桂林十九中 2021-2022 学年度下学期期中质量检测答案
高二 理科数学 （考试用时：120分钟，满分150分）
一、选择题答案：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B C B A B B A B B A C
二、填空题
1
13. 45 14. 15. 丙 16. 3
6
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明
过程或演算步骤.）
17. 解：（1） ． 3 分
（2）∵z1+z2=1+ai+3-4i=4+（a-4）i 2 分
又∵z1+z2∈R，∴a-4=0，即 a=4． 1 分
（3） ． 4 分
18.解（1）∵点 P（3，1）在函数 f（x）的图象上，
∴f（3）=27a-12+4=27a-8=1，解得 a= ， 2 分
∴f（x）= x3-4x+4，∴f'（x）=x2-4=（x+2）（x-2）， 1 分
当 x＜-2 或 x＞2 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； 1 分
当-2＜x＜2 时，f（x）＜0，f（x）单调递减． 1 分
∴当 x=-2 时，f（x）有极大值，且极大值为 f（-2）= ×（-8）+8+4= ， 1
分
高二数学（下） 期中 试卷 第 1 页 共 6 页
当 x=2 时，f（x）有极小值，且极小值为 f（2）= ×8-8+4=- ． 1 分
（2）由（1）可得：
函数 f（x）在区间[-1，2）上单调递减，在区间[2，3]上单调递增． 1 分
∴f（x）min=f（2）=- ， 1 分
又 f（-1）=- +4+4= ， 1 分
f（3）=9-12+4=1， 1 分
∴f（x）max=f（-1）= ． 1 分
.
19．解：（Ⅰ）由题意可知 AO，AB，AD 两两垂直，于是可建立如图空间直角
坐标系，从而可得以下各点的坐标：
A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，
1），N（2，1，0），Q（1，2，0）， 2 分
则 ， ，
∵ ，
∴ ，即 AQ⊥DN． 2 分
又 OA⊥底面 ABCD，DN 底面 ABCD，
∴OA⊥DN， 1 分
∵ ,OA 平面 OAQ,AQ 平面 OAQ,
高二数学（下） 期中 试卷 第 2 页 共 6 页
∴DN⊥平面 OAQ． 1 分
（Ⅱ）设平面 DMN 的法向量为 ，
由 ， 得
,即 ， 3 分
令 x＝1，得平面 DMN 的法向量 ， 1 分
∴点 B 到平面 DMN 的距离 ． 2 分
20．解：（1）由题意得，n=1 时，2a2=a1+6+1，得 a2=5， 1 分
n=2 时，4a3=3a2+12+1，得 a3=7， 1 分
故 ， 1 分
猜测 . 2 分
（2）①当 时， ，即猜测成立； 2 分
②假设 时，猜测成立，即 ， 1 分
则 时，由 得
，
所以 时也成立. 3 分
由①②可得， 成立. 1 分
高二数学（下） 期中 试卷 第 3 页 共 6 页
21．（1）证明：连接 AC 交 BD 于 N,连接 MN.
在正方形 ABCD 中,AC BD=N,
所以 N 是 AC 的中点. 1 分
又 M 是 AP 的中点,
所以 MN 是 APC 的中位线,MN PC, 2 分
因为 MN 面 BMD,PC 面 BMD, 1 分
所以 PC 平面 BMD， 1 分
（2）解：取 AD 的中点 O，连接 OP,ON.
在 PAD 中,PA=PD,O 是 AD 的中点,
所以 OP AD,
又面 PAD 底面 ABCD,OP 面 PAD,面 PAD 面 ABCD=AD,
所以 OP 面 ABCD.
在正方形 ABCD 中,O，N 分别是 AD、BD 的中点,
所以 ON AD，
所以 OP,OD,ON 两两相互垂直,分别以 OD,ON,OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系 O-xyz. 2 分
高二数学（下） 期中 试卷 第 4 页 共 6 页
P(0,0, ),D（2,0,0），B(-2,4,0),M(-1.0, ),
所以 =(-3,0, ), =(-2,0, ), =(-4,4,0).
设平面 MBD 的一个法向量 =(x,y,z),
则 ,即
取 x=1,得 =(1,1, ), 2 分
所以 =(1,1, )是平面 MBD 的一个法向量:
同理, =( , , )是平面 PBD 的一个法向量，
所以 =
= = , 2 分
设二面角 M–BD-P 的大小为 ,
由图可知, = < , >= ,且 为锐角,
所以 = ,
故二面角 M-BD-P 的大小是 . 1 分
高二数学（下） 期中 试卷 第 5 页 共 6 页
22．解：（1） ， 1 分
故 g（x）在（1，0）处的切线为 y=x-1． 1 分
（2）f'（x）=ex-1-a； 1 分
①当 a≤0时，f′（x）≥0恒成立，则 f（x）在 R上单调递增， 1 分
②当 a＞0时，f（x）在 x∈（-∞，1+lna）上单调递减，在 x∈（1+lna，+∞）上单调递
增． 2 分
（3）证明：先证明：x∈（1，+∞）时，g（x）＜x-1，
令 ，
则 x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，故 h（x）＜h（1）=0，
即 g（x）＜x-1．
故（x-1）g（x）＜（x-1）2， 2 分
令 ，
则 （x＞1）， ．
而 F''（x）=ex-1-2=0 x=1+ln2，
故 F'（x）在 x∈（1，1+ln2）上单调递减，在 x∈（1+ln2，+∞）上单调递增，
2 分 ，
由于 e3＞16，故 F'（x）min＞0，
所以 F'（x）＞0 在 x∈（1，+∞）内恒成立，
故 F（x）在 x∈（1，+∞）内单调递增，F（x）＞F（1）=0，
所以 f（x）＞（x-1）2＞（x-1）g（x），
故问题得证． 2 分
高二数学（下） 期中 试卷 第 6 页 共 6 页桂林十九中 2022 年春季学期期中考试
高二 数学（理科）
考试用时：120分钟，满分150分 命题人：
一、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的.）
5
1. 复数 的共轭复数为( )
3+4
3 4 3 4
A. 3 + 4 B. 3 4 C. + D.
5 5 5 5
2. 如图，在三棱锥 中，点 在 上，满足 = 2 ，点 为 的中点，记 , , 分别为 , , ，
则 = ( )
1 2 1
A. +
2 3 2
2 1 1
B. + +
3 2 2
1 2
C.
1
+
2 3 2
2 1 1
D.
3 2 2
3. 曲线 ( ) = 2 在点(1, (1))处的切线方程为( )
A. = 0 B. 2 = 0
C. 3 2 = 0 D. 4 3 = 0
4. 若两个不同平面 、 的法向量分别为 = (1,2, 1)， = ( 2,2,2)，则( )
A. 、 相交但不垂直 B. ⊥
C. // D. 以上均不正确
5. 有一段演绎推理：“直线平行于平面，则这条直线平行于平面内所有直线；直线 //平面 ，直线 平
面 ；则直线 //直线 ”的结论是错误的原因是：( )
A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误
1
6. 若∫ ( 2 + ) = 0，则实数 的值为( )
0
1 2
A. B. C. 1 D. 2
3 3
7. 在数列{ }中， 1 = 2， +1 = ( ∈ )，依次计算 2， 3， 4，归纳推测出 的通项表达式3 +1
为( )
2 2 2 2
A. B. C. D.
4 3 6 5 4 +3 2 1
高二年级理科数学第 1 页，共 4 页
8. 欲证√2 √3 < √6 √7，只需证( )
A. (√2 + √7)2 < (√3 + √6)2 B. (√2 √6)2 < (√3 √7)2
C. (√2 √3)2 < (√6 √7)2 D. (√2 √3 √6)2 < ( √7)2
9. 用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设( )
A. 三角形三个内角都不大于60°
B. 三角形三个内角都大于60°
C. 三角形三个内角至多有一个大于60°
D. 三角形三个内角至多有两个大于60°
10. 如图，四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = = 2 = 2 = 2，则异
面直线 与 所成角的余弦值为( )
10
A. √
5
4
B.
5
10
C. √
10
2 2
D. √
5
2 500
11. 某厂生产 件产品的总成本为 万元，产品单价为 万元，且满足 = 1200 + 3， = ，则总利润
75 √
最大时， = ( )
A. 25 B. 26 C. 24 D. 28
12. 定义在(0,+∞)上的函数 ( )满足 ′( ) + 1 > 0， (3) = 3，则不等式 ( ) + > 0的解集为( )
A.( 3, +∞) B. (0, 3) C. ( 3,+∞) D. ( 3, 3)
二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分)
13. 已知向量 = (2,4,5)， = (3, , )，若 // ，则 = ．
14. 以曲线 = √ 与 = 为边的封闭图形的面积为 ．
15. 甲、乙、丙、丁四个人去医院做传染病检测，都拿到结果后，发现有一人是阳性，有人问他们是谁，
甲说：乙和丁是阳性；乙说：丙是阳性；丙说：甲和乙是阴性；丁说：乙是阳性，如果这四个人中只
有两人说的是对的，那么检测结果是阳性的是______ ．
16. 若函数 ( ) = 2 3 2 + 1( ∈ )在(0,+∞)内有且只有一个零点，则 的值为______．
高二年级理科数学第 2 页，共 4 页
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （10 分）若复数 1 = 1 + ( ∈ )，复数 2 = 3 4 ．
(1)求| 2|；
(2)若 1 + 2 ∈ ，求实数 的值；
1
(3)若 = 2，求 ．
2
18. （12 分）设函数 ( ) = 3 4 + 4过点 (3,1)．
(1)求函数 ( )的单调区间和极值；
(2)求函数 ( )在区间[ 1,3]上的最大值和最小值．
19. （12 分）如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ，底面 是边长为2的正方形， = 2， 、
、 分别为 、 、 的中点．
(Ⅰ)证明： ⊥平面 ；
(Ⅱ)求点 到平面 的距离．
高二年级理科数学第 3 页，共 4 页
20. （12 分）设数列{ }满足 1 = 3，2 +1 = (2 1) + 6 + 1．
(1)求 2, 3的值并猜测通项公式 ；
(2)证明上述猜想的通项公式．
21. （12 分）如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4的正方形，侧面 ⊥底面 ， 为
的中点， = = √10．
(1)求证： //平面 ；
(2)求二面角 的大小．
22. （12 分）已知 ( ) = 1 ( + 1)， ( ) = ．
(1)求 ( )在点(1,0)处的切线；
(2)讨论 ( )的单调性；
1
(3)当 = ， ∈ (1,+∞)时，求证： ( ) > ( 1) ( )．
2
高二年级理科数学第 4 页，共 4 页
