立体几何 空间角

课件27张PPT。2.求空间中的角练习例6正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为a,高为 ，求AC1与侧面ABB1A1所成的角zxyC1A1B1ACBO答案：C3.二面角
设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量，由几何知识可知，二面角α-L-β的大小与法向量n1 、n2夹角相等（选取法向量竖坐标z同号时相等）或互补（选取法向量竖坐标z异号时互补），于是求二面角的大小可转化为求两个平面法向量的夹角，这样可避免了二面角的平面角的作图麻烦.n1例7在四棱锥S-ABCD中∠DAB=∠ABC=90°，侧棱SA⊥底面AC，SA=AB=BC=1，AD=2，求二面角A-SD-C的大小.解：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则 B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1）.
设平面SCD的法向量n1=(x,y,z),则由
得
n1=(1,1,2).
而面SAD的法向量n2 = (1,0,0).
于是二面角A-SD-C的大小θ满足

∴二面角A-SD-C的大小为 .例练习：（2）解法2：设平面PBD的法向量为：n=(x,y,z)∵ =( 1，0，- ）,
∴x- z=0,且-x-y- z=0∴x= z, y=-2 z令z=1,得： n=( , -2 , 1 )∵平面CBD的法向量为 =(0，0 ， ）∴又∵∴∴二面角P-BD-C的大小为：arccos 1/4解法二：设平面PAD的法向量为：n=(x,y,z)解得：取x=1,得n1=( 1 ,2,- )同理：可得平面PAB的法向量为n2=( ,0,1)∴ n1 n2= +0+ =0∴平面PAD⊥平面PBD3.求解空间中的距离(1)异面直线间的距离
两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.
如图,设两条异面直线a、b的公
垂线的方向向量为n, 这时分别在
a、b上任取A、B两点,则向量在n
上的正射影长就是两条异面直线
a、b的距离.
∴
即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB
例8在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1), 设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由 ,得
n=(-1,-1,2).

∵ ,
∴异面直线AC1与BD间的距离
(2)点到平面的距离
A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.

=
= .
于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.nABHαθ例9 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1= ,AC=BC=1,∠ACB=90°,
求B1到面A1BC的距离.zxyCC1A1B1AB