选择性必修第一册2.4圆的方程 同步练习（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 选择性必修第一册2.4圆的方程 同步练习（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 527.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-20 16:48:01 | ||
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文档简介
人教A版（2019）选择性必修第一册 2.4 圆的方程 同步练习
一、单选题
1．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如果方程表示圆，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（ ）
A．(－2，－4) B．
C．(－2，－4)或 D．不确定
7．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
8．圆的圆心到直线的距离为2，则（ ）
A． B． C． D．2
9．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．点在圆的（ ）
A．圆上 B．圆内
C．圆外 D．无法判定
11．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
二、填空题
13．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________
14．已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.
15．已知集合，则中元素的个数为_____.
16．已知圆，过圆内一点M（3，0）的最长弦所在的直线方程是________．
17．已知复数z满足，则的最大值为________．
三、解答题
18．已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.
(1)求顶点和的坐标；
(2)求外接圆的一般方程.
19．已知圆的标准方程为.
（1）若点在圆上，求半径；
（2）若点与有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围.
20．在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，内角的角分线方程为，边上的高线方程为.
(1)求边的所在直线方程；
(2)若的面积为，求外接圆方程.
21．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).
（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】
方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.
【详解】
由，得.
因为，所以或.
当时，；当时，.
所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.
故选：A
2．A
【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由圆的一般式方程可得，即，求得，
故选：A
3．B
【分析】
利用，解不等式即可得结果.
【详解】
因为方程表示圆，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选B.
【点睛】
本题主要考查圆的方程，属于基础题.
4．B
【分析】
根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.
【详解】
依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得：，解得，，
所以C的长度为.
故选：B
5．C
求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
6．A
根据圆的一般式方程中平方项系数相等且非零，得到参数a值，再代入验证是否表示圆，即得结果.
【详解】
∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴，解得或．
当时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得标准式方程(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
当时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圆．
故选：A．
7．D
【分析】
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
8．B
配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算．
【详解】
圆的标准方程是，圆心为，
∴，解得．
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题．
9．D
【分析】
由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.
【详解】
因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，
又圆的圆心为，
所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，
故选：D
10．A
直接将点的坐标代入圆的方程即可判断；
【详解】
解：将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上，
故选：A
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
11．D
将圆化为标准方程，再将点代入圆列不等式即可.
【详解】
化为标准方程为：
把原点坐标代入圆的方程得: ,
解得：,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了点和圆的位置关系，属于基础题.
12．D
【分析】
根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】
根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为，半径为，
故选：D.
13．
【分析】
圆心的对称点即为新圆心．
【详解】
已知圆圆心为，∴，
∴圆方程为．
【点睛】
圆关于某点或某直线对称，关键是求出圆心的对称点即新圆心坐标，而半径不变．
14．
【分析】
依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得；
【详解】
解：如图所示，是线段的中点，则，
因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，
整理得的轨迹是.
故答案为：
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程，属于中档题.
15．9
【分析】
根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【详解】
将满足的整数全部列举出来，即
，共有9个.
故答案为：9.
【点睛】
本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.
16．y=x 3##x-y-3=0
【分析】
因为圆内最长弦为直径，所以求出圆的圆心即可写出最长弦所在的直线方程．
【详解】
由可得圆心为，所以过圆内一点M（3，0）的最长弦所在的直线方程是，即
故答案为：．
17．
【分析】
由题设知，的最大值即为圆上一点到的最大距离，即可求最大值.
【详解】
由题意，若对应坐标为，则等价于，
∴的最大值，即圆上一点到的最大距离，
又圆心到的距离为，
∴的最大值为.
故答案为：.
18．(1)，
(2)
【分析】
（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；
（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.
(1)
由可得，所以点的坐标为，
由可得，所以
由，可得，
因为，所以直线 的方程为：，即，
由可得，所以点的坐标为.
(2)
设的外接圆方程为，
将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：
，解得：，
所以的外接圆的一般方程为.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）点代入圆的方程即可求解；
（2）求出,根据一点圆内一点圆外即可求解.
【详解】
（1）因为点在圆上，
所以，即，
又，所以.
（2）因为，
，
所以，故点在圆外，点在圆内，
所以，
故实数的取值范围是.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由边上高的斜率可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程，与角的角分线方程联立可得点坐标，求出点关于对称点的坐标，由对称点坐标和点坐标即可得边的所在直线方程；
（2）由（1）可得，结合两点间距离公式以及三角形的面积可求出、的长，求出中点坐标为圆心，为半径，进而可得外接圆方程.
(1)
由边上高为，边上高所在直线的斜率为，
所以直线的斜率为，所以直线：
由，可得：，所以点坐标为，
设点关于的对称点为，
由，解得：，所以对称点的坐标为，
因为点和点在直线上，
可得直线方程为：，
所以直线，
(2)
因为直线即为直线边上的高线，所以，
，
的面积为，可得，，
所以是等腰直角三角形，
因为，，所以中点坐标为，
所以外接圆的方程为.
21．（1）x﹣y=0，（2）(x﹣8)2+(y+6)2=100
【分析】
（1）设坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出坐标，进而取出直线方程；
（2）分别求出的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.
【详解】
（1）设A(x，y)，B(a，b)，C(m，n)，则.
解得,∴A (0，0)，B(2，2)，C(8，4).
∴边AB所在直线的方程:x﹣y=0.
（2）由（1）得的垂直平分线方程为，
的垂直平分线方程为，
联立，解得，
所以的外接圆的圆心，
半径为，
∴△ABC的外接圆方程为(x﹣8)2+(y+6)2=100.
【点睛】
本题考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．已知A，B是曲线上两个不同的点，，则的最大值与最小值的比值是（ ）
A． B． C． D．
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如果方程表示圆，则的取值范围是
A． B． C． D．
4．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．圆上一点到原点的距离的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．已知a∈R，若方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为（ ）
A．(－2，－4) B．
C．(－2，－4)或 D．不确定
7．两个点、与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外，点在圆外
B．点在圆内，点在圆内
C．点在圆外，点在圆内
D．点在圆内，点在圆外
8．圆的圆心到直线的距离为2，则（ ）
A． B． C． D．2
9．已知直线与圆相交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．点在圆的（ ）
A．圆上 B．圆内
C．圆外 D．无法判定
11．若坐标原点在圆的内部，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．圆的圆心坐标和半径分别是（ ）
A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3
C． D．
二、填空题
13．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是________
14．已知圆，，是圆上两点，点且，则线段中点的轨迹方程是______.
15．已知集合，则中元素的个数为_____.
16．已知圆，过圆内一点M（3，0）的最长弦所在的直线方程是________．
17．已知复数z满足，则的最大值为________．
三、解答题
18．已知的顶点，直线的方程为，边上的高 所在直线的方程为.
(1)求顶点和的坐标；
(2)求外接圆的一般方程.
19．已知圆的标准方程为.
（1）若点在圆上，求半径；
（2）若点与有一点在圆内，另一点在圆外，求实数的取值范围.
20．在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为，内角的角分线方程为，边上的高线方程为.
(1)求边的所在直线方程；
(2)若的面积为，求外接圆方程.
21．已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(5，3)，E(4，2)，F(1，1).
（1）求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标；
（2）求△ABC的外接圆的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】
方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分，数形结合求出的最大值和最小值，进而求出比值.
【详解】
由，得.
因为，所以或.
当时，；当时，.
所以方程表示的曲线为圆的左半部分和圆的右半部分.当A，B分别与图中的M，N重合时，取得最大值，且最大值为6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时，取得最小值，且最小值为.故的最大值与最小值的比值是.
故选：A
2．A
【分析】
根据二元二次方程表示圆的条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
由圆的一般式方程可得，即，求得，
故选：A
3．B
【分析】
利用，解不等式即可得结果.
【详解】
因为方程表示圆，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选B.
【点睛】
本题主要考查圆的方程，属于基础题.
4．B
【分析】
根据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.
【详解】
依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，
由圆的性质得：，解得，，
所以C的长度为.
故选：B
5．C
求得圆的圆心和半径，由此求得圆上一点到原点的距离的最大值.
【详解】
圆的圆心为，半径为，
圆心到原点的距离为，
所以圆上一点到原点的距离的最大值为.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查点和圆的位置关系，属于基础题.
6．A
根据圆的一般式方程中平方项系数相等且非零，得到参数a值，再代入验证是否表示圆，即得结果.
【详解】
∵方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，∴，解得或．
当时，方程化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0．配方，得标准式方程(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5；
当时，方程化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，其中，方程不表示圆．
故选：A．
7．D
【分析】
本题可将点、代入方程左边，通过得出的值与的大小关系即可判断出结果.
【详解】
将代入方程左边得，
则点在圆内，
将代入方程左边得，
则点在圆外，
故选：D.
8．B
配方求出圆心坐标，再由点到直线距离公式计算．
【详解】
圆的标准方程是，圆心为，
∴，解得．
故选：B.
【点睛】
本题考查圆的标准方程，考查点到直线距离公式，属于基础题．
9．D
【分析】
由圆的平面几何性质可知，过圆心与垂直的直线即为所求，根据垂直关系求出AB中垂线斜率即可求解.
【详解】
因为直线AB：的斜率为，可知垂直平分线的斜率为，
又圆的圆心为，
所以弦AB的垂直平分线方程为，化简得，
故选：D
10．A
直接将点的坐标代入圆的方程即可判断；
【详解】
解：将点的坐标代入圆的方程即，∴点在圆上，
故选：A
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.
11．D
将圆化为标准方程，再将点代入圆列不等式即可.
【详解】
化为标准方程为：
把原点坐标代入圆的方程得: ,
解得：,
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了点和圆的位置关系，属于基础题.
12．D
【分析】
根据圆的标准方程，直接进行判断即可.
【详解】
根据圆的标准方程可得，
的圆心坐标为，半径为，
故选：D.
13．
【分析】
圆心的对称点即为新圆心．
【详解】
已知圆圆心为，∴，
∴圆方程为．
【点睛】
圆关于某点或某直线对称，关键是求出圆心的对称点即新圆心坐标，而半径不变．
14．
【分析】
依题意设是线段的中点，则，可得，在中利用勾股定理计算可得；
【详解】
解：如图所示，是线段的中点，则，
因为，于是，
在中，，，，
由勾股定理得，
整理得的轨迹是.
故答案为：
【点睛】
本题考查求动点的轨迹方程，属于中档题.
15．9
【分析】
根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.
【详解】
将满足的整数全部列举出来，即
，共有9个.
故答案为：9.
【点睛】
本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.
16．y=x 3##x-y-3=0
【分析】
因为圆内最长弦为直径，所以求出圆的圆心即可写出最长弦所在的直线方程．
【详解】
由可得圆心为，所以过圆内一点M（3，0）的最长弦所在的直线方程是，即
故答案为：．
17．
【分析】
由题设知，的最大值即为圆上一点到的最大距离，即可求最大值.
【详解】
由题意，若对应坐标为，则等价于，
∴的最大值，即圆上一点到的最大距离，
又圆心到的距离为，
∴的最大值为.
故答案为：.
18．(1)，
(2)
【分析】
（1）联立直线，的方程求出点的坐标，由求出直线的斜率及方程，的方程与直线方程联立求出的坐标；
（2）设圆的一般方程为，将，，三点坐标代入求出圆的一般方程求出的值即可求解.
(1)
由可得，所以点的坐标为，
由可得，所以
由，可得，
因为，所以直线 的方程为：，即，
由可得，所以点的坐标为.
(2)
设的外接圆方程为，
将，和三点的坐标分别代入圆的方程可得：
，解得：，
所以的外接圆的一般方程为.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）点代入圆的方程即可求解；
（2）求出,根据一点圆内一点圆外即可求解.
【详解】
（1）因为点在圆上，
所以，即，
又，所以.
（2）因为，
，
所以，故点在圆外，点在圆内，
所以，
故实数的取值范围是.
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由边上高的斜率可得直线的斜率，由点斜式可得直线的方程，与角的角分线方程联立可得点坐标，求出点关于对称点的坐标，由对称点坐标和点坐标即可得边的所在直线方程；
（2）由（1）可得，结合两点间距离公式以及三角形的面积可求出、的长，求出中点坐标为圆心，为半径，进而可得外接圆方程.
(1)
由边上高为，边上高所在直线的斜率为，
所以直线的斜率为，所以直线：
由，可得：，所以点坐标为，
设点关于的对称点为，
由，解得：，所以对称点的坐标为，
因为点和点在直线上，
可得直线方程为：，
所以直线，
(2)
因为直线即为直线边上的高线，所以，
，
的面积为，可得，，
所以是等腰直角三角形，
因为，，所以中点坐标为，
所以外接圆的方程为.
21．（1）x﹣y=0，（2）(x﹣8)2+(y+6)2=100
【分析】
（1）设坐标，由中点坐标公式列出方程，可求出坐标，进而取出直线方程；
（2）分别求出的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为外接圆圆心坐标，求出半径，可得出结论.
【详解】
（1）设A(x，y)，B(a，b)，C(m，n)，则.
解得,∴A (0，0)，B(2，2)，C(8，4).
∴边AB所在直线的方程:x﹣y=0.
（2）由（1）得的垂直平分线方程为，
的垂直平分线方程为，
联立，解得，
所以的外接圆的圆心，
半径为，
∴△ABC的外接圆方程为(x﹣8)2+(y+6)2=100.
【点睛】
本题考查线段中点坐标的应用，考查圆的标准方程，掌握应用垂径定理确定圆心，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页