北师大版八年级数学下册1.4.2 角平分线 教学设计

1.4.2角平分线
教学目标：
1．理解证明角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论，掌握角平分线的性质定理和其逆定理的灵活运用．
2. 进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力．
3．在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”.
教学重点与难点：
重点：三角形三个内角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决实际生活中几何中的问题．
难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用．
教法及学法指导：
教法：运用启发诱导式、讨论探究式、激励竞学法等多种方法进行点拨，采用一题多解、变式训练、投影展示等手段进行落实.结合本课的实际情况，类比线段的垂直平分线的学习，设计了以下五个环节：
一、复习回顾；
二、情境引入；
三、探究学习；
四、典例分析；
五、实际应用；
六、课堂小结；
七、布置作业.
学法：利用独立思考与小组合作讨论相结合等多种方式学习本课新知；通过比赛的方式完成实际应用.
教学过程：
一、复习回顾
活动内容：回答下列问题
问题1.角平分线性质定理是什么？
问题2. .角平分线性质的逆定理是什么？
处理方式：两个问题均由学生口答完成．对于问题1，学生的答案可能比较准确．对于问题2学生很可能丢掉“在角的内部”，必要时给予提示，强调“在角的内部”条件不可少..
设计意图：通过复习回顾2个问题，为这节课的学习打下基础．
二、情境引入
活动内容：折纸验证后回答问题.
我们用三张三角形的纸片，分别折出三个角的角平分线.我们发现，这三条线是交于一点的，但是，是不是所有的三角形都具有这样的性质呢？
每个同学分别拿出不同形状的三角形纸片折叠后作其角平分线，观察结果.
问题1：观察这几个三角形，它们的角平分线交于一点么？
问题2：猜想是否任意三角形角平分线都交于一点？如果是，如何证明它呢？
处理方式：问题1由学生口答完成.对于问题2先让学生折出一般锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的三条角平分线，然后让学生总结任意三角形的三条角平分线交于一点，完成后教师引导学生分析证明的依据，从而引出新课．
设计意图：用学生熟悉的折纸游戏，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会了三角形角平分线用折纸可以得到，这也为新课的学习做好铺垫。
三、探究学习
活动内容1：（多媒体出示）请同学们观察下图，思考如何证明：任意三角形的三条角平分线交于一点，你能写出已知、求证、证明吗？并与同伴交流．
已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，
求证：P点在∠BAC的角平分线上．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE=PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
问题：在证明过程中，我们除证明了任意三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的结论呢
预设回答：PD=PE=PF，即这个交点P到三角形三边的距离相等
于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理:三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
处理方式：学生讨论交流，在图片上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，强调：“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”与“在一个角的内部（特别强调），且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上”互逆关系：
设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对角平分线的性质证明从感性认识上升到理性认识．先从观察图片中三角形角平分线入手，体验三角形三条角平分线所具有的关系，然后写出证明过程，锻炼了学生的逻辑思维能力.
四、典例分析
活动内容1：我们学习了三角形角平分线的性质定理和判定定理，你能顺利的利用三角形角平分线的性质定理和判定定理解决实际问题吗？（多媒体出示例1）
例1．如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
学生讨论：
师引导提示：第(1)问中，求AC的长，需求出BC的长，而BC=CD+DB，CD=4 cIn，而BD在等腰直角三角形DBE中，根据角平分线的性质，DE=CD=4cm，再根据勾股定理便可求出DB的长．第(2)问中，求证AB=AC+CD．这是我们第一次遇到这种形式的证明，利用转化的思想AB=AE+BE，所以需证AC=AE，CD=BE．
预设1：(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B=×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中
cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm．
预设2：(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
处理方式：让学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．
设计意图：本例需要运用前面所学的多个定理，而且将计算和证明融合在一起，目的是使学生进一步理解、掌握这些知识和方法，并能综合运用它们解决问题．
五、实际应用：(多媒体出示)
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？你如何发现的 学生交流讨论：
预设1: 有一处．在三条公路的交点A、B、C组成的△ABC三条角平分线的交点处．因为三角形三条角平分线交于一点，且这一点到三边的距离相等．而现在要建的货物中转站要求它到三条公路的距离相等．这一点刚好符合．
预设2：共有四处．(同学们很吃惊！)除了刚才同学找到的三角形ABC内部的一点外，我认为在三角形外部还有三点．作∠ACB、∠ABC外角的平分线交于点P1(如下图所示)，我们利用角平分线的性质定理和判定定理，可知点P1在∠CAB的角平分线上，且到l1、l2、l3的距离相等．同理还有∠BAC、∠BCA的外角的角平分线的交点P2；∠BAC、∠ABC的外角的角平分线的交点P3,因此满足条件共4个，分别是P、P1、P2、P3
处理方式：在老师的引导下，让学生通过自己的归纳找到满足在△ABC内部到三条公路的距离相等的点，并能利用角平分线的性质定理和判定定理，找到在△ABC外部到三条公路的距离相等的点.
设计意图：通过练习题让学生自己的归纳能找到到三角形三边距离相等的点的特征，加深对三角形角平分线的性质定理和判定定理的理解应用．
六、课堂小结
活动内容：同学们，学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
处理方式：学生畅谈自己的收获！下面我们通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理：
三边垂直平分线 三条角平分线
三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点
钝角三角形 交于三角形外一点
直角三角形 交于斜边的中点
交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等
设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
六、随堂练习
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
3. 已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D
求证：(1)OC=OD；(2)OP是CD的垂直平分线．
处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对,及时纠错.
设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高.
七、布置作业
必做题：课本32页，习题1.10 第1题 第2题
选做题：课本32页，问题解决 第4题．
设计意图：作业设计采取分层设计，使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业，既满足了不同层次学生的需求，又提高了作业的实效性，促进学生学习兴趣与质量的提高．
八、板书设计
1.4.2 角平分线
一、要点回顾1.角平分线性质：2角平分线判定方法：3.三角形角平分线特征： 二、典型例题例1.方法归纳： 三、达标检测1.2.3
A
B
C
F
D
E
A
B
C
D
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