选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何 单元练习（Word版含解析）

人教A版（2019）选择性必修第一册 第一章　空间向量与立体几何
一、单选题
1．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，在空间四边形中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥的各棱长均为1，且是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．向量与的夹角是
D．与所成角的余弦值为
7．已知向量,,,若共面,则等于
A． B． C．或 D．或
8．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
9．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
10．四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（ ）
A．1 B． C． D．2
11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，以下结论错误的是（　　）
A．面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条
B．直线A1D与BC1垂直
C．直线A1D与BD1平行
D．三棱锥A﹣A1CD的体积为a3
12．在下列条件中，使与，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．在直四棱柱中，底面是边长为的菱形，，，过点与直线垂直的平面交直线于点，则三棱锥的外接球的表面积为____.
14．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
15．已知P是棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______.
16．如图所示，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则________.
三、解答题
17．如图，平面内直线与线段相交于点，，且，将此平面沿直线折成的二面角平面，点为垂足.
（1）求的面积；
（2）求异面直线与所成角的正切值.
18．如图，平面平面，，，，为上一点，且平面.
（1）证明：平面；
（2）若平面与平面所成锐二面角为，求.
19．在中，，，.
（1）求顶点、的坐标；
（2）求；
（3）若点在上，且，求点的坐标.
20．如图，已知四棱锥中，平面，平面平面，且，，，点在平面内的射影恰为的重心.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）中，，，棱，为的中点.
（1）求的长；
（2）求与所成角的余弦值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.
【详解】
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.
2．B
【分析】
由向量的加法和减法运算法则计算即可．
【详解】
故选：B
3．C
【分析】
将，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.
【详解】
设与的夹角为．由，得，两边平方，得，
所以，解得，又，所以，
故选：C．
4．B
设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】
如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
5．D
【分析】
先以为基底进行线性转化，再利用数量积定义计算即可.
【详解】
以为基底进行线性转化，棱长均为1，故
是的中点，故，
故.
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算和数量积运算，属于基础题.
6．B
选项，计算得，所以选项不正确；
选项，，所以，所以选项正确；
选项，向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，与所成角的余弦值为，所以选项不正确.
【详解】
选项，由题意可知，
则
，
∴，所以选项不正确；
选项，，又，
∴，所以选项正确；
选项，，，
∴向量与的夹角是，所以选项不正确；
选项，，，
设与所成角的平面角为，
∴
，所以选项不正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是把几何的问题和向量联系起来，转化为向量的问题，提高解题效率，优化解题.把线段长度的计算，转化为向量的模的计算；把垂直证明转化为向量数量积为零；把异面直线所成的角转化为向量的夹角计算.
7．B
根据列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值.
【详解】
由于共面，所以存在，使得，即
，所以，所以.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查空间向量共线的表示，考查空间向量的坐标运算，属于基础题.
8．D
【分析】
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
9．D
【分析】
运用向量表示出，然后平方计算出结果.
【详解】
解：在平行六面体中，因为，所以．
所以．
故选：D.
【点睛】
本题考查了平行六面体中的长度问题，运用向量将其进行分解，线性表示出要求向量，然后求出结果，属于中档题.
10．B
运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项.
【详解】
因为，
所以，所以，所以 ，
解得，所以，
故选：B.
11．C
【分析】
建立空间直角坐标系．利用正方体的性质、向量的夹角公式与数量积的关系、三棱锥的体积计算公式即可得出结果．
【详解】
解：如图所示，建立空间直角坐标系．
A1（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），B1（a，a，a）．
C1（0，a，a），D1（0，0，a），
∴（﹣a，0，﹣a），（0，a，a），
∴cos，
∴异面直线A1D，AB1所成角为60°，
同理，正方体的六个面中，除了平面ADD1A1与平面BCC1B1的面对角线处其他的面对角线都与A1D所成角为60°，
∴面对角线中与直线A1D所成的角为60°的有8条，故A正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，0，a），
∴ 0，∴直线A1D与BC1垂直，故B正确；
∵（﹣a，0，﹣a），（﹣a，﹣a，a），
∴0，∴直线A1D与BD1垂直，故C错误；
三棱锥A﹣A1CD的体积为：
a2×a．故D正确．
故选：C．
12．C
【分析】
根据四点共面的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：与，，一定共面的充要条件是，
对于A选项，由于，故不共面，错误；
对于B选项，由得，由于，故不共面，错误；
对于C选项，由得，即，由于，满足，故共面，正确；
对于D选项，由于，故不共面，错误；
故选：C
13．
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,先确定M是中点，再求三棱锥的外接球的半径，即得解.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题得BD=.
则A(2,0,0),B(,,设，
所以,所以.
所以，所以.
即点M是中点时，平面BDM.
设三棱锥的外接球的半径为R,设△MBD的外接圆半径为r,
则，
所以.
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查几何体外接球的问题的解法，考查空间几何元素的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．x=，y=，z=．
【分析】
利用向量的加法公式得出=+=+，再用表示出，即可求出x，y，z的值.
【详解】
∵=+=+=+
+=
∴x=，y=，z=．
故答案为：x=，y=，z=．
15．2
【分析】
利用向量在上的投影的最大值可求得结果.
【详解】
由题意画出图形，如图所示，
因为，且是向量在上的投影，
所以当P在棱C1C上时，投影最大，所以的最大值为.
故答案为：2
【点睛】
关键点点睛：利用向量在上的投影的最大值求解是解题关键.
16．
【分析】
分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.
【详解】
由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.
故答案为：.
17．（1）；（2）
【分析】
方法1、（1）在平面内，过点作，点为垂足，以点为坐标原点，以直线为轴，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由已知的数据求出，再利用夹角公式求出，进而可，，然后利用三角形的面积公式求出的面积；（2）利用空间向量求出异面直线与所成角；
方法2、（1）如图，在平面内，过点作，点为垂足，连结则为二面角的平面角，结合已知的数据，分别在，，中求解即可；（2）过点作，交于点，则是与所成的角，然后在中求解
【详解】
解1：(建系法)
（1）如图，在平面内，过点作，点为垂足，连结，则为二面角的平面角.以点为坐标原点，以直线为轴，射线为轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
在中，由，得
在中，由，得.
故
由，得
所以，
则.
因此.
（2），
，所以与所成角的正切值为.
解1：(几何法)
（1）如图，在平面内，过点作，点为垂足，
连结则为二面角的平面角.
在中，由，得
在中，由，得.
在中，由，得.
故，
所以.
（2）如图，过点作，交于点，则是与所成的角，且平面.在中，由，得
在中，由，
得因此与所成角的正切值为
【点睛】
关键点点睛：此题考查二面角，考查异面直线所成的角，解题的关键是在平面内，过点作，点为垂足，连结则为二面角的平面角，然后结合已知的数据求解，考查计算能力，属于中档题
18．（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理证出平面，从而证出，再由线面垂直的性质定理证出，由线面垂直的判定定理即可证明.
（2）过作垂直，以为轴正方向，以为轴正方向，以为轴，建立空间直角坐标系，用向量法计算即可.
【详解】
平面，，
又平面平面，
且平面平面，，
所以平面，，
又，平面.
（2）因为平面，，
又,所以
如图所示，过作垂直，以为轴正方向，
以为轴正方向，以为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
设为平面的一个法向量，
则，即，
不妨取，解得，，
所以，
显然平面的一个法向量为，
，
解得，故的长为
19．（1），；（2）；（3）.
【分析】
（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标；
（2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值；
（3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标.
【详解】
（1）设点为坐标原点，，
则.
，则；
（2），则，
又，因此，；
（3）设点为坐标原点，，则，
则，
所以，点的坐标为.
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算能力，属于中等题.
20．（1）证明见解析；（2）.
【分析】
（1）过作于， 利用面面垂直的性质定理可知平面，进而可知，又由已知可知，再利用线面垂直的判定定理证得平面，进而证得；
（2）连结并延长交于，连结，以为原点，分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即，再利用向量夹角公式即可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】
（1）过作于，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，.
又平面，平面，，
又，平面，
平面，.
（2）连结并延长交于，连结，以为原点，
分别以，所在的直线为，轴，以过且与平面垂直的直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设，
平面，平面，，同理，
又，平面，，
又是的重心，是的中点，，由（1）知，，
， ，，
，解得，，
设，则，故，
，，，，
，，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
方法点睛：本题考查线线垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：
设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两直线所成的角为(),；
②直线与平面所成的角为(),；
③二面角的大小为(),
21．（1）；（2）.
【分析】
以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）利用空间中两点间的距离公式可求得的长；
（2）利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
【详解】
如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.
（1）依题意得、，因此，，
因此，线段的长为；
（2）依题意得、、、，
，，
所以，，
故与所成角的余弦值为.
答案第1页，共2页
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