华师大版八年级上册12.3.1平方差公式 教案

平方差公式
1、内容和内容解析
1. 内容
本节课主要探究平方差公式以及利用平方差公式进行特殊多项式的乘法运算.
2. 内容解析
本节课是华东师大版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十二章第三节第一课时的内容. 它是整式相乘中的特殊的形式. “两数和乘以这两数的差公式”（以下简称“平方差”）在简化多项式乘法运算、因式分解以及以后的数学学习中有着广泛的应用，因此它在本章中起到承上启下的作用. “平方差”属于初中阶段六大数学核心模块（“数与式”、“方程与不等式”、“函数”、“图形的性质”、“图形的变换”、“概率与统计”）中的“数与式”的内容. 在“数与式”中，“平方差公式”紧接“多项式乘以多项式”之后，它的本质实质上是特殊的两个多项式相乘.；在“因式分解”之前，又为后面的利用“平方差”公式进行因式分解奠定理论基础. 就公式的前提来讲，我们需要特别注意它的特殊性，即公式的特征表象；就公式的应用来讲我们要强调它的普遍性，即公式中字母具有的普遍含义，它既可以是数字，字母，也可以是一个单项式，甚至是多项式.
在公式推导的过程中，首先由一般的两个多项式乘法到特殊多项式的乘法，再到分析平方差公式的字母特征回归至一般，体现出从一般到特殊，再从特殊回归一般的对待事物认识的本质. 还体现了“前后一致，逻辑连贯”的演化教学思维. 验证时采用面积法又可以体现出的“数形结合思想”，这一思想方法更是整个初中学段乃至更高学段都运用得非常广泛. 最后对公式特征结构进行分析时，又可以渗透“建模思想”.
2、目标和目标解析
1. 目标
（1）理解和掌握平方差公式的特点；
（2）利用平方差公式进行多项式乘法的运算；
（3）通过小组合作、讨论，培养学生实际动手操作能力和与人交流、分享的人际关系；
（4）感受数形结合思想和建模思想解决数学问题的重要性；
（5）感知公式体现的数学美；
（6）体会从前后一致，逻辑连贯的数学演化思维以及从一般到特殊，再从特殊回归一般的事物本质；
（7）了解数学史.
2. 目标解析
平方差公式的本质是两个具有特殊关系的多项式相乘. 达成目标（1）的标志是学生会通过公式的模型表征寻找相同项和相反项；达成目标（2）的标志是学生能够通过表征找到符合公式特征的式子，正确使用公式得到计算结果为相同项的平方减去相反项的平方.
新课标以及课改都对学生的能力提出了很高的要求.数学的核心素养中也明确提出“合作”这一主题. 因此本堂课更多注重培养学生的协同合作，锻炼学生通过相互合作进行分析，探索，和总结的能力以及与人交流、分享的做人道理.
目标（4）是为了让学生加深对数学思想的认识. 在课堂设置中，通过对于图形面积的探索总结出“平方差”公式，让学生领悟重要的数形结合思想，并感知几何与代数的相辅相成. 目标（6）的设置是让学生明白我们所学习的知识前后的紧密联系：学习内容和过程的前后一致性与连贯性. 让学生明白这一点，可以更好的培养学生独立学习的能力，另外还可以灵活地运用以前的知识来解决新的问题. 对公式的模型特征分析时，让学生感受到公式的简洁、对称、和谐的数学美，以此达到目标（5）. 而目标（7）正是体现出现代数学教学中的人文教育，在教学中穿插数学史，既能提高学生学习数学知识的兴趣，又能培养学生的数学文化素养.
3、教学问题诊断分析
本堂课所采用的引入方式是复习引入法. 即通过对“多项式乘以多项式”内容的复习和梳理，确定本堂课的授课流程，并通过一道多项式相乘的展开式中不含某一项的复习题引发学生思考,以此发散学生思维引导学生总结出更具特殊形式的“平方差”公式. 这就要求学生必须做到课前认真复习，如果没能做到这点，那么本堂课会显得较为吃力.
在课前老师会给学生布置一个动手作业，即让学生在家里准备两张长方形纸板，一张大的长方形纸板的长为，宽为，另一张小的长方形纸板长为，宽为. 而在实际的准备过程中，学生可能会出现无法正确制作的情况. 那么就会导致这部分学生在课堂的动手环节出现无法验证的情形.
在利用面积法对“平方差”公式进行几何验证时，教师的提问又显得尤为重要. 利用两个长方形，学生可以很快的拼接出一个更长的长方形，但是如果要利用这两个长方形拼接成一个正方形，学生在初探之后肯定会产生疑惑，这时就需要教师抓紧时机提出问题，及时引导.
“平方差”公式作为本节课的主角，在后面的练习中，学生容易出现乱用公式的现象. 因此这就需要教师在课程进行的过程中反复强调公式的模型，耐心地讲解公式的文字语言.
此外，在运算过程中，当学生寻找到相同项和相反项之后往往会立即使用公式进行减法运算，此时需要教师强调我们应该按部就班地进行计算，先观察，再寻找，然后使用加法交换律将算式变形成为标准形式，最后再进行公式运算. 这样是为了培养学生有一个良好的运算习惯，也可以在纠错时更快的发现错误出现在哪个地方.
4、教学支持条件分析
本课通过小组合作模式，利用事先准备好的长方形纸片进行拼接推导平方差公式，并辅助使用多媒体课件展示动态过程加深学生对平方差公式的理解. 当然黑板的利用必不可少，重点内容一定要板书在黑板上，突出，留存.
五、教学过程设计
教学流程安排
活动流程图 活动内容 目的
活动1 回顾往昔活动2 小组讨论活动3 小组活动活动4 了解历史活动4 练习活动5 小组讨论 活动7 练习活动8 课堂小结活动9 目标检测 温习回顾多项式乘以多项式的主要内容.通过复习过程中出现的特殊多项式相乘的结果，用一道常见例题引发学生思考.学生动手操作拼接长方形和正方形.讲述面积割补法证明平方差公式的由来.填一填.分析讨论平方差公式的模型特征.学生展示解题过程.小结本堂课所学知识点.学生自主完成习题. 温故而知新，并且利用已学知识引入本课主题.锻炼学生独立自主的思考能力和由一般到特殊的特值思维以及小组合作能力，并体验乘法公式的由来.利用数形结合思想加深学生对平方差公式的理解.让学生了解数学的历史，提升学习数学的兴趣.通过寻找平方差公式中的字母和，带领学生进入探索数学模型环节..引导学生通过“填一填”自主发现平方差公式模型语言，以及代表的含义，加深对公式的记忆，锻炼学生的模型化思维.掌握公式的应用.梳理，强调本节所学知识.通过习题检验学生本堂课知识的掌握情况.
教学过程
课堂流程 师生行为 设计意图
1.回忆往昔.2.探索新知.3.图形解释.4.讲述历史.5.认识模型.6.及时反思6.练习巩固7.学以致用，应用新知.8.课堂小结.9.目标检测.10.作业布置 问题1：多项式乘以多项式法则. 符号语言；（2）文字语言；（3）图形语言. 问题2：验证方法与利用到的数学思想.换元法，整体思想；面积法，数形结合思想；拜访原则，握手理论.问题3：具有特殊形式的多项式乘以多项式：.师生活动：教师带领学生一同复习“多项式乘以多项式”的课堂重要知识点，并引导学生从法则、验证方法以及拓展内容中的具有特殊形式的多项式相乘等内容进行回顾. 问题3出现时，教师引导学生回忆上节课是如何得到这个公式的. 问题4：已知的展开式中不含的一次项，求与的关系？ 师生活动：教师首先让学生独立完成这道习题，学生能够轻易的得出，此时及时追问. 追问：将代入原式可以得到一个怎样的等式？师生活动：在这一过程中，教师引导学生去发现我们能够得到一个非常简洁且漂亮的结果. 从这个结果的构成出发引入本节课的主题. 问题5：在上面的探究过程中，我们发现当时，两个一般多项式的乘法可以写成， 那么请同学们认真观察这个公式的符号语言，总结出平方差公式的文字语言，并在组内发表自己的看法. 师生活动：教师巡视，参与小组讨论. 学生在回答的过程中很容易忽视文字语言的严谨性，因此教师在此时应该及时追问.追问：再次认真观察这个公式，两数和乘以两数差等于两数的平方差是否严谨呢？ 师生活动：总结平方差公式的文字语言—两数和与这两数的差，等于这两数的平方差. 教师及时强调使用语言的严谨性和规范性. 利用这个公式，可以直接计算两数和乘以这两数的差.教师总结这件事带来的反思：学科之间的联系，数学表述应该严谨.问题6：你能否将手中的两个长方形拼接成一个更大的长方形？问题7：你又能否用这两个长方形拼接成一个正方形？追问1：如果有一次添加规则图形的机会，那么添加一个怎样的规则图形就能完成正方形的拼接？师生活动：学生进行小组活动，教师参与学生的小组活动，并在活动中带领学生分析平方差的符号语言，引导学生关注和，及时给予追问. 最终由学生上台展示拼接成果.追问2：新的长方形的面积如何表示？追问3：这个正方形的面积如何表示？追问4：你能否用等式表示下图中图形面积的运算？师生活动：师生共同总结，得出图形面积运算中的关系，完成平方差公式的几何验证.面积割补的证明方法最早是由我国三国时代的数学家赵爽所给出的，赵爽的生平人们知之甚少，在《周髀算经》注的前言里，赵爽说自己“负薪余日，聊观周髀”，意思是说，在打柴的空余时间里，钻研古代天文学著作《周髀算经》，迫于生计，辛苦劳作，却不忘做学问，古人的勤奋，感人至深.问题8：这一式子是否能用平方差公式进行计算？问题9：将式子变成，还可以用平方差公式吗？师生活动：由学生思考后回答，教师给予适当点评，鼓励赏识学生. 练习1： 填一填.追问1：通过刚才的填一填，请同学们总结一下平方差公式中的字母和所代表的意义.追问2：如果从多项式的项的角度去思考，使用平方差公式需要满足怎样的条件？追问3：运算的结果与这些项之间又存在怎样的关系？师生活动：与学生一同探寻平方差公式的数学模型，将公式模型化. 公式等号左边的两个多项式中分别含有相同项和相反项，运算的结果是相同项的平方减去相反项的平方. 师生活动：教师带领学生分别从符号语言，文字语言，图形语言，数学模型四个方向回顾所学知识. 判断正误并阐述错误原因. （ ） （ ） （ ）不能使用平方差公式.（ ） 例1 利用平方差公式计算.师生活动：教师引导学生在计算之前首先是观察，与公式对照，找准公式中的，适当对公式变形. 学生上台展示解题过程.例2 师生活动：学生思考后，由学生上台讲解.学会了一个公式；加深了两种思想；了解了一段历史. 师生活动：教师展示出课件内容，为学生理清课堂脉络，让学生回顾本堂课的授课流程.目标检测：计算：化简：计算： 四清《两数和乘以这两数的差》；思考：求的个位数字. 数学的学习除了课堂还有课外，在课外的学习中复习与预习尤为重要. 温故而知新可以为师矣正是最好的解释. 所以本堂课从温故开始，由教师带领学生复习回顾上堂课的重要知识. 并利用复习过程中的问题3引入本课. 锻炼学生独立自主的探究意识和小组合作意识.学生通过对一般多项式相乘的的分析，探索某些具有特殊形式的多项式相乘，体现从一般到特殊的特值思维. 而且也为学生指明了乘法公式与一般多项式乘法之间的关系. 这样设计的过程也体现了“前后一致，逻辑连贯”的思想. 问题5的设置一方面是让学生自主总结平方差公式的文字语言，另一方面是让学生体会平方差公式的数学美感.数学是一门非常严谨的学科，当学生利用文字语言分析平方差公式出错时，利用追问及时纠正，以达到强调数学语言精准性的目的，从而使学生的思维更加严谨.数形结合是一种重要的数学思想方法，图形的拼接为平方差公式几何意义的验证提供了必要工具，让学生通过用不同的代数式表示图形面积的方法，加深对平方差公式的理解，利用面积法体会数形结合思想. 通过数学史的穿插活跃课堂气氛，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的综合文化素养.问题8和问题9的设置是为了强化学生对平方差公式的理解，并为之后的计算题做铺垫. 当遇到非标准形式的平方差公式时可以进行适当变形之后再计算.填一填的设置是为了强化学生对公式中字母和的认识，让学生能够自主总结出字母和可以代表数字、字母、单项式或者多项式.并为下一环节的认识模型语言做好铺垫.设置的内容由易到难，逐步加深.加深学生对平方差公式的理解和记忆.培养学生从多个方面看待事物的本质，锻炼学生的自主总结能力和语言组织的能力. 判断题的设置是教师在课前预想学生在计算过程中可能出现的错误，在课堂上及时提出预设错误并解决.学生在理解了平方差公式的基础上，能够准确、熟练地进行运算，提高运算能力. 题型的设置也由易到难，层层递进，反应出字母所代表的各个类型. 第（2）小题的设置也可使学生“瞻前顾后”，回顾到《数的开方》. 例2的设置是为了使学生举一反三，能够灵活应用平方差公式进行简便运算.通过三个框架性的提示，让学生自主回顾课堂内容，培养学生数学学习的逻辑连贯性和自我概括总结的能力. 教会学生优化知识结构，完善知识体系. 通过目标检测检验学生的知识掌握情况，加深强化平方差公式的应用，为后续的学习打下良好的基础. 作业1的目的是让学生巩固所学知识，思考题的布置是为了进行适当的拓展；教师通过对作业的批改可以及时掌握学生课堂学习情况，以此掌握学情，能够更好的进行查漏补缺.
板书设计
12.3.1 两数和乘以这两数的差符号语言：.文字语言：两数和乘以这两数的差，等于这两数的平方差.图形语言： = 数学模型： 相反项 相同项 相同项 相反项 的平方 的平方例1：
六、教学反思
本节课通过复习引入建立授课流程，先通过数的角度思考平方差公式的由来，再通过形的角度加深学生对公式的理解. 在授课的过程中主要通过利用已知知识构造问题，引发学生思考并进入下一环节. 整个授课过程分别对平方差公式进行了符号语言、文字语言、图形语言以及数学模型进行了分析. 同时引入了数学史的讲解. 总体上每一环节的衔接很紧密，基本达到了启发式教学的效果. 但是笔者在观看完授课视频后发现还存在如下问题：
1. 语言不精简. 在授课过程中存在不必要的重复，没达到言简意赅.
2. 提问不明确. 在分析模型语言时因为提问不够精确，学生没能精准思考.
3. 时间把握不精细. 给予学生目标检测的时间没能达到预期.
4. 板书存在瑕疵. 板书的设计还应该更美观和更具体一些.
针对以上问题，在后续的教育教学过程中进行积极地整改. 在每一次教案制作过程中，认真阅读教材大纲，积极听课，多与经验丰富的教师探讨教学内容. 力求做到提问精准，明确，时间掌控得当，板书整齐美感.