6.4.3 余弦定理、正弦定理导学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【自主学习】
知识点 1 余弦定理及其变形
2 2 2
a2＝b2＋c2－2bccos_A， cos A b ＋c －a＝ ；
2bc
2 2 2
b2＝c2＋a2－2cacos_B， cos B c ＋a －b＝ ；
2ca
2 2 2
c2＝a2＋b2－2abcos_C. cos C a ＋b －c＝ .
2ab
知识点 2 余弦定理及其推论的应用
一般地，三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知两边及夹角解三角形；另
一类是已知三边解三角形．
【合作探究】
探究一 已知三角形三边解三角形
【例 1-1】边长为 5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
答案 B
解析 设中间角为θ，则θ为锐角，
52＋82－72
cos θ 1＝ ＝ ，
2×5×8 2
θ＝60°，180°－60°＝120°为所求．
归纳总结：已知三角形的三边求三角时，一般利用余弦定理的推论先求出两角，再根据三角
形内角和定理求出第三个角．
利用余弦定理的推论求角时，应注意余弦函数在(0，π)上是单调的．当余弦值为正时，角为
锐角；当余弦值为负时，角为钝角．
【练习 1】△ABC的三边长分别为 AB＝7，BC＝5 →，CA＝6，则AB·B→C的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
答案 D
解析 设三角形的三边分别为 a，b，c，
依题意得，a＝5，b＝6，c＝7.
∴A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|·cos(π－B)
＝－ac·cos B.
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2ac·cos B，
∴－ac·cos B 1＝ (b2－a2－c2)
2
1
＝ (62－52－72)＝－19，
2
A→B·B→∴ C＝－19.
探究二 已知三角形两边及一角解三角形
3
【例 2】一个三角形的两边长分别为 5和 3，它们夹角的余弦值是－ ，则三角形的另一边长
5
为( )
A．52 B．2 13 C．16 D．4
答案 B
解析 设另一边长为 x，则 x2＝52＋32－2×5 3×3×(－ )＝52，∴x＝2 13.
5
归纳总结：已知三角形的两边及一角解三角形的方法,已知三角形的两边及一角解三角形，
必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可
以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，
解方程求出第三边.
【练习 2】在△ABC中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b等于( )
A．4 3 B. 7 C．7 D．5
答案 C
解析 b2＝a2＋c2－2accos B
＝32＋52－2×3×5×cos 120°
＝49，
∴b＝7.
探究三 判断三角形的形状
【例 3】在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
解 因为 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，
所以可令 a＝2k，b＝4k，c＝5k(k>0)．
2 2 2
c最大，cos C 2k ＋ 4k － 5k ＝ <0，
2×2k×4k
所以 C为钝角，从而三角形为钝角三角形．
归纳总结：利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化
思想解决问题.一般有两条思考路线： 1 先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间
的数量关系. 2 先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.
【练习 3】在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
2
cos A b ＋c
2－a2
解 由余弦定理知 ＝ ，
2bc
2 2 2 2 2 2
cos B c ＋a －b＝ ，cos C a ＋b －c＝ ，
2ca 2ab
代入已知条件，得
b2＋c2－a2 c2＋a2 2 2 2 2a· b· －b＋ ＋c·c －a －b ＝0，
2bc 2ca 2ab
通分得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(c2＋a2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，
即 a2＝b2＋c2或 b2＝a2＋c2.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．
探究四 余弦定理的综合应用
【例 4】已知三角形三边长为 a，b， a2＋ab＋b2 (a>0，b>0)，则最大角为________．
答案 120°
解析 易知 a2＋ab＋b2>a， a2＋ab＋b2>b，
设最大角为θ，
a2＋b2－ a2＋ab＋b2cos θ
2 1
则 ＝ ＝－ ，
2ab 2
又∵θ∈(0°，180°)，
∴θ＝120°.
归纳总结：
【练习 4】在△ABC中，已知 CB＝7，AC＝8，AB＝9，则 AC边上的中线长为________．
答案 7
解析 由条件知
AB2＋AC2－BC2 92＋82－72
cos A 2＝ ＝ ＝ ，
2×AB×AC 2×9×8 3
设中线长为 x，由余弦定理，知
AC
x2＝ 2 2＋AB2－2 AC× ×ABcos A
2
＝42＋92－2 2×4×9× ＝49，
3
所以 x＝7.所以 AC边上的中线长为 7.
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1.在 ABC 中， B 60 ，b2 ac，则 cos A （ ）
1
A 0 B C 2． ． ． D 3．
2 2 2
【答案】B
【解析】由余弦定理得：b2 a2 c2 2accosB a2 c2 ac，
又b2 ac，∴ a2 c2 ac ac ， (a c)2 0，
a c， A B C 60 ，
cos A 1 ．
2
故选：B．
2.在△ABC中，cosC= 23，AC＝4，BC＝3，则 cosB＝（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 3 2 3
【答案】A
2
【解析】在△ABC中，cosC= 3，AC＝4，BC＝3，
由余弦定理可得 AB2＝AC2+BC2﹣2AC BC cosC＝42+32﹣2×4×3× 23 =9；
故 AB＝3；
2 2 2 2 2 2
∴cosB= + = 3 +3 4 12 2×3×3 = 9，
故选：A．
3.在△ABC中,已知 a=2,b=3,cos C=13,则边 c长为 ( )
A.2 B.3 C. 11 D. 17
解析:因为 c2=a2+b2-2abcosC=22+32-2×2×3×13=9,所以 c=3.
答案:B
4.在△ABC中,若 C=60°,c2=ab,则三角形的形状为 ( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
解析 :因为在△ABC 中 ,C=60°,c2=ab,所以 c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=ab,所以 a=b,所以
a=b=c,所以三角形的形状为等边三角形,故选 C.
答案:C
5.已知△ABC的三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则△ABC的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
2 2 2
解析 :由已知得 ,c2=a2+b2+ 3ab,所以 c>a,c>b,故 C 为最大内角 .由 cosC= + - 32 =- 2 ,得
C=150°,故选 D.
答案:D
二、填空题
6. ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ．若 a 13,b 3, A 60 ，则边
c 。
【答案】4
【解析】 a2 c2 b2 2cbcos A 13 c2 9 2c 3 cos60 ，即 c2 3c 4 0，解
得 c 4或c 1（舍去）．
7.已知 a,b,c分别为 ABC 三个内角 A,B,C的对边且b2 c2 3bc a2 ，则 A =____
【答案】30 （或 ）6
【解析】因为b2 c2 3bc a2 ，所以b2 c2 a2 3bc，所以 2bccosA= 3bc ,所以
cos A 3 , A
.故答案为 .
2 6 6
8.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C 1＝－ ，则 AC的值为( )
4
【答案】3
【解析】△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB 4 cos C 1＝ ， ＝－ ，∴c2＝a2＋b2－2abcos C，即 16＝
4
1
－
4＋b2－4b× 4 ，化简得 b2＋b－12＝0，解得 b＝3或 b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC
＝3.
9.如图 ABC ,在,已知点D在边 BC
上, AD AC ,sin BAC 2 2 , AB 3 2 , AD 3,则 BD的长为 。
3
【答案】 3
【解析】由题意 sin( BAD ) 2 2 cos BAD，
2 3
∴ BD2 AB2 AD2 2AB AD cos BAD (3 2)2 32 2 3 2 3 2 2 3，
3
BD 3．
10.如图，在△ABC中，点 D在 AC上，AB⊥BD，BC＝3 3，BD＝5，sin∠ABC 2 3＝ ，则
5
CD的长为 。
【答案】4
∠DBC π＋ 2 3
【解析】利用余弦定理求解．因为 sin∠ABC＝sin 2 ＝cos∠DBC＝ ，在△DBC
5
2 3
中，由余弦定理可得 CD2＝BD2＋BC2－2BD·BCcos∠DBC＝25＋27－2×5×3 3× ＝16，所
5
以 CD＝4。
11.在 ABC中，设内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若 acosB bcos A，则 ABC的
形状是 三角形
【答案】等腰三角形
三、解答题
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程 x2－2 3x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角 C的度数；
(2)求 AB的长．
解 (1)cos C＝cos[180°－(A＋B)]
＝－cos(A＋B) 1＝－ .
2
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程 x2－2 3x＋2＝0的两根，
a＋b＝2 3，
∴
ab＝2.
∴AB2＝a2＋b2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝ 10.
13．在△ABC中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，最大角为 120°，求三边长．
a－b＝4， a＝b＋4，
解 由 得
a＋c＝2b， c＝b－4.
∴a>b>c，∴A＝120°，
∴a2＝b2＋c2－2bccos 120°，
1
即(b＋4)2
－
＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)× 2 ，
即 b2－10b＝0，
解得 b＝0(舍去)或 b＝10.
当 b＝10时，a＝14，c＝6.
B 组 能力提升
一、选择题
1.在△ABC中，cosC= 23，AC＝4，BC＝3，则 tanB＝（ ）
A． 5 B．2 5 C．4 5 D．8 5
【答案】C
【解析】∵cosC= 23，AC＝4，BC＝3，
∴tanC= 1 5 2 1 = 2 ，
∴AB= 2 + 2 2 = 42 + 32 2 × 4 × 3 × 23 =3，可得 A＝C，
∴B＝π﹣2C，
2× 5
则 tanB＝tan（π 2C tan2C= 2 ﹣ ）＝﹣ = 21 2 5 =4 5．1 4
故选：C．
5
2.在△ABC中，cos = ，BC＝1，AC＝5，则 AB＝（ ）
2 5
A．4 2 B． 30 C． 29 D．2 5
【答案】A
5 5 3
【解析】在△ABC中，cos = ，cosC＝2× ( 2
2 5 5
) 1 = 5，
BC＝1，AC＝5，则
AB= 2 + 2 2 = 1 + 25 + 2 × 1 × 5 × 35 = 32 =4 2．
故选：A
3.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2 3absin C，则△ABC的形状是( )
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
答案 D
π
解析 易知 a2＋b2＋c2＝a2＋b2＋a2＋b2
C＋
－2abcos C＝2 3absin C，即 a2＋b2＝2absin 6 ，
2 2 C
π
＋ C π＋
由于 a ＋b ≥2ab，当且仅当 a＝b时取等号，所以 2absin 6 ≥2ab，sin 6 ≥1，故只
能 a π π＝b且 C＋ ＝ ，所以△ABC为正三角形．
6 2
二、填空题
4.在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a2 3b2 3c2 2 3bcsin A，则
C ________.
【答案】
6
【解析】根据 a2 3b2 3c2 2 3bcsin A ①余弦定理 a2 b2 c2 2bccos A ②
由① ②可得： 2b2 2c2 2 3bcsin A 2bccos A化简：
b2
c2 3bc sin A bc cos A b2 c2 2bcsin(A )6
b2 c2 sin(A ) 1 5 2bc， ， 0 A ， A ，6 6 6 6
A 2 , A ，
6 2 3
2
此时b2 c2 2bc，故得b c，即 B C ， C 3
．故答案为： ．
2 6 6
5.若 (a b c)(b c a) 3bc，且 sin A 2sin BcosC，那么 ABC 是 三
角形
【答案】等腰直角
2 2 2
【解析】由题设可得b2 c2 a2 bc cos A b c a 1 A ,
2bc 2 3
2 2 2
由题设可得 a 2bcosC a 2b a b c b2 c2 0 b c，即该三角形是等边
2ab
三角形．
6.已知 A,B,C,D四点共面，BC 2，AB2 AC 2 20，CD 3CA，则 | BD |的最大值
为______．
【答案】10
【解析】设 AC m ，由题意可得：DC 3m,AB 20 m 2 ，
则： AC 2 BC 2 AB2 m2 8 ，ABC构成三角形，则： ，cosC m 2 20 m
2
2AC BC 2m {
m 2 20 m 2
解得：2 m 4，
由余弦定理：
2
BD BC 2 CD 2 2BC CD m 8 cosC 4 9m2 2 2 3m 52 3m2 ，
2m
当m 4时， BD 取得最大值为 10.
7.如图，四边形 ABCD中，AB 4，BC 5，CD 3， ABC 90 ， BCD 120 ，
则 AD的长为______
【答案】 65 12 3
【解析】连接 AC,设 ACB ,则 ACD 120 ，如图：
4
故在 Rt ABC中， sin , cos
5
，
41 41
cos 120 1 cos 3 1 5 3 4 4 3 5 sin ，2 2 2 41 2 41 2 41
2
2
ACD 41 3 AD
2
又 在 中由余弦定理有 cos 120 4 3 5 ,解得
2 3 41 2 41
AD2 65 12 3 ,即 AD 65 12 3 ，故答案为 65 12 3 .6.4.3 余弦定理、正弦定理
导学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【自主学习】
知识点 1 余弦定理及其变形
b2＋c2－a2a2＝ ， cos ＝ ；
2bc
2
b2 cos c ＋a
2－b2
＝ ， ＝ ；
2ca
2
c2 . cos a ＋b
2－c2
＝ ＝ .
2ab
知识点 2 余弦定理及其推论的应用
一般地，三角形的三个角 A，B，C和它们的对边 a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
余弦定理及其推论可解决两类基本的解三角形的问题：一类是已知 解三角
形；另一类是已知 解三角形．
【合作探究】
探究一 已知三角形三边解三角形
【例 1-1】边长为 5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( )
A．90° B．120°
C．135° D．150°
归纳总结：
→ →
【练习 1】△ABC的三边长分别为 AB＝7，BC＝5，CA＝6，则AB·BC的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
探究二 已知三角形两边及一角解三角形
3
【例 2】一个三角形的两边长分别为 5和 3，它们夹角的余弦值是－ ，则三角形的另一边长
5
为( )
A．52 B．2 13 C．16 D．4
归纳总结：
【练习 2】在△ABC中，已知 B＝120°，a＝3，c＝5，则 b等于( )
A．4 3 B. 7 C．7 D．5
探究三 判断三角形的形状
【例 3】在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝2∶4∶5，判断三角形的形状．
归纳总结：
【练习 3】在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
探究四 余弦定理的综合应用
【例 4】已知三角形三边长为 a，b， a2＋ab＋b2 (a>0，b>0)，则最大角为________．
归纳总结：
【练习 4】在△ABC中，已知 CB＝7，AC＝8，AB＝9，则 AC边上的中线长为________．
课后作业
A 组 基础题
一、选择题
1.在 ABC 中， B 60 ，b2 ac，则 cos A （ ）
1
A 0 B C 2 3． ． ． D．
2 2 2
2. 2在△ABC中，cosC= 3，AC＝4，BC＝3，则 cosB＝（ ）
1 1 1 2
A． B． C． D．
9 3 2 3
3.在△ABC中,已知 a=2,b=3,cos C=13,则边 c长为( )
A.2 B.3 C. 11 D. 17
4.在△ABC中,若 C=60°,c2=ab,则三角形的形状为( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.钝角三角形
5.已知△ABC的三边满足 a2+b2=c2- 3ab,则△ABC的最大内角为( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
二、填空题
6. ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ．若 a 13,b 3, A 60 ，则边
c 。
7.已知 a,b,c分别为 ABC 三个内角 A,B,C的对边且b2 c2 3bc a2 ，则 A =____
8.在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cos C 1＝－ ，则 AC的值为( )
4
9.如图 ABC ,在,已知点D在边 BC
上, AD AC ,sin BAC 2 2 , AB 3 2 , AD 3,则 BD的长为 。
3
10.如图，在△ABC中，点 D在 AC AB BD BC 3 3 BD 5 sin ABC 2 3上， ⊥ ， ＝ ， ＝ ， ∠ ＝ ，则
5
CD的长为 。
11.在 ABC中，设内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，若 acosB bcos A，则 ABC的
形状是 三角形
三、解答题
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程 x2－2 3x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角 C的度数；
(2)求 AB的长．
13．在△ABC中，已知 a－b＝4，a＋c＝2b，最大角为 120°，求三边长．
B 组 能力提升
一、选择题
1. 2在△ABC中，cosC= 3，AC＝4，BC＝3，则 tanB＝（ ）
A． 5 B．2 5 C．4 5 D．8 5
5
2.在△ABC中，cos = ，BC＝1，AC＝5，则 AB＝（ ）
2 5
A．4 2 B． 30 C． 29 D．2 5
3.在△ABC中，a2＋b2＋c2＝2 3absin C，则△ABC的形状是( )
A．不等腰的直角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．正三角形
二、填空题
4.在 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 a2 3b2 3c2 2 3bcsin A，则
C ________.
5.若 (a b c)(b c a) 3bc，且 sin A 2sin BcosC，那么 ABC 是 三角形
6.已知 A,B,C,D四点共面，BC 2，AB2 AC 2 20，CD 3CA，则 | BD |的最大值
为______．
7.如图，四边形 ABCD中，AB 4，BC 5，CD 3， ABC 90 ， BCD 120 ，
则 AD的长为______
