选择性必修第一册1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册1.4空间向量的应用 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-20 16:43:50 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习
一、单选题
1．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B．
C． D．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
3．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π
5．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定
6．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，向量，，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能
8．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A． B．
C． D．
9．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝( )
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
10．已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面、成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，，则VA与平面PMN的位置关系是_________．
14．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是___________________．
15．在正方体中，是线段上的一点，且，若为锐角，则的取值范围是______.
16．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．
17．在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________.
三、解答题
18．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19．如图，四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，,
所以点P到AB的距离．
故选：C.
2．B
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；
【详解】
解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，
∴，，，，
∴，，，
从而，，，
故选：B．
3．B
【分析】
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
4．A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.
【详解】
设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.
5．C
根据两个平面的法向量，结合向量的数量积的运算，进而得到答案.
【详解】
由题意，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面相互垂直.
故选：C.
6．C
首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
7．A
【分析】
通过计算可得知，也为平面的一个法向量，由此可得出平面与平面的位置关系.
【详解】
，，
，，，所以，也为平面的一个法向量，
又平面与平面不重合，所以平面与平面平行，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用法向量判断平面与平面的位置关系，考查计算能力，属于基础题.
8．D
【分析】
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．C
【分析】
先求出，由题得，即，解方程即得解.
【详解】
，而，
即，解得或－11.
故选：C
【点睛】
本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
10．B
根据经过点，法向量为的平面方程为的定义，分别求得平面、的法向量，由求解.
【详解】
平面过点，则平面的方程为，
其法向量为，
，
平面过点，则平面的方程为，
其法向量为，
，
设平面、成角的平面角为，则，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求二面角的向量方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
11．B
根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由，得：，则“”是“”的必要条件，
而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.
故选：B.
12．A
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
13．平行
利用图形，设，再结合比例关系代换出，通过运算可得，由此判断共面，从而得出结论
【详解】
如图，设，则
由题意知
因此
共面．
又VA 平面PMN，
∴VA∥平面PMN.
故答案为：平行
【点睛】
本题考查空间坐标系中关于线面平行的判断，属于中档题
14．或
【分析】
由空间向量数量积的坐标表示可得，再由线面位置关系即可求解.
【详解】
因为直线的方向向量为，平面的法向量，
所以，所以，
所以或，
故答案为：或.
15．
【分析】
如图，建立空间坐标系，设正方体的边长为，设，写出点的坐标，代入已知条件，利用空间向量的数量积坐标公式求解即可得出结果.
【详解】
如下图，建立空间坐标系，
设正方体的边长为，设，
则，
由，得，
，
则，
为锐角，
，
，
则或，
又，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量的数量积坐标公式求解参数的问题.属于较易题.
16．
【分析】
由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.
【详解】
如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接
则,又，且,所以平面
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形中，为中心，
由条件有，可得
在直角三角形中，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
17．
【分析】
由已知AB，AD，AP两两垂直, 以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法求AD到平面PBC的距离.
【详解】
由已知AB，AD，AP两两垂直．
∴以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．
设平面PBC的一个法向量为＝(a，b，c)，则令a＝1，则＝(1,0,1)．又＝(2,0,0)，∴d＝＝
故答案为：
【点睛】
本题主要考查线面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据平面得，再根据几何关系得，进而可证明平面.
（2）由（1）知，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得答案.
【详解】
解：（1）证明：因为平面，平面，
所以.
在中，，，，
所以.
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
所以.
又因为，
故点到平面的距离
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，逻辑推理能力，空间想象能力，是中档题.常见的求点到面的距离的方法有两种，第一种为利用等体积法求解，第二种为利用坐标法求解.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证平面，即可通过线面垂直推证线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，用向量法即可求得线面夹角.
【详解】
（1）如下图所示，取的中点，连接.
，，为的中点，则，，
又，可得，故四边形为平行四边形，，
且，，
，，，则，，
，，平面，
平面，因此，；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由，得，可得，
令，可得，，则，
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查利用线面垂直证明线线垂直，以及用向量法求线面角，属综合基础题.
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】
（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.
[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：几何法+体积法
如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．
因为，
所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．
设正方体的棱长为2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，所以．
【整体点评】
（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由面面垂直性质可得平面，得到；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，平面，，平面.
（2）取中点，连结，
为等腰直角三角形，平面平面，平面，平面，知两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为，
，
由图形可知：二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；
（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；
（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．如图，ABCD－EFGH是棱长为1的正方体，若P在正方体内部且满足，则P到AB的距离为（ ）
A． B．
C． D．
2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则（ ）
A．EF至多与A1D，AC中的一个垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
3．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为（ ）
A．16+8π B．32+16π C．32+8π D．16+16π
5．平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．不能确定
6．在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知两个不重合的平面与平面，若平面的法向量为，向量，，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能
8．若O为坐标原点， ＝(1,1，－2)，＝(3,2,8)，＝(0,1,0)，则线段AB的中点P到点C的距离为( )
A． B．
C． D．
9．已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为，则＝( )
A．－1 B．－11
C．－1或－11 D．－21
10．已知经过点，法向量为的平面方程为，现给出平面的方程为，平面的方程为，则平面、成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
12．已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，，则VA与平面PMN的位置关系是_________．
14．若直线的方向向量为，平面的法向量，则直线与平面的位置关系是___________________．
15．在正方体中，是线段上的一点，且，若为锐角，则的取值范围是______.
16．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小为________．
17．在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________.
三、解答题
18．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
19．如图，四棱锥中，，，，，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．如图，在正方体中， E为的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
21．如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，，，平面平面.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】
以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出和的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式即可求解.
【详解】
解：如图，以为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，
因为，
所以，，,
所以点P到AB的距离．
故选：C.
2．B
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断两直线的位置关系；
【详解】
解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，
设正方体的棱长为1，则，，，，，，，，
∴，，，，
∴，，，
从而，，，
故选：B．
3．B
【分析】
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
4．A
【分析】
建立空间直角坐标系，利用异面直线和所成的角的余弦值计算出该几何体的高，由此计算出该几何体的体积.
【详解】
设在底面半圆上的射影为，连接交于，设.
依题意半圆柱体底面直径，为半圆弧的中点，
所以且分别是下底面、上底面半圆的圆心.连接，
则与上下底面垂直，所以，
以为轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为，则
，
所以，
由于异面直线和所成的角的余弦值为，
所以，
即.
所以几何体的体积为.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据线线角求其它量，考查几何体体积的求法，属于中档题.
5．C
根据两个平面的法向量，结合向量的数量积的运算，进而得到答案.
【详解】
由题意，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，
可得，
故两个平面的法向量垂直，故平面和平面相互垂直.
故选：C.
6．C
首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
7．A
【分析】
通过计算可得知，也为平面的一个法向量，由此可得出平面与平面的位置关系.
【详解】
，，
，，，所以，也为平面的一个法向量，
又平面与平面不重合，所以平面与平面平行，
故选：A.
【点睛】
本题考查利用法向量判断平面与平面的位置关系，考查计算能力，属于基础题.
8．D
【分析】
先求出的坐标，再利用三角形减法法则求的坐标，再求||即得解.
【详解】
由题意＝ (＋)＝，＝－＝，||＝.
故答案为D
【点睛】
本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的三角形法则和平行四边形法则，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
9．C
【分析】
先求出，由题得，即，解方程即得解.
【详解】
，而，
即，解得或－11.
故选：C
【点睛】
本题主要考查点面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
10．B
根据经过点，法向量为的平面方程为的定义，分别求得平面、的法向量，由求解.
【详解】
平面过点，则平面的方程为，
其法向量为，
，
平面过点，则平面的方程为，
其法向量为，
，
设平面、成角的平面角为，则，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求二面角的向量方法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
11．B
根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由，得：，则“”是“”的必要条件，
而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.
故选：B.
12．A
【分析】
本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】
因为，，所以，
则，，
由点到直线的距离公式得，
故选：A.
13．平行
利用图形，设，再结合比例关系代换出，通过运算可得，由此判断共面，从而得出结论
【详解】
如图，设，则
由题意知
因此
共面．
又VA 平面PMN，
∴VA∥平面PMN.
故答案为：平行
【点睛】
本题考查空间坐标系中关于线面平行的判断，属于中档题
14．或
【分析】
由空间向量数量积的坐标表示可得，再由线面位置关系即可求解.
【详解】
因为直线的方向向量为，平面的法向量，
所以，所以，
所以或，
故答案为：或.
15．
【分析】
如图，建立空间坐标系，设正方体的边长为，设，写出点的坐标，代入已知条件，利用空间向量的数量积坐标公式求解即可得出结果.
【详解】
如下图，建立空间坐标系，
设正方体的边长为，设，
则，
由，得，
，
则，
为锐角，
，
，
则或，
又，
故.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了利用空间向量的数量积坐标公式求解参数的问题.属于较易题.
16．
【分析】
由题意作出正三棱锥，设为底面的中心，过作交于点,连接，可得为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件，得出，从而得出答案.
【详解】
如图在正三棱锥中，设为底面的中心，连接,则平面.
过作交于点,连接
则,又，且,所以平面
则,所以为侧面和底面所成二面角的平面角.
在正三角形中，为中心，
由条件有，可得
在直角三角形中，
所以
故答案为：
【点睛】
本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
17．
【分析】
由已知AB，AD，AP两两垂直, 以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量的方法求AD到平面PBC的距离.
【详解】
由已知AB，AD，AP两两垂直．
∴以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，＝(2,0，－2)，＝(0,2,0)．
设平面PBC的一个法向量为＝(a，b，c)，则令a＝1，则＝(1,0,1)．又＝(2,0,0)，∴d＝＝
故答案为：
【点睛】
本题主要考查线面距的向量求法，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.
18．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）根据平面得，再根据几何关系得，进而可证明平面.
（2）由（1）知，，，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可得答案.
【详解】
解：（1）证明：因为平面，平面，
所以.
在中，，，，
所以.
所以.
因为，，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，，，
如图，以为原点建立空间直角坐标系.
则，，，.
，.
设平面的法向量为，
则即
令，则，，
所以.
又因为，
故点到平面的距离
.
【点睛】
本题考查线面垂直的证明，向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，逻辑推理能力，空间想象能力，是中档题.常见的求点到面的距离的方法有两种，第一种为利用等体积法求解，第二种为利用坐标法求解.
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）先证平面，即可通过线面垂直推证线线垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量以及平面的法向量，用向量法即可求得线面夹角.
【详解】
（1）如下图所示，取的中点，连接.
，，为的中点，则，，
又，可得，故四边形为平行四边形，，
且，，
，，，则，，
，，平面，
平面，因此，；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点、、、，
所以，，，.
设平面的法向量为，
由，得，可得，
令，可得，，则，
.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查利用线面垂直证明线线垂直，以及用向量法求线面角，属综合基础题.
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）证明出四边形为平行四边形，可得出，然后利用线面平行的判定定理可证得结论；也可利用空间向量计算证明；
（Ⅱ）可以将平面扩展，将线面角转化，利用几何方法作出线面角，然后计算；也可以建立空间直角坐标系，利用空间向量计算求解 .
【详解】
（Ⅰ）[方法一]：几何法
如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；
[方法二]:空间向量坐标法
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则.
又∵向量,,
又平面，平面；
（Ⅱ）[方法一]：几何法
延长到，使得，连接，交于，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵,∴,所以平面即平面,
连接，作,垂足为,连接,
∵平面,平面,∴，
又∵,∴直线平面,
又∵直线平面,∴平面平面,
∴在平面中的射影在直线上,∴直线为直线在平面中的射影，∠为直线与平面所成的角，
根据直线直线，可知∠为直线与平面所成的角.
设正方体的棱长为2，则,,∴,
∴,
∴,
即直线与平面所成角的正弦值为.
[方法二]：向量法
接续（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，
又∵,∴，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
[方法三]：几何法+体积法
如图，设的中点为F，延长，易证三线交于一点P．
因为，
所以直线与平面所成的角，即直线与平面所成的角．
设正方体的棱长为2，在中，易得，
可得．
由，得，
整理得．
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
[方法四]：纯体积法
设正方体的棱长为2，点到平面的距离为h，
在中，，
，
所以，易得．
由，得，解得，
设直线与平面所成的角为，所以．
【整体点评】
（Ⅰ）的方法一使用线面平行的判定定理证明，方法二使用空间向量坐标运算进行证明；
（II）第一种方法中使用纯几何方法，适合于没有学习空间向量之前的方法，有利用培养学生的集合论证和空间想象能力，第二种方法使用空间向量方法，两小题前后连贯，利用计算论证和求解，定为最优解法；方法三在几何法的基础上综合使用体积方法，计算较为简洁；方法四不作任何辅助线，仅利用正余弦定理和体积公式进行计算，省却了辅助线和几何的论证，不失为一种优美的方法.
21．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）由面面垂直性质可得平面，得到；由线面垂直的判定定理可证得结论；
（2）取中点，由面面垂直性质可知平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量求法可求得结果.
【详解】
（1）四边形为正方形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，；
又，平面，，平面.
（2）取中点，连结，
为等腰直角三角形，平面平面，平面，平面，知两两互相垂直，
以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，，
设平面的法向量为，
则，令，解得：，，；
由（1）知：平面，平面的一个法向量为，
，
由图形可知：二面角为钝二面角，
二面角的余弦值为.
【点睛】
方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；
（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；
（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.
答案第1页，共2页
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