华师大版九上数学第23章一元二次方程教学案（共10份）

23.1一元二次方程的概念
教学目标：
1、知道一元二次方程的定义，熟练地把一元二次方程整理成一般形式。
2、能把实际问题转化为数学模型（一元二次方程）。
重点难点：
一元二次方程的定义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。
教学过程：
一、温故知新：
问题1：绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
设绿地的宽为x米，可列方程为： ________________________________ (1)
问题2：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年 的年平均增长率.
设年平均增长率为x，可列方程为：________________________________(2)
思考、讨论
这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）.显然，这两个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
二、新知自学：
1、上述两个方程都只含有____个未知数，并且未知数的最高次数都是____，还都是____式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0 (a、b、c是已知数，且a≠0)。 其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项，叫做一次项系数，叫做常数项。
3、使一元二次方程两边的值相等的未知数的值是一元二次方程的解或根。
三、探究合作：
例1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。
（2） （3） （4）
例2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（2）（x-2）(x+3)=8 （3）
说明：一元二次方程的一般形式（≠0）具有两个特征：
方程的右边为0； 2、二次项系数不能为0。
例3、方程（2a—4）x2 — 2bx + a = 0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
例4 、已知关于x的一元二次方程：(m-1)x2 + 3x - 5m + 4 = 0有一根为2，求m。
练习一、 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1） （2） 2x(x-1)=3(x-5)-4 （3）
练习二 、关于的方程，在什么条件下是一元二次方程？在什么条件下是一元一次方程？
当堂达标：
1、判断题（下列方程中，是一元二次方程的在括号内划“√”，不是的，在括号内划“×” ）
（1）5x2+1=0（ ） （2）3x2++1=0 （ ） （3）（ ） （4）4 x2+y2=0（ ） （5） =2x （ ） （6） =2 （ ）
2、填空题
(1)将方程(x +1)2=2x化成一般形式为__________.
(2)方程5(x2－x +1)=－3x +2的一般形式是__________，其二次项是_________， 一次项是__________，常数项是__________.
(3）关于x的方程(m－4)x2 +(m+4)x +2m +3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m______时，是一元一次方程.
3、选择题
（1）方程x2－=(－)x化为一般形式，它的各项系数之和是（ ）
A. B.－ C. D.
（2）若关于x的方程a(x －1)2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（ ）
A.2 B.－2 C.0 D.不等于2
(3)若x =1是方程ax2+bx +c =0的解，则（ ）
A.a +b +c =1 B.a －b +c =0 C.a +b +c =0 D.a －b－c =0
23.2一元二次方程的解法（1）
直接开平方法、因式分解法
教学目标：
1、会用直接开平方法解形如（a≠0,ab≥0）的方程；
2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程。
一、温故知新：
1、怎样解方程 (1)x2=4; (2)(x-1)2=9 ？
2、因式分解：
新知自学：
1、解方程：（1） x2-25=0; (2) 9x2-16=0 ; (3)x2-6=0
2、解方程： （1）x2-5x=0; (2)
探究合作：
例 解下列方程 :
（1） （2）3x(x+2)=5(x+2)
练习:解方程 (1)x(x-3）+ x-3 =0 (2)（3x+2)2 =(x-3)2
当堂达标：
1、方程的根是（ ）
A. B.
C. D.
2、方程（x+1)2 = x+1的正确解法是（ ）
A.化为x+1=1 B.化为（x +1）（x +1-1）=0 C.化为x2+3x+2=0 D.化为x+1=0
3、用因式分解法解方程5(x+3）-2x(x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程
、 求解。
4、解下列方程：
(1)(x－1)2＝36 ; (2)x(x+2)-4x=0; (3) (2x＋3)2－9(3x+1)2＝0.
5、右图是一个正方体的展开图，标注了字母A的面是正方体的正面，如果正方体的左面与右面所标注代数式的值相等，求的值（列出方程）．
23.2一元二次方程的解法（2）配方法
学习目标:
1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；
2、理解解方程中的程序化，体会化归思想。
教学过程：
温故知新：
填上适当的数，使下列等式成立：
(1)x2+6x+ =(x+ )2； (2)x2-2x+ =(x- )2；
(3)x2-5x+ =(x- )2； (4)x2+x+ =(x+ )2；
(5)－x＋_____＝（x－____）2 (6)x2+px+ =(x+ )2；
由上面等式的左边可知，常数项和一次项系数的关系是：________________________
二、新知自学：
解下列方程：（1）x2＋2x ＝5； (2)x2－4x ＋3＝0.
思考：能否经过适当变形，将它们转化为 (x +m) 2＝a的形式，再用直接开方法求解？
解：（1）原方程化为x2＋2x ＋1＝5＋1，（为什么要+1？）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为x2－4x ＋4＝－3＋4（这里两边加的几？怎样确定的？）
_____________________,
_____________________,
_____________________.
我们把方程x2－4x ＋3＝0变形为(x －2)2＝1，它的左边是一个含有未知数的____________式，右边是一个_______。这样，就能应用直接开平方的方法求解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
三、探究合作：
例1、用配方法解方程：（1）x2+8x+7=0； (2)x2-3x-1=0
例2、用配方法解下列方程:
四、归纳总结：
1、通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。
2、用配方法解二次项系数是1的一元二次方程的一般步骤是：
①、移项，把常数项移到方程右边；
②、配方，在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方；
③、利用直接开平方法解之。
五、当堂达标：
1、已知方程x2+2x+1=1，则x的值是（　）
A.±1 B.±2 C.0或2 D.0或-2
2、用配方法解方程x2-4x=5的过程中，配方正确的是（ ）.
A.(x+2)2=1 B.(x-2)2=1 C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9
3、下列配方有错误的是（ ）
A、
B、
C、
D、
4、用配方法解下列方程：
(1)x2+4x－1=0 (2)x2－5x－1=0 (3) x2－6x +3=0
23.2 一元二次方程解法（3）公式法
教学目标：
1、使学生熟练地应用求根公式解一元二次方程。
2、使学生经历探索求根公式的过程，培养学生抽象思维能力。
3、在探索和应用求根公式中，使学生进一步认识特殊与一般的关系。
教学过程：
一、温故知新：
1、用配方法解下列方程
（1）x2－6x－3＝0 （2）2x2+4x -10=0
2、方程中， ， ， 。
二、新知自学：
用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
解：因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得 x2＋x＝________，
配方，得 x2＋x＋______＝____________
即 (____________) 2＝___________
因为 a≠0，所以4 a2＞0，当b2－4 ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以 x＝_______________________
即 x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。
三、探究合作
例1：解下列方程:
(1) 2x2＋x－6＝0； (2)x2+4x=2 ; (3) (x-2)(3x-5)=1
四、当堂达标：用公式法解方程：
(1) (2) 2x2-x=6
（3）4x2-3x-1=x-2; (4)3x(x-3)=2(x-1)(x+1)
23.2 一元二次方程解法（4）练习课
教学目标：
使学生熟练地选择合适的方法解一元二次方程。
教学过程：
一、自主学习：解下列方程：
1. 2. 3、x（x－2）+x－2=0
4. 5、5x2 - 2x - =x2 -2x+ 6.
二、归纳总结：
1、解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次
2、一元二次方程主要有四种解法，它们的理论根据和适用范围如下表：
方法名称 理论根据 适用方程的形式
直接开平方法 平方根的定义 或
配方法 完全平方公式 所有的一元二次方程
公式法 配方法 所有的一元二次方程
因式分解法 两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个等于0 一边是0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积的一元二次方程
3、一般考虑选择方法的顺序是：
直接开平方法、 分解因式法、 配方法或公式法
三、巩固训练
1、方程的根是（ ）
A. B. C.， D.
2、一元二次方程的根是_____________________
3、当____________时，代数式的值等于3.
4、两个数的和为－7，积为12，这两个数是_______________.
5、解下列方程：
(1) (3x+4)(3x-4)=9 (2) 2x2+3x-1=0
(3)7x(2-x)=3(x-2) (4)9x2-6x-2=0
(5) (6)
23.3 实际问题与一元二次方程(1)
学习目标：
会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理，进一步培养分析问题解决问题的意识和能力。
学习过程:
一、温故知新：
1、解下列方程：
(1) (2)
2、列一元二次方程解应用题的一般步骤:
(1)“设”，即设_____________，设求知数的方法有直接设和间接设未知数两种；
(2)“列”，即根据题中________关系列方程；
(3)“解”，即求出所列方程的_________；
(4)“检验”，即验证是否符合题意；
(5)“答”，即回答题目中要解决的问题。
二、新知自学：
问题：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
分析：1、设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_______人，第一轮后共有______人患了流感：2、第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_______人，第二轮后共有_______人患了流感。
则：列方程 ，
解得
即平均一个人传染了 个人。
再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？
三、探究合作：
某种细菌，一个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均一个细菌繁殖了多少个细菌？
四、归纳总结：
1、
2、平均增长率公式： 其中a是增长（或降低）的基础量，x是平均增长（或降低）率，n是增长（或降低）的次数。
五、巩固练习：
1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程( )
A. 720 B.
C. D.
3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．
4、某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
5、商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？
6、某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
23.3实际问题与一元二次方程(2)
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
学习过程：
一、温故知新：
1、某商店销售一批服装，每价成本价100元，若想获得25%，这种服装的售价应为_______________元。
2、某商品原价a元，因需求量大，经营者将该商品提价10%，后因市场物价调整，又降价10%，降价后这种商品的价格是_______________。
二、新知自学：
某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元
三、探究合作：
某商场礼品柜台春节期间购进甲、乙两种贺年卡，甲种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，乙种贺年卡平均每天可售出200张，每张盈利0.75元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果甲种贺年卡的售价每降价0.1元，那么商场平均每天可多售出100张；如果乙种贺年卡的售价每降价0.25元，那么商场平均每天可多售出34张．如果商场要想每种贺年卡平均每天盈利120元，那么哪种贺年卡每张降价的绝对量大．
四、归纳总结：
1、有关利率问题公式：利息=本金×利率×存期 本息和=本金+利息
2、有关商品利润的关系式：（1）利润=售价－进价
（2）利润率= （3） 售价=进价（1+利润率）
五、巩固训练：
1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（ ）．
A．12人 B．18人 C．9人 D．10人
2．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．
3．一个容器盛满纯药液63升，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28升，设每次倒出液体x升，则列出的方程是________．
4．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大
5．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树
6.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．
（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少
23.3实际问题与一元二次方程(3)
学习目标：
能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
学习过程：
一、温故知新：
1.直角三角形的面积=_________, 一般三角形的面积=________
2.正方形的面积=_____, 长方形的面积=____
3.梯形的面积=_______
4.菱形的面积=____
5.平行四边形的面积=_____
6．圆的面积=_____
二、新知自学：
如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.
三、探究合作：
例题：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有一位学生设计了如右图的一种方案(如图23－3－1),求图中道路的宽是多少时图中的草坪面积为540平方米。
四、小结：
利用已学的特殊图形的面积公式建立一元二次方程
五、巩固练习：
1．直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（ ）．
A． B．5 C． D．7
2．从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（ ）．
A．8cm B．64cm C．8cm2 D．64cm2
3．长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________．
4．如图23－3－3，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，求此长方形鸡场的长、宽。
5.如图23－3－4所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动。如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．
6、一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．
(1) 小球滚动了多少时间
(2) 平均每秒小球的运动速度减少多少
(3) 小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）
第23章 一元二次方程复习
复习目标：
掌握一元二次方程的概念，会用合适的方法解一元二次方程。能用一元二次方程解决实际问题。
一、师生共识：
1.一元二次方程的概念：形如：
方程中只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，这样的______的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：__________________（ ）,其中二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是________．
2.一元二次方程的解法：
（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：
二、探究合作：
例1．一元二次方程化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
例2．关于x的方程,当 时为一元一次方程；当 时为一元二次方程。
例3、选用合适的方法解下列方程
（1） （2）
（3） （4）
例4．（1）已知关于x的方程2x2－mx－m2＝0有一个根是1，求m的值；
（2）若关于x的方程（2x－m）（mx＋1）＝（3x＋1）（mx－1）有一个根是0，求另一个根和m的值.
例5、某商品原价为28元，连续两次降价后售价为22.68元，若两次降价的百分率相同，那么这两次降价的百分率是多少？
例6、如图，某农场要建有一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m）另三边用栅栏围成，栅栏长40m．鸡场的面积能达到182ｍ２吗？能达到200ｍ２吗？能达到250ｍ２吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
例7、新发商场销售某种冰箱，每台进货价是2500元，市场调查表明：当销售价为每台2900元时，平均每天销售8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多销售4台，商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元？
《一元二次方程》单元测试题
一、选择题(每小题3分，共24分)
1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A. B. C. D.
2、方程的解为（ ）
A. x＝2 B. x1＝，x2＝0 C. x1＝2，x2＝0 D. x＝0
3、解方程的适当方法是（ ）
A、直接开平方法 B、配方法 C、公式法 D、因式分解法
4、已知m方程的一个根，则代数式的值等于（ ）
A.—1 B.0 C.1 D.2
5、用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2－2x－99=0化为(x－1)2=100 B.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C.2t2－7t－4=0化为 D.3y2－4y－2=0化为
6、下面是李明同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是（　）．
A.若x2=4，则x＝2 B.若x2－5xy－6y2=0（xy≠0）,则＝6或＝－1
C.方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1 D.若分式 HYPERLINK "http://" 值为零，则x＝1，2
7、用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A、 B、 HYPERLINK "http://"
C、 D、
8、从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）
A.9cm2 B.68cm2 C.8cm2 D.64cm2
二、填空题(每小题3分，共18分)
9、把方程（2x+1）（x—2）=5－3x整理成一般形式后，得 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
10、配方：x2 —3x+ __ = (x —__ )2； 4x2—12x+15 = 4( )2＋6
11、方程的解是________,方程的解是__________。
12、若方程mx2+3x－4=3x2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 .
13、已知代数式x(x－5)+1与代数式9x－6的值互为相反数，则x= .
14、若一个等腰三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为 .
三、解方程(每小题7分，共28分)
15、 16、x2 —4x+1=0 17、3x2+5(2x+1)=0 18、3(x－5)2=2(5－x)
四、应用题
19、（10分）某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？
20.（10分）有一面积为150平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米。求鸡场的长和宽。
21、（10分）已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x2－17x＋66＝０的根。求此三角形的周长。
x＝( b2－4 ac≥0)
23-3-1
23-3-3
23-3-4
PAGE
21