北京版七年级数学下册6.4 《平方差公式》教学设计 （表格式）

《平方差公式》教学设计
一、指导思想与理论依据
《数学课程标准》明确指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验．学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．基于此理念，本节课学生通过观察、归纳、概括平方差公式的过程，体验知识的发生、发展及形成过程，在活动中不同层次的学生有不同的收获，极大的激发了学生的学习兴趣．
二、教学背景分析：
1. 学习内容分析：
在学方差公式”之前，学生已经学习了有理数运算、列简单的代数式、、整式的加减及乘法等知识，本节课是在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例．对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法．因此，平方差公式在初中阶段的教学中具有承前启后的地位.
2. 学生情况分析：
学生在第13册时已经学习“有理数及其运算”、“字母表示数”等内容，这些都为“平方差公式”的学习打下良好基础. 在本节课之前，学习了整式的加、减与乘法运算，学生对“符号化”运算有了一定的操作体验，这些都为本节课的学习打下了基础.但本节课是学生第一次对乘法公式进行探究，要经历从特殊到一般，又要从一般到特殊的认知过程，还要用文字语言叙述公式，而我班学生的分析问题能力，归纳概括能力较弱，在理解及表述平方差公式或公式结构特征时可能不够全面和准确.
三、教学目标
1．了解平方差公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，能利用公式进行
简单的计算.
2．经历探索平方差公式的过程，培养观察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积来验证公式，进而感受数形结合思想。
3. 在合作探究学习的过程中体验成功的喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；发展学生的符号感和有条理推理的能力。
四、教学重点和难点
教学重点：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算．
教学难点：理解平方差公式的结构特征，准确运用公式．
五、教学方法与手段的选择
本节课我采取“启发引导、合作交流”的教学方式，充分体现老师的主导作用和学生的主体地位．通过“设疑——讨论、探索——解惑”的过程，引导学生逐步展开对公式的探究，逐层深入，最大限度的调动学生的积极性和主动性．
本节课采用的教学手段是多媒体课件辅助教学，通过几何画板的演示，加深学生对平方差公式的理解.
六、教学过程
师 生 活 动 设计意图
（一）创设情境，引入新课：教师多媒体出示学校“文明果”活动相关图片，后同时提出问题．和义学校“文明果”实验基地正式启动了，已知教学楼旁“L”形绿地由七年级承包，所以要将绿地（图1）依次分为面积相等的六块， 其中，②⑤为形状大小相同的“L”形，①③④⑥为形状大小相同的长方形. （图1） （图2） 问题：图形②中，若测量得到AB=AF=m，CD=DE=n，则图形①的长与宽为多长时，图形①与图形②的面积相等.学生能够较轻松的得出宽为，但对于长则不容易得出，教师可提示，通过今天的学习，我们就可以很快地解决这个问题．（二）合作探究，学习新知：1、探索新知，发现规律课前探究题：① 两个二项式相乘，积可能会有几项？请举例说明.② 两个二项式相乘，积可以是二项式吗？如果有，那么这两个二项式具备什么样特征时积才会是二项式呢？它们的积有什么特征？学生课前先独立完成探究题①，然后小组同学互判，由小组记录将员各成员的结果记录在小组活动记录卡上.然后各组对探究题②进行讨论，互相补充，然后由记录员将结论记录在小组活动记录卡上.课上由每组派一名代表发言，其他各组进行发问，补充.学生对探究题②的回答可能有：问题1：这两个二项式具备什么样特征时积才会是二项式呢？预案1：两个二项式的两项中分别有一项相同，而另一项互为相反数时积一定是二项式.预案2：当两个二项式是两个数之和以及这两数之差相乘时积一定是二项式。教师在肯定学生回答的同时应适时指出，预案1与预案2从不同的角度分析了这两个二项式的特征.问题2：它们的积有什么特征？预案1：积等于乘式中这两数的平方差。预案2：积等于相同项-相反项学生回答，其他学生进行补充，在学生充分交流的基础上，教师指出：当乘式是两个数之和以及这两个数之差相乘时，积是二项式．这是因为具备这样特点的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了．而它们的积等于乘式中这两个数的平方差.教师引导学生继续思考：问题1：你能用一句话概括这个规律吗？猜想： 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差问题2：如果这两个数分别用a、b来表示，你能用式子表示这个规律吗？学生发言，老师及时给予激励性评价，确定表达式为：式子表示：问题3：你能通过计算，说明猜想的合理性吗 学生独立思考后，口述证明方法；经过计算后，教师指出：这个规律叫做平方差公式：今后遇到符合公式形式的多项式相乘时就可以直接运用公式以化简计算.2、剖析公式，揭示本质问题：你能揭示平方差公式有哪些结构特征吗？ 学生自主辨析，再交流互补，不断完善：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数.（2）右边是乘式中两项的平方差：即用相同项-相反项. 注意：平方差公式中的字母，既可以代表具体数，也可以是代数式.（三）应用练习，巩固新知 1、应用练习，巩固新知例1：运用平方差公式计算：① ② 分析：解：① 原式=学生口述，教师板演，规范格式讲解例1后教师追问：问题：运用乘法公式与运用多项式乘以多项式法则计算相比有什么不同？学生回答，利用多项式乘以多项式法则来计算，得到四项，合并同类项剩两项，现在学方差公式，就利用公式计算，计算变得更简便，在利用公式时，必须弄清楚公式中的a与b表示的是谁，公式中的a可以表示一个数或一个字母，也可以表示一个代数式.然后学生完成练习2：练习1（口算）：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 解：②原式 =教师提醒学生注意： 要加括号，是整体的平方。学生独立完成练习3，之后师生共同评价.练习2： 运用平方差公式计算：（1） （2）学生完成练习的同时，教师巡视，注意关注学生的问题学生错误预案1：解：原式=错误预案2：解：原式=解：原式= =例2：运用平方差公式计算：① ②例2不是直接运用平方差公式，根据加法的交换律交换加数的位置，转换成平方差公式的形式，进一步巩固对平方差公式的运用。（1）由师生共同分析，然后学生口述，教师进行板演，规范学生的解题格式. 解：① 原式= （加法交换律） = （平方差公式） = 预案1： 原式= = =预案2：原式= = = =练习3：运用平方差公式计算：（1） （2）教师巡视，个别生辅导，对练习4及时进行小结，提问题：问题1：公式中的a、b都可以表示什么？在幂的运算的学习的基础上，学生顺利说出字母a可以表示一个数、也可以表示一个字母.练习4：判断下列各式能否利用平方差公式计算，如果能，请说出计算结果，如果不能，请指出原因：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 在学生回答的基础上教师追问如果能利用平方差公式，那么公式中的a与公式中的b分别是谁？学生思考后作答，教师及时给予激励性评价，并关注基础较弱的学生掌握的情况，追问学生判断的依据.此环节照顾基础较弱的学生，在课堂开始给予学生信心.2、拓展练习，发展思维思维拓展练习：① 填空：② 在 ( ) 的括号内，填入怎样的式子，才能用平方差公式计算。③ 请自编一道利用平方差公式计算的题目，同桌交换做一做．3、引例再现，解决问题问题：图形②中，若测量得到AB=AF=m，CD=DE=n，则图形①的长与宽为多长时，图形①与图形②的面积相等.答案：由图形②的面积为得，图形①的长为，宽为4、数形结合，内化新知 教师引导学生用图形中面积的几何意义解释平方差公式.教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即a2-b2方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成一个矩形来计算。得到新矩形的面积为(a+b)(a-b)利用面积相等推得平方差公式： (a+b)(a-b)=a2-b2学生可能出现的方法： 你还能利用几何拼图给出平方差公式一个几何解释吗 问题解决：学校设计花园，起初被设计为边长为米的正方形，后因铅球场地原因，设计修改为：北边往南平移2.5米，而东边往东平移2.5米. 试问修改后的花园面积和原先设计的花园面积相等吗？如果不相等，相差多少？解：如图（1），原花园的面积. （1） （2）修改后的花园如图（2）所示，其面积所以，答：修改后的花园面积比修改前少了6.25平方米.（四）归纳总结，提升认识教师提出问题：本节课：我学会了……我感触最深（最困惑）的是……结合学生的发言，教师进一步归纳总结：1． 平方差公式的使用条件：有一项完全相同，另一项互为相反数.2． 运用公式时应注意：（1）先判断是否符合公式的结构特征；（2）确定确定相同项与相反项.3. 平方差公式是特殊的多项式的乘法，所以平方差公式与多项式乘多项式的联系是：特殊与一般的关系.4. 探索平方差公式的过程中，我们运用了“观察、猜想、归纳、验证”的探究方法，同时注意数形结合、转化等思想方法的应用.(五) 课堂检测，夯实基础 用平方差公式计算：
（1） （2） （3） （4）(六) 布置作业，巩固新知基础题：习题1、2 提高题：习题3 以学生身边的具体实例为问题引入，激发学生的学习热情.渗透数形结合的思想，为后续探讨平方差公式的几何意义奠定基础.以问题复习学过的多项式乘以多项式的知识，学生通过计算、观察每个算式的特点和结果的特点，挖掘题目之间的共性，发现规律，从而经历从特殊到一般、从具体到抽象的过程，体会归纳这－数学思想方法．鼓励学生用自己的语言表述，提高学生的语言组织与表达能力．学生通过自主辨析、合作交流总结得出公式的结构特征为学生理解公式，进而灵活运用公式提供了前提条件．例题习题设置层层深入，①及练习2的练习使学生熟练平方差公式的结构特征.②小题及练习2增加系数，提示学生平方差公式的结构不变性，但字母可变性，同时注意引导学生总结易错问题.鼓励学生一题多解，培养学生的发散思维能力．同时强化对平方差公式的理解，同时渗透转化思想的应用.学生进一步熟悉平方差公式的本质特征，掌握运用平方差公式必须具备的条件，加深对平方差公式的理解．通过拓展练习，提高学生认知水平，进一步深化对平方差公式的理解，培养学生逆向思维和发散思维能力。通过解决引例中的问题，培养学生发现问题、解决问题的能力．学生利用图形面积的相等关系，进一步从几何角度验证了平方差公式的正确性，从中体会到代数与几何的内在联系．该问题渗透了数形结合的思想，有助于引导学生多角度、多方面地思考问题．设计问题解决的目的，一是培养学生的问题解决能力；二是使学生知道，学了数学公式，可以用来解决实际问题，从而体会到数学的应用价值. 通过小结，进一步加深对平方差公式的理解，培养学生的归纳概括能力以及善于反思的能力．依托课堂反馈，了解学生学习本节课的学习情况，以便教师及时进行有针对性的知道.布置不同层次的作业，使不同的学生都得到不同的发展与提高.