湘教版八年级数学下册 2.6.2菱形的判定 教学设计

2.6.2 菱形的判定
教学目标：
（1）理解并掌握“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”；
（2）理解并掌握“四边都相等的四边形是菱形．”
（3）会用判定方法进行有关的论证和计算；
（4）在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力与逻辑思维能力．
教学重点：菱形的两个判定方法．
教学难点：判定方法的证明方法及综合运用.
教学过程：
引入
知识回顾：（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；
（2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等；
性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
问题：我们可经根据菱形的定义判断是否为菱形，但除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？
如图2-52，用4支长度相等的铅笔能摆成菱形吗？
把上述问题抽象出来就是：四条边都相等的四边形是菱形吗？
下面我们来证明这个结论.
如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
∵AD=BC，AB=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
由此得到菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
例题讲解：分析解题过程并板书.
如图2-54，在四边形ABCD中，线段 BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.
求证：四边形ABCD 是菱形.
证明：∵线段BD垂直平分AC，
∴BA＝BC，DA＝DC，OA＝OC.
在△AOB和△COD中，
∵∠1=∠2，∠AOB＝∠COD，OA＝OC，
∴△AOB ≌△COD
∴AB=CD.
∴AB=BC=CD=DA.
∴四边形ABCD是菱形(四条边都相等的四边形是菱形).
动脑筋
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形吗？
过点O画两条互相垂直的线段AC和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如图：
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角线互相垂直，上述问题抽象出来就是：对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
我们来进行证明.
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相平分，因此它是平行四边形.
又由于DB是线段AC的垂直平分线，
因此，DA=DC.
从而平行四边形ABCD是菱形.
由此得到菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
例2 如图2-56，在平行四边形ABCD中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求AB的长.
解 ∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ AB=AD=5 .
又∵ AD=5，满足 ，
∴ △DAO是直角三角形.
∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.
∴ 平行四边形ABCD是菱形.（对角线互相垂直
的平行四边形是菱形）
∴ AB=AD=5 .
随堂训练
画一个菱形，使它的两条对角线长度分别为4cm，3cm.
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O 作MN⊥BD，分别交AD，BC于点M，N.求证：四边形BNDM是菱形.
课堂小结
判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．