用下产生的位移 s的大小为 100 m，且 F与 s的夹
角为 60°，则力 F所做的功 W＝________ J.
答案 300
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉
＝6×100×cos 60°＝300(J)．
10．一条河宽为 800 m，一船从 A出发航行垂直到达河正对岸的 B处，船速为 20 km/h，水
速为 12 km/h，则船到达 B处所需时间为________分钟．
答案 3
解析 ∵v 实际＝v 船＋v 水＝v1＋v2，
|v1|＝20，|v2|＝12，
∴|v|＝ |v1|2－|v2|2
＝ 202－122＝16(km/h)．
∴所需时间 t 0.8＝ ＝0.05(小时)＝3(分钟)．
16
∴该船到达 B处所需的时间为 3分钟．
11 →．若OF1＝(2,2)，O→F2＝(－2,3)分别表示 F1，F2，则|F1＋F2|＝________.
答案 5
解析 ∵F1＋F2＝(0,5)，
∴|F1＋F2|＝ 02＋52＝5.
12．如图，两根固定的光滑硬杆 OA，OB成θ角，在杆上各套一小套 P、Q，P、Q用轻线相
→
连，现用恒力 F沿OB方向拉环 Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．
|F|
答案
sin θ
解析 做受力分析，依题意，重力可以忽略不计，Q受轻线的拉力为 T，由于受力平衡，只
π
π －θ |F|
能是轻线与杆垂直，即轻线与 OB的夹角为 －θ，Tcos 2 ＝F，故|T|＝ .
2 sin θ
13．已知力 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则力 F对物体所做的
功为 .
【答案】1
解析：W＝F·s F·A→＝ B＝(2,3)×(－4,3)＝－8＋9＝1.
14．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速
靠岸过程中，下列说法中正确的是__________．(写出正确的所有序号)
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不
变．
答案 ①③
π
解析 设水的阻力为 f，绳的拉力为 F，F与水平方向夹角为θ(0<θ< )．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|
2
|f|
＝ .
cos θ
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．
三、解答题
15．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风
的方向为北偏西 30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿
垂直于河岸的方向以 2 3 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
解 如图，设水的速度为 v1，风的速度为 v2，v1＋v2＝a.易求得 a 的方向是北偏东 30°，a
的大小是 3 km/h.设船的实际航行速度为 v.
方向由南向北，大小为 2 3 km/h，船本身的速度为 v3，则 a＋v3＝v，即 v3＝v－a，数形结
合知 v3的方向是北偏西 60°，大小是 3 km/h.
16．在水流速度为 4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8千米/小时的速
度航行，求船实际航行的速度的大小．
解 如图用 v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．
则 v0＋v1表示船实际航行速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形|v0＋v1|
＝ 42＋82＝4 5.
故船实际航行的速度为 4 5千米/小时．
17．质量 m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°
的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
解 (1)木块受三个力的作用，重力 G，拉力 F和支持力 FN，如图所示．拉力 F与位移 s方
向相同，所以拉力对木块所做的功为：
WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)．
支持力 FN与位移方向垂直，不做功，
所以 WN＝FN·s＝0.
重力 G对物体所做的功为：
WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：
W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．
B 组 能力提升
一、选择题
1．质点 P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点 P的运动方向与ν相同，且
每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则 5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
答案 C
→
解析 设(－10,10)为 A，设 5秒后 P点的坐标为 A1(x，y)，则AA1＝(x＋10，y－10)，由题意
有A→A1＝5ν.
即(x＋10，y－10)＝(20，－15)
x＋10＝20 x＝10，
y－10＝－15 y＝－5.
二、填空题
2．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m，若牵绳与行进方向夹角为 30°，纤夫的拉力为
50 N，则纤夫对船所做的功为________．
答案 1 500 3 J
解析 所做的功 W＝60×50×cos 30°＝1 500 3 J.
三、解答题
3．已知 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点 P从 P0(－1,2)开始，沿着与向量 e1＋e2相同的方向
做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点 Q从 Q0(－2，－1)开始，沿着与向量 3e1＋
2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|，设 P、Q在 t＝0 s时分别在 P0、Q0
P→处，问当 Q⊥P→0Q0时所需的时间 t为多少？
解 e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2| 2
2 2
＝ ，其单位向量为( ， )；3e1＋2e2＝
2 2
(3,2)，|3e 3 21＋2e2|＝ 13，其单位向量为( ， )，如图．
13 13
→
依题意，|P0P|＝ 2t，
|Q→0Q|＝ 13t，
∴P→0P＝|P→0P|( 2 2， )＝(t，t)，
2 2
Q→ → 3 20Q＝|Q0Q|( ， )＝(3t,2t)，
13 13
由 P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，
得 P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，
→ →
∴P0Q0＝(－1，－3)，PQ＝(2t－1，t－3)，
→ → → →
∵PQ⊥P0Q0，∴P0Q0·PQ＝0，
即 2t－1＋3t－9＝0，解得 t＝2.
∴当P→Q⊥P→0Q0时所需的时间为 2 s.6.4.2 向量在物理中的应用举例
导学案
【学习目标】
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问
题的步骤.
2.明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.
【自主学习】
知识点 1 力与向量
力与前面学过的自由向量有区别．
(1)相同点：力和向量都既要考虑 又要考虑 ．
(2)不同点：向量与 无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用
点不同，那么它们是不相等的．
知识点 2 向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是 ．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的 运算，运动的叠加亦用到向
量的合成．
(3)动量 mν是 ．
(4)功即是力 F 与所产生位移 s 的 ．
【合作探究】
探究一 向量的线性运算在物理中的应用
【例 1】帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受
的风力方向为北偏东 30°，速度为 20 km/h，此时水的流向是正东，流速为 20 km/h.若不考虑
其他因素，求帆船的速度与方向．
归纳总结：
【练习 1】某人在静水中游泳，速度为 4 3 km/h，水的流速为 4 km/h，他必须朝哪个方向游
才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？
探究二 向量的数量积在物理中的应用
【例 2】已知两恒力 F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点
B(7,0)．
(1)求 F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求 F1，F2的合力 F 对质点所做的功．
归纳总结：
【练习 2】已知 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2，3)，求 F 对物体所
做的功．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1，
F2成 90°角，且 F1，F2的大小分别为 2和 4，则 F3的大小为( )
A．6 N B．2 N
C．2 5 N D．2 7 N
2．用力 F 推动一物体水平运动 s m，设 F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )
A．|F|·s B．Fcos θ·s
C．Fsin θ·s D．|F|cos θ·s
3．两个大小相等的共点力 F1，F2，当它们夹角为 90°时，合力大小为 20 N，则当它们的夹
角为 120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 2 N
C．20 2N D．10 3 N
4．共点力 F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体 M上，产生位移 s＝(2lg 5,1)，则共
点力对物体做的功 W为( )
A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．2
5．已知作用在点 A的三个力 f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且 A(1,1)，则合力 f＝f1＋f2
＋f3的终点坐标为( )
A．(9,1) B．(1,9)
C．(9,0) D．(0,9)
6．如图所示，一力作用在小车上，其中力 F 的大小为 10 N，方向与水平面成 60°角，当小
车向前运动 10 m，则力 F 做的功为( )
A．100 J B．50 J
C．50 3 J D．200 J
7．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点 A(4,6)处移动到点 B(7,12)处，其所用时间长短
为( )
A．2 B．3
C．4 D．8
二、填空题
8.用两条成 120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重 10 N，则每根绳子
的拉力大小为______ N.
9.已知一个物体在大小为 6 N的力 F 的作用下产生的位移 s 的大小为 100 m，且 F 与 s 的夹
角为 60°，则力 F 所做的功 W＝________ J.
10．一条河宽为 800 m，一船从 A出发航行垂直到达河正对岸的 B处，船速为 20 km/h，水
速为 12 km/h，则船到达 B处所需时间为________分钟．
11．若O→F →1＝(2,2)，OF2＝(－2,3)分别表示 F1，F2，则|F1＋F2|＝________.
12．如图，两根固定的光滑硬杆 OA，OB成θ角，在杆上各套一小套 P、Q，P、Q用轻线相
连，现用恒力 F 沿O→B方向拉环 Q，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．
13．已知力 F＝(2,3)作用于一物体，使物体从 A(2,0)移动到 B(－2,3)，则力 F 对物体所做的
功为 .
14．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速
靠岸过程中，下列说法中正确的是__________．(写出正确的所有序号)
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不
变．
三、解答题
15．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风
的方向为北偏西 30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿
垂直于河岸的方向以 2 3 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．
16．在水流速度为 4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8千米/小时的速
度航行，求船实际航行的速度的大小．
17．质量 m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力 F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°
的光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
B 组 能力提升
一、选择题
1．质点 P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点 P的运动方向与ν相同，且
每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则 5秒后点P的坐标为( )
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
二、填空题
2．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进 60 m，若牵绳与行进方向夹角为 30°，纤夫的拉力为
50 N，则纤夫对船所做的功为________．
三、解答题
3．已知 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点 P从 P0(－1,2)开始，沿着与向量 e1＋e2相同的方向
做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点 Q从 Q0(－2，－1)开始，沿着与向量 3e1＋
2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|，设 P、Q在 t＝0 s时分别在 P0、Q0
→ →
处，问当PQ⊥P0Q0时所需的时间 t为多少？
