登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
广东省2022届高三数学模拟押题卷（三）
一、单选题
1．（2022·广东模拟）设为复数，分别是的共轭复数，满足，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设，
则，所以C不符合题意
，
当时，，，A不符合题意，D不符合题意，
，B对，
故答案为：B.
【分析】由共轭复数的概念、复数的四则运算逐项判断即可。
2．（2022·广东模拟）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】B
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】由题意，解不等式，得，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又，即满足由条件不能推出结论，且结论推出条件，
故答案为：B.
【分析】由得到，即可判断。
3．（2022·广东模拟）已知集合，集合，，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且且
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，
在方程中，令可得，
集合表示过定点且斜率存在的直线，
由得两直线斜率不同，则，解得．
故答案为：C.
【分析】确定集合A，B中元素的含义，即可求解。
4．（2022·广东模拟）已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为为角终边上一点，所以，
，当时，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由正切定义得到，再由f(x)的对称轴为x=m得到，即可求解。
5．（2022·广东模拟）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量的模；向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】如图所示，
根据题意可得，所以，
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】由，得到，即可得，即可求解。
6．（2022·广东模拟）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】4月份日期为1号，2号，3号，，30号，甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，11，…，28，29，乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，11，，29，30，丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，，28，29，在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29，所以三人在同一天工作的概率为．
故答案为：B.
【分析】列举所有基本事件，由古典概型概率计算公式即可求解。
7．（2022·广东模拟）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图所示，
为直角三角形，又，
所以，
因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，
则，所以为二面角的平面角
所以．
因为为直角三角形，E为中点，
所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，
，
所以，，
∴．
所以，
故答案为：C.
【分析】如图，易知，，连接，为的中点，E为中点，可得为二面角的平面角，再结合为直角三角形，E为中点，确定点为的外接圆的圆心，设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．可知O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，即可求，，，再由．即可求解。
所以，
8．（2022·广东模拟）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接、，分别与直线交于M、N两点，若，则（ ）
A．21 B．9 C．21或 D．21或9
【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，双曲线，可得，
设直线和直线的方程分别为和，
则，
因为，所以，即，
设方程为，
联立方程组，整理得，
设，则
所以，
即，
所以，即，解得或．
故答案为：C.
【分析】由题意可得可得，设直线和直线的方程分别为和，则，由，可得，设方程为，联立双曲线方程，设，结合韦达定理可得，进而得到即可求解。
二、多选题
9．（2022·广东模拟）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量，降雨量的等级划分如下：
等级 降雨量（）
小雨
中雨
大雨
暴雨
大暴雨
特大暴雨
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为，瓶口高度为）收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C,D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】解：设降雨量为，容器内雨水高度为，根据体积相等得，
解得，由，可得．
故答案为：CD
【分析】设降雨量为，容器内雨水高度为，由体积相等可得，即可求解。
10．（2022·广东模拟）已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】因为，，，
，，…，，
所以，，
，
累加得，
∴，，
因为，，所以，
故答案为：ABC．
【分析】通过递推公式赋值，可得，，，，，…，，再做差、累加即可判断。
11．（2022·广东模拟）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】对数的运算性质；基本不等式；点到直线的距离公式
【解析】【解答】对于A，，即，其几何意义为圆上的点到直线的距离小于等于2，因为圆的圆心在直线上，且圆的半径为2，所以恒成立，A符合题意；
对于B，，即，当且仅当时取等号，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，取，满足，此时，D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】由点到直线的距离公式即可判断A，由基本不等式可判断B，C，通过特殊值即可判断D.
12．（2022·广东模拟）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以为，，
故答案为：AD.
【分析】，求其导函数，易判断其在上单调递增，进而可得再结合在上恒成立，可得在上单调递增，进而由单调性与导数的关系可得恒成立，即可求解。
三、填空题
13．（2022·广东模拟）已知，则曲线在处的切线方程为 ．
【答案】y=x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
∴切线方程为，即y=x．
故答案为：y=x.
【分析】由导数的四则运算结合导数的几何意义即可求解。
14．（2022·广东模拟）关于的因式的展开式中项的系数为-10，则常数项为 ．
【答案】10
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为，
所以项为，
所以，，解得或，
又常数项为：，当时，常数项为；
当时，常数项为；
故答案为：10.
【分析】由结合及 项的系数为-10 ，即可得，求出a，进一步可求解。
15．（2022·广东模拟）已知抛物线的焦点，过点F作互相垂直的两条弦，两条弦、的中点分别为M，N，直线与x轴交于点E．当的斜率为时，的面积为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点，可得，解得，所以，
又由的斜率为，可得，
设，联立方程组 ，整理得，
所以，因为M为中点，所以，
同理得，且，
所以，
令，得，所以，所以．
故答案为：.
【分析】由题意易得抛物线方程，，设，联立抛物线方程结合韦达定理可得，，进而得到直线MN方程，即可求解。
16．（2022·广东模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则 ．
【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
【分析】由题意可得函数周期为4，令，问题可转化成即与函数恰有个不同的交点，根据图像如图，可得，求得，由裂项相消求和即可。
四、解答题
17．（2022·广东模拟）从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．
已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，____．
（1）证明：____________；
（2）求的面积．
注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】（1）证明：若选①②作为条件，③作为证明结论．
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
整理得，
故．
若选①③作为条件，②作为证明结论．
由得，
由正弦定理得，
所以，
所以，
故．
若选②③作为条件，①作为证明结论．
由得，
由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，
又，故．
（2）解：由（1）知，，两边平方得，
由余弦定理得，所以，
所以，
解得或（舍去）．
故的面积．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 （1）若选①②作为条件，③作为证明结论．由正弦定理可得，再结合，整理得．若选①③作为条件，②作为证明结论．由得，再结合正弦定理得到，进而可得．若选②③作为条件，①作为证明结论．由结合正弦定理得，再结合，可得，由正弦定理即可求解；
（2）由平方，再结合余弦定理即可得，求得ac，再由三角形面积公式即可求解。
18．（2022·广东模拟）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
（1）试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
（2）若，求的前n项和，并证明：．
【答案】（1）解：由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得，，
所以的通项公式．
（2）解：由于，
所以，
则，
因为，所以，所以，
又随n的增大而减小，
所以当时，取得最大值，故．
【知识点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由题意逐项归纳即可得，即可求解；
（2）由（1）可得，累加求和即可得进而可求证。
19．（2022·广东模拟）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱的中点，F是棱上的点，且A，D，E，F四点共面．
（1）求证：F为的中点；
（2）若为等边三角形，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：四棱锥中，平面平面，
∴平面．
由题意可知E，F在平面内，且A，D，E，F四点共面．
∴，∴．
∵E是棱的中点，∴F为中点．
（2）解：如图：以为x轴，连接中点O与中点G，为y轴，并过O作垂直于平面的z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
，设，则．
∴，
．
因为为等边三角形，所以，
所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，过作垂直于y轴于点H，因为平面，
所以，又，平面，
所以垂直于平面．且，，，，，∴，
∵E，F分别为中点，∴，
设平面的法向量为，则，
所以，取可得，
设与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由题意可知 平面． 进而说明即可求证；
（2）建立如图空间直角坐标系， 设，则． 由二面角大小求得a，再求得 直线的方向向量与平面的法向量，代入夹角公式即可。
20．（2022·广东模拟）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．
参考数据：其中，
1.84 58.55 6.9
（1）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次．
（3）已知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中特价房的数量为，求的分布列与数学期望．
【答案】（1）解：根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，故判断适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．
（2）解：由（1）知，，两边同时取对数得，令，
则
由题意知，
又，，
所以，
所以，
则y关于x的回归方程为，
当时，，故预测活动推出第8天售楼部到访人次为690．
（3）解：由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4．
，，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
P
所以．
【知识点】线性回归方程；可线性化的回归分析；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由 增长速度越来越快，可判断适合；
（2）由（1）知，，两边同时取对数得，令，得到 ，代入数据求解即可得，从而解决问题；
（3） 由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4． 结合古典概型概率计算公式即可取每个值对应概率，即可求解。
21．（2022·广东模拟）平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围．
【答案】（1）解：设动点P的坐标为，因为，
所以，即，整理得．
所以动点P的轨迹方程为椭圆．
（2）解：设，由（1）可得A的坐标为，
故直线，令，则，同理．
直线，由，消去y得，
故，解得或．
又，故，
又
，
∵，
故，即，
综上，或．
所以k的取值范围是．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1） 设动点P的坐标为 ，由转换成方程化简即可；
（2） 设，由（1）可得A的坐标为，即可得，进而得到，同理．再由，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得到由已知条件即可求解。
22．（2022·广东模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）解：∵，
（Ⅰ）当时，在上单调递增，
（Ⅱ）当时，令，则，
令，则，
∴在上单调递增， 上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）解：∵恒成立，∴恒成立，
即恒成立，
令，其中，
，
∵，∴，
令，即，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
∴当时，函数取得极大值，也是最大值，
且，
∵恒成立，
即恒成立，
即，可得恒成立．
设，∴，可设，则，
∵，∴在上单调递增，
∴当时，函数取得最大值，且，
∴，即的最小值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）求出，通过讨论，即可求解；
（2） 由题意可知恒成立，构造函数，求得导函数，再由，得到，通过时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．得到最大值，即可得恒成立，问题可转化成恒成立．设构造，求导，易得在上单调递增，即可求解。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
广东省2022届高三数学模拟押题卷（三）
一、单选题
1．（2022·广东模拟）设为复数，分别是的共轭复数，满足，则下列一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·广东模拟）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
3．（2022·广东模拟）已知集合，集合，，则的取值范围是（ ）
A． B．且
C．且 D．且且
4．（2022·广东模拟）已知为角终边上一点，关于的函数有对称轴，则（ ）
A．-2 B．2 C． D．
5．（2022·广东模拟）等腰中，，D为线段上的动点，过D作交于E．过D作交于F，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东模拟）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·广东模拟）在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·广东模拟）已知双曲线的右焦点为F，左顶点为A，过F的直线交双曲线C于P、Q两点，连接、，分别与直线交于M、N两点，若，则（ ）
A．21 B．9 C．21或 D．21或9
二、多选题
9．（2022·广东模拟）某一时段内，从天空降落到地面上的液态或固态的水，未经蒸发，渗透流失，而在水平面上积聚的深度称为这段时间的降雨量，降雨量的等级划分如下：
等级 降雨量（）
小雨
中雨
大雨
暴雨
大暴雨
特大暴雨
在一次暴雨降雨过程中，小明用一个大容量烧杯（如图，瓶身直径大于瓶口直径，瓶身高度为，瓶口高度为）收集雨水，降雨结束后，容器内雨水的高度可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·广东模拟）已知数列满足，为其前n项和，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·广东模拟）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2022·广东模拟）已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（ ）
A． B．-1 C．1 D．
三、填空题
13．（2022·广东模拟）已知，则曲线在处的切线方程为 ．
14．（2022·广东模拟）关于的因式的展开式中项的系数为-10，则常数项为 ．
15．（2022·广东模拟）已知抛物线的焦点，过点F作互相垂直的两条弦，两条弦、的中点分别为M，N，直线与x轴交于点E．当的斜率为时，的面积为 ．
16．（2022·广东模拟）已知函数满足时，，．若函数的图像与x轴恰好有个不同的交点，则 ．
四、解答题
17．（2022·广东模拟）从①；②；③中任选两个作为条件，另一个作为（1）小题证明的结论．
已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，____．
（1）证明：____________；
（2）求的面积．
注：若选不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
18．（2022·广东模拟）定义：对于任意一个有穷数列，第一次在其每相邻的两项间都插人这两项的和，得到的新数列称之为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和称之为二阶和数列，以此类推可以得到n阶和数列，如的一阶和数列是，设它的n阶和数列各项和为．
（1）试求的二阶和数列各项和与三阶和数列各项和，并猜想的通项公式（无需证明）；
（2）若，求的前n项和，并证明：．
19．（2022·广东模拟）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，，E是棱的中点，F是棱上的点，且A，D，E，F四点共面．
（1）求证：F为的中点；
（2）若为等边三角形，二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（2022·广东模拟）近期国内疫情反复，对我们的学习生活以及对各个行业影响都比较大，某房地产开发公司为了回笼资金，提升销售业绩，让公司旗下的某个楼盘统一推出了为期10天的优惠活动，负责人记录了推出活动以后售楼部到访客户的情况，根据记录第一天到访了12人次，第二天到访了22人次，第三天到访了42人次，第四天到访了68人次，第五天到访了132人次，第六天到访了202人次，第七天到访了392人次，根据以上数据，用x表示活动推出的天数，y表示每天来访的人次，绘制了以下散点图．
参考数据：其中，
1.84 58.55 6.9
（1）请根据散点图判断，以下两个函数模型与（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（2）根据（1）的判断结果及下表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天售楼部来访的人次．
（3）已知此楼盘第一天共有10套房源进行销售，其中6套正价房，4套特价房，设第一天卖出的4套房中特价房的数量为，求的分布列与数学期望．
21．（2022·广东模拟）平面直角坐标系内有一定点，定直线，设动点P到定直线的距离为d，且满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）直线过定点Q，与动点P的轨迹交于不同的两点M，N，动点P的轨迹与y的负半轴交于A点，直线分别交直线于点H、K，若，求k的取值范围．
22．（2022·广东模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，若不等式恒成立，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】设，
则，所以C不符合题意
，
当时，，，A不符合题意，D不符合题意，
，B对，
故答案为：B.
【分析】由共轭复数的概念、复数的四则运算逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】充分条件；必要条件
【解析】【解答】由题意，解不等式，得，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又，即满足由条件不能推出结论，且结论推出条件，
故答案为：B.
【分析】由得到，即可判断。
3．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题
【解析】【解答】集合表示直线上去掉点所构成的两条射线，
在方程中，令可得，
集合表示过定点且斜率存在的直线，
由得两直线斜率不同，则，解得．
故答案为：C.
【分析】确定集合A，B中元素的含义，即可求解。
4．【答案】A
【知识点】任意角三角函数的定义；诱导公式
【解析】【解答】因为为角终边上一点，所以，
，当时，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】由正切定义得到，再由f(x)的对称轴为x=m得到，即可求解。
5．【答案】A
【知识点】向量的模；向量的加法及其几何意义
【解析】【解答】如图所示，
根据题意可得，所以，
所以，所以.
故答案为：A.
【分析】由，得到，即可得，即可求解。
6．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】4月份日期为1号，2号，3号，，30号，甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，11，…，28，29，乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，11，，29，30，丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9，，28，29，在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29，所以三人在同一天工作的概率为．
故答案为：B.
【分析】列举所有基本事件，由古典概型概率计算公式即可求解。
7．【答案】C
【知识点】球的体积和表面积；球内接多面体；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图所示，
为直角三角形，又，
所以，
因为为正三角形，所以，
连接，为的中点，E为中点，
则，所以为二面角的平面角
所以．
因为为直角三角形，E为中点，
所以点为的外接圆的圆心，
设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．
则O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，
，
所以，，
∴．
所以，
故答案为：C.
【分析】如图，易知，，连接，为的中点，E为中点，可得为二面角的平面角，再结合为直角三角形，E为中点，确定点为的外接圆的圆心，设G为的中心，则G为的外接圆圆心．过E作面的垂线，过G作面的垂线，设两垂线交于O．可知O即为三棱锥的外接球球心．设与交于点H，即可求，，，再由．即可求解。
所以，
8．【答案】C
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题意，双曲线，可得，
设直线和直线的方程分别为和，
则，
因为，所以，即，
设方程为，
联立方程组，整理得，
设，则
所以，
即，
所以，即，解得或．
故答案为：C.
【分析】由题意可得可得，设直线和直线的方程分别为和，则，由，可得，设方程为，联立双曲线方程，设，结合韦达定理可得，进而得到即可求解。
9．【答案】C,D
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】解：设降雨量为，容器内雨水高度为，根据体积相等得，
解得，由，可得．
故答案为：CD
【分析】设降雨量为，容器内雨水高度为，由体积相等可得，即可求解。
10．【答案】A,B,C
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】因为，，，
，，…，，
所以，，
，
累加得，
∴，，
因为，，所以，
故答案为：ABC．
【分析】通过递推公式赋值，可得，，，，，…，，再做差、累加即可判断。
11．【答案】A,B,C
【知识点】对数的运算性质；基本不等式；点到直线的距离公式
【解析】【解答】对于A，，即，其几何意义为圆上的点到直线的距离小于等于2，因为圆的圆心在直线上，且圆的半径为2，所以恒成立，A符合题意；
对于B，，即，当且仅当时取等号，B符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，取，满足，此时，D不符合题意.
故答案为：ABC．
【分析】由点到直线的距离公式即可判断A，由基本不等式可判断B，C，通过特殊值即可判断D.
12．【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【解答】设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，
∴．
又在上恒成立，
所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，故，
∴，解得或，
所以a的值可以为，，
故答案为：AD.
【分析】，求其导函数，易判断其在上单调递增，进而可得再结合在上恒成立，可得在上单调递增，进而由单调性与导数的关系可得恒成立，即可求解。
13．【答案】y=x
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
所以，
所以，
∴切线方程为，即y=x．
故答案为：y=x.
【分析】由导数的四则运算结合导数的几何意义即可求解。
14．【答案】10
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】因为，
所以项为，
所以，，解得或，
又常数项为：，当时，常数项为；
当时，常数项为；
故答案为：10.
【分析】由结合及 项的系数为-10 ，即可得，求出a，进一步可求解。
15．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】由题意，抛物线的焦点，可得，解得，所以，
又由的斜率为，可得，
设，联立方程组 ，整理得，
所以，因为M为中点，所以，
同理得，且，
所以，
令，得，所以，所以．
故答案为：.
【分析】由题意易得抛物线方程，，设，联立抛物线方程结合韦达定理可得，，进而得到直线MN方程，即可求解。
16．【答案】
【知识点】函数的周期性；数列的求和；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】∵，∴，所以函数周期为4，
当时，，即；
当时，，函数周期为4，
令，
即与函数恰有个不同的交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切，
故，
故，
所以．
故答案为：.
【分析】由题意可得函数周期为4，令，问题可转化成即与函数恰有个不同的交点，根据图像如图，可得，求得，由裂项相消求和即可。
17．【答案】（1）证明：若选①②作为条件，③作为证明结论．
由正弦定理得，
所以，
又，
所以，
整理得，
故．
若选①③作为条件，②作为证明结论．
由得，
由正弦定理得，
所以，
所以，
故．
若选②③作为条件，①作为证明结论．
由得，
由正弦定理得，
又，所以，
因为，所以，
由正弦定理得，所以，
又，故．
（2）解：由（1）知，，两边平方得，
由余弦定理得，所以，
所以，
解得或（舍去）．
故的面积．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 （1）若选①②作为条件，③作为证明结论．由正弦定理可得，再结合，整理得．若选①③作为条件，②作为证明结论．由得，再结合正弦定理得到，进而可得．若选②③作为条件，①作为证明结论．由结合正弦定理得，再结合，可得，由正弦定理即可求解；
（2）由平方，再结合余弦定理即可得，求得ac，再由三角形面积公式即可求解。
18．【答案】（1）解：由题意得，
，
，
，
，
…
，
由等比数列的前n项和公式可得，，
所以的通项公式．
（2）解：由于，
所以，
则，
因为，所以，所以，
又随n的增大而减小，
所以当时，取得最大值，故．
【知识点】数列的求和；数列递推式；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）由题意逐项归纳即可得，即可求解；
（2）由（1）可得，累加求和即可得进而可求证。
19．【答案】（1）证明：四棱锥中，平面平面，
∴平面．
由题意可知E，F在平面内，且A，D，E，F四点共面．
∴，∴．
∵E是棱的中点，∴F为中点．
（2）解：如图：以为x轴，连接中点O与中点G，为y轴，并过O作垂直于平面的z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
，设，则．
∴，
．
因为为等边三角形，所以，
所以为二面角的平面角，又二面角的大小为，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，过作垂直于y轴于点H，因为平面，
所以，又，平面，
所以垂直于平面．且，，，，，∴，
∵E，F分别为中点，∴，
设平面的法向量为，则，
所以，取可得，
设与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由题意可知 平面． 进而说明即可求证；
（2）建立如图空间直角坐标系， 设，则． 由二面角大小求得a，再求得 直线的方向向量与平面的法向量，代入夹角公式即可。
20．【答案】（1）解：根据散点图可得随的增大，增长速度越来越快，故判断适合作为人次y关于活动推出天数x的回归方程类型．
（2）解：由（1）知，，两边同时取对数得，令，
则
由题意知，
又，，
所以，
所以，
则y关于x的回归方程为，
当时，，故预测活动推出第8天售楼部到访人次为690．
（3）解：由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4．
，，，，．
所以的分布列为：
0 1 2 3 4
P
所以．
【知识点】线性回归方程；可线性化的回归分析；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由 增长速度越来越快，可判断适合；
（2）由（1）知，，两边同时取对数得，令，得到 ，代入数据求解即可得，从而解决问题；
（3） 由题意可知的取值可能为0，1，2，3，4． 结合古典概型概率计算公式即可取每个值对应概率，即可求解。
21．【答案】（1）解：设动点P的坐标为，因为，
所以，即，整理得．
所以动点P的轨迹方程为椭圆．
（2）解：设，由（1）可得A的坐标为，
故直线，令，则，同理．
直线，由，消去y得，
故，解得或．
又，故，
又
，
∵，
故，即，
综上，或．
所以k的取值范围是．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【分析】（1） 设动点P的坐标为 ，由转换成方程化简即可；
（2） 设，由（1）可得A的坐标为，即可得，进而得到，同理．再由，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得到由已知条件即可求解。
22．【答案】（1）解：∵，
（Ⅰ）当时，在上单调递增，
（Ⅱ）当时，令，则，
令，则，
∴在上单调递增， 上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减
（2）解：∵恒成立，∴恒成立，
即恒成立，
令，其中，
，
∵，∴，
令，即，解得，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
∴当时，函数取得极大值，也是最大值，
且，
∵恒成立，
即恒成立，
即，可得恒成立．
设，∴，可设，则，
∵，∴在上单调递增，
∴当时，函数取得最大值，且，
∴，即的最小值为
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）求出，通过讨论，即可求解；
（2） 由题意可知恒成立，构造函数，求得导函数，再由，得到，通过时，，函数单调递增；时，，函数单调递减．得到最大值，即可得恒成立，问题可转化成恒成立．设构造，求导，易得在上单调递增，即可求解。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
