必修第二册8.1基本立体图形 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈尺）（ ）
A．尺 B．尺 C．尺 D．尺
2．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．2
3．如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是（ ）
A．一个六棱柱中挖去一个棱柱 B．一个六棱柱中挖去一个棱锥
C．一个六棱柱中挖去一个圆柱 D．一个六棱柱中挖去一个圆台
4．我国魏晋时期的数学家刘徽创造了一个称为“牟合方盖”的立体图形来推算球的体积.如图1，在一个棱长为的立方体内作两个互相垂直的内切圆柱，其相交的部分就是牟合方盖，如图2，设平行于水平面且与水平面距离为的平面为，记平面截牟合方盖所得截面的面积为，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列关于圆柱的说法中，不正确的是（ ）
A．分别以矩形（非正方形）的长和宽所在的直线为旋转轴旋转一周而得到的两个圆柱是两个不同的圆柱
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．以一个矩形对边中点的连线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体是圆柱
6．如图，在正方体中，AB=2，E为棱BC的中点，F为棱上的一动点，过点A，E，F作该正方体的截面，则该截面不可能是（ ）
A．平行四边形 B．等腰梯形
C．五边形 D．六边形
7．已知球的表面积为，球面上有A B C三点，如果，则球心到平面ABC的距离为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．已知长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，则该长方体的表面积为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12
9．下列结论正确的是（ ）
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
10．如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．-1 C． D．+1
11．圆柱的母线长为10，则其高等于（ ）
A．5 B．10 C．20 D．不确定
12．如图，长方体被两平面分成三部分，其中，则这三个几何体中是棱柱的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是________.
14．点P为正三棱锥侧棱上的动点，若，则的周长的最小值为______.
15．已知三棱锥的三条侧棱都相等，顶点在底面上的射影为,则是的__________心.
16．某三棱锥的正视图和俯视图如图所示，已知该三棱锥的各顶点都在球的球面上，过该三棱锥最短的棱的中点作球的截面，截面面积最小为______．
17．已知一个棱长为6cm的正方体塑料盒子（无上盖），上口放着一个半径为5cm的钢球，则球心到盒底的距离为______cm．
三、解答题
18．已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高.
19．已知正四棱台上 下底面的边长和侧棱长分别是3，x，5，设棱台的斜高为y，求出y与x的函数关系式，并求该函数的定义域与值域.
20．表示下面几何体的顶点、棱、面
21．如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，求：
（1）正六棱锥的高；
（2）正六棱锥的斜高；
（3）正六棱锥的侧棱长.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为（尺），高为尺，则葛藤的长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.
【详解】
根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，
矩形的高（即木棍的高）为尺，矩形的底边长为（尺），
因此葛藤长（尺）.
故选：A.
方法点睛：对于空间几何体中最值问题的求解方法：
（1）计算多面体或旋转体的表面上折线段的最值问题时，一般采用转化的方法进行，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状；
（2）对于几何体内部折线段长的最值，可采用转化法，转化为两点间的距离，结合勾股定理求解.
2．D
根据圆台底面半径，母线，高之间的关系l2＝h2＋(R－r)2求解.
【详解】
设圆台的母线长l、高h和上、下两底面圆的半径r，R，
因为上、下底面面积分别为36π和49π，
所以
因为l2＝h2＋(R－r)2，
所以，解得h＝2，即两底面之间的距离为2.
故选：D
3．C
根据组合体外部轮廓图的结构特征和挖掉的几何体的结构特征即可得解.
【详解】
螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
故选：C
4．D
首先由图1得正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，由图2可知截面均为正方形，此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，由此计算得到函数解析式，判断选项.
【详解】
正方体的内切球也是“牟合方盖”内切球，用任意平行于水平平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，并且此正方形是平面截内切球的截面圆的外接正方形，
内切球的半径为，设截面圆的半径为，则，解得：，
设截面圆的外接正方形的边长为，则，正方形的面积，，由函数形式可知，图象应是开口向下的抛物线.
故选：D
关键点点睛：本题的关键是空间想象能力的考查，关键得到截面是一个正方形，以及与“牟合方盖”内切球的关系.
5．C
根据圆柱的结构特征，逐项分析判断即可得解.
【详解】
用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面不是圆面，
如用垂直于圆柱底面的平面截圆柱，截面是矩形，
故C选项错误，其他选项均正确，
故选：C
6．D
对分类讨论，分别画出所对应的截面图形，即可判断；
【详解】
解：当，即F与重合时，如图1，取的中点，截面为矩形 ；
当时，如图2，截面为平行四边形AEGF；
当时，如图3，截面为五边形AEGHF，
当，即F与重合时，如图4，截面为等腰梯形AEGF．
故选：D
7．B
先计算出球的半径，计算出等边三角形外接圆半径，利用勾股定理计算出球心到平面ABC的距离.
【详解】
设球的半径为，则，
三角形是等边三角形，设其外接圆半径为，则，
所以球心到平面ABC的距离为.
故选：B
8．A
设长方体的长、宽、高分别为，，，根据长方体所有棱的长度之和为28，一条对角线的长度为，由和求解.
【详解】
设长方体的长、宽、高分别为，，，
由题意可知，…①，
…②，
由可得，
所以该长方体的表面积为32．
故选：A
本题主要考查长方体的几何特征以及表面积的求法，属于基础题.
9．D
根据棱锥的几何特征可判断A选项的正误；根据圆锥的形成可判断B选项的正误；根据正六棱锥的结构特征可判断C选项的正误；利用圆锥母线的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，如下图所示：
多面体的每个面都是三角形，但该几何体不是三棱锥，A选项错误；
对于B选项，将直角三角形绕着斜边所在的直线旋转一周，所形成的几何体是由两个圆锥拼接而成的组合体，B选项错误；
对于C选项，若六棱锥的每条棱都相等，则六边形为正六边形，
设点在底面的射影为点，则为正六边形的中心，如下图所示：
设六棱锥的每条棱长均为，易知为等边三角形，则，
，C选项错误；
对于D选项，圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线，D选项正确.
故选：D.
本题考查多面体结构的分析，考查推理能力，属于基础题.
10．A
画出圆锥侧面展开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.
【详解】
如图为圆锥的侧面展开图，,
，则，
在中，，
则，
为M到B的路径中，最短路径的长.
故选：A.
11．B
由圆柱高和母线相等可得解.
【详解】
圆柱的母线长与高相等，母线长为10，则其高等于10.
故选：B.
本题主要考查了圆柱的几何特征，属于基础题.
12．D
根据棱柱的定义判断即可.
【详解】
长方体被两平面分成三部分，其中，
其中两个三棱柱，底面是直角三角形；
另一个是底面为6边形的直棱柱，
所以这三个几何体中是棱柱的个数为：3.
故选：D．
13．8
由题意画出截面图，由圆的周长公式求出圆的半径，再用勾股定理求出球的半径
【详解】
作出截面图如图所示，则
由截面圆的周长为，得
球的半径是
故答案为：8
14．##
根据正三棱锥的性质可得PB = PC，△PBC的周长的最小值即可转化为点B到侧棱上某一点的距离的最小值，显然当时即可.
【详解】
在正三棱锥中,如图，
PB = PC， AB= BC=2，
要求△PBC的周长的最小值，即求PB，PC的最小值，
而点P为侧棱SA上的动点,
则问题转化为求点B到侧棱上某一点的距离的最小值，
所以时PB长度最短，记之为d，
,
边上的高，
，
解得，
的周长的最小值为.
故答案为：
15．外心
由已知可得顶点在底面上的射影到底面三角形顶点距离相等，即必为的外心．
【详解】
在三棱锥中，，
顶点在底面上的射影到底面三角形顶点距离相等，即必为的外心.
故答案为：外心．
本题主要考查三棱锥的几何特征，属于基本知识的考查．
16．
首先根据三视图可在长方体中画出该三棱锥的直观图，进而利用长方体求出该三棱锥的外接球的半径；设最短的棱的中点为，当该截面时，截面的面积最小，由此可计算出截面圆半径的最小值， 可得截面面积的最小值.
【详解】
由正视图和俯视图在长方体中还原出三棱锥的直观图如图所示，
该三棱锥的各顶点都在球的表面上，
即球为三棱锥的外接球，
∴球也是长方体的外接球.
设球的半径为，则，解得，
由三棱锥的直观图可得三棱锥的最短棱为，
设的中点为，∵是的中点，∴，
当截面面积最小时，截面，
设截面圆半径为，
则，解得，
此时，截面面积为.
故答案为：.
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
17．10
球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看做下面是一个正方体上面是一个四棱锥，四棱锥的斜高是5，用勾股定理做出四棱锥的高，求和得到结果．
【详解】
由题意知求球心到底面的距离，实际上是求两个简单的组合体的上顶点到下底面的距离，可以看做下面是一个正方体，
正方体的棱长是6cm，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个边长为6的正方形，斜高是5，
则四棱锥的高是，
所以球心到盒底的距离为6＋4=10cm.
故答案为：10
关键点点睛：本题考查简单组合体的结构特征，考查四棱锥的高与斜高之间的关系，本题解题的关键是看清球心到底面的距离是四棱锥顶点到底面的距离.
18．高为，斜高为.
在正四棱椎中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高.
【详解】
如图，在正四棱椎中，作底面于点，
取中点，连接、、，
由正四棱锥的底面面积为可得，所以，.
因为，都是直角三角形，侧棱，
所以高为，斜高.
19．，，.
取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B1K，正四棱台的高OO1＝FN，由此能求出正四棱台的高和斜高．
【详解】
如图，
取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，
过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，
过F作FN⊥OE，交OE于N，
正四棱台的斜高B1K＝EF＝＝，
且，
，
，定义域为，
，
，
即函数值域为.
20．详见解析
根据多面体的面、棱、顶点的概念可直接写出答案.
【详解】
解：顶点：A，B，C，D，M，N；
棱：AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND；
面：平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面MAD，平面MAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.
本题考查对立体图形的认识，属于基础题.
21．（1）6；（2）；（3）.
（1）在中求出的长度，即为正六棱锥的高；
（2）在中求出的长度，即为正六棱锥的斜高；
（3）在中求出的长度，即为正六棱锥的侧棱长.
【详解】
∵正六棱锥的底面周长为24，
∴正六棱锥的底面边长为4.
在正六棱锥中，，H为中点，∴.
∵O是正六边形的中心，
∴为正六棱锥的高.
（1）在中，，又，∴.
（2）在中，.
（3）在中，，∴.
故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页