高二上学期物理人教版（2019）选择性必修第一册第08讲 简谐运动的回复力和能量 讲义（word版含答案）

第08讲 简谐运动的回复力和能量
知识图谱
简谐运动的回复力和能量
知识精讲
知识点一：简谐运动的回复力
1．回复力
（1）定义：振动的物体偏离平衡位置后，所受到的使它偏离平衡位置的力叫做回复力。（2）性质：回复力是根据力的性质命名的力，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供。回复力为零的位置，就是平衡位置。
例如：弹簧和小球在竖直方向的振动，也可以看作简谐振动。弹簧的弹力与小球的重力共同提供了回复力。弹簧的原长在a点，静止时的位置为b点，弹簧的最低位置在c点。
2．简谐运动的动力学和运动学特征
①运动学特征：简谐运动回复力的大小与质点偏离平衡位置位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总是指向平衡位置，即F= kx。
②运动学特征：简谐运动也是一种变加速运动，其加速度与位移的关系为a= kmx。
③证明简谐运动：分析一个振动系统是否为简谐振动，关键判断它的回复力是否满足：F= kx；对于不同的简谐运动，k的意义也不同。
知识点二：简谐运动的能量
1．简谐运动的能量
（1）概念：做简谐运动的物体在振动中经过某一位置时所具有的势能和动能之和，称为简谐运动的能量。
（2）沿水平方向振动的弹簧振子的能量
如图，振子在一个周期内的能量转化过程是：A→O，弹力做正功，弹性势能转化为动能，O→B弹力做负功，动能转化为弹性势能，B→O弹力做正功，弹性势能转化为动能，O→A弹力做负功，动能转化为弹性势能，由于简谐运动中总机械能守恒，所以简谐运动中振幅不变。
（3）沿竖直方向振动的弹簧振子的能量
如图，O对应平衡位置，振子在A、B间做简谐振动。
②O点动能最大，势能最小，势能包括重力势能和弹性势能。
②A->O，重力做正功，弹力做正功，合力向下，动能增加，重力势能和弹性势能和减少。
③O->B，重力做正功，弹力做负功，合力向上，合力做负功，动能减小，重力和弹性只能之和增加。
（4）对简谐运动能量的理解
①在振动的一个周期内，动能和势能完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能最小，经过最大位移处，势能最大，动能最小。
②简谐运动的能量跟振幅有关，振幅越大，振动能量越大。
简谐运动回复力的理解
例题1、 关于回复力，下列说法不正确的是（ ）
A.回复力是物体离开平衡位置时受到的指向平衡位置的力
B.回复力是按力的作用效果命名的，它可能由弹力或者摩擦力提供
C.回复力可能是几个力的合力，也可能是某一个力的分力
D.振动物体在平衡位置时，其所受合力一定为零
随练1、 下列有关回复力的说法中正确的是（　　）
A.回复力是指物体受到的指向平衡位置的力
B.回复力是指物体受到的合力
C.回复力是从力的作用效果命名的，可以是重力、弹力或摩擦力，可以是几个力的合力
D.回复力实质上是向心力
随练2、弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中（ ）
A.振子所受的回复力逐渐增大 B.振子离开平衡位置的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐增大 D.振子的加速度逐渐增大
简谐运动的图像和动力学特征
例题1、 有一个在y方向上做简谐运动的物体，其振动图像如图所示，下列关于图中（1）～（4）的判断正确的是（ ）
A.图（3）可作为该物体的回复力－时间图像 B.图（2）可作为该物体的回复力－时间图像
C.图（1）可作为该物体的速度－时间图像 D.图（4）可作为该物体的加速度－时间图像
例题2、如图所示，一轻弹簧上端固定在天花板上，下端挂一个重为的钩码，静止时弹簧伸长了．现将钩码竖直向下拉，然后无初速度释放，使钩码沿竖直方向振动，则钩码所受的最大回复力及其振动的振幅分别为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
随练1、[多选题] 如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是（ ）
A.t＝0.8s时，振子的速度方向向左
B.t＝0.2s时，振子在O点右侧6cm处
C.t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度完全相同
D.t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子的速度逐渐增大
随练2、 光滑的水平面上放有质量分别为和的两木块，下方木块与一劲度系数为的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示．已知两个木块不发生相对滑动的最大振幅为，则两物体间的最大静摩擦力为（ ）
A. B. C. D.
随练3、 如图所示：一根轻弹簧竖直立在水平地面上，下端固定。一物块从高处自由落下，落到弹簧上端，将弹簧压缩至最低点。能正确反映上述过程中物块的加速度的大小随下降位移x变化关系的图象可能是图中的（ ）
A. B. C. D.
简谐运动的证明
例题1、 如图所示，在质量为M的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m（M≥m）的A、B两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断A、B间的连线，此后A做简谐运动．当运动到最高点时，支架对地面的压力为（ ）
A.Mg B.（M－m）g C.（M＋m）g D.（M＋2m）g
例题2、 如图所示，倾角为a的斜面体(斜面光滑且足够长)固定在水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放，且物块在以后的运动中，斜面体始终处于静止状态，重力加速度为g．
(1)求物块处于平衡位置时弹簧的长度；
(2)选物块的平衡位置为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标轴，用x表示物块相对于平衡位置的位移，证明物块做简谐运动；
随练1、 如图所示，一轻质弹簧的上端固定在倾角为30°的光滑斜面顶部，下端拴接小物块A，A通过一段细线与小物块B相连，系统静止时B恰位于斜面的中点．将细线烧断，发现当B运动到斜面底端时，A刚好第三次到达最高点．已知B的质量m=2 kg，弹簧的劲度系数k=100 N/m，斜面长为L=5 m，且始终保持静止状态，重力加速度g=10 m/s2．
(1)试证明小物块A做简谐运动；
(2)求小物块A振动的振幅和周期．
随练2、 如图所示，两木块叠放在光滑水平面上，上面木块的质量为M，下面木块的质量为m，两木块间的最大静摩擦力为f．下面的木块和竖直墙间连有劲度系数为k的轻质弹簧．如果两木块在运动过程中不发生相对运动．
(1)试证明M做简谐运动．
(2)求该系统允许振动振幅的最大值．
简谐运动能量的转化
例题1、 做简谐运动的质点，先后经过同一位置时，下列物理量不同的是（　　）
A.位移 B.加速度 C.势能 D.速度
例题2、 如图是一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象（x-t图），由图可推断，振动系统（ ）
A.在t1和t2时刻具有相等的动能 B.在t3和t4时刻具有相等的势能
C.在t4和t6时刻具有相同的位移和速度 D.在t1和t6时刻具有相同的速度和加速度
随练1、[多选题] 一质点处于静止状态，现对该质点施加力F，力F随时间t按如图所示的正弦规律变化，力F的方向始终在同一直线上．在0～4s内，下列说法正确的是（　　）
A.第2s末，质点距离出发点最远 B.第2s末，质点的动能最大
C.第4s末，质点距离出发点最远 D.第4s末，质点的动能最大
随练2、 下列几种说法中正确的是（ ）
A.只要是机械振动，就一定是简谐运动
B.简谐运动的回复力一定是物体在振动方向所受的合力
C.简谐运动物体所受的回复力总是对物体做正功
D.简谐运动物体所受的回复力总是对物体做负功
课堂小结
拓展
1、 能正确表示简谐运动的回复力与位移关系的图象是图中的(　　)
A. B. C. D.
2、[多选题] 简谐运动的平衡位置是指（ ）
A.速度为零的位置 B.回复力为零的位置 C.加速度为零的位置 D.位移为零的位置
3、 关于简谐振动，下列说法正确的是（ ）
A.回复力跟位移成正比，方向总跟位移方向相同
B.速度跟位移成反比，方向跟位移方向有时相同有时相反
C.加速度跟位移成正比，方向总是跟位移方向相反
D.加速度跟回复力成反比，方向总跟回复力方向相同
4、 某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x=4sint(cm)，则( )
A.质点的振幅为8 cm B.质点的振动周期为2 s
C.在0～1 s内，质点的速度逐渐增大 D.在1～2 s内，质点的动能逐渐增大
答案解析
简谐运动的回复力和能量
简谐运动回复力的理解
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、B、回复力是合力指向平衡位置的分力，是按力的作用效果命名的，它可能由弹力或者摩擦力提供；故A正确，B正确；
C、回复力是从力的作用效果命名的，可以是重力、弹力或摩擦力，可以是几个力的合力，故C正确；
D、振动物体在平衡位置时，其所回复力一定为0，但受到的合力不一定为零，如单摆的最低点．故D错误；
随练1、
【答案】 C
【解析】 A、B、回复力是合力指向平衡位置的分力，是效果力，不是重复受力；故A错误，B错误；
C、回复力是从力的作用效果命名的，可以是重力、弹力或摩擦力，可以是几个力的合力，故C正确；
D、回复力是合力指向平衡位置的分力，向心力是合力指向圆心的分力，不同，故D错误；
故选：C．
随练2、
【答案】 C
【解析】 A、回复力与位移成正比，在振子向着平衡位置运动的过程中回复力减小，A错误；
B、振子的位移指由平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段，因而向平衡位置运动时位移逐渐减小，B错误；
C、物体向着平衡位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大C正确．
D、由牛顿第二定律可知，加速度也减小，D错误；
简谐运动的图像和动力学特征
例题1、
【答案】 A
【解析】 由图示简谐运动图像可知，t＝0时刻质点由平衡位置向正的最大位移处运动，回复力F＝－kx，回复力大小与位移成正比，方向相反，则回复力－时间图像在t＝0时刻为零，大小应逐渐变大，方向是负的；
A、由图（3）可知，t＝0时刻该变量为零，从此刻开始，变量逐渐变大，方向是负的，由于回复力的方向与位移方向等大反向，质点在t＝0时刻从零逐渐变大，方向是正的，则它对应的回复力从零开始逐渐变大，方向是负的，因此图（3）可作为该物体的回复力－时间图像，故A正确；
B、由图（2）所示可知，在t＝0 时刻该量为正的最大，从t＝0时刻该量逐渐减小，图（2）不能作为该物体的回复力－时间图像，故B错误；
C、做简谐运动的物体在平衡位置时速度最大，物体从平衡位置向正的最大位移处运动过程中，速度逐渐减小，速度方向为正的，由图（1）所示图像可知，该图像所反映的量在t＝0时刻为零，从t＝0时刻开始逐渐变大，该图像不能作为该物体的速度－时间图像，故C错误；
D、由牛顿第二定律可知，做简谐运动物体的加速度：，加速度大小与位移成正比，方向与位移方向相反，在t＝0时刻，物体的位移为零，加速度大小为零，由图（4）所示图像可知，该图像不能作为该物体的加速度－时间图像，故D错误。
例题2、
【答案】 A
【解析】 A、钩码所受的最大回复力为处于振幅时的合力，此时，振幅，故A正确
B、由A分析得，B错误
C、由A分析得，C错误
D、由A分析得，D错误
随练1、[多选题]
【答案】 A D
【解析】 A、由图象2知t＝0.8s时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，故A正确；
B、振子远离平衡位置运动，速度逐渐减小，t＝0.2s时，应在O点右侧大于6cm处，故B错误；
C、t＝0.4s和t＝1.2s时，振子的加速度大小相同，方向相反，故C错误；
D、t＝0.4s到t＝0.8s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，故D正确。
随练2、
【答案】 D
【解析】 对整体而言，回复力为弹簧的弹力，对上面的木块而言，回复力为静摩擦力．振幅最大时，回复力最大。当两个滑块间的静摩擦力达到最大时，位移达到最大，根据牛顿第二定律，
对的木块：
对质量为的木块：
联立解得：
随练3、
【答案】 B
【解析】 小球开始下落时，做自由落体运动，加速度不变，当小球和弹簧接触时，根据牛顿第二定律得：
mg－kx＝ma
所以：
根据简谐运动的对称性，最低点的加速度大于g，故ACD错误，B正确。
简谐运动的证明
例题1、
【答案】 A
【解析】 平衡后剪断A、B间细线，A将做简谐振动，在平衡位置，有：
kx1＝mg
在平衡之前的初位置，有：
kx2＝2mg
故振幅为：
根据简谐运动的对称性，到达最高点时，弹簧处于原长，故此时木箱只受重力和支持力，二力平衡，故支持力等于重力Mg，由牛顿第三定律可知，木箱对地面的压力等于Mg。
例题2、
【答案】 (1)物块处于平衡位置时弹簧的长度是L+
(2)证明见解析
【解析】 (1)物块处于平衡位置时，受重力、支持力和弹簧的弹力，此时弹簧的弹力等于重力沿斜面分力，由平衡条件得kΔx=mgsinα
故弹簧的伸长量Δx=
所以弹簧长度L′=L+Δx=L+
(2)取沿斜面向下方向为x轴正方向建立x轴，原点在平衡位置．
当物块的位移大小为x时，弹簧伸长量为x+Δx，物块所受合力为：F合=mgsinα﹣k(x+Δx)
结合kΔx=mgsinα
联立以上各式可得：F合=﹣kx，可知物块作简谐运动．
随练1、
【答案】 (1)见解析
(2)s
【解析】 (1)物块A沿斜面运动，以向下为正方向，其所受合力为，此处x是弹簧的形变，或者说是以弹簧原长处为原点时物块A的位置．如果以F=0处为坐标原点沿斜面向下建立坐标轴，则此坐标轴里物块A的位置与其所受合力的关系就是，所以物体A做的是简谐运动。
(2)最开始A处于最大位移处，它回到平衡位置需要经过的距离就是振幅，根据最初的受力平衡关系可知：m
物体B运动到底端时，A第三次到达最高，即A振动了2.5个周期，所以A的振动周期为：
s
随练2、
【答案】 (1)证明见解析
(2)该系统允许振动振幅的最大值为
【解析】 (1)对整体，受重力、支持力和弹簧的弹力，合力：F=kx，与位移相反，故整体做简谐运动，故M也做简谐运动；
(2)当达到最大位移时，两个物体间的静摩擦力达到最大值，根据牛顿第二定律，有：
对M：f=Ma
对整体：kA=(M+m)a
联立解得：A=
简谐运动能量的转化
例题1、
【答案】 D
【解析】 A、先后经过同一位置时，位移相同，故A错误；
B、先后经过同一点时位移相同，则回复力：F=﹣kx也是相等的，则根据牛顿第二定律可知，加速度相同，故B错误；
C、势能大小取决于形变量，形变量相同，故势能相同，故C错误；
D、质点先后经过同一点时运动的方向定是相反的，速度是矢量，方向不同，则速度不同，故D正确．
故选：D．
例题2、
【答案】 B
【解析】 A、在t1时刻振子正向速度，动能和动量不为零．t2时刻振子速度为零，则动能为零．故A错误．
B、在t3和t4时刻振子同向通过关于平衡位置对称的位置，系统具有相等的势能和相同的动量．故B正确．
C、在t4和t6时刻表示振子相反方向通过同一位置，位移相同，速度不同．故C错误．
D、在t1和t6时刻振子同向通过关于平衡位置对称的位置，具有相同的速度，而位移相反，则加速度方向相反．故D错误．
故选：B
随练1、[多选题]
【答案】 B C
【解析】 在0～2s内，加速度的方向不变，做加速度先增大后减小的加速运动，速度一直增加，在在2～4s内加速度的方向与速度方向相反，做加速度先增大后减小的减速运动，速度一直在减小，t=4s时，速度为零，距离出发点最远．在t=2s时，速度最大，动能最大．故B、C正确，A、D错误．
故选BC．
随练2、
【答案】 B
【解析】 A、简谐运动是最基本也最简单的机械振动，故A错误；
B、简谐运动的回复力一定是物体在振动方向所受的合力，满足F=-kx规律，故B正确；
C、D、简谐运动物体所受的回复力总是指向平衡位置，有时做正功，有时做负功，故C错误，D错误；
故选B．
拓展
1、
【答案】 C
【解析】 由F＝－kx可知，回复力与位移大小成反比，方向与位移方向相反，故其图象为B选项的图象，故ABD错误，C正确。
2、[多选题]
【答案】 B D
【解析】 物体在平衡位置时，物体处在位移为零的位置，此时受到的回复力为零；但由于物体可能受其他外力；如单摆的摆动过程中，最低点为平衡位置，此时受向心力，有向心加速度；故加速度不为零；但速度却是最大值；故BD正确，AC错误
3、
【答案】 C
【解析】 A、根据简谐振动的特征F=﹣kx，可得知回复力跟位移成正比，方向总跟位移的方向相反，故A错误．
B、根据简谐振动的特点可知，简谐振动的速度与位移不是成反比的关系．故B错误．
C、根据简谐振动的特征a=﹣分析得知加速度跟位移成正比，方向总跟位移的方向相反．故C正确；
D、根据牛顿第二定律可知，简谐振动的加速度总是与回复力成正比，方向与回复力的方向相同．故D错误．
4、
【答案】 D
【解析】 A、B、据题质点简谐运动的位移表达式为：x=4sint (cm)，则知振幅为A=4 cm，角速度ω= rad/s，则周期为：T==4 s，故A错误，B错误．
C、由关系式为x=4sint(cm)可知，当t=0时，x=0，可知在t=0时刻质点的速度最大；当t=1时，
x=4sin(cm)=4 cm，可知在t=1 s时刻质点的速度为零，所以在0～1 s内，质点的速度逐渐减小，故C错误；
D、由关系式为x=4sint(cm)可知，当t=2 s时，x=0，可知在t=0时刻质点的速度最大；在1～2 s内，质点的速度逐渐增大，则动能逐渐增大，故D正确．
故选：D．