山东省淄博市桓台县渔洋高级中学2021-2022学年高二下学期模块学分认定考试（期中）数学试题（Word版含解析）

渔洋高级中学2021-2022学年高二下学期模块学分认定考试（期中）
数学
考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题（每题5分）
1．在等差数列中，已知，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．已知等比数列中，，则公比（ ）
A．9或-11 B．3或-11 C．3或 D．3或-3
3．已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．焦点在x轴，一条渐近线的方程为，虚轴长为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．2
7．设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
8．设为数列的前n项和，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每题5分，部分选对得3分，选错不得分）
9．下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
10．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ）
A．此人第三天走了二十四里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
C．此人第二天走的路程占全程的
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
11．已知函数，其中正确结论的是（ ）
A．当时，有最小值
B．对于任意的，函数是上的增函数
C．对于任意的，函数一定存在最小值
D．对于任意的，函数既存在极大值又存在极小值
12．已知双曲线，双曲线与双曲线有相同的渐近线，抛物线以双曲线的左焦点F为焦点 ，则下列判断正确的是（ ）
A．抛物线标准方程为
B．双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1
C．若双曲线焦点在轴，则双曲线的离心率为
D．若双曲线与抛物线交于A、B两点，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分）
13．抛物线的准线方程是_________
14．已知函数在点处的切线斜率为，则________．
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为e，若双曲线上点P，使，则的值为_______．
16．若直线与函数的图象相切于点，则______.
四、解答题（17、18题各10分，19、20、21题各12分，22题14分）
17．已知函数．
（1）求函数在上的最大值和最小值．
（2）过点作曲线的切线，求此切线的方程．
18．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
19．已知函数，其中.
（1）求，求在上的最大值和最小值；
（2）若是函数的一个极值点，求实数的值.
20．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an.
(1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列；
(2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式.
21．已知数列的前项和，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
22．已知椭圆E的中心为坐标原点O，焦点在坐标轴上，且经过点A(，0)，B(0，1).
（1）求E的方程；
（2）过点(1，0)作倾斜角为45°的直线l，l与E相交于P，Q两点，求△OPQ的面积.
高二数学
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据等差中项可求得结果.
【详解】
由得，所以，
所以.
故选：D
2．D
【解析】
【分析】
令首项为，公比为，由题设条件列方程组，求即可.
【详解】
∵为等比数列，令首项为，公比为，则，
∴解得：或
故选：D.
3．B
【解析】
【分析】
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
4．A
【解析】
【分析】
根据题意，有双曲线的虚轴长可得的值，有双曲线的焦点位置可得其渐近线方程为，分析可得的值，将、的值代入双曲线的方程即可得答案．
【详解】
解：根据题意，要求双曲线的虚轴长为，即，即，
又由要求双曲线的焦点在轴，其渐近线方程为，
若双曲线的一条渐近线的方程为，即，则，
故要求双曲线的标准方程为，
故选：．
5．B
【解析】
根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法求出函数的导数，再代入计算即可；
【详解】
因为
所以
所以
故选：B
【点睛】
本题考查基本初等函数的导数计算，属于基础题.
6．B
【解析】
【分析】
由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】
由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】
本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
7．A
【解析】
【分析】
准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】
设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
为圆心．
，又点在圆上，
，即．
，故选A．
【点睛】
本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．
8．A
【解析】
由递推式求出数列的首项,当时分为偶数和奇数求出,代入后分组,然后利用等比数列的前项和公式求解.
【详解】
由，
当时，，得；
当时，，即.
当n为偶数时，，所以（为正奇数），
当n为奇数时，，所以（为正偶数），
所以，所以，
所以，所以.
因为.
故选：A
【点晴】
方法点睛：本题考查已知数列与的关系式，求通项公式，分组求和，一般数列求和包含：
1、公式法，利用等差和等比数列的前项和公式求解；
2、错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；
3、裂项相消法求和，适用于能变形为；
4、分组转化法求和，适用于；
5、倒序相加法求和，适用于倒序相加后，对应的两项的和是常数的数列.
9．ABD
【解析】
【分析】
根据等差数列的定义逐项分析即可得出结果.
【详解】
根据等差数列的定义，可得：
A中，满足(常数)，所以是等差数列；
B中，满足(常数)，所以是等差数列；
C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足(常数)，所以是等差数列.
故选：ABD.
10．BD
【解析】
【分析】
根据题意，得到此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，记该等比数列为，公比为，前项和为，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
由题意，此人每天所走路程构成以为公比的等比数列，
记该等比数列为，公比为，前项和为，
则，解得，
所以此人第三天走的路程为，故A错；
此人第一天走的路程比后五天走的路程多里，故B正确；
此人第二天走的路程为，故C错；
此人前三天走的路程为，后三天走的路程为，，即前三天路程之和是后三天路程之和的8倍，D正确；
故选：BD.
【点睛】
本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.
11．AB
【解析】
【分析】
求得函数的定义域和导数，结合选项，利用导数求得函数的单调性和极值，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数，可得，
对于A中，当时，可得，
设，可得，所以函数为单调递增函数，
又由，所以存在，使得，
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以当时，函数有最小值，所以A正确；
对于B中，当时，，所以单调递增，所以B正确；
对于C中，当时，，所以单调递增，
当时，，所以函数无最小值，所以C错误；
对于D中，当时，，令，即，
设，可得，所以函数为单调递增函数，
当时，；当时，，
所以存在唯一的使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
当时，函数取得极小值，无极大值，所以D错误.
故选：AB.
12．AB
【解析】
【分析】
对于A，先求出双曲线的左焦点，进而求出抛物线标准方程，根据双曲线的焦点到渐进线的距离，可判断出B，根据双曲线与双曲线有相同的渐近线，可得出中， 的关系，进而求出双曲线的离心率，将双曲线与抛物线的方程联立解出 进而可求得答案.
【详解】
因为双曲线，所以的左焦点F，将 由得，，所以，抛物线标准方程为，故A正确；
对于B，双曲线的焦点到渐进线的距离，由题可知，所以双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离为1，故B正确；
对于C，因为双曲线，所以其渐近线为，
又因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，且焦点在轴上，设，，则，所以，故C错误；
对于D，联立 解得，所以，
，所以D错误.
故选：AB
13．
【解析】
【分析】
先判断抛物线焦点位置，再利用，即得到准线方程.
【详解】
由抛物线方程可知，焦点在y轴负半轴，又由标准方程方程特征知，，
故准线是.
故答案为：.
14．2
【解析】
【分析】
首先利用导数的定义求出得值，再利用点在上可计算的值，即可求解.
【详解】
由导数的定义可得：
，
因为，所以，
又因为，可得，
所以，
故答案为：
15．2
【解析】
【分析】
由双曲线方程可求得，再由结合正弦定理得，而，所以可求得，再利用余弦定理求出，从而可得的值
【详解】
由双曲线方程得，由双曲线的定义得，
因为，所以由正弦定理得，可解得，
又，根据余弦定理可得，
所以．
故答案为：2
【点睛】
此题考查双曲线的定义和性质的应用，考查正余弦定理的应用，考查转化能力，属于中档题
16．
【解析】
【分析】
利用导数的几何意义得出，化简可得出，对等式取对数化简后可得结果.
【详解】
由可得.
由已知可得，，即，
可得，两边取自然对数可得，所以.
故答案为：.
17．（1）的最小值是，的最大值是；（2）或
【解析】
【分析】
（1）利用导数，通过导数的符号判断原函数的单调性，然后根据单调性进行求最值，可得结果.
（2）假设切点，根据曲线在某点处导数的几何意义，可得切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程，最后代点求值，可得结果.
【详解】
（1），
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，
而，，，
的最小值是，的最大值是；
（2），
设切点坐标为，
则切线方程为，
∵切线过点，
∴，
化简得，
∴或．
∴切线的方程：或．
【点睛】
本题考查利用导数求函数在区间的最值，以及过某点曲线的切线方程，理解曲线在某点处导数的几何意义，属基础题.
18．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】
（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
19．（1）最大值为2，最小值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）把代入函数中，然后对函数求导求极值，再求出端点处的函数值，与极值比较，最小的为函数的最小值，最大的为函数的最大值；
（2）由于是函数的一个极值点，所以，求得，然后把代入函数中，需要验证是否是函数的极值点，若导函数在两侧的函数值异号，则可以取，否则不能取.
【详解】
解：（1）当时，，，
令得，，
列表：
0 1 2
0 - 0 +
-2 减 -3 增 2
由表可知，函数在上最大值为2，最小值为-3.
（2），
因为是函数的一个极值点，
所以，解得.
当时，，令，解得，.
列表如下：
0 2
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
因此，当时，是函数的一个极值点.
【点睛】
此题考查利用导数求函数的最值，已知函数的极值点求参数，考查计算能力，属于基础题.
20．(1)证明见解析
(2)an＝×3n－1
【解析】
【分析】
（1）将an＋2＝2an＋1＋3an，变形为an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比数列的定义证明；
（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，结合求解.
(1)
证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，
因为{an}中各项均为正数，
所以an＋1＋an＞0，
所以＝3，
所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列.
(2)
由题意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，
因为an＋2＝2an＋1＋3an，
所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，
所以a2－3a1＝0，
所以an＋1－3an＝0，
故an＋1＝3an，
所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.
21．（1）；（2）.
【解析】
（1）当时，由有，两式相减即得解；
（2）由（1）有，利用错位相减法对数列求和.
【详解】
（1）当时，由有，所以，
当时，由有，
所以，整理得，
所以数列是以1为首项为公比的等比数列，所以；
（2）由（1）有，
所以，①
①得，②
①得，
所以.
【点睛】
方法点睛：数列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法.要根据已知条件灵活选择合适的方法求解.
22．（1）+y2=1；（2）.
【解析】
【分析】
解法一:（1）根据A，B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，E的焦点在x轴上求解.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设y1>y2，直线l的方程为y=x-1，与椭圆方程联立，求得交点，然后由求解；
解法二:（1）同解法一.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设x1【详解】
解法一:（1）依题意知，A，B分别为椭圆E的右顶点、上顶点，
所以E的焦点在x轴上.
设E的方程为+=1(a>b>0)，
则a=，b=1，
所以E的方程为+y2=1.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设y1>y2，
依题意，得直线l的方程为y=x-1.
由得3y2+2y-1=0，
解得y1=，y2=-1.
记点(1，0)为F，则
|OF||y1-y2|=×1×=.
所以OPQ的面积为.
解法二:（1）同解法一.
（2）设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，不妨设x1依题意，得直线l的方程为y=x-1.
由
得3x2-4x=0，
解得x1=0，x2=，
所以|PQ|=|x1-x2|=×=，
原点O到直线l的距离d==，
所以=××=.
所以OPQ的面积为.