北京版七年级数学下册《8.2 提公因式法》教学设计

提公因式法
一、教学目标
1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．
2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．
3．树立学生“化零为整”的“化归”的数学思想，培养学生完整地、辩证地看问的思想．
4．树立学生全面分析问、认识问的思想，提高学生的观察能力、分析问及逆向思想的能力．
二、教学重点及难点
1．教学重点：因式分解的概念及提公因式法．
2．教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．
三、教学方法
理论与实例相结合．
四、教学手段
设问式、启发式．
五、教学过程
(一)复习提问
1．乘法对加法的分配律.预习最大公因数．
2．添括号法则．
(二)新课
1．新课引入：之前我们已经学习了整式的乘法，知道可以将几个整式的积化为一个多项式的形式，反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．
现在请把下列多项式写成整式乘积的形式
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1)x2+x = (2)x2-1=(x+1) (x-1)
问1：根据整式的乘法，你能猜想出问题（1）（2）的结果吗？
问2：在多项式的变形中，有时需要将一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式，你认为因式分解与整式乘法有什么关系
我们用一个简短的视频来解决这个问题。刚刚看了这个视频谁来总结一下你从中学到了哪些知识？
点1-2名学生回答。下面我们来检验一下，看大家是否真的了解了这部分知识。
2．因式分解的概念：
对于这道题大家还记得他吗？我们如何对他进行因式分解呢？
这个多项式的每一项有什么特点？
再请学生观察它们有什么共同的特点？
你能将这个多项式因式分解吗？
我们用了什么方法进行分解的？
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
因式分解与整式乘法有什么关系呢？
因式分解
x2-1 (x+1) (x-1)
整式乘法
练习：下列由左到右的变形，是否是因式分解 为什么？
(1) (x+2)(x-2)= x2- 4 不是
(2) x2- 4 =(x+2)(x-2) 是
(3) x2- 4+3x= (x+2)(x- 2)+3 不是
图形总是会给我们很多灵感，下面我们来观察这幅图：
3．提公因式法：
我们看多这个图形①、②、③三个小长方形的 面积分别是_____________．（ma、mb、mc）得出等式______________________m(a+b+c)=ma+mb+mc
问题1：这个多项式的每一项有什么特点？
请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
注意：公因式是各项都含有的公共的因式．
又如：a是多项式a2-a各项的公因式．
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．
根据乘法的分配律，可得
m(a+b+c)＝ma+mb+mc，
逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：
公因式的系数应取各项系数的最大公约数：
(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ma + mb ； m
(2)4kx - 8ky ； 4k
(3)5y3+20y2 ； 5y2
(4) a2b-2ab2+ab . ab
我们在找多项式的公因式时，应注意什么？
学生回答，教师总结！
例1 把8a3b2-12ab3c分解因式．
分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．
先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．
解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc
=4ab2(2a2-3bc)．
说明：(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．
(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．
例2 把 2a(b+c) -3(b+c)分解因式.
分析：先引导学生找出公因式(b+c)，强调多项式中(b+c)是整体．
解: 2a(b+c) – 3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
巩固练习
用提公因式法分解因式.
（1）3mx-6my;
（2）ax+ay
（3）12xyz-9x2y2
（4）2a(y-z)-3b(z-y)
（5）p(a2+b2)-q(a2+b2)
（6）8m2n+2mn
例3 把-4m3+16m2-26m分解因式．
分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，注意添括号法则．
解：-4m3+16m2-26m
＝-(4m3-16m2+26m)
＝-2m(2m2-8m+13)．
说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．
能力探索
因式分解：
m(x+y)(5ay+ay-1)-m(x+y)(3ay-ay-1)
(三)小结
1. 举一个例子说说什么是因式分解.
2.什么是多项式的公因式？确定公因式该从哪几个方面进行考虑？
3.提公因式法的一般步骤.
六、作业
1. 必做题：教材习题14.3第1、4（1）、 6题 .
2.选做题：教材习题14.3第7题.
板书设计
提公因式法
m
a
b
c