必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，，点P为平行四边形所在平面内一点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．若向量且则=（ ）
A．3 B．5 C． D．
4．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若向量与垂直，则m=（ ）
A． B．7 C． D．
6．已知向量，若向量与共线，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
7．已知，是单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形ABCD中，点E，F分别满足，．若，则实数＋的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知向量=(1，2)，=(m，m+3)，若，则m=（ ）
A．-7 B．-3 C．3 D．7
10．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
11．在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ）.
A． B． C． D．
12．若，，三点共线，则实数的值为
A．2 B． C． D．
13．已知向量，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图所示，向量等于（ ）
A． B．
C． D．
15．已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，m)，且∥，则2＋3＝(　　)
A．(－4，－8) B．(－8，－16)
C．(4，8) D．(8，16)
二、填空题
16．已知正方形的边长为2，E为的中点，点F在上，，则___________.
17． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
18．在中，点满足，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，若，，则的最小值为________.
三、解答题
19．如图，已知D，E，F分别为的三边，，的中点，求证：．
20．如图所示，中，F为BC边上一点，，若，
(1)用向量、表示；
(2)，连接DF并延长，交AC于点，若，，求和的值．
21．设、、、为平面内的四点，且，，.
（1）若，求点的坐标；
（2）设向量，，若与平行，求实数的值.
22．已知点，．
(1)若C是线段AB的中点，求C点坐标；
(2)若直线AB上的点D满足，求D点坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】
以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
2．A
建立如图所示坐标系设，根据数量积坐标公式即可求解最值．
【详解】
建立如图所示坐标系，设，则，
所以，，
故，
所以时，取得最小值．
故选：A．
3．C
先结合平面向量垂直的坐标运算求出，再结合平面向量减法的坐标运算求出，进而带入模公式即可求解.
【详解】
因为所以，所以，
则，故，
故选：C
4．A
由题意，求得，，根据，列出方程，即可求解.
【详解】
由题意，向量，，
可得，，
因为，所以，解得.
故选：A.
5．B
由题意利用两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，求得实数的值．
【详解】
解：已知向量，，若向量与垂直，
则，解得，
故选：B．
6．D
利用已知条件判断与不共线，则与可以作为一组基底，再根据与共线，通过向量共线列出方程求解即可．
【详解】
解：因为，所以，
与不共线，则与可以作为平面内的一组基底，
因为与共线，又，，
所以，即，
故选：D.
7．A
根据平面向量夹角坐标公式求解即可．
【详解】
由题意可知，，
则解得
故选：A
8．B
设，由，，得到，结合平面向量的基本定理，化简得到，即可求解.
【详解】
由题意，设，则在平行四边形ABCD中，
因为，，所以点E为BC的中点，点F在线段DC上，且，
所以，
又因为，且，
所以，
所以，解得，所以。
故选：B.
平面向量的基本定理的实质及应用思路：
1、应用平面向量的基本定理表示向量的实质时利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；
2、用平面向量的基本定理解决实际问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
9．C
根据两个向量平行的坐标表示列方程，解方程求得的值.
【详解】
由于，所以，解得.
故选：C
10．C
根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
11．D
根据向量共线转化为，利用三点共线求实数的取值.
【详解】
，又因为，
所以，即，
所以，
因为点三点共线，所以，
解得：.
故选：D
本题考查向量共线，平面向量基本定理，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型.
12．C
由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.
【详解】
因为，，三点共线，
所以方向向量与共线，
所以，解得.
故选：C
本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.
13．B
利用给定的向量坐标，借助向量垂直的充要条件对各选项逐一计算并判断作答.
【详解】
因向量，且、都是非零向量，
对于A，，即与不垂直，A不正确；
对于B，，则，即，B正确；
对于C，，即与不垂直，C不正确；
对于D，，即与不垂直，D不正确.
故选：B
14．C
把，代入中化简即可.
【详解】
解：．
故选：C
15．A
根据向量平行的坐标表示求出m，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解.
【详解】
∵∥，∴1×m＝2×(－2)，∴m＝－4，∴＝(－2，－4)，
∴2＋3＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
故选：A.
16．
由题可得，，即可求出.
【详解】
由题可得，，
.
故答案为：.
17．.
建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，
所以．
所以．
平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．
18．
根据题意画出图形，结合图形利用平面向量的线性运算与共线定理，结合基本不等式即可求得的最小值．
【详解】
连接，如图，
中，，
点满足，，
，，
因为，，三点共线，所以，，
当且仅当时取“”，则的最小值为
故答案为：
19．证明见解析
利用向量加法的三角形法则，在图形中寻找回路，即可证明．
【详解】
由题意知，，，
由题意可知，．
．
20．(1)
(2)，
（1）由得，进而得答案；
（2）由题知，，进而得，再结合（1）得以，解得，．
(1)
解：因为，
所以，即，
所以
(2)
解：若，，则，
所以
由于，
所以，，解得，．
所以，．
21．（1）；（2）.
（1）设点，利用结合平面向量的坐标运算可得出关于、的方程组，由此可求得点的坐标；
（2）求出向量与的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于实数的方程，由此可求得实数的值.
【详解】
（1）设，，即，则，解得，
因此，点的坐标为；
（2），，
，，
与平行，，解得.
本题考查利用向量相等求点的坐标，同时也考查了利用平面向量共线求参数，考查计算能力，属于基础题.
22．(1)
(2)
（1）是线段的中点可得，设出点的坐标，计算出和的坐标，从而求出点的坐标；
（2）设出点的坐标，计算出和的坐标，根据列方程，求出点的坐标.
(1)
解：设，又，
则，
是线段的中点，
，即，解得，
(2)
（2）设，又，
，
，
，解得，
.
答案第1页，共2页
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