课时1.4 充分条件和必要条件
一、单选题
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无法判断
2．“x，y均为奇数”是“为偶数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知为实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
5．设全集，在下列条件中，是的充要条件的有
①； ② ③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．设p：函数的图象与x轴无交点，对任意恒成立，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．在下列结论中，正确的有（ ）
A．是的必要不充分条件
B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C．若，则“”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
二、填空题
8．若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的________条件.
9．已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是________.
10．若实数a，b满足，，且，则称a与b互补记，那么“”是“a与b互补”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
11．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为________．
三、解答题
12．指出下列哪些命题中p是q的充分条件.
（1）在中，，；
（2）对于实数x，y，，，且；
（3）已知，，.
13．判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
（2），；
（3）有两个角相等，是正三角形；
（4）若，，；
（5），.
14．已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是．
15．已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围．课时1.4 充分条件和必要条件
一、单选题
1．若，则“”是“”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．无法判断
【答案】A
【解析】当时，成立，因此“”是“”的充分条件；但当时，，所以不一定成立，因此“”不是“”的必要条件.
∴.“”是“”的充分条件，
故选：A.
2．“x，y均为奇数”是“为偶数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当x，y均为奇数时，一定可以得到为偶数；但当为偶数时，x，y不一定均为奇数，也可能均为偶数.
故选：A.
3．已知为实数，则“且”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意得，因为是实数，所以“且”可推出“且”，“且”推出“且”，所以“且”是“且”的充要条件，故选C．
4．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是
A．x＋y＝2 B．x＋y＞2 C．x2＋y2＞2 D．xy＞1
【答案】B
【解析】当时，显然有“中至少有一个数大于”，反之，“中至少有一个数大于”时，不一定有，因为“中至少有一个数大于”包括了，只有一个数大于和两个数均大于两种可能情况，.故选.
5．设全集，在下列条件中，是的充要条件的有
①； ② ③； ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：如下图借助图，
可以判断出，
，
，
，
故①②③④均正确．
故选D．
6．设p：函数的图象与x轴无交点，对任意恒成立，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】∵的图象与x轴无交点，
∴，解得.
∵对任意恒成立，
∴的最大值，∴.
∵，
∴p是q的必要不充分条件.
故选：B.
7．在下列结论中，正确的有（ ）
A．是的必要不充分条件
B．在中，“”是“为直角三角形”的充要条件
C．若，则“”是“a，b全不为0”的充要条件
D．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件
【答案】AD
【解析】对于选项A，由得，但是适合，推出，故A正确；
对于选项B，在中，为直角三角形，但为直角三角形或或，故B错误；
对于选项C，由全不为0，由a，b全不为，故C错误；对于选项D，由不全为0，反之，由a，b不全为，故D正确；
故选：AD.
二、填空题
8．若M是N的充分不必要条件，N是P的充要条件，Q是P的必要不充分条件，则M是Q的________条件.
【答案】充分不必要
【解析】命题的充分必要性具有传递性.根据题意得，但，，且，因此，但，故M是Q的充分不必要条件.
故答案为：充分不必要
9．已知，若是p的一个必要条件，则使恒成立的实数b的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵，
∴，所以解得
又使恒成立，因此，故实数b的取值范围是.
故答案为：．
10．若实数a，b满足，，且，则称a与b互补记，那么“”是“a与b互补”的________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
【答案】充要
【解析】解析若，则，平方得，当时，，所以；
当时，，所以，故a与b互补；
若a与b互补，易得.
故“”是“a与b互补”的充要条件
故答案为：充要条件
11．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围为________．
【答案】
【解析】解不等式，得，
由于是的充分不必要条件，，，解得.
当时，则有；当时，则有.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
三、解答题
12．指出下列哪些命题中p是q的充分条件.
（1）在中，，；
（2）对于实数x，y，，，且；
（3）已知，，.
【答案】（1）p是q的充分条件（2）p不是q的充分条件（3）p是q的充分条件
【解析】（1）在中，由大角对大边知，，所以p是q的充分条件.
（2）对于实数x，y，因为，所以，且或，且，推不出，且，故p不是q的充分条件.
（3）由，故p是q的充分条件.
故（1）、（3）命题中p是q的充分条件.
13．判断下列命题中p是q的什么条件.（充分不必要条件必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）
（1）p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
（2），；
（3）有两个角相等，是正三角形；
（4）若，，；
（5），.
【答案】（1）p是q的充分不必要条件（2）P是q的充分不必要条件（3）p是q的必要不充分条件（4）p是q的充要条件（5）p是q的既不充分也不必要条件
【解析】解析（1）因为“数a能被6整除”能推出“数a能被3整除”，所以，
但“数a能被3整除”推不出“数a能被6整除”，如，所以，所以p是q的充分不必要条件.
（2）因为能推出，即；但当时，如，推不出，即，所以P是q的充分不必要条件.
（3）因为“有两个角相等”推不出“是正三角形”，因此，但“是正三角形”能推出“有两个角相等”，即，所以p是q的必要不充分条件.
（4）若，则，即；若，则，即，故，所以p是q的充要条件.
（5）当，时，推不出，知，又当，时，推不出，知，所以p是q的既不充分也不必要条件.
14．已知关于的一元二次方程：①，②，．求证：方程①和②都有整数解的充要条件是．
【答案】证明见解析
【解析】证明：方程①有实根的充要条件是且，所以且，
方程②有实根的充要条件是，解得，
所以方程①②都有实根的充要条件是：且，
又，故或，
当时，方程①的解为，故不满足题意，
当时，方程①的解为，
方程②的解为或，满足题意，
从而方程①和②都有整数解，
反之，方程①和②都有整数解，
所以方程①和②都有整数解的充要条件是：．
15．已知，．是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求实数的取值范围．
【答案】不存在实数，使得是的充要条件
【解析】解：因为是的充要条件，则，
由，，
知要使，则，无解，
故不存在实数，使得是的充要条件．
