课时2.2 基本不等式
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数 （其中）的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为，可得，
所以，当且仅当时，即时，等号成立，
所以函数的最大值是2．
故选：D.
2．已知，，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，，由基本不等式可得，，
上述两个不等式当且仅当时成立，故ABD选项错误，C选项正确.
故选：C.
3．设0A．10 B．9 C．8 D．
【答案】B
【解析】，，
当且仅当，
即时，等号成立．
的最小值为9．
故选：B
4．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M＝N
C．M【答案】A
【解析】因为，所以
，当且仅当取等号，
而，
故选：A．
5．已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A． B． C．5 D．9
【答案】C
【解析】因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：C.
6．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（ ）
A．24 B．313 C．913 D．25
【答案】D
【解析】因为ab﹣a﹣2b﹣2＝0，
所以b，又a＞0，b＞0，
所以0，解得a＞2，
又b1，
所以（a+1）（b+2）＝ab+2a+b+2
＝a+2b+2+2a+b+2＝3a+3b+4
＝3a7＝3（a﹣2）13
，
当且仅当3（a﹣2）即a＝4时等号成立，
即（a+1）（b+2）的最小值为25．
故选：D．
7．已知x≥，则y＝有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
【答案】D
【解析】y＝＝＝，
因为x≥，所以x－2＞0，
所以
当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．
故y的最小值为1，没有最大值.
故选：D
8．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【解析】依题意有x＋y
，
当且仅当时取等号．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最小值是
【答案】AB
【解析】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；
，因为，所以，B正确；
，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；
当时，，D错误.
故选:AB.
10．某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得最小值
B．当时，取得最小值
C．
D．
【答案】AC
【解析】一年购买某种货物吨，每次购买吨，则需要购买次，又运费是万元/次，一年的总存储费用为万元，
所以一年的总运费与总存储费用之和万元.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取得最小值，.
故选：AC.
11．设正实数、满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，因为正实数、满足，则，
，故，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；
对于C选项，由基本不等式可得，
因为，故，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，，
可得，当且仅当时，等号成立，D对.
故选：ABD.
12．下列推导过程，正确的为（ ）
A．因为 为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为 ，，所以当且仅当时，等号成立..
【答案】AD
【解析】对于A选项，因为 为正实数，则 为正实数，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，，
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为 ，，则 均为负数，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，D选项正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题．
13．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围_______________
【答案】
【解析】因为，，则，
，
当且仅当，即时，等号成立；
因此为使恒成立，只需，
故答案为：
14．若，，则的最小值为______
【答案】
【解析】因为，，所以，，
所以
，
当且仅当 即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：.
15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50【答案】60
【解析】解析设销售价格定为每件x(50y＝(x－50)·P＝，
设x－50＝t，则0所以y＝＝＝≤＝2500，
当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2500．
故答案为：60．
16．已知，那么当代数式取最小值时，点的坐标为______
【答案】
【解析】解：由，得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，其中第一个不等式等号成立的条件为，第二个不等式等号成立的条件为，
所以当取最小值时，，解得
所以点的坐标为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，，且，当取最小值时，求，的值.
【答案】，
【解析】由题意知，，由基本不等式，得.
因为，所以，故.
当且仅当，即，时等号成立.
因此，取最小值时，，.
18．（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，满足，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）因为，
设，即，即，
所以，则，
当且仅当且，即，时等号成立.
所以的最小值为.
（2），
所以，所以，
当且仅当且，即时等号成立.
所以的最大值是.
19．已知为正数，求证：.
【答案】见解析
【解析】证明：因为，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
因为，所以.
20．（1）设，求4x(3－2x)的最大值；
（2）已知a>b>c，求的最小值．
【答案】（1）；（2）4．
【解析】（1）∵，∴3－2x>0，
∴4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]
≤.
当且仅当2x＝3－2x，即时，等号成立．
∴4x(3－2x)的最大值为.
（2）
∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，
∴，
当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号，
∴的最小值为4.
21．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【答案】（1）40；（2）a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
【解析】（1）设每件定价为t元,依题意得,整理得,解得：25≤t≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为40元.
（2）依题意知：当x>25时,不等式有解，等价于
x>25时,有解.
由于,当且仅当,即x=30时等号成立,所以a≥10.2.
当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和,此时该商品的每件定价为30元.
22．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证：
【答案】证明见解析.
【解析】证明 ∵a>0，b>0，c>0，
∴，
，
.
当且仅当a=b=c时上式等号均成立，
又a，b，c不全相等，
故上述等号至少有一个不成立.
故三个式子相加，得
∴.课时2.2 基本不等式
一、选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．函数 （其中）的最大值是（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知，，且，那么（ ）
A． B．
C． D．
3．设0A．10 B．9 C．8 D．
4．已知a>1，b>1，记M＝，N＝，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M＝N
C．M5．已知函数，则函数的最小值等于（ ）
A． B． C．5 D．9
6．已知实数a＞0，b＞0，且满足ab﹣a﹣2b﹣2＝0，则（a+1）（b+2）的最小值为（ ）
A．24 B．313 C．913 D．25
7．已知x≥，则y＝有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1
8．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋，y＝n＋，则x＋y的最小值是（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
二、选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最小值是D．的最小值是
10．某公司一年购买某种货物吨，现分次购买，设每次购买吨，运费为万元/次.已知一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，取得最小值
B．当时，取得最小值
C．
D．
11．设正实数、满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
12．下列推导过程，正确的为（ ）
A．因为 为正实数，所以
B．因为，所以
C．因为，所以
D．因为 ，，所以当且仅当时，等号成立..
三、填空题：本题共4小题．
13．已知对任意，且，恒成立，则的取值范围_______________
14．若，，则的最小值为______
15．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在5016．已知，那么当代数式取最小值时，点的坐标为______
四、解答题：本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，，且，当取最小值时，求，的值.
18．（1）若正实数，满足，求的最小值；
（2）若实数，满足，求的最大值.
19．已知为正数，求证：.
20．（1）设，求4x(3－2x)的最大值；
（2）已知a>b>c，求的最小值．
21．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
22．已知a，b，c均为正数，a，b，c不全相等.求证：
