必修第二册8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

人教A版（2019）必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
2．两个不同的平面与平行的一个充分条件是（ ）
A．内存在无数条直线与平行
B．内存在直线与内的无数条直线都平行
C．平面且平面
D．平面且平面
3．若，，是空间中三个不同的平面，，，，则是的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．、、是直线，是平面，则下列说法正确的是（ ）
A．平行于内的无数条直线，则
B．不在面，则
C．若，，则
D．若，，则平行于内的无数条直线
5．已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．设α、β为两个不重合的平面，能使α//β成立的是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α内有无数个点到β的距离相等 D．α、β垂直于同一平面
7．已知圆柱的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆、圆上的点，若，则异面直线，所成的角为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE︰EB＝CF︰FB＝2︰5，则直线AC与平面DEF的位置关系是 (　　)
A．平行 B．相交
C．直线AC在平面DEF内 D．不能确定
9．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．已知两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，下列条件中能推出结论的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
11．已知正四面体的棱长为，平面与棱、均平行，则截此正四面体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，；
②，；
③，；
④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
二、填空题
13．下列三个说法：
①若直线在平面外，则；
②若直线，直线，则；
③若，则与内任意直线平行．
其中正确的有________．
14．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
15．正方体，若过、、三点的平面与底面的交线为，则与的关系是______．
16．在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，下列说法正确的是________.（1）对任意点，平面； （2）三棱锥的体积为；（3）线段长度的最小值为；（4）存在点，使得与平面所成角的大小为
三、解答题
17．如图，四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，E为PD的中点.
（1）证明：平面ACE；
（2）设，，直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积.
18．如图，四棱锥中，底面为正方形，，平面，，为的两个三等分点.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
19．已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．
20．如图，直三棱柱中，是的中点，是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，求四棱锥的体积．
21．如图，在四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，M为上一点，且．
(1)求证：平面；
(2)若为正三角形，，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)若点P到底面的距离为3，求三棱锥的体积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解.
【详解】
对于A，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MNAD，可得直线MN平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MNBD，可得直线MN平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.
故选：D.
2．C
由面面平行的判定定理，逐个判断选项即可
【详解】
由面面平行的判定定理可知，A，B，D选项都无法推出平面与平面平行；易知C选项可推出平面与平面平行.
故选：C
3．C
构造棱柱，然后根据线面平行的判定定理及性质定理判断.
【详解】
如图所示，设平面为，平面为，为，直线为，直线为，为.
若，平面，，
所以，又，，所以，所以， 即充分性成立；
反之，若，平面，，
所以，又，，所以，所以，即必要性成立.
故是的充要条件.
故选：C.
解决与线面关系有关的命题真假判断及充分条件、必要条件判断问题时，可采用构造法，即构造特殊几何体，使几何体中的棱、面符合题目条件，然后通过空间平行、垂直的判定定理及性质定理判断即可.
4．D
利用线面平行的判定定理和性质定理逐个分析判断即可
【详解】
对于A，当平行于内的无数条直线，若，则与不平行，所以A错误，
对于B，当不在面时，与有可能相交，所以B错误，
对于C，当，时，若，则与不平行，所以C错误，
对于D，当，时，由线面平行的性质可知平行于内的无数条直线，所以D正确，
故选：D
5．B
设点为的中点，取的中点，连接，，然后证明平面即可.
【详解】
如图，设点为的中点，取的中点，连接，，
则，又平面，平面，∴平面，
易知，故平面与平面是同一个平面，
∴平面，此时，
故选：B
6．B
应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确
【详解】
应用立方体，如下图所示：
选项A：α内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与β平行，但如上图α与β可相交于l，故A不一定能使α//β成立；
选项B：由面面平行的判定，可知B正确
选项C：在α内有一条直线平行于l，则在α内有无数个点到β的距离相等，但如上图α与β可相交于l，故C不一定能使α//β成立；
选项D：如图α⊥γ，β⊥γ，但α与β可相交于l，故D不一定能使α//β成立；
故选：B
本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题
7．B
做平行线，将所求的异面直线夹角转化为同一平面内的直线夹角，
构造三角形即可求解.
【详解】
如上图，过点A做平面 的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，
平面， ，所以四边形是平行四边形，
，与的所成的角就是或其补角；
由题意可知AB=2，AD=1，
在 中， ，
在等腰 中，
由余弦定理 ，
，由于异面直线的夹角范围是 ，故取 的补角，
故选：B.
8．A
【详解】
因为AE︰EB＝CF︰FB，所以,因为,选A.
9．B
证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误．
【详解】
对于①，平面，故①错误；
对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；
对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；
对于④，由于平面，故④错误．
故选：B
10．C
根据线面平行的判定定理、性质定理和面面平行的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，两条不同的直线a，b和两个不重合的平面，
对于A中，若且，可得或，所以不正确；
对于B中，由，可得，又由，可能，所以不正确；
对于C中，由且，根据面面平行的性质，可得所以正确；
对于D中，由且，可得或，所以不正确.
故选：C.
11．A
取的中点，连接、，证明出，设平面分别交、、、于、、、，连接、、、，证明出四边形为矩形，设，可得出，利用基本不等式可求得截面面积的最大值.
【详解】
取的中点，连接、，
因为为等边三角形，为的中点，所以，，同理可得，
，平面，平面，.
设平面分别交、、、于、、、，连接、、、，
平面，平面，平面平面，，
同理可证，，同理可证，
所以，四边形为平行四边形，
，，则平行四边形为矩形，
设，则，
因为，则，，同理可得，
所以，矩形的面积为，
当且仅当时，等号成立，因此，截面面积的最大值为.
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．A
由线线关系、线面关系、面面关系可逐项判断．
【详解】
①，，由平行公理4得，正确；
②，，则与有可能平行、相交、异面，故错误；
③，则或，故错误；
④，；则或，故错误；
⑤，，，由线面平行的判定定理可得．
故选：A.
13．②
由线面的位置关系可判断①，利用线面平行的判定定理可判断②，再利用线线的位置关系判断③.
【详解】
直线在平面外，包含直线与相交、直线与平行两种情况，①不正确；
由直线与平面平行的判定定理知②正确；
③中与内的直线可能平行，相交、异面，③不正确．
故答案为：②
14．平行
将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】
由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
15．平行
画出图象，结合图象以及线面平行的性质定理进行判断.
【详解】
根据正方体的几何性质可知，
由于平面,平面,所以平面，
由于平面，平面平面，所以.
故答案为：平行
16．（1）（2）（3）
结合线面平行、锥体体积、线段长度、线面角等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
根据正方体的性质可知，
由于平面，平面，所以平面，
同理平面，由于，所以平面平面，所以平面.所以（1）正确.
由于平面，平面，所以平面，所以到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为，所以（2）正确.
由于，所以当为中点时，最小，且最小值为，所以（3）正确.
由于的最小值为，最大值为，到平面的距离为，设直线与平面所成角为，则的最小值为，的最大值为，所以，所以（4）错误.
故答案为：（1）（2）（3）
17．（1）证明见解析；（2）.
(1) 连接交于点，连接，由三角形的中位线定理可知，结合线面平行的判定定理可证明平面.
(2)由题意可知，再运用锥体体积公式可求得四棱锥的体积.
【详解】
（1）连接交于点，连接. 在中，因为，
所以，因为平面，平面，则平面.
（2）因为平面ABCD，所以就是直线PB与平面ABCD所成的角，所以，
又，，所以，
所以四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积为.
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）连接交于点，连接，判断为的中点，根据线面平行的判定证平面；
（2）应用勾股定理、余弦定理求，，，，利用三角形面积公式求，根据等体积法求点面距离.
【详解】
（1）连接交于点，连接，则为的中点，
∵，为的两个三等分点，
∴为的中点，则，又平面，平面，
∴平面.
（2）∵，
由勾股定理得，，，
由余弦定理得，则.
∴，设点到平面的距离为.
由，得，解得.
∴点到平面的距离为.
关键点点睛：
（1）由等分点，结合中点的性质证线线平行，根据线面平行的判定证线面平行；
（2）应用等体积法求点面距离.
19．（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．
（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面；
（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可．
【详解】
（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，
所以，
故，
所以，
又因为，
所以，
所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）当的值为时，能使平面平面．
证明：因为，
即有，
故．
所以．
又平面，平面，
所以平面，
又，平面．
所以平面平面．
本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．
20．（1）证明见解析；（2）．
（1）取的中点，连接，，根据四边形为平行四边形，可得，根据直线与平面平行的判定定理可证平面；
（2）现根据长度可得底面时等腰直角三角形，其斜边上的高为四棱锥的高，再根据棱锥的体积公式可得结果.
【详解】
（1）取的中点，连接，，如图：
则，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
（2）因为，，所以，所以，
所以斜边上的高为，即四棱锥的高为，
∴．
本题考查了直线与平面平行的判定定理，考查了棱锥的体积公式，属于基础题.
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）连接交于点，再连接，根据从而得到线线平行，从而可证线面平行；
（2）取的中点，连接，，可知,将异面直线与所成的角转化为，再解三角形即可；
（3）运用割补思想可以求解.
(1)
连接交于点，再连接，
由及，可知,
又，
所以,
所以在中有，
又平面，而，
所以平面.
(2)
取的中点，连接，，根据，可知,
则异面直线与所成的角即为.
又可得，则，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
(3)
分别过点、作于，于，可得,
所以四边形的面积为，的面积为，
由，可知到平面的距离为1，
所以
.
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