黑龙江省大庆市萨尔图区2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省大庆市萨尔图区2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 945.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-20 17:20:04 | ||
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文档简介
大庆市萨尔图区2021-2022学年高二下学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1.设函数在上可导，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知二项式的所有二项式系数之和等于，那么其展开式中含
项的系数是 （ ）
A. B. C. D.
3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图
象最有可能的是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数在上为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.函数在处有极值为，则（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
6.设随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
0 1 2 3 4
0.36 0.2 0.1
A.0.14 B.0.24 C.0.34 D.0.44
7.若随机变量服从两点分布，其中，则和
的值分别是（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8.已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次
取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用表示“第一次取到不合格消毒液”，用表示“第二次取到不合格消毒液”，则 （ ）
A. B. C. D.
9.新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够） ．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（ ）
A. 330种 B. 345种 C. 360种 D. 375种
10.若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
11.已知，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数有两个极值点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第12个数与第13个数的比为
14.已知函数在上不单调，则实数的取值范围是________．
15.已知随机变量 服从正态分布 ， 且 ， 则 _______．
16.已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为 ．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17.如图，一个正方形花圃被分成5份
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现在有5种颜色不同的花供选择，求有多少种不同的种植方法
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法
18.在某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．
19.函数，已知和为的极值点．
(1)求和的值；
(2)讨论的单调性．
20.已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
21.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采
购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，单价为20元/kg．
方案2: 分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望E(X)．
22.已知函数．
(1)求实数的值，使；
(2)若，证明：当时，．
大庆市萨尔图区2021-2022学年高二下学期期中考试
数学参考答案
1.【答案】
【解析】
解：函数在上可导，
，因为，则答案为．
故选D．
2.【答案】
【解析】
解：因为二项式的所有二项式系数之和等于，所以，．
通项公式为，令，得，
所以展开式中含项的系数是，
故选A．
3.【答案】
【解析】
解：由题意可知：当和时，，
则函数在和是增函数；
时，，所以函数在是减函数，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
所以函数的图象只能是．
故选C．
4.【答案】
【解析】
解：．
函数在上为增函数，
在上恒成立，
在上恒成立，
当时，，
则，
即实数的取值范围为．
故选：．
5.【答案】
【解析】
解：对函数，求导得，
又在处有极值为，
，
解得或 ，
验证知，当，时，在无极值，
故的值．
故选D．
6.【答案】B
【解析】
解：依题意，
，解得（负根舍去），
所以.故选：B
7.【答案】
【解析】
解：由于服从两点分布，，，
因此，
，
，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】
解：表示“第一次取到不合格消毒液”，易知，
用表示“第二次仍取到不合格消毒液”，所以，
故．
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：根据题意，可能的购买方式有如下两种：
人中有人购买型口罩，有种购买方式
人中没有人购买型口罩，有种购买方式
综合知共有种购买方式．
故选C．
10.【答案】
【解析】
解：令，得．
令得到．
因为的展开式的通项是，
，
故．
故选C．
11.【答案】
【解析】
解：因为，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，也是唯一的最小值点，即最小值为，
所以函数的值域为，函数的图象如下：
故A错误，B正确，C错误；
设切点为，则，
所以切线方程为：，
又因为切线过点，
所以，得到，
令，，
可得在上大于，单调递增；
在上小于，单调递减，
所以，即只有一个解，
所以切点为，即过点的切线只有一条，故D错误．
故选B．
12.【答案】
【解析】
解：的定义域为，
，
有两个极值点，，
有两个不同的根，，且，
的判别式，且，
即，
，，
，，
，
令，其中，
则，
在上单调递增，
，，
即．
故选C．
13.【答案】
【解析】
解：因为二项式展开式第项的系数为，，，，
所以第行的第个和第个的二项式系数分别为与，即得，
整理得，解得，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
解：函数 ，
，
函数 在上不单调，
在上有变号零点，
在上有解，
在上有解，
由得或舍去，
，，
故实数的取值范围是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
解：由题意知：，
故，即，解得，
故．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
解：令，
当时，，
故在上单调递增．
因为是偶函数，所以，
则，则是奇函数．
则在上单调递增．
因为，
所以．
所以，
或；
或；
不等式，等价于，
所以或，解得或．
故答案为：．
17.【答案】解：先对部分种植，有种不同的种植方法；
再对部分种植，有种不同的种植方法；
对部分种植进行分类：
若与相同，有种不同的种植方法，有种不同的种植方法，共有种；
若与不同，有种不同的种植方法，有种不同的种植方法，有种不同的种植方法，共有种 ，
综上，共有种种植方法；
将个盆栽分成组，有种分法：
若分成、、、、的组，有种分法；若分成、、、、的组，有种分法；
将分好的组全排列，对应个部分，则一共有种放法
18.【答案】解：(1)由题设，甲通过项目测试服从分布，
所以甲恰好通过两个项目测试的概率为．
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为，
所以可看作3重伯努利试验，即甲、乙、丙三人中被录用的人数服从二项分布，即，
所以，，，．
故的分布列为
0 1 2 3
19.【答案】解：因为
，
又和为的极值点，
所以因此
解方程组得，
因为，，
所以
令，解得，，
因为当时，；
当时，．
所以在和上单调递增；在和上单调递减．
20.【答案】解：Ⅰ当时，，．
，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
Ⅱ由，得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，当时，，
所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；
当时，令，得，
与在区间上的情况如下：
极大值
若曲线与轴有且只有一个交点，
则有，即，解得．
综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点．
21.【答案】解：设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，
则，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，
恰好抽到个礼品果的概率为：．
设方案的单价为，则单价的期望值为：
，
，
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．
用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个，
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：，
则，，，，
的分布列如下：
．
22.【答案】 解：因为，
所以，
依题意，是函数的一个极值点，
故，解得，
当时，，，
令，则，
当时，，在上是增函数，，故，
当时，，，
所以，在上是增函数，，故，
又，故是函数在区间上的一个极小值点，
在区间上，；
又当时，，
综上所述，满足条件的实数；
证明：当时，，
又时，，所以，
所以，即，
故当时，，
因为，
所以，
令，
则，注意到，
所以，
即是上的增函数，
所以，
所以，
故当时，．
期中考试数学试卷 第 2 页 共 4 页
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
第I卷（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）
1.设函数在上可导，且，则等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知二项式的所有二项式系数之和等于，那么其展开式中含
项的系数是 （ ）
A. B. C. D.
3.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图
象最有可能的是（ ）
A. B.
C. D.
4.函数在上为增函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.函数在处有极值为，则（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
6.设随机变量的分布列如下表所示，则（ ）
0 1 2 3 4
0.36 0.2 0.1
A.0.14 B.0.24 C.0.34 D.0.44
7.若随机变量服从两点分布，其中，则和
的值分别是（ ）
A. 和 B. 和 C. 和 D. 和
8.已知箱中装有6瓶消毒液，其中4瓶合格品，2瓶不合格品，现从箱中每次
取一瓶消毒液，每瓶消毒液被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用表示“第一次取到不合格消毒液”，用表示“第二次取到不合格消毒液”，则 （ ）
A. B. C. D.
9.新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品．已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够） ．今甲、乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（ ）
A. 330种 B. 345种 C. 360种 D. 375种
10.若，则的值是（ ）
A. B. C. D.
11.已知，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12.设函数有两个极值点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13.在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第12个数与第13个数的比为
14.已知函数在上不单调，则实数的取值范围是________．
15.已知随机变量 服从正态分布 ， 且 ， 则 _______．
16.已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为 ．
三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.）
17.如图，一个正方形花圃被分成5份
(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现在有5种颜色不同的花供选择，求有多少种不同的种植方法
(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法
18.在某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A，B，C每个项目测试的概率都是．
(1)求甲恰好通过两个项目测试的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．
19.函数，已知和为的极值点．
(1)求和的值；
(2)讨论的单调性．
20.已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线的方程；
(2)若曲线与轴有且只有一个交点，求的取值范围．
21.某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果某采
购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
(1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）
(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考．
方案1：不分类卖出，单价为20元/kg．
方案2: 分类卖出，分类后的水果售价如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
售价（元） 16 18 22 24
从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？
(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望E(X)．
22.已知函数．
(1)求实数的值，使；
(2)若，证明：当时，．
大庆市萨尔图区2021-2022学年高二下学期期中考试
数学参考答案
1.【答案】
【解析】
解：函数在上可导，
，因为，则答案为．
故选D．
2.【答案】
【解析】
解：因为二项式的所有二项式系数之和等于，所以，．
通项公式为，令，得，
所以展开式中含项的系数是，
故选A．
3.【答案】
【解析】
解：由题意可知：当和时，，
则函数在和是增函数；
时，，所以函数在是减函数，
所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，
所以函数的图象只能是．
故选C．
4.【答案】
【解析】
解：．
函数在上为增函数，
在上恒成立，
在上恒成立，
当时，，
则，
即实数的取值范围为．
故选：．
5.【答案】
【解析】
解：对函数，求导得，
又在处有极值为，
，
解得或 ，
验证知，当，时，在无极值，
故的值．
故选D．
6.【答案】B
【解析】
解：依题意，
，解得（负根舍去），
所以.故选：B
7.【答案】
【解析】
解：由于服从两点分布，，，
因此，
，
，
．
故选B．
8.【答案】
【解析】
解：表示“第一次取到不合格消毒液”，易知，
用表示“第二次仍取到不合格消毒液”，所以，
故．
故选：．
9.【答案】
【解析】
解：根据题意，可能的购买方式有如下两种：
人中有人购买型口罩，有种购买方式
人中没有人购买型口罩，有种购买方式
综合知共有种购买方式．
故选C．
10.【答案】
【解析】
解：令，得．
令得到．
因为的展开式的通项是，
，
故．
故选C．
11.【答案】
【解析】
解：因为，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，也是唯一的最小值点，即最小值为，
所以函数的值域为，函数的图象如下：
故A错误，B正确，C错误；
设切点为，则，
所以切线方程为：，
又因为切线过点，
所以，得到，
令，，
可得在上大于，单调递增；
在上小于，单调递减，
所以，即只有一个解，
所以切点为，即过点的切线只有一条，故D错误．
故选B．
12.【答案】
【解析】
解：的定义域为，
，
有两个极值点，，
有两个不同的根，，且，
的判别式，且，
即，
，，
，，
，
令，其中，
则，
在上单调递增，
，，
即．
故选C．
13.【答案】
【解析】
解：因为二项式展开式第项的系数为，，，，
所以第行的第个和第个的二项式系数分别为与，即得，
整理得，解得，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
解：函数 ，
，
函数 在上不单调，
在上有变号零点，
在上有解，
在上有解，
由得或舍去，
，，
故实数的取值范围是．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
解：由题意知：，
故，即，解得，
故．
故答案为．
16.【答案】
【解析】
解：令，
当时，，
故在上单调递增．
因为是偶函数，所以，
则，则是奇函数．
则在上单调递增．
因为，
所以．
所以，
或；
或；
不等式，等价于，
所以或，解得或．
故答案为：．
17.【答案】解：先对部分种植，有种不同的种植方法；
再对部分种植，有种不同的种植方法；
对部分种植进行分类：
若与相同，有种不同的种植方法，有种不同的种植方法，共有种；
若与不同，有种不同的种植方法，有种不同的种植方法，有种不同的种植方法，共有种 ，
综上，共有种种植方法；
将个盆栽分成组，有种分法：
若分成、、、、的组，有种分法；若分成、、、、的组，有种分法；
将分好的组全排列，对应个部分，则一共有种放法
18.【答案】解：(1)由题设，甲通过项目测试服从分布，
所以甲恰好通过两个项目测试的概率为．
(2)因为甲、乙、丙三人被录用的概率均为，
所以可看作3重伯努利试验，即甲、乙、丙三人中被录用的人数服从二项分布，即，
所以，，，．
故的分布列为
0 1 2 3
19.【答案】解：因为
，
又和为的极值点，
所以因此
解方程组得，
因为，，
所以
令，解得，，
因为当时，；
当时，．
所以在和上单调递增；在和上单调递减．
20.【答案】解：Ⅰ当时，，．
，又，
所以曲线在点处的切线方程为．
Ⅱ由，得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，当时，，
所以当时，曲线与轴有且只有一个交点；
当时，令，得，
与在区间上的情况如下：
极大值
若曲线与轴有且只有一个交点，
则有，即，解得．
综上所述，当或时，曲线与轴有且只有一个交点．
21.【答案】解：设从个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，
则，现有放回地随机抽取个，设抽到礼品果的个数为，则，
恰好抽到个礼品果的概率为：．
设方案的单价为，则单价的期望值为：
，
，
从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案．
用分层抽样的方法从个水果中抽取个，则其中精品果个，非精品果个，
现从中抽取个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为：，
则，，，，
的分布列如下：
．
22.【答案】 解：因为，
所以，
依题意，是函数的一个极值点，
故，解得，
当时，，，
令，则，
当时，，在上是增函数，，故，
当时，，，
所以，在上是增函数，，故，
又，故是函数在区间上的一个极小值点，
在区间上，；
又当时，，
综上所述，满足条件的实数；
证明：当时，，
又时，，所以，
所以，即，
故当时，，
因为，
所以，
令，
则，注意到，
所以，
即是上的增函数，
所以，
所以，
故当时，．
期中考试数学试卷 第 2 页 共 4 页
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