华师大版八年级上册12.3.2完全平方公式 教案

12.3.1完全平方公式
教学目标：
(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。
(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式，进而感受数形结合思想。
(3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。
重点：平方差公式的探索和应用。
难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式。
四、教学设计：
（一）情景引入
李大爷有一块菜地，如图正方形中的阴影部分。为了创建和谐村庄，欲在此地建一个公园，以供村民休闲，李大爷非常高兴，欣然应允。村里决定另批给李大爷一块长方形菜地，它的一边比原正方形边长多 y 米，另一边比原正方形边长少 y 米。你能帮李大爷判断一下，李大爷现在的这块长方形菜地与原来菜地的面积是否发生变化了
（设计说明：以问题形式引入，激发学生探索本节课知识的热情，同时渗透数形结合的思想，为后面的图形验证公式奠定基础）
（二）自主学习: （约10分钟）
【看一看】：观察下列各式,它们有什么特征 你能用字母a和b把这个特征表示出来吗？
① （x＋3）（x－3）； ② (1＋2a)(1－2a)；
③ (x＋4y)(x－4y) ④ （y－5z）（y＋5z）
各算式的特征:
【做一做】：计算下列各式,并请你观察它们的运算结果,你发现了什么规律 把你的发现和同学进行交流,能用字母a和b把这个规律表示出来吗？
① （x＋3）（x－3）； ② (1＋2a)(1－2a)；
③ (x＋4y)(x－4y) ④ （y－5z）（y＋5z）
运算结果的特征:
【猜一猜】：观察以上算式的特征及其运算结果，你发现了什么规律？能不能大胆猜测得出一个一般性的结论？你能将猜测的这个结论写成公式吗
（设计说明：提供一组与推导平方差公式有关的计算题，通过看一看、做一做、猜一猜三步使学生初步感知平方差公式的结构特征及其运算结果规律。分步的好处在于分散难点，循序渐进，更易于学生记忆。）
做一做后提出问题：按说两个二项式相乘，应得到四项，为什么这四道题结果只有两项呢？
（设计说明：这个问题虽说很简单，但不能小看它的作用，第一，它让学生的思想在问题的启发下变得活跃；第二，为后面的探究活动作一铺垫，起到承上启下的作用。）
猜一猜问题化：
（1）等式左边的两个多项式有什么特点？
（2）等式右边的多项式有什么规律？
（3）你能从中猜想出一般性的结论吗？
（4）你能将猜测的这个结论用字母表示出来吗
学生活动：小组合作，解决上面三个问题。并向全班汇报自己小组讨论的成果，提出猜想(a+b) (a-b)=a2 - b2。
（设计说明：根据看一看、做一做两步，出示猜一猜，提出四个问题，引领学生进行探究，让学生带着问题探究，进一步发展学生的观察、归纳、类比、概括等能力，发展有条理的思考及语言表达能力。）
（三）验证猜想
【代数验证】：运用乘法分配律将多项式乘多项式转化为单项式乘多项式，进一步体会转化的思想，从而验证猜想。
（设计说明：让学生经历“特例→归纳→猜想→证明”的知识发生过程，用所学知识解决问题，有意识的培养学生的推理能力和语言表达能力，从而真正理解公式的来源。）
【几何验证】
（设计说明：让学生用面积相等来验证平方差公式的准确性，更好地理解和掌握公式，培养学生多角度思考问题的习惯，教会学生一种计算面积的方法——割补法，渗透数形结合思想。）
（四）公式分析
使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相乘才能用平方差公式来计算呢？也就是说，平方差公式具有什么样的特征？
（1）公式的结构特征：
左边是两个二项式相乘；在两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
右边为相同项的平方减去互为相反数的项的平方.
（2）字母的广泛含义：
公式中的a，b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a，b表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。
学生活动：尝试用语言来叙述，总结公式的结构特征，并加以理解掌握，以便能够准确运用。
（设计说明：理解并掌握公式的结构特征，是这节课的重点，也为下一个环节：平方差公式的准确应用打下基础。因此，应让学生充分思考，体会，发表自己的看法，达到真正理解的目的。）
（五）知识运用
【试一试】：寻找a，b
现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么下一步的关键是要解决什么问题？运算的结果是a2-b2，要套用公式，必须要知道谁是a，谁是b。
反思：如何寻找a，b？
两个多项式中，a前的符号相同，b前的符号相反。找a，b的关键是找符号相同的项和符号相反的项。谁是a，谁是b，并不以先后为准，而是以符号为准。
（设计说明：以填表的形式让学生初步尝试运用公式，分清结构，找准a、b，学会公式的应用，有效地进行难点突破。）
【讲一讲】：例1 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5 6x)；(2) ( m+n)( m n)
（设计说明：通过一组例题的板演和学生讲解，让学生能够明确利用公式计算的步骤，在不断纠错中加深对公式的理解，从而完善学生认知结构。）
【练一练】：运用平方差公式计算：
（设计说明：通过一组练习题，逐渐加深题目难度，让学生能够熟练利用公式计算，明确公式中的a和b，加深对相同项的平方减去相反项的平方的理解。）
【比一比】：指出下列计算的错误
学生活动：小组为单位抢答，组内成员独立思考，轮流回答，在疑难处小组成员可以进行互相补充。
（设计说明：通过练习，帮助学生总结解决问题过程中的经验教训，理顺思路。从而进一步明确平方差公式的结构特征，完善学生的认知结构。）
问题解决：解决情景引入中的问题。
（设计说明：达到前后呼应，使学生产生成就感，进一步调动学生学习数学的积极性。）
（六）反思小结
【议议说说】：本节课你学到了什么，你能给自己和同学一个客观的评价吗？
（设计说明：小结是构建和完善学生认知结构的重要环节，先让学生总结本节课收获，再让学生自己及互相之间进行评价，体现新课标提出的多元化评价，利于学生养成良好的课堂学习习惯，最后教师对公式的掌握和运用作最后强调。）
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