2022年高考数学真题分类汇编——代数部分（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学真题分类汇编——代数部分（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-21 20:02:54 | ||
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文档简介
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2022年高考数学真题分类汇编——代数部分
一．单项选择题（共42小题）
1．已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（ ）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
2．设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}
3．设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（ ）
A．25 B．5 C． D．
5．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
6．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an2（n∈N*），则（ ）
A．2＜100a100＜ B．＜100a100＜3
C．3＜100a100＜ D．＜100a100＜4
7．若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}
8．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4 M D．5 M
9．集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（ ）
A．{2，4} B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10}
10．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
11．已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（ ）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
12．设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则 U（A∪B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}
13．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
14．若z＝﹣1+i，则＝（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
15．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}
16．已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1
18．已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
19．若z＝1+i，则|iz+3|＝（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
20．设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（ ）
A．﹣， B．﹣， C．﹣，+2 D．﹣，+2
22．函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
23．函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
24．当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
25．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是（ ）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
26．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
27．若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（ ）
A．﹣2 B．4 C．8 D．12
28．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
29．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
30．已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（ ）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
31．设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
32．（2+2i）（1﹣2i）＝（ ）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
33．已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
34．已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则 ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
35．已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
36．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
37．若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
38．已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则 UA＝（ ）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
39．若复数z满足i z＝3﹣4i，则|z|＝（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
40．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（ ）
A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+3
41．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列
C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021 D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021
42．下列函数定义域为R的是（ ）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
二．多选题（共3小题）
（多选）43．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
（多选）44．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（ ）
A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线
（多选）45．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（ ）
A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）
三．填空题（共18小题）
46．已知函数f（x）＝则f（f（））＝ ；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 ．
47．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
48．设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是 ．
49．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ ．
50．已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝ ．
51．若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
52．曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
53．若f（x）＝ln|a+|+b是奇函数，则a＝ ，b＝ ．
54．设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2+） ＝ ．
55．设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
56．已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ．
57．函数f（x）＝+的定义域是 ．
58．已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝ ．
59．不等式＜0的解集为 ．
60．设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝ ．
61．已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝ ．
62．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则 的最小值为 ．
63．已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝ ．
三．解答题（共16小题）
64．已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；
（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．
65．已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．
（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．
66．设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：
（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；
（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．
（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）
67．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
68．已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．
（1）若x1＝﹣1，求a；
（2）求a的取值范围．
69．记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
70．已知函数f（x）＝exln（1+x）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
71．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣a．
（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；
（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．
72．已知函数f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx．
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
73．已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
74．已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
75．已知函数f（x）＝xeax﹣ex．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；
（3）设n∈N*，证明：++…+＞ln（n+1）．
76．已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）证明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．
77．已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．
（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；
（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．
78．为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
79．已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．
2022年高考数学真题分类汇编——代数部分
参考答案与试题解析
一．选择题（共42小题）
1．【解答】∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，
∴a＝﹣1，b＝3，
故选：B．
2．【解答】∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，
∴A∪B＝{1，2，4，6}，
故选：D．
3．【解答】∵sin2x+cos2x＝1，
①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，
②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，
∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，
故选：A．
4．【解答】由2a＝5，log83＝b，
可得8b＝23b＝3，
则4a﹣3b＝＝＝＝，
故选：C．
5．【解答】实数x，y满足约束条件
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
由已知可得A（2，3），
由图可知：当直线3x+4y﹣z＝0过点A时，z取最大值，
则z＝3x+4y的最大值是3×2+4×3＝18，
故选：B．
6．【解答】∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，
∴{an}为递减数列，
又，且an≠0，
∴，
又a1＝1＞0，则an＞0，
∴，
∴，
∴，则，
∴；
由得，得，
累加可得，，
∴，
∴；
综上，．
故选：B．
7．【解答】由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．
故选：D．
8．【解答】因为全集U＝{1，2，3，4，5}， UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3 M，4∈M，5∈M．
故选：A．
9．【解答】∵M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，
∴M∩N＝{2，4}．
故选：A．
10．【解答】|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
11．【解答】因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，
所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．
故选：C．
12．【解答】∵B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，
又U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴ U（A∪B）＝{﹣2，0}．
故选：D．
13．【解答】设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，
且，
解得k3＝0.9，
故选：D．
14．【解答】∵z＝﹣1+i，∴＝4，
则＝．
故选：C．
15．【解答】集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：A．
16．【解答】，
故，
故选：D．
17．【解答】∵（1+2i）a+b＝2i，
∴a+b+2ai＝2i，即，
解得．
故选：A．
18．【解答】∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，
∴＝（3+t，4），
∵＜，＞＝＜，＞，
∴＝，∴＝，
解得实数t＝5．
故选：C．
19．【解答】z＝1+i，
∴iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i，
则|iz+3|＝＝2．
故选：D．
20．【解答】因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
21．【解答】f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1，x∈[0，2π]，
则f′（x）＝﹣sinx+sinx+（x+1）cosx＝（x+1）cosx，
令cosx＝0得，x＝或，
∴当x∈[0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，2π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在区间[0，2π]上的极大值为f（）＝，极小值为f（）＝﹣，
又∵f（0）＝2，f（2π）＝2，
∴函数f（x）在区间[0，2π]的最小值为﹣，最大值为，
故选：D．
22．【解答】f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
23．【解答】f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
24．【解答】由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，
则f′（x）＝，
∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，
∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．
∴f′（x）＝，
易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故x＝1处，函数取得极大值，也是最大值，
则f′（2）＝．
故选：B．
25．【解答】在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（3，0），B（0，4），C（0，0），
设P（x，y），
因为PC＝1，
所以x2+y2＝1，
又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），
所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，
设x＝cosθ，y＝sinθ，
所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，
当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，
当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，
所以∈[﹣4，6]，
故选：D．
26．【解答】∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故选：D．
27．【解答】作出可行域如下图阴影部分所示，
由图可知，当（x，y）取点C（4，0）时，目标函数z＝2x﹣y取得最大值，且最大为8．
故选：C．
28．【解答】首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在（1，3）存在零点，
而对于B选项：令y＝0，即，解得x＝0，或x＝1或x＝﹣1，故排除B选项；
对于D选项，令y＝0，即，解得x＝kπ，k∈Z，故排除D选项；
C选项：当x＞0时，2x＞0，x2+1＞0，因为cosx∈[﹣1，1]，故＝，且当x＞0时，，故，
而观察图像可知当x＞0时，f（x）max≥1，故C选项错误．
故选：A．
29．【解答】令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴，
∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．
故选：A．
30．【解答】∵9m＝10，∴m＝log910，
∵
∴，
构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），
f′（x）＝mxm﹣1﹣1，
令f′（x）＞0，解得：
由上述有∴，可得0＜x＜1，
故f（x）在（1，+∞）单调递增，
故f（10）＞f（8），又因为，
故a＞0＞b，
故选：A．
31．【解答】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，
则f'（x）＝，x＞0，
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，
∴，
∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；
∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，
∴0.1e0.1＜，∴a＜b；
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），
则＝，
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，
当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
32．【解答】（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．
故选：D．
33．【解答】因为z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，
所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：A．
34．【解答】因为向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，
所以|﹣2|＝＝＝＝3，
两边平方得，
13﹣4＝9，
解得＝1，
故选：C．
35．【解答】设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．
∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1 q﹣a1 q4＝a1 q（1﹣q3）＝42，
∴q＝，a1＝96，
则a6＝a1 q5＝96×＝3，
故选：D．
36．【解答】140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，
根据题意，增加的水量约为
＝
≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．
37．【解答】由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，
∴z＝1+i，则，
∴．
故选：D．
38．【解答】因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，
所以 UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．
故选：D．
39．【解答】由i z＝3﹣4i，得z＝，
∴|z|＝||＝＝．
故选：B．
40．【解答】如图，
＝，
∴，即．
故选：B．
41．【解答】如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；
如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；
如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；
数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；
故选：D．
42．【解答】，定义域为{x|x＞0}，
，定义域为{x|x≠0}，
，定义域为R，
，定义域为{x|x≥0}．
∴定义域为R的是．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
43．【解答】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
故选：BC．
44．【解答】f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，
∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；
又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；
假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，
显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．
故选：AC．
45．【解答】∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，
令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；
∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；
∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，
∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，
又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，
∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），
由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，
进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，
∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；
f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误．
故选：BC．
三．填空题（共18小题）
46．【解答】∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣+2＝，
∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．
故答案为：；3+．
47．【解答】对于①n＝1时，可得a1＝3，当n＝2时，由a2 S2＝9，可得a2 （a1+a2）＝9，可得a2＝＜3，故①正确；
对于②，当n≥2时，由得，于是可得，即，
若{an}为等比数列，则n≥2时，an+1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立，故②错误；
对于③，因为an Sn＝9，an＞0，a1＝3，
当n≥2时，Sn＝，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＞0，
所以＞ ＞ an＜an﹣1，
所以{an}为递减数列，故③正确；
对于④，假设所有项均大于等于，取n＞90000，则，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确；
故答案为：①③④．
48．【解答】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1（0，1），，A3（1，0），，A5（0，﹣1），，A7（﹣1，0），，
设P（x，y），
则2+2+…+2＝|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8|2＝8（x2+y2）+8，
∵cos22.5°≤|OP|≤1，∴，
∴，
∴12≤8（x2+y2）+8≤16，
即2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]，
故答案为：[12+2，16]．
49．【解答】∵2S3＝3S2+6，
∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，
∵{an}为等差数列，
∴6a2＝3a1+3a2+6，
∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．
故答案为：2．
50．【解答】∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，
∴＝m+3（m+1）＝0，
则m＝﹣，
故答案为：﹣．
51．【解答】y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），
∴切线的斜率k＝，
∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），
整理得：，
∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，
∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
52．【解答】当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），
∵y'＝，∴切线的斜率k＝，
∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，
∴x0＝e，
∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，
当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，
∴切线方程也关于y轴对称，
∴切线方程为x+ey＝0，
综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，
故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．
53．【解答】f（x）＝ln|a+|+b，
若a＝0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴a≠0，
由函数解析式有意义可得，x≠1且a+，
∴x≠1且x，
∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1+＝﹣1，解得a＝﹣，
∴f（x）＝ln||+b，定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，
由f（0）＝0得，ln+b＝0，
∴b＝ln2，
故答案为：﹣；ln2．
54．【解答】由题意可得，
则．
故答案为：11．
55．【解答】当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；
当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解得：0＜a≤1；
当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣a2+1，无解，故不满足题意；
综上所述：a的取值范围是[0，1]，
故答案为：0，1．
56．【解答】对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，
当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；
当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，
故仅需满足f′（x0）＞0，
即： ，
解得：，又因为0＜a＜1，故
综上所述：a的取值范围是．
57．【解答】要使函数f（x）＝+有意义，
则，解得x≤1且x≠0，
所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．
58．【解答】∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），
∴A∩B＝（1，2）．
故答案为：（1，2）．
59．【解答】由题意得x（x﹣1）＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集（0，1）．
故答案为：（0，1）．
60．【解答】函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），
整理得；
所以f﹣1（27）＝3．
故答案为：3．
61．【解答】∵z＝2+i，
∴．
故答案为：2﹣i．
62．【解答】建立平面直角坐标系如下，
则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴ ＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴ 的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
63．【解答】∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，
∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：
将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，
则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
∴（xn+1﹣xn）＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共16小题）
64．【解答】（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1，
因为S4﹣2a2a3+6＝0，可得﹣2a2a3+6＝0，即2（a1+a4）﹣2a2a3+6＝0，
a1+a1+3d﹣（a1+d）（a1+2d）+3＝0，即﹣1﹣1+3d﹣（﹣1+d）（﹣1+2d）+3＝0，
整理可得：d2＝3d，解得d＝3，
所以Sn＝na1+d＝﹣n+＝，
即Sn＝；
（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，
则（a1+nd+4cn）2＝[a1+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+1）d+15cn]，a1＝﹣1，
整理可得：cn2+[（14﹣8n）d+8]cn+d2＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]2﹣4d2≥0，
即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣4n）d+4≤﹣d，
整理可得（3﹣2n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣1，
当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣1，而d＞1，
所以d≤﹣1（舍），
所以d的范围为（1，+∞）；
n＝2时，d≤2或 ，而d＞1，
所以此时d∈（1，2]，
当n为大于2的任何整数，d≤或d≥，而d＞1，
所以d≤（舍），d＞1恒成立；
综上所述，n＝2时，d∈（1，2]；
n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，+∞），都存在cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列．
65．【解答】（Ⅰ）若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，
a2＝1，a1＝2，a1+a2＝2+1＝3，a3＝4，a2+a3＝1+4＝5，
所以Q是5﹣连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以Q不是6﹣连续可表数列；
（Ⅱ）假设k的值为3，则a1，a2，a3 最多能表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3，共6个数字，
与Q是8﹣连续可表数列矛盾，故k≥4；
现构造Q：1，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意．
故k的最小值为4．
（Ⅲ）先证明k≥6．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5+4+3+2+1＝15个正整数，不能表示20个正整数，即k≥6．
若k＝6，最多可以表示6+5+4+3+2+1＝21个正整数，
由于Q为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表1﹣20的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表1﹣20的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
这是不可能成立的，故k≠6．
故k≥7．
66．【解答】（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），
∴+＝，（x＞0），
由＞0，得x＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递增；
由＜0，得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减．
（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），
则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x0）（x﹣x0），
∵，∴切线l的方程为（﹣）x﹣y+，
∴（﹣）a﹣b++lnx0﹣1＝0，
令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），
∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b），
∴函数g（x）有三个不同的零点，
∵＝，
∵a＞e，∴x＜e，或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
e＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，
∴，且②，
由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，
∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，
只需证明，即lna+，
令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）单调递增，
∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），
综上，若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；
（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，
设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，
h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，
∵h（t1）＝h（t3），∴e（t1﹣t3）﹣ln+，
∴，
解得 ，③
要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，
即，
把③式代入得只需证明（e+a﹣） （t1+t3）+（）（）≤0，
即﹣（）≤0，
令＝s，由题意得s＞，
当s＞时，＝2 ，（n＝），
∴只需证明，
∵lnn＞，
∴
＞[2n﹣（1﹣）]
＝＞＞0，
∴+＜+＜﹣．
67．【解答】（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当n≥2时，，②，
①﹣②得：，
故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，
化简得：，，........，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以＝．
68．【解答】（1）由题意可得f'（x）＝3x2﹣1，
则切线的斜率k＝f'（﹣1）＝2，
且f（﹣1）＝0，故切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0，
由g'（x）＝2x＝2可得x＝1，则切点坐标为（1，1+a），
由于切点在直线2x﹣y+2＝0上，故2﹣（1+a）+2＝0，解得a＝3．
（2）由题意可得f'（x）＝3x2﹣1，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
且函数的零点为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝0，
绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，
观察可得，
当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（1，1）处有公共点，函数存在公切线，
当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，
当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，
则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
69．【解答】（1）证明：由已知有： ①，
把n换成n+1， ②，
②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，
整理得：an+1＝an+1，
由等差数列定义有{an}为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，
故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，
所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，
故可得：a1＜a2＜a3＜ ＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，
故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，
故Sn的最小值为﹣78．
70．【解答】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将x＝0代入原函数可得f（0）＝0，将x＝0代入导函数可得：f′（0）＝1，
故在x＝0处切线斜率为1，故y﹣0＝1（x﹣0），化简得：y＝x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有：g（x）＝，
，
令，令x+1＝k（k≥1），
设，恒成立，
故h（x）在[0，+∞）单调递增，又因为h（0）＝1，
故h（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故g′（x）＞0，
故g（x）在[0，+∞）单调递增；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又g（0）＝1，
故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，
设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），
由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），
故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），
即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，
故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．
71．【解答】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
令f′（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
故f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a，要使得f（x）≥0恒成立，仅需e+1﹣a≥0，
故a≤e+1，故a的取值范围是（﹣∞，e+1]；
（2）证明：由已知有函数f（x）要有两个零点，故f（1）＝e+1﹣a＜0，即a＞e+1，
不妨设0＜x1＜1＜x2，要证明x1x2＜1，即证明，
∵0＜x1＜1，∴，
即证明：，又因为f（x）在（1，+∞）单调递增，
即证明： ，
构造函数，0＜x＜1，
＝，
构造函数m（x）＝，
，因为0＜x＜1，所以，
故m′（x）＞0在（0，1）恒成立，故m（x）在（0，1）单调递增，
故m（x）＜m（1）＝0
又因为x﹣1＜0，故h′（x）＞0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）单调递增，
又因为h（1）＝0，故h（x）＜h（1）＝0，
故，即x1x2＜1．得证．
72．【解答】（1）当a＝0时，，则，
易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x＝1处取得极大值，同时也是最大值，
∴函数f（x）的最大值为f（1）＝﹣1；
（2）＝，
①当a＝0时，由（1）可知，函数f（x）无零点；
②当a＜0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又f（1）＝a﹣1＜0，故此时函数f（x）无零点；
③当0＜a＜1时，易知函数f（x）在上单调递增，在单调递减，
且f（1）＝a﹣1＜0，，且当x→+∞时，f（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
④当a＝1时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，故此时函数f（x）有唯一零点；
⑤当a＞1时，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
且f（1）＝a﹣1＞0，且当x→0时，f（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
综上，实数a的取值范围为（0，+∞）．
73．【解答】（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，
∴f′（0）＝1+1＝2，
又f（0）＝0，
∴所求切线方程为y＝2x；
（2），
若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；
故a＜0，，令，注意到，
令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得，
∴g（x）在单调递减，在单调递增，且x＞1时，g（x）＞0，
①若g（0）＝1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意；
②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，
且当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（x0）＝0，f（x）单调递减，则f（x0）＜f（0）＝0，
当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（1，e﹣a﹣1）上存在一个根，
当时，g（x）＜0，f（x）单调递减，，
当时，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在上存在一个根．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
74．【解答】（1）∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，
∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，
∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，
又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，
∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x＝，
∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，
∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值
∴a﹣alna＝1+lna，
解得：a＝1．
（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），
则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，
所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，
所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，
所以x≥1时，f（x）＞g（x），
因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，
所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），
此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，
由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，
直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），
因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，
令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，
令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，
所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，
因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，
所以lnm，m，em成等差数列．
∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
75．【解答】（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex＝ex（x﹣1），
f′（x）＝ex（x﹣1）+ex＝xex，
∵ex＞0，
∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（2）令g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），
∵f（x）＜﹣1，f（x）+1＜0，
∴g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，
又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，
令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝aeax+a（eax+axeax）﹣ex＝a（2eax+axeax）﹣ex，
∴h′（0）＝2a﹣1，
①当2a﹣1＞0，即a＞，h′（0）＝＝＞0，
∴ x0＞0，使得当x∈（0，x0），有＞0，∴g′（x）＞0，
所以g（x）单调递增，g（x0）＞g（0）＝0，矛盾；
②当2a﹣1≤0，即a≤，
g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝（1+ax）eax﹣ex，
若1+ax≤0，则g'（x）＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．
若1+ax＞0，则g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝eax+ln（1+ax）﹣ex≤﹣ex≤＝0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是a≤．
（3）由（2）可知，当a＝时，f（x）＝＜﹣1（x＞0），
令x＝1+（n∈N*）得，＜﹣1，
整理得，，
∴＞ln（1+），
∴＞ln（），∴＞ln（）＝ln（）＝ln（n+1），
即++...+＞ln（n+1）．
76．【解答】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，
由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），
即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），
∴a1＝b1．
（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，
由bk＝am+a1知，，
∴，即2k﹣1＝2m，
又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，
故集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．
77．【解答】（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，
∴公比q＝，则，
∴Sn＝＝4；
（2）若{an}是等差数列，
则≥n，
即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；
当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．
综上所述，d∈[0，1]．
78．【解答】（1）作DH⊥EF，垂足为H，
则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），
S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，
＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，
当且仅当3tanθ＝，即tan时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积为450﹣≈255.14m2．
79．【解答】（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，
∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，
解得x＝2．
（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），
∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，
当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；
当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，
解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，
综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．
（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），
∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，
f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），
∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，
∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，
∵t＞0，∴，
∴函数f（x）在R上单调递增．
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2022年高考数学真题分类汇编——代数部分
一．单项选择题（共42小题）
1．已知a，b∈R，a+3i＝（b+i）i（i为虚数单位），则（ ）
A．a＝1，b＝﹣3 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝﹣1，b＝﹣3 D．a＝1，b＝3
2．设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（ ）
A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}
3．设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知2a＝5，log83＝b，则4a﹣3b＝（ ）
A．25 B．5 C． D．
5．若实数x，y满足约束条件则z＝3x+4y的最大值是（ ）
A．20 B．18 C．13 D．6
6．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an﹣an2（n∈N*），则（ ）
A．2＜100a100＜ B．＜100a100＜3
C．3＜100a100＜ D．＜100a100＜4
7．若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}
8．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（ ）
A．2∈M B．3∈M C．4 M D．5 M
9．集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，则M∩N＝（ ）
A．{2，4} B．{2，4，6} C．{2，4，6，8} D．{2，4，6，8，10}
10．已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
11．已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（ ）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
12．设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则 U（A∪B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}
13．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为＝0.5，＝k1，＝k2，＝k3．已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
14．若z＝﹣1+i，则＝（ ）
A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i
15．设集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，则A∩B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0} C．{0，1} D．{1，2}
16．已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），则|﹣|＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
17．设（1+2i）a+b＝2i，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣1 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝﹣1，b＝﹣1
18．已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，则t＝（ ）
A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．6
19．若z＝1+i，则|iz+3|＝（ ）
A．4 B．4 C．2 D．2
20．设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
21．函数f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1在区间[0，2π]的最小值、最大值分别为（ ）
A．﹣， B．﹣， C．﹣，+2 D．﹣，+2
22．函数f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
23．函数y＝（3x﹣3﹣x）cosx在区间[﹣，]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
24．当x＝1时，函数f（x）＝alnx+取得最大值﹣2，则f′（2）＝（ ）
A．﹣1 B．﹣ C． D．1
25．在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是（ ）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
26．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则f（k）＝（ ）
A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣24
27．若x，y满足约束条件则z＝2x﹣y的最大值是（ ）
A．﹣2 B．4 C．8 D．12
28．如图是下列四个函数中的某个函数在区间[﹣3，3]的大致图像，则该函数是（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝
29．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则f（k）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1
30．已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（ ）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
31．设a＝0.1e0.1，b＝，c＝﹣ln0.9，则（ ）
A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．a＜c＜b
32．（2+2i）（1﹣2i）＝（ ）
A．﹣2+4i B．﹣2﹣4i C．6+2i D．6﹣2i
33．已知z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，其中a，b为实数，则（ ）
A．a＝1，b＝﹣2 B．a＝﹣1，b＝2 C．a＝1，b＝2 D．a＝﹣1，b＝﹣2
34．已知向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，则 ＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
35．已知等比数列{an}的前3项和为168，a2﹣a5＝42，则a6＝（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
36．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2．将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（≈2.65）（ ）
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3 C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
37．若i（1﹣z）＝1，则z+＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
38．已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则 UA＝（ ）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
39．若复数z满足i z＝3﹣4i，则|z|＝（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
40．在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝，＝，则＝（ ）
A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+3
41．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，则下列选项判断正确的是（ ）
A．若S2022＞S2021，则数列{an}是递增数列 B．若T2022＞T2021，则数列{an}是递增数列
C．若数列{Sn}是递增数列，则a2022≥a2021 D．若数列{Tn}是递增数列，则a2022≥a2021
42．下列函数定义域为R的是（ ）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
二．多选题（共3小题）
（多选）43．若x，y满足x2+y2﹣xy＝1，则（ ）
A．x+y≤1 B．x+y≥﹣2 C．x2+y2≤2 D．x2+y2≥1
（多选）44．已知函数f（x）＝x3﹣x+1，则（ ）
A．f（x）有两个极值点 B．f（x）有三个零点
C．点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心 D．直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线
（多选）45．已知函数f（x）及其导函数f′（x）的定义域均为R，记g（x）＝f′（x）．若f（﹣2x），g（2+x）均为偶函数，则（ ）
A．f（0）＝0 B．g（）＝0 C．f（﹣1）＝f（4） D．g（﹣1）＝g（2）
三．填空题（共18小题）
46．已知函数f（x）＝则f（f（））＝ ；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 ．
47．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn满足an Sn＝9（n＝1，2，…）．给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3； ②{an}为等比数列； ③{an}为递减数列；④{an}中存在小于的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
48．设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则2+2+…+2的取值范围是 ．
49．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若2S3＝3S2+6，则公差d＝ ．
50．已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，则m＝ ．
51．若曲线y＝（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ．
52．曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ， ．
53．若f（x）＝ln|a+|+b是奇函数，则a＝ ，b＝ ．
54．设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2+） ＝ ．
55．设函数f（x）＝若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
56．已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax﹣ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点．若x1＜x2，则a的取值范围是 ．
57．函数f（x）＝+的定义域是 ．
58．已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝ ．
59．不等式＜0的解集为 ．
60．设函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（27）＝ ．
61．已知z＝2+i（其中i为虚数单位），则＝ ．
62．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则 的最小值为 ．
63．已知函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，若将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，则（xn+1﹣xn）＝ ．
三．解答题（共16小题）
64．已知等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1．记{an}的前n项和为Sn（n∈N*）．
（Ⅰ）若S4﹣2a2a3+6＝0，求Sn；
（Ⅱ）若对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，求d的取值范围．
65．已知Q：a1，a2，…，ak为有穷整数数列．给定正整数m，若对任意的n∈{1，2，…，m}，在Q中存在ai，ai+1，ai+2，…，ai+j（j≥0），使得ai+ai+1+ai+2+…+ai+j＝n，则称Q为m﹣连续可表数列．
（Ⅰ）判断Q：2，1，4是否为5﹣连续可表数列？是否为6﹣连续可表数列？说明理由；
（Ⅱ）若Q：a1，a2，…，ak为8﹣连续可表数列，求证：k的最小值为4；
（Ⅲ）若Q：a1，a2，…，ak为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，求证：k≥7．
66．设函数f（x）＝+lnx（x＞0）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知a，b∈R，曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b）．证明：
（ⅰ）若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；
（ⅱ）若0＜a＜e，x1＜x2＜x3，则+＜+＜﹣．
（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）
67．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，{}是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：++…+＜2．
68．已知函数f（x）＝x3﹣x，g（x）＝x2+a，曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线也是曲线y＝g（x）的切线．
（1）若x1＝﹣1，求a；
（2）求a的取值范围．
69．记Sn为数列{an}的前n项和．已知+n＝2an+1．
（1）证明：{an}是等差数列；
（2）若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值．
70．已知函数f（x）＝exln（1+x）．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）设g（x）＝f′（x），讨论函数g（x）在[0，+∞）上的单调性；
（Ⅲ）证明：对任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）＞f（s）+f（t）．
71．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣a．
（1）若f（x）≥0，求a的取值范围；
（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1x2＜1．
72．已知函数f（x）＝ax﹣﹣（a+1）lnx．
（1）当a＝0时，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）恰有一个零点，求a的取值范围．
73．已知函数f（x）＝ln（1+x）+axe﹣x．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（﹣1，0），（0，+∞）各恰有一个零点，求a的取值范围．
74．已知函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值．
（1）求a；
（2）证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
75．已知函数f（x）＝xeax﹣ex．
（1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x＞0时，f（x）＜﹣1，求a的取值范围；
（3）设n∈N*，证明：++…+＞ln（n+1）．
76．已知{an}是等差数列，{bn}是公比为2的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4．
（1）证明：a1＝b1；
（2）求集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素的个数．
77．已知在数列{an}中，a2＝1，其前n项和为Sn．
（1）若{an}是等比数列，S2＝3，求Sn；
（2）若{an}是等差数列，S2n≥n，求其公差d的取值范围．
78．为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
79．已知函数f（x）的定义域为R，现有两种对f（x）变换的操作：φ变换：f（x）﹣f（x﹣t）；ω变换：|f（x+t）﹣f（x）|，其中t为大于0的常数．
（1）设f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，解方程：g（x）＝2；
（2）设f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，解不等式：f（x）≥h（x）；
（3）设f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x）；f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x）．若h1（x）＝h2（x）恒成立，证明：函数f（x）在R上单调递增．
2022年高考数学真题分类汇编——代数部分
参考答案与试题解析
一．选择题（共42小题）
1．【解答】∵a+3i＝（b+i）i＝﹣1+bi，a，b∈R，
∴a＝﹣1，b＝3，
故选：B．
2．【解答】∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，
∴A∪B＝{1，2，4，6}，
故选：D．
3．【解答】∵sin2x+cos2x＝1，
①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，
②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，
∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，
故选：A．
4．【解答】由2a＝5，log83＝b，
可得8b＝23b＝3，
则4a﹣3b＝＝＝＝，
故选：C．
5．【解答】实数x，y满足约束条件
则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，
由已知可得A（2，3），
由图可知：当直线3x+4y﹣z＝0过点A时，z取最大值，
则z＝3x+4y的最大值是3×2+4×3＝18，
故选：B．
6．【解答】∵an+1﹣an＝﹣an2＜0，
∴{an}为递减数列，
又，且an≠0，
∴，
又a1＝1＞0，则an＞0，
∴，
∴，
∴，则，
∴；
由得，得，
累加可得，，
∴，
∴；
综上，．
故选：B．
7．【解答】由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x}＝{x|≤x＜16}．
故选：D．
8．【解答】因为全集U＝{1，2，3，4，5}， UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3 M，4∈M，5∈M．
故选：A．
9．【解答】∵M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x|﹣1＜x＜6}，
∴M∩N＝{2，4}．
故选：A．
10．【解答】|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
11．【解答】因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，
所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．
故选：C．
12．【解答】∵B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，
又U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴ U（A∪B）＝{﹣2，0}．
故选：D．
13．【解答】设OD1＝DC1＝CB1＝BA1＝1，则CC1＝k1，BB1＝k2，AA1＝k3，
由题意得：k1＝k3﹣0.2，k2＝k3﹣0.1，
且，
解得k3＝0.9，
故选：D．
14．【解答】∵z＝﹣1+i，∴＝4，
则＝．
故选：C．
15．【解答】集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|0≤x＜}，
则A∩B＝{0，1，2}．
故选：A．
16．【解答】，
故，
故选：D．
17．【解答】∵（1+2i）a+b＝2i，
∴a+b+2ai＝2i，即，
解得．
故选：A．
18．【解答】∵向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，
∴＝（3+t，4），
∵＜，＞＝＜，＞，
∴＝，∴＝，
解得实数t＝5．
故选：C．
19．【解答】z＝1+i，
∴iz+3＝i+i2+3（1﹣i）＝i﹣1+3﹣3i＝2﹣2i，
则|iz+3|＝＝2．
故选：D．
20．【解答】因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
21．【解答】f（x）＝cosx+（x+1）sinx+1，x∈[0，2π]，
则f′（x）＝﹣sinx+sinx+（x+1）cosx＝（x+1）cosx，
令cosx＝0得，x＝或，
∴当x∈[0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（，2π]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在区间[0，2π]上的极大值为f（）＝，极小值为f（）＝﹣，
又∵f（0）＝2，f（2π）＝2，
∴函数f（x）在区间[0，2π]的最小值为﹣，最大值为，
故选：D．
22．【解答】f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
23．【解答】f（x）＝（3x﹣3﹣x）cosx，
可知f（﹣x）＝（3﹣x﹣3x）cos（﹣x）＝﹣（3x﹣3﹣x）cosx＝﹣f（x），
函数是奇函数，排除BD；
当x＝1时，f（1）＝（3﹣3﹣1）cos1＞0，排除C．
故选：A．
24．【解答】由题意f（1）＝b＝﹣2，则f（x）＝alnx﹣，
则f′（x）＝，
∵当x＝1时函数取得最值，可得x＝1也是函数的一个极值点，
∴f′（1）＝a+2＝0，即a＝﹣2．
∴f′（x）＝，
易得函数在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
故x＝1处，函数取得极大值，也是最大值，
则f′（2）＝．
故选：B．
25．【解答】在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（3，0），B（0，4），C（0，0），
设P（x，y），
因为PC＝1，
所以x2+y2＝1，
又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），
所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，
设x＝cosθ，y＝sinθ，
所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，
当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，
当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，
所以∈[﹣4，6]，
故选：D．
26．【解答】∵y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，则g（2﹣x）＝g（2+x），
∵f（x）+g（2﹣x）＝5，∴f（﹣x）+g（2+x）＝5，∴f（﹣x）＝f（x），故f（x）为偶函数，
∵g（2）＝4，f（0）+g（2）＝5，得f（0）＝1．由g（x）﹣f（x﹣4）＝7，得g（2﹣x）＝f（﹣x﹣2）+7，代入f（x）+g（2﹣x）＝5，得f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，故f（x）关于点（﹣1，﹣1）中心对称，
∴f（1）＝f（﹣1）＝﹣1，由f（x）+f（﹣x﹣2）＝﹣2，f（﹣x）＝f（x），得f（x）+f（x+2）＝﹣2，
∴f（x+2）+f（x+4）＝﹣2，故f（x+4）＝f（x），f（x）周期为4，
由f（0）+f（2）＝﹣2，得f（2）＝﹣3，又f（3）＝f（﹣1）＝f（1）＝﹣1，
所以f（k）＝6f（1）+6f（2）+5f（3）+5f（4）＝11×（﹣1）+5×1+6×（﹣3）＝﹣24，
故选：D．
27．【解答】作出可行域如下图阴影部分所示，
由图可知，当（x，y）取点C（4，0）时，目标函数z＝2x﹣y取得最大值，且最大为8．
故选：C．
28．【解答】首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在（1，3）存在零点，
而对于B选项：令y＝0，即，解得x＝0，或x＝1或x＝﹣1，故排除B选项；
对于D选项，令y＝0，即，解得x＝kπ，k∈Z，故排除D选项；
C选项：当x＞0时，2x＞0，x2+1＞0，因为cosx∈[﹣1，1]，故＝，且当x＞0时，，故，
而观察图像可知当x＞0时，f（x）max≥1，故C选项错误．
故选：A．
29．【解答】令y＝1，则f（x+1）+f（x﹣1）＝f（x），即f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（x+2）＝f（x+1）﹣f（x），f（x+3）＝f（x+2）﹣f（x+1），
∴f（x+3）＝﹣f（x），则f（x+6）＝﹣f（x+3）＝f（x），
∴f（x）的周期为6，
令x＝1，y＝0得f（1）+f（1）＝f（1）×f（0），解得f（0）＝2，
又f（x+1）＝f（x）﹣f（x﹣1），
∴f（2）＝f（1）﹣f（0）＝﹣1，
f（3）＝f（2）﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（3）﹣f（2）＝﹣1，
f（5）＝f（4）﹣f（3）＝1，
f（6）＝f（5）﹣f（4）＝2，
∴，
∴＝f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝﹣3．
故选：A．
30．【解答】∵9m＝10，∴m＝log910，
∵
∴，
构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），
f′（x）＝mxm﹣1﹣1，
令f′（x）＞0，解得：
由上述有∴，可得0＜x＜1，
故f（x）在（1，+∞）单调递增，
故f（10）＞f（8），又因为，
故a＞0＞b，
故选：A．
31．【解答】构造函数f（x）＝lnx+，x＞0，
则f'（x）＝，x＞0，
当f'（x）＝0时，x＝1，
0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x＝1处取最小值f（1）＝1，
∴，
∴ln0.9＞1﹣＝﹣，∴﹣ln0.9＜，∴c＜b；
∵﹣ln0.9＝ln＞1﹣＝，∴，
∴0.1e0.1＜，∴a＜b；
设g（x）＝xex+ln（1﹣x）（0＜x＜1），
则＝，
令h（x）＝ex（x2﹣1）+1，h′（x）＝ex（x2+2x﹣1），
当0时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，
当时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增，
∵h（0）＝0，∴当0＜x＜时，h（x）＜0，
当0＜x＜﹣1时，g′（x）＞0，g（x）＝xex+ln（1﹣x）单调递增，
∴g（0.1）＞g（0）＝0，∴0.1e0.1＞﹣ln0.9，∴a＞c，
∴c＜a＜b．
故选：C．
32．【解答】（2+2i）（1﹣2i）＝2﹣4i+2i﹣4i2＝6﹣2i．
故选：D．
33．【解答】因为z＝1﹣2i，且z+a+b＝0，
所以（1﹣2i）+a（1+2i）+b＝（1+a+b）+（﹣2+2a）i＝0，
所以，
解得a＝1，b＝﹣2．
故选：A．
34．【解答】因为向量，满足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，
所以|﹣2|＝＝＝＝3，
两边平方得，
13﹣4＝9，
解得＝1，
故选：C．
35．【解答】设等比数列{an}的公比为q，q≠0，由题意，q≠1．
∵前3项和为a1+a2+a3＝＝168，a2﹣a5＝a1 q﹣a1 q4＝a1 q（1﹣q3）＝42，
∴q＝，a1＝96，
则a6＝a1 q5＝96×＝3，
故选：D．
36．【解答】140km2＝140×106m2，180km2＝180×106m2，
根据题意，增加的水量约为
＝
≈（320+60×2.65）×106×3＝1437×106≈1.4×109m3．故选：C．
37．【解答】由i（1﹣z）＝1，得1﹣z＝，
∴z＝1+i，则，
∴．
故选：D．
38．【解答】因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，
所以 UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．
故选：D．
39．【解答】由i z＝3﹣4i，得z＝，
∴|z|＝||＝＝．
故选：B．
40．【解答】如图，
＝，
∴，即．
故选：B．
41．【解答】如果数列a1＝﹣1，公比为﹣2，满足S2022＞S2021，但是数列{an}不是递增数列，所以A不正确；
如果数列a1＝1，公比为﹣，满足T2022＞T2021，但是数列{an}不是递增数列，所以B不正确；
如果数列a1＝1，公比为，Sn＝＝2（1﹣），数列{Sn}是递增数列，但是a2022＜2021，所以C不正确；
数列{Tn}是递增数列，可知Tn＞Tn﹣1，可得an＞1，所以q≥1，可得a2022≥a2021正确，所以D正确；
故选：D．
42．【解答】，定义域为{x|x＞0}，
，定义域为{x|x≠0}，
，定义域为R，
，定义域为{x|x≥0}．
∴定义域为R的是．
故选：C．
二．多选题（共3小题）
43．【解答】由x2+y2﹣xy＝1可得，（x﹣）2+＝1，
令，则，
∴x+y＝＝2sin（）∈[﹣2，2]，故A错，B对，
∵x2+y2＝＝＝∈[，2]，
故C对，D错，
故选：BC．
44．【解答】f′（x）＝3x2﹣1，令f′（x）＞0，解得或，令f′（x）＜0，解得，
∴f（x）在上单调递增，在上单调递减，且，
∴f（x）有两个极值点，有且仅有一个零点，故选项A正确，选项B错误；
又f（x）+f（﹣x）＝x3﹣x+1﹣x3+x+1＝2，则f（x）关于点（0，1）对称，故选项C正确；
假设y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，设切点为（a，b），则，解得或，
显然（1，2）和（﹣1，﹣2）均不在曲线y＝f（x）上，故选项D错误．
故选：AC．
45．【解答】∵f（﹣2x）为偶函数，∴可得f（﹣2x）＝f（+2x），∴f（x）关于x＝对称，
令x＝，可得f（﹣2×）＝f（+2×），即f（﹣1）＝f（4），故C正确；
∵g（2+x）为偶函数，∴g（2+x）＝g（2﹣x），g（x）关于x＝2对称，故D不正确；
∵f（x）关于x＝对称，∴x＝是函数f（x）的一个极值点，
∴函数f（x）在（，t）处的导数为0，即g（）＝f′（）＝0，
又∴g（x）的图象关于x＝2对称，∴g（）＝g（）＝0，∴函数f（x）在（，t）的导数为0，
∴x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，∴（，t）关于x＝的对称点为（，t），
由x＝是函数f（x）的极值点可得x＝是函数f（x）的一个极值点，∴g（）＝f′（）＝0，
进而可得g（）＝g（）＝0，故x＝是函数f（x）的极值点，又f（x）的图象关于x＝对称，
∴（，t）关于x＝的对称点为（﹣，t），∴g（﹣）＝f′（）＝0，故B正确；
f（x）图象位置不确定，可上下移动，即每一个自变量对应的函数值是确定值，故A错误．
故选：BC．
三．填空题（共18小题）
46．【解答】∵函数f（x）＝，∴f（）＝﹣+2＝，
∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．
故答案为：；3+．
47．【解答】对于①n＝1时，可得a1＝3，当n＝2时，由a2 S2＝9，可得a2 （a1+a2）＝9，可得a2＝＜3，故①正确；
对于②，当n≥2时，由得，于是可得，即，
若{an}为等比数列，则n≥2时，an+1＝an，即从第二项起为常数，可检验n＝3不成立，故②错误；
对于③，因为an Sn＝9，an＞0，a1＝3，
当n≥2时，Sn＝，
所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝﹣＞0，
所以＞ ＞ an＜an﹣1，
所以{an}为递减数列，故③正确；
对于④，假设所有项均大于等于，取n＞90000，则，则anSn＞9与已知矛盾，故④正确；
故答案为：①③④．
48．【解答】以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
则A1（0，1），，A3（1，0），，A5（0，﹣1），，A7（﹣1，0），，
设P（x，y），
则2+2+…+2＝|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|2+|PA8|2＝8（x2+y2）+8，
∵cos22.5°≤|OP|≤1，∴，
∴，
∴12≤8（x2+y2）+8≤16，
即2+2+…+2的取值范围是[12+2，16]，
故答案为：[12+2，16]．
49．【解答】∵2S3＝3S2+6，
∴2（a1+a2+a3）＝3（a1+a2）+6，
∵{an}为等差数列，
∴6a2＝3a1+3a2+6，
∴3（a2﹣a1）＝3d＝6，解得d＝2．
故答案为：2．
50．【解答】∵向量＝（m，3），＝（1，m+1）．⊥，
∴＝m+3（m+1）＝0，
则m＝﹣，
故答案为：﹣．
51．【解答】y'＝ex+（x+a）ex，设切点坐标为（x0，（x0+a）），
∴切线的斜率k＝，
∴切线方程为y﹣（x0+a）＝（）（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣（x0+a）＝（）（﹣x0），
整理得：，
∵切线存在两条，∴方程有两个不等实根，
∴Δ＝a2+4a＞0，解得a＜﹣4或a＞0，
即a的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞），
故答案为：（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）．
52．【解答】当x＞0时，y＝lnx，设切点坐标为（x0，lnx0），
∵y'＝，∴切线的斜率k＝，
∴切线方程为y﹣lnx0＝（x﹣x0），
又∵切线过原点，∴﹣lnx0＝﹣1，
∴x0＝e，
∴切线方程为y﹣1＝，即x﹣ey＝0，
当x＜0时，y＝ln（﹣x），与y＝lnx的图像关于y轴对称，
∴切线方程也关于y轴对称，
∴切线方程为x+ey＝0，
综上所述，曲线y＝ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为x﹣ey＝0，x+ey＝0，
故答案为：x﹣ey＝0，x+ey＝0．
53．【解答】f（x）＝ln|a+|+b，
若a＝0，则函数f（x）的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，不具有奇偶性，
∴a≠0，
由函数解析式有意义可得，x≠1且a+，
∴x≠1且x，
∵函数f（x）为奇函数，∴定义域必须关于原点对称，
∴1+＝﹣1，解得a＝﹣，
∴f（x）＝ln||+b，定义域为{x|x≠1且x≠﹣1}，
由f（0）＝0得，ln+b＝0，
∴b＝ln2，
故答案为：﹣；ln2．
54．【解答】由题意可得，
则．
故答案为：11．
55．【解答】当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；
当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解得：0＜a≤1；
当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣a2+1，无解，故不满足题意；
综上所述：a的取值范围是[0，1]，
故答案为：0，1．
56．【解答】对原函数求导f′（x）＝2（axlna﹣ex），分析可知：f′（x）在定义域内至少有两个变号零点，
对其再求导可得：f″（x）＝2ax（lna）2﹣2e，
当a＞1时，易知f″（x）在R上单调递增，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递减，（x0，+∞）单调递增，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，应满足x1＞x2，不满足题意；
当0＜a＜1时，易知f″（x）在R上单调递减，此时若存在x0使得f″（x0）＝0，
则f′（x）在（﹣∞，x0）单调递增，（x0，+∞）单调递减，且，
此时若函数f（x）在x＝x1和x＝x2分别取极小值点和极大值点，且x1＜x2，
故仅需满足f′（x0）＞0，
即： ，
解得：，又因为0＜a＜1，故
综上所述：a的取值范围是．
57．【解答】要使函数f（x）＝+有意义，
则，解得x≤1且x≠0，
所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．
58．【解答】∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），
∴A∩B＝（1，2）．
故答案为：（1，2）．
59．【解答】由题意得x（x﹣1）＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集（0，1）．
故答案为：（0，1）．
60．【解答】函数f（x）＝x3的反函数为f﹣1（x），
整理得；
所以f﹣1（27）＝3．
故答案为：3．
61．【解答】∵z＝2+i，
∴．
故答案为：2﹣i．
62．【解答】建立平面直角坐标系如下，
则B（2，0），C（0，2），M（1，0），
直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2，
点P在直线上，设P（x，2﹣x），
∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x），
∴ ＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣，
∴ 的最小值为﹣．
故答案为：﹣．
63．【解答】∵函数y＝f（x）为定义域为R的奇函数，其图像关于x＝1对称，且当x∈（0，1]时，f（x）＝lnx，
∴f（x）是周期为4的周期函数，图象如图：
将方程f（x）＝x+1的正实数根从小到大依次记为x1，x2，x3，…，xn，
则（xn+1﹣xn）的几何意义是两条渐近线之间的距离2，
∴（xn+1﹣xn）＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共16小题）
64．【解答】（Ⅰ）因为等差数列{an}的首项a1＝﹣1，公差d＞1，
因为S4﹣2a2a3+6＝0，可得﹣2a2a3+6＝0，即2（a1+a4）﹣2a2a3+6＝0，
a1+a1+3d﹣（a1+d）（a1+2d）+3＝0，即﹣1﹣1+3d﹣（﹣1+d）（﹣1+2d）+3＝0，
整理可得：d2＝3d，解得d＝3，
所以Sn＝na1+d＝﹣n+＝，
即Sn＝；
（Ⅱ）因为对于每个n∈N*，存在实数cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列，
则（a1+nd+4cn）2＝[a1+（n﹣1）d+cn][（a1+（n+1）d+15cn]，a1＝﹣1，
整理可得：cn2+[（14﹣8n）d+8]cn+d2＝0，则Δ＝[（14﹣8n）d+8]2﹣4d2≥0，
即（7﹣4n）d+4≥d或（7﹣4n）d+4≤﹣d，
整理可得（3﹣2n）d≥﹣2或（2﹣n）d≤﹣1，
当n＝1时，可得d≥﹣2或d≤﹣1，而d＞1，
所以d≤﹣1（舍），
所以d的范围为（1，+∞）；
n＝2时，d≤2或 ，而d＞1，
所以此时d∈（1，2]，
当n为大于2的任何整数，d≤或d≥，而d＞1，
所以d≤（舍），d＞1恒成立；
综上所述，n＝2时，d∈（1，2]；
n为不等于2的正整数时，d的取值范围为（1，+∞），都存在cn，使an+cn，an+1+4cn，an+2+15cn成等比数列．
65．【解答】（Ⅰ）若m＝5，则对于任意的n∈{1，2，3，4，5}，
a2＝1，a1＝2，a1+a2＝2+1＝3，a3＝4，a2+a3＝1+4＝5，
所以Q是5﹣连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为6，
所以Q不是6﹣连续可表数列；
（Ⅱ）假设k的值为3，则a1，a2，a3 最多能表示a1，a2，a3，a1+a2，a2+a3，a1+a2+a3，共6个数字，
与Q是8﹣连续可表数列矛盾，故k≥4；
现构造Q：1，2，3，4可以表达出1，2，3，4，5，6，7，8这8个数字，即存在k＝4满足题意．
故k的最小值为4．
（Ⅲ）先证明k≥6．
从5个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示5个数字，
取连续两个数字最多能表示4个数字，取连续三个数字最多能表示3个数字，
取连续四个数字最多能表示2个数字，取连续五个数字最多能表示1个数字，
所以对任意给定的5个整数，最多可以表示5+4+3+2+1＝15个正整数，不能表示20个正整数，即k≥6．
若k＝6，最多可以表示6+5+4+3+2+1＝21个正整数，
由于Q为20﹣连续可表数列，且a1+a2+…+ak＜20，
所以其中必有一项为负数．
既然5个正整数都不能连续可表1﹣20的正整数，
所以至少要有6个正整数连续可表1﹣20的正整数，
所以至少6个正整数和一个负数才能满足题意，
这是不可能成立的，故k≠6．
故k≥7．
66．【解答】（Ⅰ）∵函数f（x）＝+lnx（x＞0），
∴+＝，（x＞0），
由＞0，得x＞，∴f（x）在（，+∞）上单调递增；
由＜0，得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上单调递减．
（Ⅱ）（i）证明：设经过点（a，b）的直线与函数f（x）的图象相切时切点坐标为（），
则切线方程为l：﹣lnx0＝f′（x0）（x﹣x0），
∵，∴切线l的方程为（﹣）x﹣y+，
∴（﹣）a﹣b++lnx0﹣1＝0，
令g（x）＝（﹣）﹣a+b++lnx﹣1，（x＞0），
∵曲线y＝f（x）上不同的三点（x1，f（x1）），（x2，f（x2）），（x3，f（x3））处的切线都经过点（a，b），
∴函数g（x）有三个不同的零点，
∵＝，
∵a＞e，∴x＜e，或x＞a时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
e＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，从而g（x）极大值＝g（e）＞0，g（x）极小值＝g（a）＜0，
∴，且②，
由②得b﹣f（a）＝b﹣，由①有b＜，
∵b﹣f（a）＝b﹣，∴要证明b﹣f（a）＜，
只需证明，即lna+，
令h（a）＝lna+，则＝＞0，∴h（a）单调递增，
∴h（a）＞h（e）＝，∴b﹣f（a）＜（），
综上，若a＞e，则0＜b﹣f（a）＜（﹣1）；
（ⅱ）证明：由（i）知g（x）＝（﹣+）a﹣b++lnx﹣1（x＞0）有三个不同的零点，
设＝t，则g（x）化为h（t）＝（﹣）a﹣b+et﹣lnt﹣1，
h（t）在三个不同的零点t1，t2，t3，且t1＞t2＞t3，
∵h（t1）＝h（t3），∴e（t1﹣t3）﹣ln+，
∴，
解得 ，③
要证明结论，只需证明[][t1+t3﹣（）]≤0，
即，
把③式代入得只需证明（e+a﹣） （t1+t3）+（）（）≤0，
即﹣（）≤0，
令＝s，由题意得s＞，
当s＞时，＝2 ，（n＝），
∴只需证明，
∵lnn＞，
∴
＞[2n﹣（1﹣）]
＝＞＞0，
∴+＜+＜﹣．
67．【解答】（1）已知a1＝1，{}是公差为的等差数列，
所以，整理得，①，
故当n≥2时，，②，
①﹣②得：，
故（n﹣1）an＝（n+1）an﹣1，
化简得：，，........，，；
所以，
故（首项符合通项）．
所以．
证明：（2）由于，
所以，
所以＝．
68．【解答】（1）由题意可得f'（x）＝3x2﹣1，
则切线的斜率k＝f'（﹣1）＝2，
且f（﹣1）＝0，故切线方程为y＝2（x+1），即2x﹣y+2＝0，
由g'（x）＝2x＝2可得x＝1，则切点坐标为（1，1+a），
由于切点在直线2x﹣y+2＝0上，故2﹣（1+a）+2＝0，解得a＝3．
（2）由题意可得f'（x）＝3x2﹣1，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
且函数的零点为x1＝1，x2＝﹣1，x3＝0，
绘制函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示，
观察可得，
当a＝﹣1时，函数f（x）和函数g（x）在点（1，1）处有公共点，函数存在公切线，
当a＜﹣1时，函数f（x）和函数g（x）不存在公切线，
当a＞﹣1时，函数f（x）和函数g（x）存在公切线，
则实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
69．【解答】（1）证明：由已知有： ①，
把n换成n+1， ②，
②﹣①可得：2an+1＝2（n+1）an+1﹣2nan﹣2n，
整理得：an+1＝an+1，
由等差数列定义有{an}为等差数列；
（2）由已知有，设等差数列an的首项为x，由（1）有其公差为1，
故（x+6）2＝（x+3）（x+8），解得x＝﹣12，故a1＝﹣12，
所以an＝﹣12+（n﹣1）×1＝n﹣13，
故可得：a1＜a2＜a3＜ ＜a12＜0，a13＝0，a14＞0，
故Sn在n＝12或者n＝13时取最小值，，
故Sn的最小值为﹣78．
70．【解答】（Ⅰ）对函数求导可得：，
将x＝0代入原函数可得f（0）＝0，将x＝0代入导函数可得：f′（0）＝1，
故在x＝0处切线斜率为1，故y﹣0＝1（x﹣0），化简得：y＝x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有：g（x）＝，
，
令，令x+1＝k（k≥1），
设，恒成立，
故h（x）在[0，+∞）单调递增，又因为h（0）＝1，
故h（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故g′（x）＞0，
故g（x）在[0，+∞）单调递增；
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又g（0）＝1，
故g（x）＞0在[0，+∞）恒成立，故f（x）在[0，+∞）单调递增，
设w（x）＝f（x+t）﹣f（x），w′（x）＝f′（x+t）﹣f′（x），
由（Ⅱ）有g（x）在[0，+∞）单调递增，又因为x+t＞x，所以f′（x+t）＞f′（x），
故w（x）单调递增，又因为s＞0，故w（s）＞w（0），
即：f（s+t）﹣f（s）＞f（t）﹣f（0），又因为函数f（0）＝0，
故f（s+t）＞f（s）+f（t），得证．
71．【解答】（1）f（x）的定义域为（0，+∞），，
令f′（x）＞0，解得x＞1，故函数f（x）在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
故f（x）min＝f（1）＝e+1﹣a，要使得f（x）≥0恒成立，仅需e+1﹣a≥0，
故a≤e+1，故a的取值范围是（﹣∞，e+1]；
（2）证明：由已知有函数f（x）要有两个零点，故f（1）＝e+1﹣a＜0，即a＞e+1，
不妨设0＜x1＜1＜x2，要证明x1x2＜1，即证明，
∵0＜x1＜1，∴，
即证明：，又因为f（x）在（1，+∞）单调递增，
即证明： ，
构造函数，0＜x＜1，
＝，
构造函数m（x）＝，
，因为0＜x＜1，所以，
故m′（x）＞0在（0，1）恒成立，故m（x）在（0，1）单调递增，
故m（x）＜m（1）＝0
又因为x﹣1＜0，故h′（x）＞0在（0，1）恒成立，故h（x）在（0，1）单调递增，
又因为h（1）＝0，故h（x）＜h（1）＝0，
故，即x1x2＜1．得证．
72．【解答】（1）当a＝0时，，则，
易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴f（x）在x＝1处取得极大值，同时也是最大值，
∴函数f（x）的最大值为f（1）＝﹣1；
（2）＝，
①当a＝0时，由（1）可知，函数f（x）无零点；
②当a＜0时，易知函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
又f（1）＝a﹣1＜0，故此时函数f（x）无零点；
③当0＜a＜1时，易知函数f（x）在上单调递增，在单调递减，
且f（1）＝a﹣1＜0，，且当x→+∞时，f（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
④当a＝1时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
又f（1）＝0，故此时函数f（x）有唯一零点；
⑤当a＞1时，易知函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
且f（1）＝a﹣1＞0，且当x→0时，f（x）＜0，故函数f（x）在（0，+∞）上存在唯一零点；
综上，实数a的取值范围为（0，+∞）．
73．【解答】（1）当a＝1时，f（x）＝ln（1+x）+xe﹣x，则，
∴f′（0）＝1+1＝2，
又f（0）＝0，
∴所求切线方程为y＝2x；
（2），
若a≥0，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，则f（x）＜f（0）＝0，不合题意；
故a＜0，，令，注意到，
令g′（x）＜0，解得或，令g′（x）＞0，解得，
∴g（x）在单调递减，在单调递增，且x＞1时，g（x）＞0，
①若g（0）＝1+a≥0，当x＞0时，g（x）＞0，f（x）单调递增，不合题意；
②若g（0）＝1+a＜0，g（0）g（1）＜0，则存在x0∈（0，1），使得g（x0）＝0，
且当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（x0）＝0，f（x）单调递减，则f（x0）＜f（0）＝0，
当x＞1时，f（x）＞ln（1+x）+a＞0，f（e﹣a﹣1）＞0，则由零点存在性定理可知f（x）在（1，e﹣a﹣1）上存在一个根，
当时，g（x）＜0，f（x）单调递减，，
当时，f（x）＜ln（1+x）﹣ae＜0，f（eae﹣1）＜0，则由零点存在性定理可知f（x）在上存在一个根．
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）．
74．【解答】（1）∵f（x）＝ex﹣ax，g（x）＝ax﹣lnx，
∴f'（x）＝ex﹣a，g'（x）＝a﹣，
∵y＝ex在x∈R上单调递增，函数y＝﹣在x∈（0，+∞）上单调递增，
∴函数f'（x）和函数g'（x）在各自定义域上单调递增，
又∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有最小值，
∴当f'（x）＝0时，x＝lna，当g'（x）＝0时，x＝，
∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
函数g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，g（x）min＝1+lna，
∵函数f（x）＝ex﹣ax和g（x）＝ax﹣lnx有相同的最小值
∴a﹣alna＝1+lna，
解得：a＝1．
（2）证明：由（1）知a＝1，函数f（x）＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
函数g（x）＝x﹣lnx在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
设u（x）＝f（x）﹣g（x）＝ex﹣2x+lnx（x＞0），
则u′（x）＝ex﹣2+＞ex﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，
所以函数u（x）在（1，+∞）上单调递增，因为u（1）＝e﹣2＞0，
所以当x≥1时，u（x）≥u（1）＞0恒成立，即f（x）﹣g（x）＞0在x≥1时恒成立，
所以x≥1时，f（x）＞g（x），
因为f（0）＝1，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，g（1）＝1，函数g（x）在（0，1）上单调递减，
所以函数f（x）与函数g（x）的图象在（0，1）上存在唯一交点，设该交点为（m，f（m））（0＜m＜1），
此时可作出函数y＝f（x）和y＝g（x）的大致图象，
由图象知当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，
直线y＝b必经过点M（m，f（m）），即b＝f（m），
因为f（m）＝g（m），所以em﹣m＝m﹣lnm，即em﹣2m+lnm＝0，
令f（x）＝b＝f（m）得ex﹣x＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝lnm，由0＜m＜1，得lnm＜0＜m，
令g（x）＝b＝f（m）得x﹣lnx＝em﹣m＝m﹣lnm，解得x＝m或x＝em，由0＜m＜1，得m＜1＜em，
所以当直线y＝b与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点时，
从左到右的三个交点的横坐标依次为，lnm，m，em，
因为em﹣2m+lnm＝0，所以em+lnm＝2m，
所以lnm，m，em成等差数列．
∴存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f（x）和y＝g（x）共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
75．【解答】（1）当a＝1时，f（x）＝xex﹣ex＝ex（x﹣1），
f′（x）＝ex（x﹣1）+ex＝xex，
∵ex＞0，
∴当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（2）令g（x）＝f（x）+1＝xeax﹣ex+1（x＞0），
∵f（x）＜﹣1，f（x）+1＜0，
∴g（x）＜g（0）＝0在x＞0上恒成立，
又g′（x）＝eax+xaeax﹣ex，
令h（x）＝g′（x），则h′（x）＝aeax+a（eax+axeax）﹣ex＝a（2eax+axeax）﹣ex，
∴h′（0）＝2a﹣1，
①当2a﹣1＞0，即a＞，h′（0）＝＝＞0，
∴ x0＞0，使得当x∈（0，x0），有＞0，∴g′（x）＞0，
所以g（x）单调递增，g（x0）＞g（0）＝0，矛盾；
②当2a﹣1≤0，即a≤，
g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝（1+ax）eax﹣ex，
若1+ax≤0，则g'（x）＜0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．
若1+ax＞0，则g′（x）＝eax+xaeax﹣ex＝eax+ln（1+ax）﹣ex≤﹣ex≤＝0，
所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0，符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是a≤．
（3）由（2）可知，当a＝时，f（x）＝＜﹣1（x＞0），
令x＝1+（n∈N*）得，＜﹣1，
整理得，，
∴＞ln（1+），
∴＞ln（），∴＞ln（）＝ln（）＝ln（n+1），
即++...+＞ln（n+1）．
76．【解答】（1）证明：设等差数列{an}的公差为d，
由a2﹣b2＝a3﹣b3，得a1+d﹣2b1＝a1+2d﹣4b1，则d＝2b1，
由a2﹣b2＝b4﹣a4，得a1+d﹣2b1＝8b1﹣（a1+3d），
即a1+d﹣2b1＝4d﹣（a1+3d），
∴a1＝b1．
（2）由（1）知，d＝2b1＝2a1，
由bk＝am+a1知，，
∴，即2k﹣1＝2m，
又1≤m≤500，故2≤2k﹣1≤1000，则2≤k≤10，
故集合{k|bk＝am+a1，1≤m≤500}中元素个数为9个．
77．【解答】（1）在等比数列{an}中，a2＝1，S2＝3，则a1＝2，
∴公比q＝，则，
∴Sn＝＝4；
（2）若{an}是等差数列，
则≥n，
即（3﹣2n）d≤1，当n＝1时，d≤1；
当n≥2时，d≥恒成立，∵∈[﹣1，0），∴d≥0．
综上所述，d∈[0，1]．
78．【解答】（1）作DH⊥EF，垂足为H，
则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），
S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，
＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，
当且仅当3tanθ＝，即tan时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积为450﹣≈255.14m2．
79．【解答】（1）∵f（x）＝2x，t＝1，g（x）为f（x）做φ变换后的结果，g（x）＝2，
∴g（x）＝f（x）﹣f（x﹣1）＝2x﹣2x﹣1＝2x﹣1＝2，
解得x＝2．
（2）∵f（x）＝x2，h（x）为f（x）做ω变换后的结果，f（x）≥h（x），
∴x2≥|（x+t）2﹣x2|＝|2tx+t2|，
当x≤﹣时，f（x）≥h（x）恒成立；
当x＞﹣时，2tx+t2≤x2，
解得x≥（1+）t，或x≤（1﹣）t，
综上，不等式：f（x）≥h（x）的解集为（﹣∞，（1﹣）t]∪[（1+）t，+∞）．
（3）证明：f（x）先做φ变换后得到u（x），u（x）再做ω变换后得到h1（x），
∴u（x）＝f（x）﹣f（x﹣t），h1（x）＝|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|，
f（x）先做ω变换后得到v（x），v（x）再做φ变换后得到h2（x），
∴v（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|，h2（x）＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，
∵h1（x）＝h2（x），f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，
∴|f（x+t）﹣f（x）﹣[f（x）﹣f（x﹣t）]|＝|f（x+t）﹣f（x）|﹣|f（x）﹣f（x﹣t）|，
∵t＞0，∴，
∴函数f（x）在R上单调递增．
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