选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第三章　圆锥曲线的方程
一、单选题
1．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则（ ）
A． B． C．3 D．9
2．若点在曲线上，点在曲线上，点在曲线上，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知为抛物线上任意一点，抛物线的焦点为，点是平面内一点，则的最小值为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
5．设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
6．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上一点作的垂线，垂足为.设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线与抛物线交于A，B两点，F为抛物线C的焦点，若则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则（ ）
A． B． C． D．或
9．已知方程的两根是两圆锥曲线的离心率，则这两圆锥曲线是（ ）
A．抛物线、双曲线 B．椭圆、双曲线
C．椭圆、抛物线 D．无法确定
10．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
11．已知、为双曲线的焦点，为与双曲线的交点，且有，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
12．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设，是双曲线的两个焦点，是上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的焦距为 ______．
14．P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
15．已知圆C: ，点在抛物线T：上运动，过点引直线，与圆C相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.
16．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为__________
三、解答题
17．已知椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.
18．已知椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过点A(，0)，B(0，1).
（1）求E的方程；
（2）过点(1，0)作倾斜角为45°的直线l，l与E相交于P，Q两点，求△OPQ的面积.
19．已知椭圆：的离心率为，短轴长为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
20．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．
21．双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的一条准线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
由，可得，结合抛物线的定义和三角形的性质，求得直线的斜率，进而得到的方程，将其与抛物线的方程联立，求得交点的横坐标，再利用抛物线的定义，即可求解.
【详解】
由题意，抛物线的焦点为，
因为，可得,
如图所示，过点作直线于点，则，
所以在直角中，，所以，
所以直线的方程为，
联立，整理得，解得或，
由抛物线的定义可知.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，以及平面向量的线性运算等知识的综合应用，其中解答中熟练运用抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
2．B
【分析】
分析可知两圆圆心为双曲线的两个焦点，利用圆的几何性质以及双曲线的定义可求得的最大值.
【详解】
在双曲线中，，，，易知两圆圆心分别为双曲线的两个焦点，
记点、，当取最大值时，在双曲线的左支上，
所以，.
故选：B.
3．A
【分析】
设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．
【详解】
设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
【点睛】
本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．
4．D
根据条件作出图示，根据抛物线的定义将转化为到准线的距离，然后根据三点共线求解出的最小值.
【详解】
根据已知条件出图示如下，过作准线，且准线方程，
所以，
所以当三点共线时，此时有最小值，即有最小值，
所以，且，，
所以，
故答案为：D.
【点睛】
思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：
（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离；
（2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.
5．D
【分析】
取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，，然后结合双曲线的定义得到，进而利用勾股定理求得，于是根据直线l的斜率，得到a,c的关系，从而求得离心率
【详解】
设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．
【点睛】
本题考查双曲线的几何性质——离心率的求法，涉及向量的运算和数量积，关键是取M的中点，利用向量的中点公式和向量数量积为零的几何意义，得到为线段MN的中垂线，结合双曲线的定义得到是关键，根据直线l的斜率，得到a,c的关系是求得离心率的方向.
6．D
【分析】
如图所示，．由于轴，，，可得，．利用抛物线的定义可得，代入可取，再利用即可得出．
【详解】
解：如图所示，，．
所以．
轴，，，所以四边形为平行四边形，
，．
，解得，代入可取，
，
解得．
故选：．
7．C
【分析】
画出图象，结合抛物线的定义求得的值.
【详解】
直线过，也即直线过抛物线的焦点，
画出图象如下图所示，
过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为；过作直线垂直于抛物线的准线，垂足为，
过作，交于.
依题意，设，
则，，
所以直线的斜率.
故选：C
8．B
【分析】
设点，利用求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得.
【详解】
抛物线的焦点为，准线的方程为.
设点、，则，，
，可得，解得，
由抛物线的定义可得.
故选：B.
【点睛】
本题考查利用抛物线的定义求焦半径，求出点的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
9．B
根据方程，求得其两根，根据两根的范围，结合椭圆、双曲线离心率的范围，即可得答案.
【详解】
方程的两根分别为，
因为，即，
又椭圆的离心率，双曲线的离心率，
所以方程的两个根可作为是椭圆和双曲线的离心率.
故选：B
10．D
【分析】
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
11．A
【分析】
设，则，将、用表示，即可求得该双曲线的离心率.
【详解】
由题意知，
在中，，可设，则，
由勾股定理可得，
又由得，所以，.
故选：A.
12．D
【分析】
根据抛物线方程得出和开口方向即可求得.
【详解】
由抛物线方程可得，开口向左，
则准线方程为.
故选：D.
13．
【分析】
由题不妨设，进而结合定义得，故在中结合余弦定理即可得答案.
【详解】
解：不妨设，则，
所以，因为，
所以由余弦定理得：，
代入数据解得：，即双曲线的焦距为
故答案为：
14．
【分析】
由双曲线的定义以及切线的性质可得圆心横坐标为，又根据圆的面积可求出半径，可知圆心，可求出，因为是的角平分线，借助于角相等可求直线的斜率.
【详解】
由题意可知，，，
所以，
设，
则，
即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，
于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：.
15．
【分析】
设出点的坐标，探讨出的取值范围，借助四边形MPCQ的面积计算，把表示为的函数即可作答.
【详解】
如图，连接CP，CQ，CM，依题意，，而，
而，则CM垂直平分线段PQ，于是得四边形MPCQ的面积为面积的2倍，
从而得，即，
设点，而，，则，
当且仅当t=1时取“=”，，
因此得，即，得，
所以的取值范围为.
故答案为：
16．12
【分析】
根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值.
【详解】
由题意得：，根据椭圆的定义得，
∴，
圆变形得，即圆心，半径，
要使最大，即最大，又，
∴使最大即可.
如图所示：
∴当共线时，有最大值为，
∴的最大值为，
∴的最大值，即的最大值为11+1=12，
故答案为：12
17．（1）；（2）.
（1）根据离心率，得到，再结合点在椭圆上求解.
（2）由题意得到直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求得，再由求解.
【详解】
（1）由题，
∴，
将点代入椭圆：，
得.
故椭圆的方程为：.
（2）过右焦点，斜率的直线方程：，
联立，化简得，
设，，则，
所以，
所以.
18．（1）+y2=1；（2）.
【分析】
解法一:（1）根据A，B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，E的焦点在x轴上求解.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设y1>y2，直线l的方程为y=x-1，与椭圆方程联立，求得交点，然后由求解；
解法二:（1）同解法一.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设x1【详解】
解法一:（1）依题意知，A，B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，
所以E的焦点在x轴上.
设E的方程为+=1(a>b>0)，
则a=，b=1，
所以E的方程为+y2=1.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设y1>y2，
依题意，得直线l的方程为y=x-1.
由得3y2+2y-1=0，
解得y1=，y2=-1.
记点(1，0)为F，则
|OF||y1-y2|=×1×=.
所以OPQ的面积为.
解法二:（1）同解法一.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设x1依题意，得直线l的方程为y=x-1.
由
得3x2-4x=0，
解得x1=0，x2=，
所以|PQ|=|x1-x2|=×=，
原点O到直线l的距离d==，
所以=××=.
所以OPQ的面积为.
19．（1），（2）.
【分析】
（1）由椭圆的性质列方程可得即可得解；
（2）设直线的方程，联立方程组结合韦达定理可得，再由三角形面积即可解得，即可的解.
【详解】
（1）由题意可得，解得：
故椭圆C的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为
联立，整理得
,
则，故,
因为的面积为,所以，
设，则整理得，解得或（舍去），即.
故直线的方程为，即.
20．(1)y2＝4x
(2)证明见解析
【分析】
(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；
(2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标．
(1)
P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，
∴p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x．
(2)
证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
所以Δ＞0 16m2+16t＞0 m2+t＞0，
，同理：，
由题意：，
∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，
∴y1y2＝4，
∴﹣4t＝4，
∴t＝﹣1，
故直线AB恒过定点(﹣1，0)．
21．（1）；（2）.
【分析】
（1）求出椭圆焦点坐标，得双曲线的半焦距，再由准线方程求得，从而可得，然后可得双曲线方程．
（2）设弦的两端分别为，，代入双曲线方程相减利用中点坐标可求得弦所在直线斜率，从而得直线方程．
【详解】
∵椭圆的焦点为， ∴
∵一条准线方程为，，解得，∴，
∴双曲线的方程为．
（2）设弦的两端分别为，．则有：
．
∵弦中点为，∴．
故直线的斜率．
则所求直线方程为：．
【点睛】
思路点睛：本题考查双曲线的中点弦方程，解题方法是点差法，已知圆锥曲线的弦的中点坐标，可设弦两端点坐标为，代入圆锥曲线方程相减，结合中点坐标得出弦所在直线的斜率，从而可得直线方程．注意椭圆、抛物线的弦中点需在曲线内部，双曲线的弦中点只要不在双曲线即可．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页