2022年高考数学真题分类汇编——排列组合与概率统计及高等数学部分（含解析）

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排列组合与概率统计及高等数学部分
一．选择题（共7小题）
1．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如图茎叶图：
则下列结论中错误的是（　　）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
2．从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　）
A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41
4．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3＞p2＞p1＞0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（　　）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
5．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
6．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：
则（　　）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
7．从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
8．现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P（ξ＝2）＝　 　，E（ξ）＝　 　．
9．已知多项式（x+2）（x﹣1）4＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2＝　 　，a1+a2+a3+a4+a5＝　 　．
10．从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 　 　．
11．已知随机变量X服从正态分布N（2，σ2），且P（2＜X≤2.5）＝0.36，则P（X＞2.5）＝　 　．
12．（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为 　 　（用数字作答）．
13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 　 　．
14．在（x3+）12的展开式中，则含项的系数为 　 　．
15．用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134大的数字个数为 　 　.（用数字作答）
三．解答题（共6小题）
16．甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
（1）求甲学校获得冠军的概率；
（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
17．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率；
（3）已知该地区这种疾病的患者的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50）的人口占该地区总人口的16%．从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50），求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001 ）．
18．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：K2＝．
P（K2≥k） 0.100 0.050 0.010
k 2.706 3.841 6.635
19．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
（Ⅱ）设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望EX；
（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
20．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
不够良好 良好
病例组 40 60
对照组 10 90
（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：R＝ ；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P（A|B），P（A|）的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附：K2＝．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
21．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得xi2＝0.038，yi2＝1.6158，xiyi＝0.2474．
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数r＝，≈1.377．
高等数学部分试题
一．选择题（共2小题）
1．已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x﹣b|+|x﹣4|﹣|2x﹣5|≥0，则（　　）
A．a≤1，b≥3 B．a≤1，b≤3 C．a≥1，b≥3 D．a≥1，b≤3
2．若a＞b＞c＞d，则下列不等式恒成立的是（　　）
A．a+d＞b+c B．a+c＞b+d C．ac＞bd D．ad＞bc
二．解答题（共4小题）
3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），曲线C2的参数方程为（s为参数）．
（1）写出C1的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ﹣sinθ＝0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．
4．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）+m＝0．
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
5．已知a，b，c都是正数，且++＝1，证明：
（1）abc≤；
（2）++≤．
6．已知a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，证明：
（1）a+b+2c≤3；
（2）若b＝2c，则+≥3．
排列组合与概率统计及高等数学部分
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】由茎叶图可知，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，选项A说法正确；
由茎叶图可知，乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8，选项B说法正确；
甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项C说法错误；
乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为，选项D说法正确．
故选：C．
2．【解答】根据题意，从6张卡片中无放回随机抽取2张，有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6），共15种取法，
其中抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6），共6种情况，
则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率P＝＝；
故选：C．
3．【解答】∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
∴a0+a2+a4＝+ 22+＝1+24+16＝41，
故选：B．
4．【解答】A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以P受比赛次序影响，故A错误；
设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为P甲，棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为P乙，棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为P丙，
P甲＝2p1[p2（1﹣p3）+p3（1﹣p2）]＝2p1p2+2p1p3﹣4p1p2p3，
P乙＝2p2[p1（1﹣p3）+p3（1﹣p1）]＝2p1p2+2p2p3﹣4p1p2p3，
P丙＝2p3[p1（1﹣p2）+p2（1﹣p1）]＝2p1p3+2p2p3﹣4p1p2p3，
P丙﹣P甲＝2p2（p3﹣p1）＞0，P丙﹣P乙＝2p1（p3﹣p2）＞0，
∴所以P丙最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．
故选：D．
5．【解答】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有＝48种情况，
甲站在两端的情况有＝24种情况，
∴甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有48﹣24＝24种，
故选：B．
6．【解答】对于A，讲座前问卷答题的正确率从小到大为：
60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，
∴讲座前问卷答题的正确率的中位数为：（70%+75%）/2＝72.5%，故A错误；
对于B，讲座后问卷答题的正确率的平均数为：
（80%+85%+85%+85%+85%+90%+90%+95%+100%+100%）＝89.5%＞85%，故B正确；
对于C，由图形知讲座前问卷答题的正确率相对分散，讲座后问卷答题的正确率相对集中，
∴讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故C错误；
对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为：100%﹣80%＝20%，
讲座前正确率的极差为：95%﹣60%＝35%，
∴讲座后问卷答题的正确率的极差小于讲座前正确率的极差，故D错误．
故选：B．
7．【解答】从2至8的7个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14种，
故所求概率为．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
8．【解答】根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，
又P（ξ＝1）＝，
P（ξ＝2）＝，
P（ξ＝3）＝，
P（ξ＝4）＝，
∴E（ξ）＝1×+2×+3×+4×＝，
故答案为：；．
9．【解答】∵（x﹣1）4＝x4﹣4x3+6x2﹣4x+1，
∴a2＝﹣4+12＝8；
令x＝0，则a0＝2，
令x＝1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5＝0，
∴a1+a2+a3+a4+a5＝﹣2．
故答案为：8，﹣2．
10．【解答】根据题意，从正方体的8个顶点中任选4个，有C＝70种取法，
若这4个点在同一个平面，有底面2个和侧面4个、对角面6个，一共有12种情况，
则这4个点在同一个平面的概率P＝＝；
故答案为：．
11．【解答】∵随机变量X服从正态分布N（2，σ2），
∴P（2＜X≤2.5）+P（X＞2.5）＝0.5，
∴P（X＞2.5）＝0.5﹣0.36＝0.14，
故答案为：0.14．
12．【解答】（x+y）8的通项公式为Tr+1＝C8rx8﹣ryr，
当r＝6时，，当r＝5时，，
∴（1﹣）（x+y）8的展开式中x2y6的系数为＝．
故答案为：﹣28．
13．【解答】方法一：设5人为甲、乙、丙、丁、戊，
从5人中选3人有以下10个基本事件：
甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊，甲丙丁，甲丙戊，甲丁戊，乙丙丁、乙丙戊，乙丁戊，丙丁；
甲、乙被选中的基本事件有3个：甲乙丙，甲乙丁，甲乙戊；
故甲、乙被选中的概率为．
方法二：
由题意，从甲、乙等5名学生中随机选出3人，基本事件总数＝10，
甲、乙被选中，则从剩下的3人中选一人，包含的基本事件的个数＝3，
根据古典概型及其概率的计算公式，甲、乙都入选的概率P＝＝．
14．【解答】展开式的通项公式为Tk+1＝C（x3）12﹣k（）k＝Cx36﹣4k，由36﹣4k＝﹣4，得4k＝40，
得k＝10，
即T11＝Cx﹣4＝，即含项的系数为66，
故答案为：66．
15．【解答】根据题意，用数字1、2、3、4组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3或4时，有2A33＝12种情况，即有12个符合题意的四位数，
当其千位数字为2时，有6种情况，其中最小的为2134，则有6﹣1＝5个比2134大的四位数，
故有12+5＝17个比2134大的四位数，
故答案为：17．
三．解答题（共6小题）
16．【解答】（1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：
第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛
甲学校获胜概率 0.5 0.4 0.8
乙学校获胜概率 0.5 0.6 0.2
甲学校要获得冠军，需要在3场比赛中至少获胜2场，
①甲学校3场全胜，概率为：P1＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
②甲学校3场获胜2场败1场，概率为：P2＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44，
所以甲学校获得冠军的概率为：P＝P1+P2＝0.6；
（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：
P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，
P（X＝10）＝0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.8＝0.44，
P（X＝20）＝0.5×0.6×0.8+0.5×0.4×0.2+0.5×0.6×0.2＝0.34，
P（X＝30）＝0.5×0.6×0.2＝0.06，
则X的分布列为：
X 0 10 20 30
P 0.16 0.44 0.34 0.06
X的期望EX＝0×0.16+10×0.44+20×0.34+30×0.06＝13．
17．【解答】（1）由频率分布直方图得该地区这种疾病患者的平均年龄为：
＝5×0.001×10+15×0.002×10+25×0.012×10+35×0.017×10+45×0.023×10+55×0.020×10+65×0.017×10+75×0.006×10+85×0.002×10＝47.9岁．
（2）该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的频率为：
（0.012+0.017+0.023+0.020+0.017）×10＝0.89，
∴估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70）的概率为0.89．
（3）设从该地区中任选一人，此人的年龄位于区间[40，50）为事件B，此人患这种疾病为事件C，
则P（C|B）＝＝≈0.0014．
18．【解答】（1）A公司一共调查了260辆车，其中有240辆准点，故A公司准点的概率为；
B公司一共调查了240辆车，其中有210辆准点，故B公司准点的概率为；
（2）由题设数据可知，准点班次数共450辆，未准点班次数共50辆，A公司共260辆，B公司共240辆，
∴，
∴有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
19．【解答】（Ⅰ）甲以往的10次成绩中有4次获得优秀奖，用频率估计概率，则甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率＝．
（Ⅱ）用频率估计概率，则乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率为＝，
X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝＝，
∴EX＝0×＝．
（Ⅲ）丙获得冠军的概率估计值最大．
20．【解答】（1）补充列联表为：
不够良好 良好 合计
病例组 40 60 100
对照组 10 90 100
合计 50 150 200
计算K2＝＝24＞6.635，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
（2）（i）证明：R＝：＝ ＝ ＝＝ ＝；
（ⅱ）利用调查数据，P（A|B）＝＝，＝＝，P（|B）＝1﹣P（A|B）＝，P（|）＝1﹣P（A|）＝，
所以R＝×＝6．
21．【解答】（1）设这棵树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为，
则根据题中数据得：＝＝0.06m2，＝＝0.39m3；
（2）由题可知，r＝＝＝＝＝≈0.97；
（3）设总根部面积和X，总材积量为Y，则，故Y＝＝1209（m3）．
高等数学部分
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．【解答】取x＝4，则不等式为a|4﹣b|﹣3≥0，显然a≠0，且b≠4，
观察选项可知，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．【解答】对于A，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但a+d＝b+c，故A错误，
对于B，∵a＞b＞c＞d，即a＞b，c＞d，
∴由不等式的可加性可得，a+c＞b+d，故B正确，
对于C，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ac＝bd，故C错误，
对于D，令a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b＞c＞d，但ad＜bc，故D错误．
故选：B．
二．解答题（共4小题）
3．【解答】（1）由（t为参数），消去参数t，
可得C1的普通方程为y2＝6x﹣2（y≥0）；
（2）由（s为参数），消去参数s，
可得C2的普通方程为y2＝﹣6x﹣2（y≤0）．
由2cosθ﹣sinθ＝0，得2ρcosθ﹣ρsinθ＝0，
则曲线C3的直角坐标方程为2x﹣y＝0．
联立，解得或，
∴C3与C1交点的直角坐标为（，1）与（1，2）；
联立，解得或，
∴C3与C2交点的直角坐标为（，﹣1）与（﹣1，﹣2）．
4．【解答】（1）由ρsin（θ+）+m＝0，得，
∴，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴，
即l的直角坐标方程为；
（2）由曲线C的参数方程为（t为参数）．
消去参数t，可得，
联立，得3y2﹣2y﹣4m﹣6＝0（﹣2≤y≤2）．
∴4m＝3y2﹣2y﹣6，
令g（y）＝3y2﹣2y﹣6（﹣2≤y≤2），
可得，当y＝﹣2时，g（y）max＝g（﹣2）＝10，
∴﹣≤4m≤10，﹣≤m≤，
∴m的取值范围是[，]．
5．【解答】（1）证明：∵a，b，c都是正数，
∴++≥3＝3（abc），当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
因为++＝1，
所以1≥3（abc），
所以≥（abc），
所以abc≤，得证．
（2）根据基本不等式b+c≥2，a+c≥2，a+b≥2，
∴++≤++＝++＝＝，
当且仅当a＝b＝c时等号成立，故得证．
6．【解答】证明：（1）∵a，b，c均为正数，且a2+b2+4c2＝3，
∴由柯西不等式知，（a2+b2+4c2）（12+12+12）≥（a+b+2c）2，
即3×3≥（a+b+2c）2，∴a+b+2c≤3；
当且仅当a＝b＝2c，即a＝b＝1，c＝时取等号；
（2）由（1）知，a+b+2c≤3且b＝2c，
故0＜a+4c≤3，则，
由权方和不等式可知，，当且仅当＝，即a＝1，c＝时取等号，
故+≥3．
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