必修第二册6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，，，且点为的中点，，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．在平行四边形ABCD中，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．在中，角所对的边分别为.若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则三角形的最大角与最小角的和是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
7．满足条件，，的三角形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．不存在
8．已知在ABC中，a=x，b=2，B=30°，若三角形有两解，则x的取值范围是（ ）
A．x>2 B．09．若，且，则四边形ABCD的形状为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
10．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数据：，，）
A．26光年 B．16光年 C．12光年 D．5光年
12．在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，墙上三角架的一端处悬挂一个重为的物体，则边上点处的受力情况是___________.
14．南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中、、、为三角形的三边和面积）表示.在中，、、分别为角、、所对的边，若，且，则面积的最大值为___________.
15．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且，，D为AC上一点，，则面积最大时，____________.
16．已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.
三、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，.已知，，.
（1）求的值；
（2）求的值.
18．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，
问题：在中，角A、B、C对应的边分别为a，b、c，若，________，求角B的值和b的最小值．
19．小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的处，沿着与电视塔()垂直的水平马路驾驶机动车行驶，以南偏西60°的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点处望见电视塔的底端在东北方向上，设沿途处观察电视塔的仰角，的最大值为60°.
（1）小明开车从处出发到处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60°，约为多少分钟？(分钟保留两位小数)
（2）求东方明珠塔的高度约为多少米.(保留两位小数)
20．在中，角，，所对的边分别是，，，且，.
（1）求的值；
（2）若的面积为，求的值.
21．的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知．
（1）求角C的大小；
（2）若，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
利用余弦定理可求的长.
【详解】
∵点为的中点，且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，，
由余弦定理得：，
∴，
故选：A．
2．A
在中，由余弦定理求得，再结合余弦定理，即可求得的值.
【详解】
如图所示，在平行四边形ABCD中，，
在中，由余弦定理可得
，即，
又由.
故选：A.
3．C
利用余弦定理角化边整理可得.
【详解】
由余弦定理有，整理得，故一定是直角三角形.
故选：C
4．A
利用正弦定理进行求解.
【详解】
由正弦定理得：，即，解得：.
故选：A
5．B
由题知，最大角为，最小角为，再结合余弦定理求得，由三角形的内角和即可得答案.
【详解】
在中，若，
由正弦定理化边为角可得：，
根据大边对大角，小边对小角可知：最大角为，最小角为，
设，，，
在中，由余弦定理可得：
，
因为，所以，
所以，
所以三角形的最大角与最小角的和是，
故选：B.
6．B
利用余弦定理直接求解即可
【详解】
依题意可得AD＝20，AC＝30，
又CD＝50，所以在△ACD中，
由余弦定理得cos∠CAD＝
＝＝＝，
又0°<∠CAD<180°，
所以∠CAD＝45°，
所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.
故选：B
7．B
由正弦定理求得，得到B有两解，即可得到答案.
【详解】
在中，因为，，，
由正弦定理 ，可得，
因为，即，则有两解，所以三角形的个数是2个.
故选：B.
8．D
根据三角形有两个解，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，再结合正弦定理求解.
【详解】
如图所示：
因为AC=b=2，若三角形有两个解，
则以C为圆心，以2为半径的圆与BA有两个交点，
当时，圆与BA相切，不合题意；
当时，圆与BA交于B点，不合题意；
所以，且，
所以由正弦定理得：
，则，
解得，
故选：D
9．D
根据向量共线的性质及平面几何的性质可判断.
【详解】
解：∵
所以四边形是梯形
又
所以梯形是等腰梯形
故选：
本题考查向量共线的应用，属于基础题.
10．A
由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【详解】
解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
解三角形的基本策：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
11．B
依题意可得，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，求出，，再利用余弦定理计算可得；
【详解】
解：由，所以，由题意知：、、、，设地球与牛郎星距离为，地球与织女星距离为，织女星与牛郎星距离为，则，
，如图由余弦定理，所以，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年；
故选：B
12．D
根据已知条件，利用余弦定理和面积公式，结合倍角公式求得,进而求得A的各个三角函数值，再利用正弦定理边化角求得关于C的函数表达式，根据锐角三角形的条件得到，利用三角函数的性质求得取值范围即可．
【详解】
解：△ABC中，，
由，得，∴；
即，∵，∴，
∴，∴ ，
∴，
∵△ABC为锐角三角形，∴,∴，
∴，
∴,
∴，
故选：D．
13．大小为，方向与相同
从点处进行受力分析，进而画出受力图，即可得出结果.
【详解】
解：如图，在点处进行受力分析，由已知条件有，
根据平衡条件有，，
则，方向水平向右.
则边上点处的受力情况是大小为，方向与相同.
故答案为：大小为，方向与相同.
14．
由条件结合余弦定理可得出，然后利用二次函数的基本性质结合公式可求得面积的最大值.
【详解】
，则，
可得，
所以，.
当且仅当时，等号成立.
因此，面积的最大值为.
故答案为：.
方法点睛：求三角形面积的最值一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式或二次函数的基本性质来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
15．
将代入，得 ，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求出三角形的顶点的轨迹方程，根据图形得出三角形的面积何时最大，进而求出此时的长.
【详解】
将代入得：
，由正弦定理有：
,即，
则,即,所以 .
以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，设
由，即,
所以，即
如图，顶点在圆上,设圆心为
显然当时，三角形的面积最大,
由,又
所以,又因为，即点在轴上(如图)
,
所以
故答案为：
本题考查正弦定理和和角公式，数形结合思想，本题还可以直接用余弦定理结合面积公式直接求解三角形的面积，从而得解，属于难题.
16．
设，可得共线，又，当为最小时最小，而此时、关于y轴对称，结合已知即可求的最小值.
【详解】
由题意，，
∴令，，故有共线，
∵，故当且仅当为最小时，最小，
∴有、关于y轴对称时，最小，此时到AB的距离为，
∴，即.
故答案为：.
关键点点睛：应用向量的线性关系及共线性质，可知，、、的终点共线，且可分析得、关于y轴对称时，最小，进而求最小值即可.
17．（1）；（2）.
由正弦定理求出，由余弦定理列出关于的方程，然后求出．
【详解】
解：（1）因为，，.
由正弦定理，可得，所以；
（2）由余弦定理，，
，（舍），所以.
本题考查正弦定理和余弦定理，在已知两边和一边对角时可用余弦定理列方程求出第三边．
18．答案不唯一，见解析.
选①由三角恒等变换化简条件求B，由余弦定理可得边a,b的关系，由此求b的最值，选②由内角和公式和二倍角余弦公式化简条件，求角B，由余弦定理可得边a,b的关系，由此求b的最值，选③由正弦定理化边为角，再通过化简求角B，由余弦定理可得边a,b的关系，由此求b的最值.
【详解】
若选择①：在中，有，
则由题可得：，，
，
又
∴ ，
∴ ．
又∵，
∴
因为，所以且
由余弦定理得：，
∴ 当时，取最小值，，
∴ b的最小值为
若选②，在中，，
则由题可得
∴或（舍去），
又∵，
∴
．（剩下同①）
若选③，由正弦定理可将已知条件转化为，
又，
∴ ，
又，
∴ ，∴
又∵，
∴ ，（剩下同①）
19．（1）分钟；（2）米.
（1）由题知，在中，千米，由正弦定理求出，且当时，最大，算出长，即可得时间；
（2）由（1）知当时，最大为，，计算即得结果.
【详解】
（1）由题知，在中，千米，
所以由正弦定理得，，所以，
在直角中，，因为不变，所以当时，最小，此时最大，故，所以分钟；
（2）由（1）知当时，最大为，此时，
所以千米，
故东方明珠塔的高度约为米.
关键点睛：本题的关键是能够推得当时，仰角最大.
20．（1）；（2）4.
（1）利用正弦定理化边为角得到，再计算即可.
（2）结合三角形面积公式和余弦定理，求出的两个关系式，整体代换求即可.
【详解】
（1）由，
结合正弦定理得，
因为，代入整理即得，
故，.
解得.
（2）由，得.
由，由题设得：，
由余弦定理知，即，
即，所以.
解三角形的基本策：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
21．(1) ；(2)．
(1)将等式化简，再利用正弦定理及余弦定理，即可求出角；
(2)利用正弦定理求出，再根据，可知，进而可根据同角三角函数关系，求出，再利用两角差的余弦公式可求得答案.
【详解】
(1)由化简，
得，由正弦定理，得，
由余弦定理得，又，所以.
(2)因为，，所以由正弦定理，得，
因为，所以，所以，
所以．
所以．
易错点睛：本题在利用同角三角函数求时，需要注意利用大边对大角确定角的范围.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页