6.4.3 正弦定理
导学案
【学习目标】
1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用
2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状
3.能利用正、余弦定理解决综合问题
【自主学习】
知识点 1 正弦定理的呈现形式
1. a b c＝ ＝ ＝2R(其中 R是△ABC外接圆的半径)；
sin A sin B sin C
2 a bsin A csin A． ＝ ＝ ＝2Rsin A；
sin B sin C
3 sin A a sin B b． ＝ ， ＝ ，sin C c＝ .
2R 2R 2R
知识点 2 正弦定理的常见变形
1．sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
2. a b c a＋b＋c＝ ＝ ＝ ＝2R；
sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
3．a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
4．sin A a b c＝ ，sin B＝ ，sin C＝ .
2R 2R 2R
知识点 3 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已
知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角
形不能被唯一确定．具体做法如下：
sinB bsinA由正弦定理得 ＝ ，
a
bsinA
①若 >1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解．
a
bsinA
②若 ＝1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解．
a
bsinA
③若 <1，则满足条件的三角形个数为 1或 2.
a
【合作探究】
探究一 已知两角和任意一边解三角形
【例 1】在△ABC中，已知 B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
[分析] 由三角形的内角和定理可求 A的度数．根据正弦定理可求 a，c.
[解] 因为 B＝30°，C＝105°，
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(30°＋105°)＝45°.
a 4 c
由正弦定理，得 ＝ ＝ ，
sin45° sin30° sin105°
a 4sin45° 4 2 4sin105°解得 ＝ ＝ ，c＝ ＝2( 6＋ 2)．
sin30° sin30°
归纳总结：
【练习 1】△ABC 4 5的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 cosA＝ ，cosC＝ ，a＝1，
5 13
则 b＝ .
21
【答案】
13
解析：在△ABC中，由 cosA 4＝ ，cosC 5＝ ，
5 13
3 12
可得 sinA＝ ，sinC＝ ，
5 13
sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC 63＝ ，
65
a 1 b asinB 21又 ＝ ，由正弦定理得 ＝ ＝ .
sinA 13
探究二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5 6，C＝60°；
(3)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．
[解] (1)a＝7，b＝8，a90°，本题无解．
(2)b＝10，c＝5 6，bsinB bsinC 10·sin60° 2∵ ＝ ＝ ＝ ，
c 5 6 2
∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°.
10× 6＋ 2
a bsinA 10×sin75° 4∴ ＝ ＝ ＝ ＝5( 3＋1)．
sinB sin45° 2
2
(3)a＝2 3，b＝6，a又∵bsinA＝6sin30°＝3，∴a>bsinA，
∴本题有两解．
由正弦定理得：
sinB bsinA 6sin30° 3＝ ＝ ＝ ，∴B＝60°或 120°，
a 2 3 2
B 60° C 90° c asinC 2 3sin90°当 ＝ 时， ＝ ， ＝ ＝ ＝4 3；
sinA sin30°
B 120° asinC 2 3sin30°当 ＝ 时，C＝30°，c＝ ＝ ＝2 3.
sinA sin30°
∴B＝60°，C＝90°，c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
归纳总结：
【练习 2】在三角形 ABC中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
A．b 10, A 45 , B 70 B． a 60 , c 48 , B 60
C．a 7 ,b 5 , A 80 D． a 14 ,b 16 , A 45
【答案】D
【解析】A已知两角一边，三角形确定的，只有一解，B 已知两边及夹角用余弦定理，只有
一解，C 中已知两边及一边对角，但已知的是大边所对的角，小边所对角只能是锐角，不可
能有两解，D 中，bsin A 16sin 45 8 2 a b，有两解．故选：D.
探究三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例 3】在△ABC中，a，b，c分别为内角 A，B，C的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．
[分析] 注意到 a，b在条件式中是齐次的，因此可以考虑利用正弦定理将边化为角，通过
角的特征或者关系来判断三角形的形状．
[解] 因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，
所以 b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，
所以 2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，
即 a2cosAsinB＝b2sinAcosB.
由正弦定理知 a＝2RsinA，b＝2RsinB，
所以 sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，
又 sinA·sinB≠0，所以 sinAcosA＝sinBcosB，
所以 sin2A＝sin2B.
在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，
所以 2A＝2B或 2A＝π－2B.
所以 A＝B π或 A＋B＝ .
2
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
归纳总结：
【练习 3】在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判断△ABC的形状．
解：由题意得(sinA＋sinC)(sinC－sinA)＝sin2B，
即－sin2A＋sin2C＝sin2B.由正弦定理得－a2＋c2＝b2，
即 a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则 sin A∶sin B的值是( )
A.5 B.3 C.3 D.5
3 5 7 7
答案 A
sin A a 5
解析 根据正弦定理，得 ＝ ＝ .
sin B b 3
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 B
a b
解析 由题意有 ＝b＝ ，则 sin B＝1，
sin A sin B
又 B∈(0，π)，故角 B为直角，
故△ABC是直角三角形．
3．在△ABC sin A cos C中，若 ＝ ，则 C的值为( )
a c
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 B
sin A cos C
解析 ∵ ＝ ，
a c
sin A a
∴ ＝ ，
cos C c
a sin A
又由正弦定理，得 ＝ .
c sin C
∴cos C＝sin C，∴tan C＝1，
又∵C∈(0°，180°)，
∴C＝45°，故选 B.
4．在△ABC中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2 2，则 c等于( )
A．1 B．2 C. 2 D. 3
答案 B
解析 ∵A＝105°，B＝45°，
∴C＝30°.
c bsin C 2 2sin 30°由正弦定理，得 ＝ ＝ ＝2.
sin B sin 45°
5．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B等于( )
A 2 2 B.2 2 C 6 D. 6．－ ．－
3 3 3 3
答案 D
15 10
解析 由正弦定理，得 ＝ ，
sin 60° sin B
3
sin B 10sin 60°
10× 3
∴ ＝ ＝ 2 ＝ .
15 15 3
∵a>b，∴A>B，又∵A＝60°，∴B为锐角．
∴cos B＝ 1－sin2B 1 3 6＝ － 2＝ .
3 3
6 π．在△ABC中，已知 A＝ ，a＝ 3，b＝1，则 c的值为( )
3
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
答案 B
a b
解析 由正弦定理 ＝ ，
sin A sin B
3 1 1
可得 π＝ ，∴sin B＝ ，sin sin B 2
3
由 a>b，得 A>B，∴B∈(0 π， )，∴B π＝ .
3 6
故 C π＝ ，由勾股定理得 c＝2.
2
7．在△ABC中，内角 A，B，C所对的边分别是 a，b，c.已知 8b＝5c，C＝2B，则 cos C等
于( )
A. 7 B 7．－ C．± 7 D.24
25 25 25 25
答案 A
解析 由正弦定理及 8b＝5c，得 8sin B＝5sin C，
又∵C＝2B，
∴8sin B＝5sin 2B＝10sin Bcos B，∴cos B 4＝ ，
5
4
∴cos C＝cos 2B＝2cos2B 1 2 5 2 1 7－ ＝ × － ＝ .
25
8．在△ABC中，AC＝ 6，BC＝2，B＝60°，则角 C的值为( )
A．45° B．30° C．75° D．90°
答案 C
2 6 2
解析 由正弦定理，得 ＝ ，∴sin A＝ .
sin A sin 60° 2
∵BC＝2< 6＝AC，∴A为锐角，∴A＝45°，∴C＝75°.
9 ABC a b c．在△ 中，若 ＝ ＝ ，则△ABC是( )
cos A cos B cos C
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
sin A sin B sin C
解析 由正弦定理，知 ＝ ＝ ，
cos A cos B cos C
∴tan A＝tan B＝tan C，
又∵A，B，C∈(0，π)，∴A＝B＝C，
故三角形为等边三角形．
10．在△ABC中，B＝60°，最大边与最小边之比为( 3＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60°
C．75° D．90°
答案 C
解析 设 C为最大角，则 A为最小角，则 A＋C＝120°，
c sin C sin 120°－A
∴ ＝ ＝
a sin A sin A
sin 120°cos A－cos 120°sin A
＝
sin A
3 cos A 1 3 1
＝ × ＋ ＝ ＋ ，
2 sin A 2 2 2
cos A
∴ ＝1.∴tan A＝1，
sin A
又∵A为锐角，∴A＝45°，C＝75°.
11．在△ABC a b中， ＝ ，则△ABC一定是( )
cos B cos A
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
答案 D
解析 在△ABC a b中，∵ ＝ ，
cos B cos A
∴acos A＝bcos B，
由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.
又∵A，B∈(0°，180°)，
∴2A＝2B或 2A＋2B＝180°，
∴A＝B或 A＋B＝90°.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形．
12．在△ABC中，若 tan A 1＝ ，C＝150°，BC＝1，则 AB等于( )
3
A 10 10．2 B. C. D．4
3 2
答案 C
解析 ∵tan A 1＝ ，A∈(0°，180°)，∴sin A 10＝ .
3 10
BC AB
由正弦定理，知 ＝ ，
sin A sin C
AB BCsin C
1×sin 150° 10
∴ ＝ ＝ ＝ .
sin A 10 2
10
二、填空题
13 2π．在△ABC中，若 b＝1，c＝ 3，C＝ ，则 a＝________.
3
答案 1
3 1
解析 由正弦定理，得 ＝ ，
sin2π sin B
3
sin B 1∴ ＝ .
2
∵C π为钝角，∴B必为锐角，∴B＝ ，
6
∴A π＝ .∴a＝b＝1.
6
14．在△ABC中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝______.
答案 45°
a b sin B 2解析 由正弦定理 ＝ ，得 ＝ ，
sin A sin B 2
∵a>b，∴A>B.
∴B只有一解．∴B＝45°.
15．在△ABC中，cos A 3 4＝ ，cos B＝ ，BC＝4，则 AB＝________.
5 5
答案 5
解析 ∵A，B∈(0，π)，
∴sin A 3 4＝ 1－ 2＝ .
5 5
sin B＝ 1－ 4 2 3＝ .
5 5
∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
4 4 3 3
＝ × ＋ × ＝1，
5 5 5 5
C π∴ ＝ ，
2
AB BC
4
∴ ＝ ＝4＝5.sin A
5
16．已知 c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________．
答案 0
解析 ∵c180°，
故三角形无解．
17．在单位圆上有三点 A，B，C，设△ABC a b 2c三边长分别为 a，b，c，则 ＋ ＋
sin A 2sin B sin C
＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圆直径为 2R＝2，
a b c
∴ ＝ ＝ ＝2R＝2，
sin A sin B sin C
a b 2c
∴ ＋ ＋ ＝2＋1＋4＝7.
sin A 2sin B sin C
18．在△ABC中，B＝30°，C＝120°，则 a∶b∶c＝________.
答案 1∶1∶ 3
解析 根据三角形内角和定理，得
A＝180°－30°－120°＝30°，
由正弦定理，得
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶1∶ 3.
19．锐角三角形的内角分别是 A、B、C，并且 A>B.下列三个不等式中成立的是________．
①sin A>sin B；
②cos A③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
答案 ①②③
解析 A>B a>b sin A>sin B，故①成立．
函数 y＝cos x在区间[0，π]上是减函数，
∵A>B，∴cos Aπ π
在锐角三角形中，∵A＋B> ，∴A> －B，
2 2
π
函数 y＝sin x在区间[0， ]上是增函数，
2
π
－B
则有 sin A>sin 2 ，即 sin A>cos B，
同理 sin B>cos A，故③成立．
三、解答题
20 ABC a－ccos B sin B．在△ 中，求证： ＝ .
b－ccos A sin A
a b c
证明 因为 ＝ ＝ ＝2R，
sin A sin B sin C
2Rsin A－2Rsin Ccos B
所以左边＝
2Rsin B－2Rsin Ccos A
sin B＋C －sin Ccos B
＝
sin A＋C －sin Ccos A
sin Bcos C sin B
＝ ＝ ＝右边．所以等式成立．
sin Acos C sin A
21．在△ABC cos A b 4中，已知 c＝10， ＝ ＝ ，求 a、b及△ABC的内切圆半径．
cos B a 3
sin B b
解 由正弦定理知 ＝ ，
sin A a
cos A sin B
∴ ＝ .
cos B sin A
即 sin Acos A＝sin Bcos B，∴sin 2A＝sin 2B.
又∵a≠b且 A，B∈(0，π)，
π
∴2A＝π－2B，即 A＋B＝ .
2
∴△ABC π是直角三角形且 C＝ ，
2
a2＋b2＝102，
由 b 4 得 a＝6，b＝8.
＝ ，
a 3
a＋b－c 6＋8－10
故内切圆的半径为 r＝ ＝ ＝2.
2 2
22．在△ABC中，bsin B＝csin C且 sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
解 由 bsin B＝csin C，得 b2＝c2，
∴b＝c，∴△ABC为等腰三角形，
由 sin2A＝sin2B＋sin2C得 a2＝b2＋c2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC为等腰直角三角形．
23．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a、b和 B.
a c
解 ∵ ＝ ，
sin A sin C
a csin A 10×sin 45°∴ ＝ ＝ ＝10 2.
sin C sin 30°
B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.
b c
又∵ ＝ ，
sin B sin C
b csin B 10×sin 105°∴ ＝ ＝ ＝20sin 75°
sin C sin 30°
＝20 6＋ 2× ＝5( 6＋ 2)．
4
24．在△ABC中，acos(π π－A)＝bcos( －B)，试判断△ABC的形状．
2 2
π π
解 方法一 ∵acos( －A)＝bcos( －B)，
2 2
∴asin A＝bsin B.
a b
由正弦定理，可得 a· ＝b· ，
2R 2R
∴a2＝b2，∴a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
acos(π A) bcos(π方法二 ∵ － ＝ －B)，
2 2
∴asin A＝bsin B.
由正弦定理，可得 2Rsin2A＝2Rsin2B，
又∵A，B∈(0，π)，
∴sin A＝sin B，
∴A＝B(A＋B＝π不合题意，舍去)．
故△ABC为等腰三角形．
25．在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．
解 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
a b c
由正弦定理 ＝ ＝ ，
sin A sin B sin C
b a sin B 5 sin 45°得 ＝ × ＝ × ＝5 2，
sin A sin 30°
c a sin C sin 105° sin 60°＋45° ＝ × ＝5× ＝5×
sin A sin 30° sin 30°
5 sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝ ×
sin 30°
5
＝ ( 6＋ 2)．
26.4.3 正弦定理
导学案
【学习目标】
1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用
2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状
3.能利用正、余弦定理解决综合问题
【自主学习】
知识点 1 正弦定理的呈现形式
1. a b c＝ ＝ ＝2R(其中 R 是 )；
sin A sin B sin C
2 a bsin A csin A． ＝ ＝ ＝2Rsin A；
sin B sin C
3．sin A a＝ ，sin B b sin C c＝ ， ＝ .
2R 2R 2R
知识点 2 正弦定理的常见变形
1．sin A∶sin B∶sin C＝ ；
2. a b c a＋b＋c＝ ＝ ＝ ＝ ；
sin A sin B sin C sin A＋sin B＋sin C
3．a＝ ，b＝ ，c＝ ；
4 sin A a sin B b sin C c． ＝ ， ＝ ， ＝ .
2R 2R 2R
知识点 3 利用正弦定理判断三角形的解的个数
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被 确
定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，
三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
bsinA
由正弦定理得 sinB＝ ，
a
bsinA
①若 >1，则满足条件的三角形个数为 0，即无解．
a
bsinA
②若 ＝1，则满足条件的三角形个数为 1，即一解．
a
bsinA
③若 <1，则满足条件的三角形个数为 .
a
【合作探究】
探究一 已知两角和任意一边解三角形
【例 1】在△ABC 中，已知 B＝30°，C＝105°，b＝4，解三角形．
归纳总结：
4 5
【练习 1】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA＝ ，cosC＝ ，a＝1，
5 13
则 b＝ .
探究二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．
(1)a＝7，b＝8，A＝105°；
(2)b＝10，c＝5 6，C＝60°；
(3)a＝2 3，b＝6，A＝30°.
归纳总结：
【练习 2】在三角形 ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
A．b 10, A 45 , B 70 B． a 60 , c 48 , B 60
C．a 7 ,b 5 , A 80 D． a 14 ,b 16 , A 45
探究三 利用正弦定理判断三角形的形状
【例 3】在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，
且(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断△ABC 的形状．
归纳总结：
【练习 3】在△ABC 中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，判断△ABC 的形状．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1．在△ABC 中，a＝5，b＝3，则 sin A∶sin B 的值是( )
A.5 B.3 C.3 D.5
3 5 7 7
2．在△ABC 中，a＝bsin A，则△ABC 一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．在△ABC sin A cos C中，若 ＝ ，则 C 的值为( )
a c
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．在△ABC 中，若 A＝105°，B＝45°，b＝2 2，则 c 等于( )
A．1 B．2 C. 2 D. 3
5．在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则 cos B 等于( )
A 2 2 B.2 2 C 6 D. 6．－ ．－
3 3 3 3
6．在△ABC π中，已知 A＝ ，a＝ 3，b＝1，则 c 的值为( )
3
A．1 B．2 C. 3－1 D. 3
7．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 8b＝5c，C＝2B，则 cos C 等
于( )
A. 7 B 7 7 24．－ C．± D.
25 25 25 25
8．在△ABC 中，AC＝ 6，BC＝2，B＝60°，则角 C 的值为( )
A．45° B．30° C．75° D．90°
9 a b c．在△ABC 中，若 ＝ ＝ ，则△ABC 是( )
cos A cos B cos C
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
10．在△ABC 中，B＝60°，最大边与最小边之比为( 3＋1)∶2，则最大角为( )
A．45° B．60°
C．75° D．90°
11．在△ABC a b中， ＝ ，则△ABC 一定是( )
cos B cos A
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
12．在△ABC 中，若 tan A 1＝ ，C＝150°，BC＝1，则 AB 等于( )
3
A 10 10．2 B. C. D．4
3 2
二、填空题
13．在△ABC 中，若 b＝1，c 3 C 2π＝ ， ＝ ，则 a＝________.
3
14．在△ABC 中，A＝60°，a＝4 3，b＝4 2，则 B＝______.
16．已知 c＝50，b＝72，C＝135°，则三角形解的个数为________．
A B C ABC a b c a b 2c17．在单位圆上有三点 ， ， ，设△ 三边长分别为 ， ， ，则 ＋ ＋
sin A 2sin B sin C
＝________.
18．在△ABC 中，B＝30°，C＝120°，则 a∶b∶c＝________.
19．锐角三角形的内角分别是 A、B、C，并且 A>B.下列三个不等式中成立的是________．
①sin A>sin B；
②cos A③sin A＋sin B>cos A＋cos B.
三、解答题
20．在△ABC a－ccos B sin B中，求证： ＝ .
b－ccos A sin A
21．在△ABC 中，已知 c＝10 cos A b 4， ＝ ＝ ，求 a、b 及△ABC 的内切圆半径．
cos B a 3
22．在△ABC 中，bsin B＝csin C 且 sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断三角形的形状．
23．已知在△ABC 中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求 a、b 和 B.
24．在△ABC π π中，acos( －A)＝bcos( －B)，试判断△ABC 的形状．
2 2
25．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，解三角形．
