华师大版八年级上册14.1.3反证法 课件(共26张PPT)

(共26张PPT)
路边苦李
王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢 他运用了怎样的推理方法
　　这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
假设李子不是苦的，即李子是甜的，
那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？
那么，树上的李子还会这么多吗？
所以，李子是苦的
一、问题情境
小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
　　假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。
解析：
　　由∠C=90°可知是直角三角形，根据勾股定理可知　　
a2 +b2 ＝c2 .
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,如果∠C=90°，a、b、c三边有何关系？为什么？
A
C
B
a
b
c
一、复习引入
探究：假设a2 +b2 ＝c2，由勾股定理可知三角形ABC是直角三角形，且∠C=90°，这与已知条件∠C≠90°矛盾。假设不成立，从而说明原结论a2 +b2 ≠ c2　成立。
A
C
C
　　 若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，　AC=b,∠C≠90°”，请证明a2 +b2 ≠ c2　
a
b
c
这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做反证法。
问题：
发现知识：
二、探究
三、应用新知
在△ABC中，AB≠AC,求证：∠B ≠ ∠ C
A
B
C
证明：假设　　　　　，
则　　　　　（　　　　　　　）
这与　　　　　　　　　矛盾．
假设不成立．
∴　　　　　　　　．
∠B ＝ ∠ C
AB＝AC
等角对等边
已知AB≠AC
∠B ≠ ∠ C
小结：
反证法的步骤：假设结论的反面不成立→逻辑推理得出矛盾→肯定原结论正确
例１
尝试解决问题
感受反证法:
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与与已知两条直线矛盾,假设不成立。
　所以两条直线相交只有一个交点。
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
例2
求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
a
b
A
●
A，
●
A
证明：假设a与b不平行，则可设它们相交于点A。
那么过点A 就有两条直线a、b与直线c平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。
　　∴a//b.
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾
已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.
求证：a//b
a
b
c
例3
求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。
已知：△ABC
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设　　　　　　　　　　　　　　　　　，
则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　。
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　，
即　　　　　　　　　　　。
这与　　　　　　　　　　　矛盾．假设不成立．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．
△ABC中没有一个内角小于或等于60°
∠A>60°,∠B>60°,∠C>60°
∠A+∠B+∠C>180°
三角形的内角和为180度
△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
点拨：至少的反面是没有！
例4
∠A+∠B+∠C>60°+60°+60°=180°
例6、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
分析：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论.
已知：在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B、∠C为锐角.
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：
(1)两个底角都是直角；
(2)两个底角都是钝角；
反证法的一般步骤:
假设命题结论不成立
假设不成立
假设命题结论反面成立
与已知条件矛盾
假设
推理得出的结论
与定理，定义，公理矛盾
所证命题成立
什么时候运用反证法呢？
证明真命题 的方法
直接证法
间接证法
反证法
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：“小偷就是他！”
你知道华盛顿是如何推理的吗？
华盛顿抓小偷
万事开头难，让我们走好第一步！
写出下列各结论的反面：
（1）a//b；
（2）a≥0；
（3）b是正数；
（4）a⊥b
a<0
b是0或负数
a不垂直于b
a∥b
1.在一个梯形中，如果同一条底边上的两个内角不相等，那么这个梯形是等腰梯形吗？请证明你的猜想．
谁来试一试！
2.已知：如图△ABC中，D、E两 点分别在AB和AC上
求证：CD、BE不能互相平分
（平行四边形对边平行）
做一做
学习是件很愉快的事
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
四、巩固新知
1、试说出下列命题的反面：
（1）a是实数。 　　（2)a大于2。
（3）a小于2。 　　 （4）至少有2个
（5）最多有一个 　　（6）两条直线平行。
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”的第一步是　　　　。
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步
　　　　　　　　　　　　　　　　　　。　
　a不是实数
　a小于或等于２
　a大于或等于２
没有两个
一个也没有
两直线相交
假设a=b
假设这个三角形是等腰三角形
已知：在梯形ABCD中，AB//CD，
∠C≠∠D
求证：梯形ABCD不是等腰梯形.
证明：假设梯形ABCD是等腰梯形。
∴∠C=∠D（等腰梯形同一底上的两内角相等）
这与已知条件∠C≠∠D矛盾,　假设不成立。
　　　∴梯形ABCD不是等腰梯形.　
４、求证：如果一个梯形同一底上的两个内角不相等，那么这个梯形不是等腰梯形。
A
B
C
D
五、拓展应用
1、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。
在△ABP与△ACP中
AB=AC(已知）
AP=AP（公共边）
PB=PC（已知）
∴△ABP≌△ACP（S.S.S)
∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等）
这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立.
∴PB≠PC
美国总统华盛顿从小非常聪明,小偷翻进鲍克家偷走了许多东西,根据迹象表明小偷就是本村人,华盛顿灵机一动,对全村人讲起了故事:“黄蜂是上帝的使者,能辨别人间的真假.”忽然华盛顿大声喊道:“小偷就是他，黄蜂正在他的帽子上兜圈子，要落下来了！”大家回头张望，看着那个想把帽子上的黄蜂赶走的人，其实哪有什么黄蜂？华盛顿大喝一声：“小偷就是他！”
你知道华盛顿是如何推理的吗？
华盛顿抓小偷
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：
Ａ说：这里有１个人说谎．
Ｂ说：这里有２个人说谎．
Ｃ说：这里有３个人说谎．
Ｄ说：这里有４个人说谎．
Ｅ说：这里有５个人说谎．
　　聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？
你会释放谁？
　　请与大家分享你的判断！
六、全课总结
1、知识小结：
反证法证明的思路：假设命题不成立→正确的推理,得出矛盾→肯定待定命题的结论
2、难点提示:
利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。
大家议一议！
通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法 ？
我来告诉你（经验之谈）
（1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；
（3）关于“唯一性”结论的命题；
（4）一些不等量命题的证明；
（5）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等.(如平行线的传递性的证明）
注意:用反证法证题时,应注意的事项 :
（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。
课时作业设计
用反证法证明下列命题：
1.求证：三角形内角中至多有一个内角是钝角。
2.已知：如图，AB∥CD，AB ∥EF。
求证：CD ∥EF。
3.求证：圆内两条不是直径的弦不能互相平分。
　4.证明“在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行.”
A
B
C
D
E
F
第2题图