2022年高考数学真题分类汇编——三角函数等部分（含解析）

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2022年高考数学真题分类汇编——三角函数等部分
一．选择题（共10小题）
1．执行如图的程序框图，输出的n＝（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1+，b2＝1+，b3＝1+，…，依此类推，其中αk∈N*（k＝1，2，…）．则（　　）
A．b1＜b5 B．b3＜b8 C．b6＜b2 D．b4＜b7
3．为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+）图象上所有的点（　　）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
4．已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减 B．f（x）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减 D．f（x）在（，）上单调递增
5．已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则（　　）
A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
6．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，CD⊥AB．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：s＝AB+．当OA＝2，∠AOB＝60°时，s＝（　　）
A． B． C． D．
7．记函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，则f（）＝（　　）
A．1 B． C． D．3
8．将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（　　）
A． B． C． D．
9．若sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，则（　　）
A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1
C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1
10．设函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（　　）
A．[，） B．[，） C．（，] D．（，]
二．多选题（共1小题）
（多选）11．已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（，0）中心对称，则（　　）
A．f（x）在区间（0，）单调递减 B．f（x）在区间（﹣，）有两个极值点
C．直线x＝是曲线y＝f（x）的对称轴 D．直线y＝﹣x是曲线y＝f（x）的切线
三．填空题（共6小题）
12．若3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，则sinα＝　 　，cos2β＝　 　．
13．若函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，则A＝　 　；f（）＝　 　．
14．已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．当取得最小值时，BD＝　 　．
15．记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）＝，x＝为f（x）的零点，则ω的最小值为 　 　．
16．若tanα＝3，则tan（α+）＝　 　．
17．已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 　 　．
四．解答题（共6小题）
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知4a＝c，cosC＝．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若b＝11，求△ABC的面积．
19．在△ABC中，sin2C＝sinC．
（Ⅰ）求∠C；
（Ⅱ）若b＝6，且△ABC的面积为6，求△ABC的周长．
20．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）若A＝2B，求C；
（2）证明：2a2＝b2+c2．
21．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3．已知S1﹣S2+S3＝，sinB＝．
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝，求b．
22．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝．
（1）若C＝，求B；
（2）求的最小值．
23．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A）．
（1）证明：2a2＝b2+c2；
（2）若a＝5，cosA＝，求△ABC的周长．
2022年高考数学真题分类汇编——三角函数等部分
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【解答】模拟执行程序的运行过程，如下：
输入a＝1，b＝1，n＝1，
计算b＝1+2＝3，a＝3﹣1＝2，n＝2，
判断|﹣2|＝＝0.25≥0.01，
计算b＝3+4＝7，a＝7﹣2＝5，n＝3，
判断|﹣2|＝＝0.04≥0.01；
计算b＝7+10＝17，a＝17﹣5＝12，n＝4，
判断|﹣2|＝＜0.01；
输出n＝4．
故选：B．
2．【解答】∵αk∈N*（k＝1，2，…），∴可以取αk＝1，
则b1＝1+＝2，
b2＝1+＝，
b3＝1+＝，
b4＝1+＝，
b5＝1+＝，
b6＝1+＝，
b7＝＝，
b8＝1+＝，
∴b1＞b5，故A错误；b3＞b8，故B错误；b6＞b2，故C错误；b4＜b7，故D正确．
故选：D．
3．【解答】把y＝2sin（3x+）图象上所有的点向右平移各单位可得y＝2sin[3（x﹣）+]＝2sin3x的图象．
故选：D．
4．【解答】f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，周期T＝π，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ]（k∈Z），
对于A，f（x）在（﹣，﹣）上单调递增，故A错误，
对于B，f（x）在（﹣，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，故B错误，
对于C，f（x）在（0，）上单调递减，故C正确，
对于D，f（x）在（，）上单调递减，在（，）上单调递增，故D错误，
故选：C．
5．【解答】设f（x）＝cosx+，（0＜x＜1），则f′（x）＝x﹣sinx，
设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，
故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，
即f′（x）＞0，故f（x）（0，1）单调递增，
所以f（）＞f（0）＝0，可得cos，故b＞a，
利用三角函数线可得x）时，tanx＞x，
∴tan＞，即，∴4sin，故c＞b．
综上：c＞b＞a，
故选：A．
6．【解答】∵OA＝OB＝2，∠AOB＝60°，∴AB＝2，
∵C是AB的中点，D在上，CD⊥AB，
∴延长DC可得O在DC上，CD＝OD﹣OC＝2﹣，
∴s＝AB+＝2+＝2+＝．
故选：B．
7．【解答】函数f（x）＝sin（ωx+）+b（ω＞0）的最小正周期为T，
则T＝，由＜T＜π，得＜＜π，∴2＜ω＜3，
∵y＝f（x）的图像关于点（，2）中心对称，∴b＝2，
且sin（+）＝0，则+＝kπ，k∈Z．
∴，k∈Z，取k＝4，可得．
∴f（x）＝sin（x+）+2，则f（）＝sin（×+）+2＝﹣1+2＝1．
故选：A．
8．【解答】将函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，
则C对应函数为y＝sin（ωx++），
∵C的图象关于y轴对称，∴+＝kπ+，k∈Z，
即ω＝2k+，k∈Z，
则令k＝0，可得ω的最小值是，
故选：C．
9．【解答】因为sin（α+β）+cos（α+β）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）＝2cos（α+）sinβ，
即sin（）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）cosβ+sinβcos（）＝2cos（α+）sinβ，
所以sin（）cosβ﹣sinβcos（）＝0，
所以sin（）＝0，
所以＝kπ，k∈Z，
所以α﹣β＝k，
所以tan（α﹣β）＝﹣1．
故选：C．
10．【解答】当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；
函数f（x）＝sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，
ωx+∈（，ωπ+），
∴＜ωπ+≤3π，
求得＜ω≤，
故选：C．
二．多选题（共1小题）
11．【解答】因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（，0）对称，
所以+φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝kπ﹣，
因为0＜φ＜π，
所以φ＝，
故f（x）＝sin（2x+），
令2x+，解得﹣＜x＜，
故f（x）在（0，）单调递减，A正确；
x∈（﹣，），2x+∈（，），
根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（﹣，）只有一个极值点，故B错误；
令2x+＝kπ+，k∈Z，得x＝﹣，k∈Z，C显然错误；
结合正弦函数的图象可知，
直线y＝显然与y＝sin（2x+）相切，故直线y＝显然是曲线的切线，故D正确．
故选：AD．
三．填空题（共6小题）
12．【解答】∵3sinα﹣sinβ＝，α+β＝，
∴3sinα﹣cosα＝，
∴cosα＝3sinα﹣，
∵sin2α+cos2α＝1，
∴sin2α+（3sin）2＝1，
解得sinα＝，cosβ＝sinα＝，
cos2β＝2cos2β﹣1＝2×﹣1＝．
故答案为：；．
13．【解答】∵函数f（x）＝Asinx﹣cosx的一个零点为，∴A﹣×＝0，
∴A＝1，函数f（x）＝sinx﹣cosx＝2sin（x﹣），
∴f（）＝2sin（﹣）＝2sin（﹣）＝﹣2sin＝﹣，
故答案为：1；﹣．
14．【解答】设BD＝x，CD＝2x，
在三角形ACD中，b2＝4x2+4﹣2 2x 2 cos60°，可得：b2＝4x2﹣4x+4，
在三角形ABD中，c2＝x2+4﹣2 x 2 cos120°，可得：c2＝x2+2x+4，
要使得最小，即最小，
＝＝，
其中，此时，
当且仅当时，即时取等号，
故答案为：．
15．【解答】函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T＝，
若f（T）＝cos（ω×+φ）＝cosφ＝，0＜φ＜π，则φ＝，
所以f（x）＝cos（ωx+）．
因为x＝为f（x）的零点，所以cos（+）＝0，
故 +＝k，k∈Z，所以ω＝9k+3，k∈Z，
因为ω＞0，则ω的最小值为3．
故答案为：3．
16．【解答】若tanα＝3，
则tan（α+）＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
17．【解答】在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，
利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB AC cosA，整理得BC＝，
所以，解得R＝．
故答案为：．
四．解答题（共6小题）
18．【解答】（Ⅰ）因为cosC＝＞0，所以C∈（0，），且sinC＝＝，
由正弦定理可得：＝，
即有sinA＝＝sinC＝×＝；
（Ⅱ）因为4a＝c a＝c＜c，
所以A＜C，故A∈（0，），
又因为sinA＝，所以cosA＝，
所以sinB＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC＝；
由正弦定理可得：＝＝＝5，
所以a＝5sinA＝5，
所以S△ABC＝absinC＝×5×11×＝22．
19．【解答】（Ⅰ）∵sin2C＝sinC，
∴2sinCcosC＝sinC，
又sinC≠0，∴2cosC＝，
∴cosC＝，∵0＜C＜π，
∴C＝；
（Ⅱ）∵△ABC的面积为6，
∴absinC＝6，
又b＝6，C＝，
∴×a×6×＝6，
∴a＝4，
又cosC＝，
∴＝，
∴c＝2，
∴a+b+c＝6+6，
∴△ABC的周长为6+6．
20．【解答】（1）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
又A＝2B，∴sinCsinB＝sinBsin（C﹣A），
∵sinB≠0，∴sinC＝sin（C﹣A），即C＝C﹣A（舍去）或C+C﹣A＝π，
联立，解得C＝；
证明：（2）由sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
得sinCsinAcosB﹣sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA﹣sinBcosCsinA，
由正弦定理可得accosB﹣bccosA＝bccosA﹣abcosC，
由余弦定理可得：ac ，
整理可得：2a2＝b2+c2．
21．【解答】（1）S1＝a2sin60°＝a2，
S2＝b2sin60°＝b2，
S3＝c2sin60°＝c2，
∵S1﹣S2+S3＝a2﹣b2+c2＝，
解得：a2﹣b2+c2＝2，
∵sinB＝，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，
∴cosB＝，
∴cosB＝＝，
解得：ac＝，
S△ABC＝acsinB＝．
∴△ABC的面积为．
（2）由正弦定理得：＝＝，
∴a＝，c＝，
由（1）得ac＝，
∴ac＝ ＝
已知，sinB＝，sinAsinC＝，
解得：b＝．
22．【解答】（1）∵＝，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．
∴＝＝，
化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）＝sinB，
∴﹣cosC＝sinB，C＝，
∴sinB＝，
∵0＜B＜，∴B＝．
（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C∈（，π），
∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣）＝﹣cos2C，
＝＝＝＝＝+4sin2C﹣5≥2﹣5＝4﹣5，当且仅当sinC＝时取等号．
∴的最小值为4﹣5．
23．【解答】（1）证明：△ABC中，sinCsin（A﹣B）＝sinBsin（C﹣A），
所以sinC（sinAcosB﹣cosAsinB）＝sinB（sinCcosA﹣cosCsinA），
所以sinAsinBcosC+sinAcosBsinC＝2cosAsinBsinC，
即sinA（sinBcosC+cosBsinC）＝2cosAsinBsinC，
所以sinAsin（B+C）＝2cosAsinBsinC，
由正弦定理得a2＝2bccosA，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
所以2a2＝b2+c2；
（2）当a＝5，cosA＝时，b2+c2＝2×52＝50，2bc＝＝＝31，
所以（b+c）2＝b2+c2+2bc＝50+31＝81，解得b+c＝9，
所以△ABC的周长为a+b+c＝5+9＝14．
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