华师大版数学七年级下册 第9章多边形9.1.2三角形的内角和与外角和教案

第9章 多边形
9.1　三角形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
教学目标 1.使学生在操作活动中，探索并了解三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和. 2.利用平行线性质来证明三角形的内角和、三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和. 3.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算. 教学重难点 重点：掌握三角形的内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和，并能利用三角形内角和、外角和以及外角的两条性质进行有关计算. 难点：在三角形内角和、三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和 证明的过程中，涉及到添加辅助线来沟通证明思路的方法. 教学过程 导入新课 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 【小组内部操作】讨论拼接的方法，三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 也就是说，三角形的内角和等于180°. 观测的结果不一定可靠，还需要通过说理的方式来说明该结论是正确的. 探究新知 合作探究 1.三角形的内角和定理的推理证明. 如图，已知△ABC ，分别用∠1，∠2，∠3表示△ABC的三个内角，证明∠∠2∠3180°. 【解】延长BC到E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE∠2，则CD∥BA(同位角相等，两直线平行). ∵ CD∥BA， ∴ ∠ACD∠1(两直线平行，内错角相等). 又∵ ∠3∠DCE∠ACD180°， ∴ ∠1∠2∠3180°（等量代换）. 思考：多种方法说明三角形内角和等于180°的核心是什么？ 总结：1.在这里，为了需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 2.为了说明三角形三个内角的和为180°，常将三个角转化为一个平角，这种转化思想是数学中常用的方法. 【探索】直角三角形的两个锐角是什么关系？ 直角三角形的两个锐角互余. 2.探索三角形的外角及外角和. 如图所示，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角，不相邻的两个内角是与这个外角不同顶点的两个内角.∠DAC是三角形的一个外角，内角∠BAC与它相邻，内角∠B，∠C与它不相邻. 问：三角形的外角与和它相邻的内角有什么关系 (互补) 探索三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角之间的关系. 请同学们拿出一张白纸，在白纸上画出如课本图9.1.10所示的图形，然后把∠ACB，∠BAC剪下拼在一起放到∠CBD上，使点A，C，B重合，看看会出现什么结果，与同伴交流一下，结果是否一样？ 请你用文字语言叙述三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角间的关系. 由此可知，三角形外角有两条性质： (1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； (2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 如图，D是△ABC的边BC上一点，则有　　　　　　　　　. （∠ADC∠DAB+∠ABD，∠ADC>∠DAB，∠ADC>∠ABD；∠ADB＝∠CAD+∠ACD，∠ADB>∠CAD，∠ADB>∠ACD） 3.探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的方法. (1)你能用“三角形的内角和等于180°”来说明三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和吗 【解】如图，因为三角形的内角和等于 180 °， 所以∠ACB∠BAC＋∠ABC180°. 因为∠CBD=1 80°∠A BC，∠ACB＋∠BAC180°∠ABC， 所以∠CBD ∠ACB＋∠BAC. (2)你能否从前面的操作中，得到说明三角形外角性质的另一种方法？（能.如课本图9.1.8，∠DCE∠2，∠ACD∠1，所以∠ACE∠2∠1） 4.探索三角形的外角和 （1）与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和. （2）三角形的外角和是多少？ （三角形的外角和等于360°） （3）探索三角形的外角和是360°的证明方法. 探索方法一： 如图，因为∠1∠ACB180°，∠2∠BAC180°，∠3∠ABC 180°， 所以三式相加可以得到∠1∠2∠3∠ACB∠BAC∠ABC540°. 因为∠ACB＋∠BAC＋∠ABC180°， 所以∠1＋∠2＋∠3360°. 探索方法二： 如图，过点A作AD∥BC. 因为AD∥BC， 所以∠1∠DAE，∠3∠DAB（两直线平行，同位角相等）. 因为∠DAE+∠DAB+∠2360°， 所以∠1＋∠2＋∠3=360°（等量代换）. 例1 如图，D是△ABC的BC 边上一点，∠B∠BAD ，∠ADC=80°，∠BAC70°. 求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数. 【问题探索】（1）先由三角形外角的性质得出∠ADC∠B+∠BAD，再由∠ADC=80°，∠B=∠BAD即可得出∠B的度数；（2）直接根据三角形的内角和定理得出∠C的度数.（先让学生进行分析，教师可适当引导学生，应用三角形外角的性质，然后师生共同写出规范的解答过程） 【解】（1）∵ ∠ADC 是△ABD 的外角（已知）, ∴ ∠B+∠BAD∠ADC80°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）. 又∵ ∠B＝∠BAD（已知）， ∴ ∠B＝80°×40°（等量代换）. （2）∵ ∠B+∠BAC+∠C180°（三角形的内角和等于180°）， ∴ ∠C＝180°∠B∠BAC 180°40°70° 70°（等式的性质）. 【总结】本题考查的是三角形内角和定理及外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键. 课堂练习 1.如图，直线DE经过点A，DE∥BC，∠B44°，∠C57°，则∠BAC的度数是（　　） A.89° B.79° C.69° D.90° 2.如图，在△ABC中，∠B45°，∠C30°，延长线段BA至点E，则∠EAC的度数为（　　） A.105° B.75° C.70° D.60° 3.如图，△ADC是含45°角的直角三角板，△ABE是含30°角的直角三角板，若CD与BE交于点F，则∠DFB的度数为　 　. 4.如图，已知CD为∠ACB的平分线，AM⊥CD于M，∠B46°， ∠BAM8°，求∠ACB的度数. 5.如图，BD为△ABC的角平分线，∠ABC60°，∠ADB70°. （1）求∠C的度数； （2）若点E为线段BC上任意一点，当△DEC为直角三角形时，∠EDC的度数为　 　. 参考答案 1.B 2.B 3.15° 4.解：∵ AM⊥CD， ∴ ∠AMD90°. ∵ ∠DAM8°， ∴ ∠ADM82°. ∵ ∠ADM∠B+∠DCB，∠B46°， ∴ ∠DCB36°. ∵ CD平分∠ACB， ∴ ∠ACB2×36°72°. 5.解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC60°， ∴∠DBC∠ABC30°. 又∵∠ADB是△BDC的外角，∠ADB70°， ∴∠ADB∠DBC+∠C， ∴∠C∠ADB∠DBC40°. （2）情况一：如图1， 则∠EDC90°. 图1 情况二：如图2，当∠CED90°时， ∠EDC90°∠C90°40°50°. 图2 综上所述，∠EDC的度数为90°或50°. 故答案为50°或90°. 课堂小结 三角形的内角和外角的性质反映了三角形的内角和外角是互相联系与制约的，我们可以用它来求三角形的内角或外角.解题时，有时还需添加辅助线，有时结合代数，用方程来解比较方便. 布置作业 课本第79页练习. 板书设计 第9章　多边形 9.1 三角形 9.1.2 三角形的内角和与外角和 1.三角形的内角和定理及推理证明. 2.三角形的外角及外角和. 3.探索证明“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”的方法. 4.探索三角形的外角和. 例1 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思 教学反思