2013中考数学专题复习讲座（34份打包下载）

2013年中考数学专题复习第二十五讲 与圆有关的计算
【基础知识回顾】
正多边形和圆：
1、各边相等， 也相等的多边形是正多边形
2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的 外接圆的半径叫正多边形的 一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫 用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的 用r表示
3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的 三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的 三角形
【名师提醒：正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】
弧长与扇形面积计算：
Qo的半径为R，弧长为l，圆心角为n2，扇形的面积为s扇，则有如下公式：
L=
S扇= =
【名师提醒：1、以上几个公式都可进行变形，
2、原公式中涉及的角都不带学位
3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择
4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：⑴则图形面积的和与差 ⑵割补法 ⑶等积变形法 ⑷平移法 ⑸旋转法等】
三、圆柱和圆锥：
1、如图：设圆柱的高为l,底面半径为R
则有：⑴S圆柱侧=
⑵S圆柱全=
⑶V圆柱=
2、如图：设圆锥的母线长为l，底面半径为R
高位h，则有：
⑴S圆柱侧= 、
⑵S圆柱全=
⑶V圆柱=
【名师提醒：1、圆柱的高有 条，圆锥的高有 条
2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系
3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的 扇形的弧长是圆锥的
4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n若l=2r，则n= c=3r,则n= c=4r则n= 】
【典型例题解析】
考点一：正多边形和圆
例1 （2012 咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
考点：正多边形和圆 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．
解答：解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG=OA sin60°=2×=，
∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．
故选A．
点评：本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．
对应训练
1．（2012 安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
考点：正多边形和圆 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC= a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．
解答：解：∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，
∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，
∴sin45°===，
∴AC=BC=a，
∴S△ABC=×a×a=，
∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：×4=a2．
正八边形中间是边长为a的正方形，
∴阴影部分的面积为：a2+a2=2a2，
故选：A．
点评：此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．
考点二：圆周长与弧长
例2 （2012 北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）
A．10π B． C． D．π
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：网格型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．
解答：解：如图所示：
在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，
根据勾股定理得：AC==，
又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，
则顶点A所经过的路径长为l=π．
故选C
点评：此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．
对应训练
3.（2012 广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为 ）π
（结果用含有π的式子表示）
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．
解答：解：∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；
∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，
∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．
故答案为：（4+）π．
点评：本题考查了弧长公式：l= （其中n为圆心角的度数，R为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．
考点三：扇形面积与阴影部分面积
例3 （2012 毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作 ．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　）
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，π取3.14）
A．0.64 B．1.64 C．1.68 D．0.36
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，得到△ECF为等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面积，S△ECF-S弓形EGF即可得到阴影部分面积．
解答：解：∵AE=AF，AB=AD，
∴△ABE≌△ADF（Hl），
∴BE=DF，
∴EC=CF，
又∵∠C=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EC=EFcos45°=2×=，
∴S△ECF=××=1，
又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=，
又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-，
∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64．
故选A．
点评：本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S△ECF-S弓形EGF是解题的关键．
对应训练
3.（2012 内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）
A．4π B．2π C．π D．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
解答：解：连接OD．
∵CD⊥AB，
∴CE=DE=CD=（垂径定理），
故S△OCE=S△CDE，
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°（圆周角定理），
∴OC=2，
故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．
故选D．
点评：此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．
考点四：圆柱、圆锥的侧面展开图
例4 （2012 永州）如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为 1
．
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．
解答：解：∵∠A=45°，
∴∠BOC=90°
∴扇形BOC的弧长为=2π，
设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π
解得r=1，
故答案为1．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元素之间的转化．
对应训练
7．（2012 襄阳）如图，从一个直径为4 dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为 1
dm．
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：圆的半径为2 ，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．
解答：解：作OD⊥AC于点D，连接OA，
∴∠OAD=30°，AC=2AD，
∴AC=2OA×cos30°=6
∴=2π
∴圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1．
故答案为：1．
点评：考查圆锥的计算；用的知识点为：圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；难点是得到扇形的半径．
【聚焦山东中考】
1．（2012 日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则 的长为（　　）
A．π B． C．7π D．6π
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：网格型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据图示知∠BAB′=45°，所以根据弧长公式l= 求得的长．
解答：解：根据图示知，∠BAB′=45°，
∴的长为：=π．
故选A．
点评：本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．
2.（2012 临沂）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　　）
A．1 B． C． D．2
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而和弦BE围成的部分的面积= 和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．
解答：解：连接AE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．
故选C．
点评：本题考查了等边三角形的面积的计算，证明△EDC是等边三角形，边长是4．理解和弦BE围成的部分的面积= 和弦DE围成的部分的面积是关键．
3．（2012 德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成．已知正三角形的边长为1，则凸轮的周长等于 π
．
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由“凸轮”的外围是以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，得到∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，然后根据弧长公式计算出三段弧长，三段弧长之和即为凸轮的周长．
解答：
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=1，
∴====，
根据题意可知凸轮的周长为三个弧长的和，
即凸轮的周长=++=3×=π．
故答案为：π.
点评：此题考查了弧长的计算以及等边三角形的性质，熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
4.（2012 烟台）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．将△ABC绕顶点A顺时针方向旋转至△AB′C′的位置，B，A，C′三点共线，则线段BC扫过的区域面积为 ．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2求出BC及AC的长，再根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴BC=AB=×2=1，AC=2×=，
∴∠BAB′=150°，
∴S阴影=AB扫过的扇形面积-AC扫过的扇形面积=-=．
故答案为：．
点评：本题考查的是扇形的面积公式，根据题意得出S阴影=AB扫过的扇形面积-BC扫过的扇形面积是解答此题的关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1.（2012 湛江）一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，则这个扇形的半径为（　　）
A．6cm B．12cm C．2cm D．6cm
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由已知的扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，代入弧长公式即可求出半径R．
解答：解：由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm，
即n=60°，l=2π，
根据弧长公式l=，得2π=，
即R=6cm．
故选A．
点评：此题考查了弧长的计算，解题的关键是熟练掌握弧长公式，理解弧长公式中各个量所代表的意义．
2.（2012 漳州）如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是（　　）
A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，则圆心移动的距离等于圆的周长，然后利用圆的周长公式计算即可．
解答：解：∵一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，
∴圆心移动的距离等于圆的周长，即2π×=4π．
故选B．
点评：本题考查了圆的周长公式：圆的周长=2πR（R为圆的半径）．
3.（2012 珠海）如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么此扇形的圆心角的大小为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．90°
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据弧长公式l=，即可求解．
解答：解：设圆心角是n度，根据题意得
=，
解得：n=60．
故选C．
点评：本题考查了扇形的弧长公式，是一个基础题．
4．（2012 鄂州）如图，四边形OABC为菱形，点A，B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为（　　）
A． B． C．2π D．3π
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OB，根据等边三角形的性质可以求得∠AOC=120°，再结合∠1=∠2，即可求得扇形所在的圆心角的度数，从而根据扇形的面积公式进行求解．
解答：解：连接OB，
∵OA=OB=OC=AB=BC，
∴∠AOB+∠BOC=120°．
又∵∠1=∠2，
∴∠DOE=120°．
∴扇形ODE的面积为==3π．
故选D．
点评：本题考查扇形面积的计算，同时综合运用了菱形和等边三角形的性质．要求掌握扇形的面积公式：（1）利用圆心角和半径：S=；（2）利用弧长和半径：S= lr，并学会针对不同的题型选择合适的方法．
5．（2012 黑河）如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．4-π B．4-2π C．8+π D．8-2π
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据圆周角定理可以求得∠A的度数，即可求得扇形EAF的面积，根据阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积即可求解．
解答：解：△ABC的面积是：
BC AD=×4×2=4，
∠A=2∠EPF=90°．
则扇形EAF的面积是：=π．
故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=4-π．
故选A．
点评：本题主要考查了扇形面积的计算，正确求得扇形的圆心角是解题的关键．
6．（2012 黄石）如图所示，扇形AOB的圆心角为120°，半径为2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：过点O作OD⊥AB，先根据等腰三角形的性质得出∠OAD的度数，由直角三角形的性质得出OD的长，再根据S阴影=S扇形OAB-S△AOB进行计算即可．
解答：解：过点O作OD⊥AB，
∵∠AOB=120°，OA=2，
∴∠OAD==30°，
∴OD=OA=×2=1，AD==，
∴AB=2AD=2，
∴S阴影=S扇形OAB-S△AOB=-×2×1=．
故选A．
点评：本题考查的是扇形面积的计算及三角形的面积，根据题意得出S阴影=S扇形OAB-S△AOB是解答此题的关键．
7. （2012 娄底）如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．4π B．3π C．2π D．π
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由AB⊥CD，CD⊥MN可知阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的，再根据圆的面积公式进行解答即可．
解答：解：∵AB⊥CD，CD⊥MN，
∴阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的，
∵正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，
∴S阴影=π×（）2=π．
故选D．
点评：本题考查的是扇形的面积及轴对称的性质，根据题意得出阴影部分的面积恰好为正方形MNEF外接圆面积的是解答此题的关键．
8．（2012 连云港）用半径为2cm的半圆围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（　　）
A．1cm B．2cm C．πcm D．2πcm
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长=2π，底面半径=2π÷2π得出即可．
解答：解：由题意知：底面周长=2πcm，底面半径=2π÷2π=1cm．
故选A．
点评：此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．
9．（2012 南充）若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据圆锥的侧面积是底面积的2倍可得到圆锥底面半径和母线长的关系，利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可得到该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角度数．
解答：解：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选：B．
点评：本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，以及利用扇形面积公式求出是解题的关键．
10． （2012 宁波）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是（　　）
A．b= a B．b=a C．b=a D．b= a
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先利用圆锥形圣诞帽的底面周长等于侧面的弧长求得小圆的半径，然后利用两圆外切的性质求得a、b之间的关系即可．
解答：解：∵半圆的直径为a，
∴半圆的弧长为
∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，
∴设小圆的半径为r，则：2πr=
解得：r=
如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点，
则：AC2+AB2=BC2
即：（）2+（）2=（）2
整理得：b=a
故选D．
点评：本题考查了圆锥的计算，解题的关键是利用两圆相外切的性质得到两圆的圆心距，从而利用勾股定理得到a、b之间的关系．
11．（2012 宁夏）一个几何体的三视图如图所示，网格中小正方形的边长均为1，那么下列选项中最接近这个几何体的侧面积的是（　　）
A．24.0 B．62.8 C．74.2 D．113.0
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由题意可知，几何体是圆锥，根据公式直接求解即可．
解答：解：几何体为圆锥，母线长为5，底面半径为4，
则侧面积为πrl=π×4×5=20π≈62.8，
故选B．
点评：本题考查三视图求侧面积问题，考查空间想象能力，是基础题．首先判定该立体图形是圆锥是解决此题的关键．
12．（2012 龙岩）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，把矩形ABCD绕AB所在直线旋转一周所得圆柱的侧面积为（　　）
A．10π B．4π C．2π D．2
考点：圆柱的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；点、线、面、体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据圆柱的侧面积=底面周长×高即可计算圆柱的侧面积．
解答：解：圆柱的侧面面积=π×2×2×1=4π．
故选B．
点评：本题主要考查了圆柱侧面积的计算公式．侧面展开图形的一边长为半径为2的圆的周长．
二、填空题
13．（2012 巴中）已知一个圆的半径为5cm，则它的内接六边形的边长为 5cm
．
考点：正多边形和圆 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出图形，六边形ABCDEF是正六边形，易得△OAB是等边三角形，又由圆的半径为5cm，即可求得它的内接六边形的边长．
解答：解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=×360°=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=5cm，
即它的内接六边形的边长为：5cm．
故答案为：5cm．
点评：此题考查了正多边形与圆的性质．此题难度不大，注意根据题意得到△OAB是等边三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．
14．（2012 天津）若一个正六边形的周长为24，则该六边形的面积为 ．
考点：正多边形和圆 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为24，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该六边形的面积．
解答：解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M，
∴∠AOB=×360°=60°，
∵OA=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∵正六边形ABCDEF的周长为24，
∴BC=24÷6=4，
∴OB=BC=4，
∴BM=BC=2，
∴OM==2，
∴S△OBC=×BC×OM=×4×2=4，
∴该六边形的面积为：4×6=24．
故答案为：24．
点评：此题考查了圆的内接六边形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2012 长沙）在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 π
cm．
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：知道半径，圆心角，直接代入弧长公式L=即可求得扇形的弧长．
解答：解：扇形的弧长L==πcm．
故答案为：πcm．
点评：考查了弧长的计算，要掌握弧长公式：L= 才能准确的解题．
16．（2012 衡阳）如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO，若∠A=30°，则劣弧 的长为 2π
cm．
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据切线的性质可得出OB⊥AB，继而求出∠BOA的度数，利用弦BC∥AO，及OB=OC可得出∠BOC的度数，代入弧长公式即可得出答案．
解答：解：∵直线AB是⊙O的切线，
∴OB⊥AB，
又∵∠A=30°，
∴∠BOA=60°，
∵弦BC∥AO，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
即可得∠BOC=60°，
∴劣弧的长==2πcm．
故答案为：2π．
点评：此题考查了弧长的计算公式、切线的性质，根据切线的性质及圆的性质得出△OBC是等边三角形是解答本题的关键，另外要熟练记忆弧长的计算公式．
17. （2012 莆田）若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 6
．
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．
解答：解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l=，即2π=，
则扇形的半径r=6．
故答案为：6
点评：此题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为l= （n为扇形的圆心角度数，R为扇形的半径），熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
18. （2012 苏州）已知扇形的圆心角为45°，弧长等于，则该扇形的半径为 2
．
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据弧长公式l= 可以求得该扇形的半径的长度．
解答：解：根据弧长的公式l=，知
r===2，即该扇形的半径为2．
故答案是：2．
点评：本题考查了弧长的计算．解题时，主要是根据弧长公式列出关于半径r的方程，通过解方程即可求得r的值．
19. （2012 厦门）如图，已知∠ABC=90°，AB=πr，BC= ，半径为r的⊙O从点A出发，沿A→B→C方向滚动到点C时停止．请你根据题意，在图上画出圆心O运动路径的示意图；圆心O运动的路程是 2πr
．
考点：弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：作图题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据题意画出图形，将运动路径分为三部分：OO1， ，O2O3，分别计算出各部分的长再相加即可．
解答：解：圆心O运动路径如图：
∵OO1=AB=πr；
=；
O2O3=BC=；
∴圆心O运动的路程是πr++=2πr．
故答案为2πr．
点评：本题考查了弧长的计算，找到运动轨迹，将运动轨迹划分为三部分进行计算是解题的关键．
20. （2012 常州）已知扇形的半径为3cm，圆心角为120°，则此扇形的弧长为 2π
cm，扇形的面积是 3π
cm2．（结果保留π）
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别根据弧长公式和扇形的面积公式进行计算即可．
解答：解：由题意得，扇形的半径为3cm，圆心角为120°，
故此扇形的弧长为：=2π，扇形的面积==3π．
故答案为：2π，3π．
点评：此题考查了扇形的面积计算及弧长的计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握弧长及扇形的面积计算公式，难度一般．
21.（2012 广东）如图，在 ABCD中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 π
（结果保留π）．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：过D点作DF⊥AB于点F．可求 ABCD和△BCE的高，观察图形可知阴影部分的面积= ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积，计算即可求解．
解答：解：过D点作DF⊥AB于点F．
∵AD=2，AB=4，∠A=30°，
∴DF=AD sin30°=1，EB=AB-AE=2，
∴阴影部分的面积：
4×1--2×1÷2
=4-π-1
=3-π．
故答案为：3-π．
点评：考查了平行四边形的性质，扇形面积的计算，本题的关键是理解阴影部分的面积= ABCD的面积-扇形ADE的面积-△BCE的面积．
22. （2012 贵港）如图，在△ABC中，∠A=50°，BC=6，以BC为直径的半圆O与AB、AC分别交于点D、E，则图中阴影部分面积之和等于 π．
（结果保留π）．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形内角和定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=180°-∠A=130°，利用半径相等得到OB=OD，OC=OE，则∠B=∠ODB，∠C=∠OEC，再根据三角形内角和定理得到∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C，
则∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°，图中阴影部分由两个扇形组成，它们的圆心角的和为100°，半径为3，然后根据扇形的面积公式计算即可．
解答：解：∵∠A=50°，
∴∠B+∠C=180°-∠A=130°，
而OB=OD，OC=OE，
∴∠B=∠ODB，∠C=∠OEC，
∴∠BOD=180°-2∠B，∠COE=180°-2∠C，
∴∠BOD+∠COE=360°-2（∠B+∠C）=360°-2×130°=100°，
而OB=BC=3，
∴S阴影部分==π．
故答案为π．
点评：本题考查了扇形面积的计算：扇形的面积= （n为圆心角的度数，R为半径）．也考查了三角形内角和定理．
23.（2012 凉山州）如图，小正方形构成的网络中，半径为1的⊙O在格点上，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为 （结果保留π）．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据直角三角形的性质求出∠ABC+∠BAC的值，再根据扇形的面积公式进行解答即可．
解答：解：∵△ABC是直角三角形，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵两个阴影部分扇形的半径均为1，
∴S阴影==．
故答案为：．
点评：本题考查的是扇形的面积及直角三角形的性质，熟知扇形的面积公式是解答此题的关键．
24．（2012 攀枝花）底面半径为1，高为 的圆锥的侧面积等于 2π
．
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于高线，底面的半径，母线正好组成直角三角形，故母线长可由勾股定理求得，再由圆锥侧面积= 底面周长×母线长计算．
解答：解：∵高线长为，底面的半径是1，
∴由勾股定理知：母线长==2，
∴圆锥侧面积=底面周长×母线长=×2π×2=2π．
故答案为：2π．
点评：本题考查圆锥的侧面积表达公式应用，需注意应先算出母线长．
25．（2012 黔西南州）已知圆锥的底面半径为10cm，它的展开图的扇形的半径为30cm，则这个扇形圆心角的度数是 120°
．
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先计算出圆锥的底面圆的周长=2π 10=20π，再根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长得到弧长为20π，半径为30，然后利用弧长公式得到方程，解方程即可．
解答：解：∵底面半径为10cm，
∴圆锥的底面圆的周长=2π 10=20π，
∴20π=，
∴α=120°．
故答案为120°．
点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长．
26．（2012 宿迁）如图，SO，SA分别是圆锥的高和母线，若SA=12cm，∠ASO=30°，则这个圆锥的侧面积是 72π
cm2．
考点：圆锥的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据SA=12cm，∠ASO=30°求得圆锥的底面半径OA，然后利用圆锥的侧面积的计算公式进行计算即可．
解答：解：∵SA=12cm，∠ASO=30°，
∴AO=SA=6cm
∴圆锥的底面周长=2πr=2×6π=12π，
∴侧面面积=×12π×12=72πcm2．
故答案为72π．
点评：本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
27．（2012 孝感）把如图所示的长方体材料切割成一个体积最大的圆柱，则这个圆柱的体积为 3000π
cm3（结果不作近似计算）．
考点：圆柱的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求得其底面内切圆的半径，然后计算其面积，利用底面积乘以高等于体积计算体积即可．
解答：解：∵底面是边长为20cm的圆，
∴其内切圆的半径为10cm，
∴其底面积为100πcm2，
∴其体积为100π×30=3000π（cm3）．
故答案为3000π．
点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是知道如何切割成一个体积最大的圆柱．
三、解答题
28.（2012 岳阳）如图所示，在⊙O中， ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
考点：扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆心角、弧、弦的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；
（2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积-△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
解答：（1）证明：∵，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴=，即AC2=AB AF；
（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE==cm，
∴AC=2AE=2cm，
则S阴影=S扇形OAC-S△AOC=-×2×1=（-）cm2．
点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．2013年中考数学专题复习第三讲：整式
【基础知识回顾】
一、整式的有关概念：
：由数与字母的积组成的代数式
1、整式：
多项式： 。
单项式中的 叫做单项式的系数，所有字母的 叫做单项式的次数。
组成多项式的每一个单项式叫做多项式的 ，多项式的每一项都要带着前面的符号。
2、同类项：
①定义：所含 相同，并且相同字母的 也相同的项叫做同类项，常数项都是同类项。
②合并同类项法则：把同类项的 相加，所得的和作为合并后的， 不变。
【名师提醒：1、单独的一个数字或字母都是 式。2、判断同类项要抓住两个相同：一是 相同，二是 相同，与系数的大小和字母的顺序无关。】
二、整式的运算：
1、整式的加减：①去括号法则：a+(b+c)=a+ ,a-(b+c)=a- .
②添括号法则：a+b+c= a+( )，a-b-c= a-( )
③整式加减的步骤是先 ，再 。
【名师提醒：在整式的加减过程中有括号时一般要先去括号，特别强调：括号前是负号去括号时括号内每一项都要 。】
2、整式的乘法：
①单项式乘以单项式：把它们的系数、相同字母分别 ，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的 作为积的一个因式。
②单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 ，即m(a+b+c)= 。
③多项式乘以多项式：先用第一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积 ，即（m+n）(a+b)= 。
④乘法公式：Ⅰ、平方差公式：（a＋b）（a—b）＝ ，
Ⅱ、完全平方公式：（a±b）2 = 。
【名师提醒：1、在多项式的乘法中有三点注意：一是避免漏乘项，二是要避免符号的错误，三是展开式中有同类项的一定要 。2、两个乘法公式在代数中有着非常广泛的应用，要注意各自的形式特点，灵活进行运用。】
3、整式的除法：
①单项式除以单项式，把 、 分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
②多项式除以单项式，先用这个多项式的每一项 这个单项式，再把所得的商 。即（am+bm）÷m= 。
三、幂的运算性质：
1、同底数幂的乘法： 不变 相加，即：a m a n＝ （a＞0，m、n为整数）
2、幂的乘方： 不变 相乘，即：(a m) n ＝ （a＞0，m、n为整数）
3、积的乘方：等于积中每一个因式分别乘方，再把所得的幂 。
即：(ab) n ＝ （a＞0，b＞0，n为整数）。
4、同底数幂的除法: 不变 相减，即：a m÷a n＝ （a＞0，m、n为整数）
【名师提醒：运用幂的性质进行运算一是要注意不要出现符号错误，(-a)n = （n为奇数），(-a)n = （n为偶数），二是应知道所有的性质都可以逆用，如:已知3m=4,2n=3,则9m8n= 。】
【重点考点例析】
考点一：代数式的相关概念。
例1 （2012 珠海）计算-2a2+a2的结果为（　　）
A．-3a B．-a C．-3a2 D．-a2
考点：合并同类项．专题：推理填空题．分析：根据合并同类项法则（把同类项的系数相加作为结果的系数，字母和字母的指数不变）相加即可得出答案．解答：解：-2a2+a2
=-a2，
故选D．点评：本题考查了合并同类项法则的应用，注意：系数是-2+1=-1，题目比较好，难度也不大，但是一道比较容易出错的题目．
对应训练
1．（2012 莆田）如果单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，那么ab= ．
考点：同类项．专题：计算题．分析：根据同类项的定义可知，相同字母的次数相同，据此列出方程即可求出a、b的值．解答：解：∵单项式xa+1y3与2x3yb是同类项，
∴ a+1=3 b=3 ，
解得 a=2 b=3 ，
则ab=23=8．
故答案为：8．点评：本题考查了同类项的定义，要注意定义中的两个“相同”：
（1）所含字母相同；
（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．解题时注意运用二元一次方程组求字母的值．
2．（2012 桂林）计算2xy2+3xy2的结果是（　　）
A．5xy2 B．xy2 C．2x2y4 D．x2y4
考点：合并同类项．专题：计算题．分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，进行运算即可．解答：解：2xy2+3xy2=5xy2．
故选A．点评：此题考查了合并同类项的知识，属于基础题，注意掌握合并同类项的法则是关键．
考点二：整式的运算。
例2 （2012 宿迁）求代数式（a+2b）（a-2b）+（a+2b）2-4ab的值，其中a=1，b=．
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先用平方差公式、完全平方公式去括号，再合并同类项，然后把a、b的值代入计算即可．
解答：解：原式=a2-4b2+a2+4ab+4b2-4ab=2a2，
当a=1，b=时，
原式=2×12=2．
点评：本题考查了整式的化简求值，解题的关键是去括号、合并同类项，并且注意公式的使用．
对应训练
2．（2012 贵阳）先化简，再求值：2b2+（a+b）（a-b）-（a-b）2，其中a=-3，b=．
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a=-3，b=代入进行计算即可．
解答：解：原式=2b2+a2-b2-（a2+b2-2ab）
=2b2+a2-b2-a2-b2+2ab
=2ab，
当a=-3，b=时，原式=2×（-3）×=-3．
点评：本题考查的是整式的化简求出，熟知整式混合运算的法则是解答此题的关键．
考点三：幂的运算。
例3 （2012 南平）下列计算正确的是（　　）
A．a3+a2=a5 B．a5÷a4=a C．a a4=a4 D．（ab2）3=ab6
考点：同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用幂的有关运算性质及合并同类项的法则进行计算后即可求得正确的答案．
解答：解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，故选项错误；
B、a5÷a4=a5-4=a，故选项正确；
C、a a4=a4+1=a5，故选项错误；
D、（ab2）3=a3b6，故选项错误．
故选B．
点评：本题考查了幂的有关运算性质及合并同类项的法则，属于基本运算，应重点掌握．
对应训练
3．（2012 衢州）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+a2=3a4 B．a6÷a2=a3 C．a6 a2=a12 D．（-a6）2=a12
考点：同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别根据同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一计算即可．
解答：解：A、2a2+a2=3a2，故本选项错误；
B、a6÷a2=a4，故本选项错误；
C、a6 a2=a8，故本选项错误；
D、符合幂的乘方与积的乘方法则，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查的是同底数幂的乘法及除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解答此题的关键．
考点四：完全平方公式与平方差公式
例4 （2012 衡阳）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a=5a2 B．（2a）3=6a3
C．（x+1）2=x2+1 D．x2-4=（x+2）（x-2）
考点：完全平方公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平方差公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据合并同类项、幂的乘方及完全平方公式的知识，分别运算各选项，从而可得出答案．
解答：解：A、3a+2a=5a，故本选项错误；
B、（2a）3=8a3，故本选项错误；
C、（x+1）2=x2+2x+1，故本选项错误；
D、x2-4=（x+2）（x-2），故本选项正确；
故选D．
点评：此题考查了完全平方公式、合并同类项及平方差公式，涉及的知识点较多，难度一般，注意掌握各个运算的法则是关键．
例5 （2012 遵义）如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a-1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）
A．2cm2 B．2acm2 C．4acm2 D．（a2-1）cm2
考点：完全平方公式的几何背景 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平方差公式的几何背景 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据题意得出矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，求出即可．
解答：解：矩形的面积是（a+1）2-（a-1）2，
=a2+2a+1-（a2-2a+1），
=4a（cm2），
故选C．
点评：本题考查了完全平方公式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和计算能力，题型较好，难度不大．
对应训练
4．（2012 哈尔滨）下列运算中，正确的是（　　）
A．a3 a4=a12 B．（a3）4=a12
C．a+a4=a5 D．（a+b）（a-b）=a2+b2
考点：平方差公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式对各选项进行逐一解答即可．
解答：解：A、a3 a4=a7，故本选项错误；
B、（a3）4=a12，故本选项正确；
C、a与a4不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（a+b）（a-b）=a2-b2，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查的是同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则、合并同类项及平方差公式，熟知以上知识是解答此题的关键．
5．
10．（2012 绵阳）图（1）是一个长为2m，宽为2n（m＞n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（　　）
A．2mn B．（m+n）2 C．（m-n）2 D．m2-n2
考点：完全平方公式的几何背景 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积-矩形的面积即可得出答案．
解答：解：由题意可得，正方形的边长为（m+n），
故正方形的面积为（m+n）2，
又∵原矩形的面积为4mn，
∴中间空的部分的面积=（m+n）2-4mn=（m-n）2．
故选C．
点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键，难度一般．
考点四：规律探索。
例6 （2012 株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为 ．
考点：单项式．专题：规律型．
分析：通过观察题意可得：n为奇数时，单项式为正数．x的指数为n时，2的指数为（n-1）．由此可解出本题．
解答：解：依题意得：（1）n为奇数，单项式为：2n-1xn；
（2）n为偶数时，单项式为：-2n-1xn．
综合（1）、（2），本数列的通式为：（-2）n-1 xn．
故答案为：（-2）n-1xn．
点评：本题考查了单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．分别找出单项式的系数和次数的规律也是解决此类问题的关键．
对应训练
6．（2012 盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，…，依次类推，则a2012的值为（　　）
A．-1005 B．-1006 C．-1007 D．-2012
考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于，n是偶数时，结果等于，然后把n的值代入进行计算即可得解．
解答：解：a1=0，
a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，
a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，
a5=-|a4+3|=-|-2+4|=-2，
…，
所以，n是奇数时，an= ，n是偶数时，an=，
a2012= =-1006．
故选B．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012 济宁）下列运算正确的是（　　）
A．-2（3x-1）=-6x-1 B．-2（3x-1）=-6x+1
C．-2（3x-1）=-6x-2 D．-2（3x-1）=-6x+2
考点：去括号与添括号．分析：利用去括号法则，将原式去括号，进而判断即可得出答案即可．解答：解：A．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-1错误，故此选项错误；
B．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x+1错误，故此选项错误；
C．∵-2（3x-1）=-6x+2，∴-2（3x-1）=-6x-2错误，故此选项错误；
D．-2（3x-1）=-6x+2，故此选项正确；
故选：D．点评：此题主要考查了去括号法则，利用去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反得出是解题关键．
2．（2012 济南）化简5（2x-3）+4（3-2x）结果为（　　）
A．2x-3 B．2x+9 C．8x-3 D．18x-3
考点：整式的加减 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解．
解答：解：原式=10x-15+12-8x
=2x-3．
故选A．
点评：本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．
3．（2012 威海）下列运算正确的是（　　）
A．a3 a2=a6 B．a5+a5=a10 C．a÷a-2=a3 D．（-3a）2=-9a2
考点：同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；负整数指数幂 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、a3 a2=a5，故本选项错误；
B、a5+a5=2a5，故本选项错误；
C、a÷a-2=a1-（-2）=a3，故本选项正确；
D、（-3a）2=9a2，故本选项错误．
故选C．
点评：此题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的运算法则、同底数幂的除法以及积的乘方的知识．此题比较简单，注意掌握是指数的变化是解此题的关键．
4．（2012 聊城）下列计算正确的是（　　）
A．x2+x3=x5 B．x2 x3=x6 C．（x2）3=x5 D．x5÷x3=x2
考点：同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，分别进行计算，即可选出答案．
解答：解：A、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项错误；
B、x2 x3=x2+3=x5，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、x5÷x3=x2，故此选项正确；
故选：D．
点评：此题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
5．（2012 临沂）下列计算正确的是（　　）
A．2a2+4a2=6a4 B．（a+1）2=a2+1
C．（a2）3=a5 D．x7÷x5=x2
考点：完全平方公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．
解答：解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；
B、（a+1）2=a2+2a+1，所以B选项不正确；
C、（a2）5=a10，所以C选项不正确；
D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2a+b2．也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．
6．（2012 东营）若3x=4，9y=7，则3x-2y的值为（　　）
A． B． C．-3 D．
考点：同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由3x=4，9y=7与3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．
解答：解：∵3x=4，9y=7，
∴3x-2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=．
故选A．
点评：此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x-2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．
7．（2012 滨州）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S-S=22013-1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）
A．52012-1 B．52013-1 C． D．
考点：同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：整体思想 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据题目提供的信息，设S=1+5+52+53+…+52012，用5S-S整理即可得解．
解答：解：设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，
因此，5S-S=52013-1，
S=．
故选C．
点评：本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用．
8．（2012 德州）化简：6a6÷3a3= 2a3
．
考点：整式的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以相同字母作为结果的一个因式即可．
解答：解：6a6÷3a3
=（6÷3）（a6÷a3）
=2a3．
故答案为：2a3．
点评：本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．
9．（2012 滨州）根据你学习的数学知识，写出一个运算结果为a6的算式 a4 a2=a6（答案不唯一）
．
考点：幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：开放型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加即可求．注意答案不唯一．
解答：解：a4 a2=a6．
故答案是a4 a2=a6（答案不唯一）．
点评：本题考查了同底数幂的乘方，解题的关键是注意掌握同底数幂的运算法则．
10．（2012 济宁）某种苹果的售价是每千克x元，用面值为100元的人民币购买了5千克，应找回 元．
考点：列代数式．分析：单价×重量=应付的钱；剩余的钱即为应找回的钱．解答：解：根据题意，5千克苹果售价为5x元，所以应找回 （100-5x）元．
故答案为 （100-5x）．点评：此题考查列代数式，属基础题，简单．
12．（2012 菏泽）一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和．例如：23，33和43分别可以按如图所示的方式“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23=3+5；33=7+9+11；43=13+15+17+19；…；若63也按照此规律来进行“分裂”，
则63“分裂”出的奇数中，最大的奇数是 ．
考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：首先发现奇数的个数与前面的底数相同，再得出每一组分裂中的第一个数是底数×（底数-1）+1，问题得以解决．解答：解：解：由23=3+5，分裂中的第一个数是：3=2×1+1，
33=7+9+11，分裂中的第一个数是：7=3×2+1，
43=13+15+17+19，分裂中的第一个数是：13=4×3+1，
53=21+23+25+27+29，分裂中的第一个数是：21=5×4+1，
63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一个数是：31=6×5+1，
所以63“分裂”出的奇数中最大的是6×5+1+2×（6-1）=41．
故答案为：41．点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂的第一个数的变化规律是解题的关键，也是求解的突破口．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 南昌）在下列表述中，不能表示代数式“4a”的意义的是（　　）
A．4的a倍 B．a的4倍 C．4个a相加 D．4个a相乘
考点：代数式．分析：说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．解答：解：A、4的a倍用代数式表示4a，故本选项正确；
B、a的4倍用代数式表示4a，故本选项正确；
C、4个a相加用代数式表示a+a+a+a=4a，故本选项正确；
D、4个a相乘用代数式表示a a a a=a4，故本选项错误；
故选D．点评：本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．
2．（2012 宜昌）根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，教育经费投入应占当年GDP的4%．若设2012年GDP的总值为n亿元，则2012年教育经费投入可表示为（　　）亿元．
A．4%n B．（1+4%）n C．（1-4%）n D．4%+n
考点：列代数式．分析：根据2012年GDP的总值为n亿元，教育经费投入应占当年GDP的4%，即可得出2012年教育经费投入．解答：解：因为2012年GDP的总值为n亿元，
教育经费投入应占当年GDP的4%，
所以2012年教育经费投入可表示为4%n亿元．
故选A．点评：此题主要考查了列代数式，解此题的关键是根据已知条件找出数量关系，列出代数式．
3．（2012 安徽）某企业今年3月份产值为a万元，4月份比3月份减少了10%，5月份比4月份增加了15%，则5月份的产值是（　　）
A．（a-10%）（a+15%）万元 B．a（1-10%）（1+15%）万元
C．（a-10%+15%）万元 D．a（1-10%+15%）万元
考点：列代数式．分析：根据3月份的产值是a万元，用a把4月份的产值表示出来（1-10%）a，进而得出5月份产值列出式子（1-10%）a×（1+15%）万元，即可得出选项．解答：解：3月份的产值是a万元，
则：4月份的产值是（1-10%）a万元，
5月份的产值是（1+15%）（1-10%）a万元，
故选：B．点评：此题主要考查了列代数式，解此题的关键是能用a把4、5月份的产值表示出来．
4．（2012 凉山州）若x是2的相反数，|y|=3，则x-y的值是（　　）
A．-5 B．1 C．-1或5 D．1或-5
考点：代数式求值；相反数；绝对值．分析：根据相反数和绝对值的意义可求x和y的值，再代入计算．解答：解：根据题意，得
x=-2，y=±3．
当 x=-2，y=3 时，x-y=-2-3=-5；
当 x=-2，y=-3 时，x-y=-2-（-3）=1．
故选D．点评：此题考查求代数式的值，关键在根据相反数和绝对值的意义求x和y的值．
5．（2012 广州）下面的计算正确的是（　　）
A．6a-5a=1 B．a+2a2=3a3 C．-（a-b）=-a+b D．2（a+b）=2a+b
考点：去括号与添括号；合并同类项．分析：根据合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进行计算，即可选出答案．
解答：解：A、6a-5a=a，故此选项错误；
B、a与2a2不是同类项，不能合并，故此选项错误；
C、-（a-b）=-a+b，故此选项正确；
D、2（a+b）=2a+2b，故此选项错误；
故选：C．点评：此题主要考查了合并同类项，去括号，关键是注意去括号时注意符号的变化，注意乘法分配律的应用，不要漏乘．
6．（2012 河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a-b）等于（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
考点：整式的加减 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：设重叠部分面积为c，（a-b）可理解为（a+c）-（b+c），即两个正方形面积的差．
解答：解：设重叠部分面积为c，
a-b=（a+c）-（b+c）=16-9=7，
故选A．
点评：本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．
7．（2012 湛江）下列运算中，正确的是（　　）
A．3a2-a2=2 B．（a2）3=a5 C．a3 a6=a9 D．（2a2）2=2a4
考点：幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析判断后即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、3a2-a2=2a2，故本选项错误；
B、（a2）3=a6，故本选项错误；
C、a3 a6=a9，故本选项正确；
D、（2a2）2=4a4，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的知识．注意理清指数的变化是解题的关键．
9．（2012 鄂州）下列运算正确的是（　　）
A．x3+x2=2x6 B．3x3÷x=2x2 C．x4 x2=x8 D．（x3）2=x6
考点：整式的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据同类项的定义判断x3和x2不是同类项，不能合并；根据单项式除以单项式法则求出后即可判断B；根据同底数的幂的乘法求出即可判断C；根据幂的乘方求出后即可判断D．
解答：解：A、x3+x2=x3+x2，故本选项错误；
B、3x3÷x=3x2，故本选项错误；
C、x4 x2=x6，故本选项错误；
D、（x3）2=x6，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查了同类项的定义，单项式除以单项式法则，同底数的幂的乘法，幂的乘方等知识点，主要考查学生的计算能力和辨析能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．
10．（2012 苏州）若3×9m×27m=311，则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先逆用幂的乘方的性质转化为以3为底数的幂相乘，再利用同底数幂的乘法的性质计算后根据指数相等列出方程求解即可．
解答：解：3 9m 27m=3 32m 33m=31+2m+3m=311，
∴1+2m+3m=11，
解得m=2．
故选A．
点评：本题考查了幂的乘方的性质的逆用，同底数幂的乘法，转化为同底数幂的乘法，理清指数的变化是解题的关键．
11．（2012 镇江）下列运算正确的是（　　）
A．x2 x4=x8 B．3x+2y=6xy C．（-x3）2=x6 D．y3÷y3=y
考点：同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别根据同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则对各选项进行逐一计算即可．
解答：解：A、x2 x4=x6，故本选项错误；
B、3x与2y不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、（-x3）2=x6，故本选项正确；
D、y3÷y3=1，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查的是同底数幂的乘法与除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则等知识，熟知以上知识是解答此题的关键．
12．（2012 柳州）如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　）
A．（x+a）（x+a） B．x2+a2+2ax C．（x-a）（x-a） D．（x+a）a+（x+a）x
考点：整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据正方形的面积公式，以及分割法，可求正方形的面积，进而可排除错误的表达式．
解答：解：根据图可知，
S正方形=（x+a）2=x2+2ax+a2，
故选C．
点评：本题考查了整式的混合运算、正方形面积，解题的关键是注意完全平方公式的掌握．
13．（2012 杭州）下列计算正确的是（　　）
A．（-p2q）3=-p5q3 B．（12a2b3c）÷（6ab2）=2ab
C．3m2÷（3m-1）=m-3m2 D．（x2-4x）x-1=x-4
考点：整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；负整数指数幂 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法分别进行计算，即可判断．
解答：解：A、（-p2q）3=-p6q3，故本选项错误；
B、12a2b3c）÷（6ab2）=2abc，故本选项错误；
C、3m2÷（3m-1）=，故本选项错误；
D、（x2-4x）x-1=x-4，故本选项正确；
故选D．
点评：此题考查了整式的混合运算，用到的知识点是幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法等，需熟练掌握运算法则，才不容易出错．
14．（2012 白银）如图，边长为（m+3）的正方形纸片，剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（　　）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
考点：平方差公式的几何背景 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长．
解答：解：依题意得剩余部分为
（m+3）2-m2=m2+6m+9-m2=6m+9，
而拼成的矩形一边长为3，
∴另一边长是（6m+9）÷3=2m+3．
故选：C．
点评：本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则．
15．（2012 武汉）一列数a1，a2，a3，…，其中a1=，an=（n为不小于2的整数），则a4的值为（　　）
A． B． C． D．
考点：规律型：数字的变化类．专题：探究型．
分析：将a1=代入an=得到a2的值，将a2的值代入an=得到a3的值，将a3的值代入an=得到a4的值．
解答：解：将a1=代入an=得到a2=，
将a2的值代入an=得到a3=，
将a3的值代入an=得到a4=．
故选A．点评：本题考查了数列的变化规律，重点强调了后项与前项的关系，能理解通项公式并根据通项公式算出具体数．
二、填空题
16．（2012 南通）单项式3x2y的系数为 ．
考点：单项式．
分析：把原题单项式变为数字因式与字母因式的积，其中数字因式即为单项式的系数．解答：解：3x2y=3 x2y，其中数字因式为3，
则单项式的系数为3．
故答案为：3．
点评：本题考查了单项式的系数，确定单项式的系数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数的关键．找出单项式的系数的规律也是解决此类问题的关键．
19．（2012 盐城）若x=-1，则代数式x3-x2+4的值为 ．
考点：代数式求值．专题：计算题．分析：把x=-1代入代数式进行计算即可得解．解答：解：x3-x2+4，
=（-1）3-（-1）2+4，
=-1-1+4，
=-2+4，
=2．
故答案为：2．点评：本题考查了代数式求值，把x的值代入进行计算即可得解，比较简单．
20．（2012 铜仁地区）照如图所示的操作步骤，若输入x的值为5，则输出的值为 ．
考点：代数式求值．专题：图表型．分析：根据题目所给程序依次计算即可．解答：解：（5+5）2-3=100-3=97，
故答案为97．点评：本题考查了代数式求值，弄清运算程序是解题的关键．
21．（2012 泰州）若2a-b=5，则多项式6a-3b的值是 ．
考点：代数式求值．专题：整体思想．分析：将多项式提公因式，得到3（2a-b），然后将2a-b=5直接代入即可．解答：解：∵2a-b=5，
∴6a-3b=3（2a-b）=3×5=15．
故答案为15．点评：本题考查了代数式求值，应用整体思想是解题的关键．
22．（2012 河北）已知y=x-1，则（x-y）2+（y-x）+1的值为 ．
考点：代数式求值．专题：整体思想．分析：根据已知条件整理得到x-y=1，然后整体代入计算即可得解．解答：解：∵y=x-1，
∴x-y=1，
∴（x-y）2+（y-x）+1
=12+（-1）+1
=1．
故答案为：1．点评：本题考查了代数式求值，注意整体思想的利用使运算更加简便．
23．（2012 黔东南州）二次三项式x2-kx+9是一个完全平方式，则k的值是 ±6
．
考点：完全平方式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据两平方项项确定出这两个数是x和3，再根据完全平方公式求解即可．
解答：解：∵x2-kx+9=x2-kx+32，
∴-kx=±2×x×3，
解得k=±6．
故答案为：±6．
点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
24．（2012 遵义）已知x+y=-5，xy=6，则x2+y2= 13
．
考点：完全平方公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：把x+y=5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．
解答：解：∵x+y=-5，
∴（x+y）2=25，
∴x2+2xy+y2=25，
∵xy=6，
∴x2+y2=25-2xy=25-12=13．
故答案为：13．
点评：本题考查了完全平方公式，完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
25．（2012 镇江）化简：（m+1）2-m2= 2m+1
．
考点：完全平方公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平方差公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据完全平方公式展开，再合并同类项即可．
解答：解：原式=m2+2m+1-m2
=2m+1，
故答案为：2m+1．
点评：本题考查了完全平方公式和合并同类项，注意：（a-b）2=a2-2ab+b2，合并同类项得法则是把同类项得系数相加，字母和字母的指数不变．
26．（2012 扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（　　）
A．43 B．44 C．45 D．46
考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．
分析：观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解．
解答：解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m（m-1）+1，共有m个奇数，
∵45×（45-1）+1=1981，46×（46-1）+1=2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m=45．
故选C．点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
27．（2012 遵义）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是 ．
考点：规律型：数字的变化类．分析：根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．解答：解：∵分数的分子分别是：22=4，23=8，24=16，…
分数的分母分别是：22+3=7，23+3=11，24+3=19，…
∴第n个数是．
故答案为：．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键．
28．（2012 孝感）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如表所示：
年份 1896 1900 1904 … 2012
届数 1 2 3 … n
中n值等于 ．
考点：规律型：数字的变化类．分析：第1届相应的举办年份=1896+4×（1-1）=1892+4×1=1896年；
第2届相应的举办年份=1896+4×（2-1）=1892+4×2=1900年；
第3届相应的举办年份=1896+4×（3-1）=1892+4×3=1904年；
…
第n届相应的举办年份=1896+4×（n-1）=1892+4n年，
根据规律代入相应的年数即可算出届数．解答：解：观察表格可知每届举办年份比上一届举办年份多4，
则第n届相应的举办年份=1896+4×（n-1）=1892+4n年，
1892+4n=2012，
解得：n=30，
故答案为：30．点评：此题主要考查了数字的变化，解题关键是弄清题意，根据题目中给出的规律列出代数式．本题每届举办年份比上一届举办年份多4．
29．（2012 厦门）已知a+b=2，ab=-1，则3a+ab+3b= 5
；a2+b2= 6
．
考点：完全平方公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由3a+ab+3b=3（a+b）+ab与a2+b2=（a+b）2-2ab，将a+b=2，ab=-1代入即可求得答案．
解答：解：∵a+b=2，ab=-1，
∴3a+ab+3b=3a+3b+ab=3（a+b）+ab=3×2+（-1）=5；
a2+b2=（a+b）2-2ab=22-2×（-1）=6．
故答案为：5，6．
点评：此题考查了完全平方公式的应用．此题难度不大，注意掌握公式变形是解此题的关键．
31．（2012 成都）已知当x=1时，2ax2+bx的值为3，则当x=2时，ax2+bx的值为 ．
考点：代数式求值．专题：计算题．
分析：将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3，然后将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2（2a+b），之后整体代入即可．解答：解：将x=1代入2ax2+bx=3得2a+b=3，
将x=2代入ax2+bx得4a+2b=2（2a+b）=2×3=6．
故答案为6．点评：本题考查了代数式求值，利用整体思想是解题的关键．
32．（2012 绵阳）一个长方形的长减少5cm，宽增加2cm，就变成了一个正方形，并且这两个图形的面积相等，则原长方形的面积为 cm2．
考点：整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一元一次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先设正方形的边长是xcm，根据题意可得（x+5）（x-2）=x2，解得x=，进而可求面积．
解答：解：正方形的边长是xcm，则
（x+5）（x-2）=x2，
解得x=，
∴S=x2=．
故答案是．
点评：本题考查了整式的混合运算、解一元一次方程，解题的关键是求出x．
45．（2012 泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x-1）2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是 11
．
考点：整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，将原始进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．
解答：解：∵x2+3x+2=（x-1）2+a（x-1）+b，
=x2+（a-2）x+（b-a+1），
∴a-2=3，
∴a=5，
∵b-a+1=2，
∴b-5+1=2，
∴b=6，
∴a+b=5+6=11，
故答案为：11．
点评：此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a-2）x+（b-a+1）是解题关键．
33．（2012 盐城）一批志愿者组成了一个“爱心团队”，专门到全国各地巡回演出，以募集爱心基金．第一个月他们就募集到资金1万元．随着影响的扩大，第n（n≥2）个月他们募集到的资金都将会比上个月增加20%，则当该月所募集到的资金首次完成突破10万元时，相应的n的值为 14
．（参考数据：1.25≈2.5，1.26≈3.0，1.27≈3.6）
考点：同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由题意得第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n-1万元，根据1.26×1.27=10.8＞10，可得n-1=6+7，解得n=14．
解答：解：第一个月募集到资金1万元，则第二个月募集到资金1（1+20%）万元，第三个月募集到资金1（1+20%）2万元，…，第n个月募集到资金1（1+20%）n-1万元，由题意得：
1（1+20%）n-1＞10，
1.2 n-1＞10，
∵1.26×1.27=10.8＞10，
∴n-1=6+7=13，
n=14，
故答案为：14．
点评：此题主要考查了增长率问题，以及同底数幂的乘法，关键是根据题意列出第n个月募集到资金，再根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．
34．（2012 佛山）如图，边长为m+4的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩形一边长为4，则另一边长为 2m+4
．
考点：平方差公式的几何背景 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，列式整理即可得解．
解答：解：设拼成的矩形的另一边长为x，
则4x=（m+4）2-m2=（m+4+m）（m+4-m），
解得x=2m+4．
故答案为：2m+4．
点评：本题考查了平方差公式的几何背景，根据拼接前后的图形的面积相等列式是解题的关键．
三、解答题
35．（2012 玉林）计算：（a-2）2+4（a-1）
考点：整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据完全平方公式及整式混合运算的法则进行计算即可．
解答：解：原式=a2+4-4a+4a-4
=a2．
点评：本题考查的是整式的混合运算，即在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
36．（2012 盐城）（1）计算：|- |-20120-sin30°；
（2）化简：（a-b）2+b（2a+b）．
考点：整式的混合运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；实数的运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；零指数幂 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）分别根据绝对值的性质、0指数幂、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
解答：解：（1）原式=-1-
=-1；
（2）原式=a2+b2-2ab+2ab+b2
=a2+2b2．
点评：本题考查的是实数的运算及整式的混合运算，熟知绝对值的性质、0指数幂、特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
37．（2012 广东）先化简，再求值：（x+3）（x-3）-x（x-2），其中x=4．
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先把整式进行化简，再把x=4代入进行计算即可．
解答：解：原式=x2-9-x2+2x
=2x-9，
当x=4时，原式=2×4-9=-1．
点评：本题考查的是整式的混合运算-化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
38．（2012 株洲）先化简，再求值：（2a-b）2-b2，其中a=-2，b=3．
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先将整式利用完全平方公式展开，再合并同类项，再将a，b代入求出即可．
解答：解：原式=4a2-4ab+b2-b2 =4a2-4ab．
将a=-2，b=3代入上式得：
上式=4×（-2）2-4×（-2）×3=16+24=40．
点评：此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，根据有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，再合并同类项是解题关键．
39．（2012 泉州）先化简，再求值：（x+3）2+（2+x）（2-x），其中x=-2．
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把x=-2代入进行计算即可．
解答：解：原式=x2+6x+9+4-x2
=6x+13
当x=-2时，原式=6×（-2）+13=1．
点评：本题考查的是整式的混合运算-化简求值，在有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
40．（2012 杭州）化简：2[（m-1）m+m（m+1）][（m-1）m-m（m+1）]．若m是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据单项式乘以多项式法则先计算括号里的乘法，再去括号合并同类项，即可算出结果．
解答：解：2[（m-1）m+m（m+1）][（m-1）m-m（m+1）]，
=2（m2-m+m2+m）（m2-m-m2-m），
=-8m3，
原式=-8m3，表示一个能被8整除的数．
点评：此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握计算顺序，先算乘法，后算加减，注意符号的变化，运用乘法分配律是不要漏乘．
41．（2012 长春）先化简，再求值：（a+2）（a-2）+2（a2+3），其中a=．
考点：整式的混合运算—化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用乘法分配律将2乘到括号里边，合并后得到最简结果，然后将a的值代入计算，即可求出原式的值．
解答：解：（a+2）（a-2）+2（a2+3）
=a2-4+2a2+6
=3a2+2，
当a=时，原式=3×()2+2=2。
点评：此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：完全平方公式，去括号法则，以及乘法分配律的运用，做化简求值题时要注意将原式化为最简再代值．
42．（2012 珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52× = ×25；
② ×396=693× ．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
考点：规律型：数字的变化类．专题：规律型．分析：（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
解答：解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]
=（10a+b）（100b+10a+10b+a）
=（10a+b）（110b+11a）
=11（10a+b）（10b+a）
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）
=（100a+10a+10b+b）（10b+a）
=（110a+11b）（10b+a）
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．2013年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形
【基础知识回顾】
成比例线段：
1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线段的比就是它们 的比，即：=
2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果= 那么四条线段叫做同比例线段，简称
3、比例的基本性质：=<＝>
4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线
【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关 即比值没有
2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC）如果 那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L= ≈ 】
二、相似三角形：
1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似
2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于
⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于
判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三角形相似
⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似
⑶两角 的两三角形相似
⑷三组对应边的比 的两三角形相似
【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似
2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
三、相似多边形：
1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形
2、性质：⑴相似多边形对应角 对应边
⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于
【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】
位似：
1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为
2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于
【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 】
【典型例题解析】
考点一：比例线段
例1 （2012 福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号）
考点：黄金分割 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；
过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值．
解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB==72°．
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°．
∴∠A=∠DBC=36°，
又∵∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC，
∴=，
设AD=x，则BD=BC=x．则，
解得：x=（舍去）或．
故x=．
如右图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD=BD，
∴E为AB中点，即AE=AB=．
在Rt△AED中，cosA==．
故答案是：；．
点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解．
对应训练
2．（2012 孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）
A． B． C． D．
考点：黄金分割 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．
解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共，
∴△ABC∽△BDC，
且AD=BD=BC．
设BD=x，则BC=x，CD=2-x．
由于，
∴．
整理得：x2+2x-4=0，
解方程得：x=-1±，
∵x为正数，
∴x=-1+．
故选C．
点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．
考点二：相似三角形的性质及其应用
例2 （2012 重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 9：1
．
考点：相似三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴三角形的相似比是3：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1．
故答案为：9：1．
点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
对应训练
2．（2012 沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 8
．
考点：相似三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：应用题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解．
解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4，
∵△ABC的周长为6，
∴△A′B′C′的周长=6×=8．
故答案为：8．
点评：本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
考点三：相似三角形的判定方法及其应用
例3 （2012 徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
考点：相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC= BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论．
解答：解：图中相似三角形共有3对．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，
∵DE=CE，FC=BC，
∴DE：CF=AD：EC=2：1，
∴△ADE∽△ECF，
∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF，
∴AE：EF=AD：DE，
即AD：AE=DE：EF，
∵∠DAE+∠AED=90°，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠AEF=90°，
∴∠D=∠AEF，
∴△ADE∽△AEF，
∴△AEF∽△ADE∽△ECF，
即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．此题难度适中，解题的关键是证明△ECF∽△ADE，在此基础上可证△AEF∽△ADE．
例4 16．（2012 资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；
（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先连接AG，由正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，易证得∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，即A，G，C共线，继而可得HD=BE，GC= BE，即可求得HD：GC：EB的值；
（2）连接AG、AC，由△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，易证得△DAH∽△CAG与△DAH≌△BAE，利用相似三角形的对应边成比例与正方形的性质，即可求得HD：GC：EB的值；
（3）由矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，由DA：AB=HA：AE=m：n，易证得△ADC∽△AHG，△DAH∽△CAG，△ADH∽△ABE，利用相似三角形的对应边成比例与勾股定理即可求得HD：GC：EB的值．
解答：解：（1）连接AG，
∵正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，
∴∠GAE=∠CAB=45°，AE=AH，AB=AD，
∴A，G，C共线，AB-AE=AD-AH，
∴HD=BE，
∵AG==AE，AC==AB，
∴GC=AC-AG=AB-AE=（AB-AE）=BE，
∴HD：GC：EB=1：：1。
（2）连接AG、AC，
∵△ADC和△AHG都是等腰直角三角形，
∴AD：AC=AH：AG=1：，∠DAC=∠HAG=45°，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=1：，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
在△DAH和△BAE中，，
∴△DAH≌△BAE（SAS），
∴HD=EB，
∴HD：GC：EB=1：：1；
（3）有变化，
连接AG、AC，
∵矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，DA：AB=HA：AE=m：n，
∴∠ADC=∠AHG=90°，
∴△ADC∽△AHG，
∴AD：AC=AH：AG=m：，∠DAC=∠HAG，
∴∠DAH=∠CAG，
∴△DAH∽△CAG，
∴HD：GC=AD：AC=m：，
∵∠DAB=∠HAE=90°，
∴∠DAH=∠BAE，
∵DA：AB=HA：AE=m：n，
∴△ADH∽△ABE，
∴DH：BE=AD：AB=m：n，
∴HD：GC：EB=m：：n．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
对应训练
3. （2012 攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，根据全等三角形的性质，即可求得BC=DE，∠BAC=∠DAE，继而可得∠1=∠2，则可判定①②正确；由△ABC≌△ADE，可得AB=AD，AC=AE，则可得AB：AC=AD：AE，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，即可判定③正确；易证得△AEF∽△DCF与△AOF∽△CEF，继而可得∠OAC+∠OCE=180°，即可判定A、O、C、E四点在同一个圆上．
解答：解：∵△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，
∴∠BAC=∠DAE，BC=DE，故②正确；
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
即∠1=∠2，故①正确；
∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，
∴，
∵∠1=∠2，
∴△ABD∽△ACE，故③正确；
∵∠ACB=∠AEF，∠AFE=∠OFC，
∴△AFE∽△OFC，
∴，∠2=∠FOC，
即，
∵∠AFO=∠EFC，
∴△AFO∽△EFC，
∴∠FAO=∠FEC，
∴∠EAO+∠ECO=∠2+∠FAO+∠ECO=∠FOC+∠FEC+∠ECO=180°，
∴A、O、C、E四点在同一个圆上，故④正确．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及四点共圆的知识．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意找到相似三角形是解此题的关键．
4. （2012 义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性质，即可求得∠CC1A1的度数；
（2）由△ABC≌△A1BC1，易证得△ABA1∽△CBC1，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面积；
（3）由①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，即可求得线段EP1长度的最大值与最小值．
解答：解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，
∴∠CC1B=∠C1CB=45°，..…（2分）
∴∠CC1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°．
（2）∵△ABC≌△A1BC1，
∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1，
∴，∠ABC+∠ABC1=∠A1BC1+∠ABC1，
∴∠ABA1=∠CBC1，
∴△ABA1∽△CBC1．
∴，
∵S△ABA1=4，
∴S△CBC1=；
（3）①如图1，过点B作BD⊥AC，D为垂足，
∵△ABC为锐角三角形，
∴点D在线段AC上，
在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=，
当P在AC上运动与AB垂直的时候，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB上时，EP1最小，最小值为：EP1=BP1-BE=BD-BE=-2；
②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P1在线段AB的延长线上时，EP1最大，最大值为：EP1=BC+BE=2+5=7．
点评：此题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的应用．此题难度较大，注意数形结合思想的应用，注意旋转前后的对应关系．
考点四：位似
例5 （2012 玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　）
A． B． C． D．
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：延长A′B′交BC于点E，根据大正方形的对角线长求得其边长，然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比．
解答：解：∵在正方形ABCD中，AC=3
∴BC=AB=3，
延长A′B′交BC于点E，
∵点A′的坐标为（1，2），
∴OE=1，EC=A′E=3-1=2，
∴正方形A′B′C′D′的边长为1，
∴正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是．
故选B．
点评：本题考查了位似变换和坐标与图形的变化的知识，解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长．
对应训练
5．（2012 咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）
A．（，0） B．（ C． D．
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
解答：解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选C．
点评：此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012 潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）
A． B． C． D．2
考点：相似多边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：可设AD=x，根据四边形EFDC与矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可．
解答：解：∵AB=1，
设AD=x，则FD=x-1，FE=1，
∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴，
，
解得x1=，x2=（负值舍去），
经检验x1=是原方程的解．
故选B．
点评：考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形EFDC与矩形ABCD相似得到比例式．
2．（2012 东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）
考点：相似多边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1：2，又由点B的坐标为（-4，6），即可求得答案．
解答：解：∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴位似比为：1：2，
∵点B的坐标为（-4，6），
∴点B′的坐标是：（-2，3）或（2，-3）．
故选D．
点评：此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用．
3. （2012 日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据菱形的对边平行且相等的性质，判断△BEF∽△DAF，得出= ，再根据BE与BC的数量关系求比值．
解答：解：如图，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴= ，
又∵EC=2BE，
∴BC=3BE，即AD=3BE，
∴= =，
故选B．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的性质．关键是由平行线得出相似三角形，由菱形的性质得出线段的长度关系．
4.（2012 德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F
考点：相似三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三角形相似可知，要求出AB，只需求出EF即可．所以借助于相似三角形的性质，根据 即可解答．
解答：解：此题比较综合，要多方面考虑，
①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；
②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；
③，因为△ABD∽△EFD可利用，求出AB；
④无法求出A，B间距离．
故共有3组可以求出A，B间距离．
故选C．
点评：本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．
5．（2012 威海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4）
．
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先由题意可求得直线AC、AB、BC的解析式与过点（1，3），（2，5）的直线的解析式，即可知过这两点的直线与直线AC平行，则可分别从①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5）与②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5）去分析求解，即可求得答案．
解答：解：设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∵△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4），
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y=2x-8，
同理可得：直线AB的解析式为：y=x-2，直线BC的解析式为：y=-x+10，
∵△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），
∴过这两点的直线为：y=2x+1，
∴过这两点的直线与直线AC平行，
①若A的对应点为A1（1，3），C的对应点为C1（2，5），
则B1C1∥BC，B1A1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=-x+a，直线B1A1的解析式为y=x+b，
∴-2+a=5，+b=3，
解得：a=7，b=，
∴直线B1C1的解析式为y=-x+7，直线B1A1的解析式为y=x+，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（3，4）；
②若C的对应点为A1（1，3），A的对应点为C1（2，5），
则B1A1∥BC，B1C1∥BA，
设直线B1C1的解析式为y=x+c，直线B1A1的解析式为y=-x+d，
∴×2+c=5，-1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直线B1C1的解析式为y=x+4，直线B1A1的解析式为y=-x+4，
则直线B1C1与直线B1A1的交点为：（0，4）．
∴△A1B1C1的第三个顶点的坐标为（3，4）或（0，4）．
故答案为：（3，4）或（0，4）．
点评：此题考查了位似图形的性质．此题难度适中，注意掌握位似图形的对应线段互相平行，注意掌握待定系数法求一次函数解析式的知识，注意分类讨论思想与数形结合思想的应用．
6．（2012 菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
考点：作图—相似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理的逆定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）利用网格借助勾股定理得出AB=2，AC=，BC=5，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4 P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
解答：解：（1）根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5；
显然有AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
根据勾股定理，得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴，
∴，△ABC∽△P2P4 P5．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及勾股定理与逆定理应用，根据已知得出三角形各边长度是解题关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 凉山州）已知 ，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
考点：比例的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先设出b=5k，得出a=13k，再把a，b的值代入即可求出答案．
解答：解：令a，b分别等于13和5，
∵，
∴a=13，
∴=；
故选D．
点评：此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形．
2．（2012 天门）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
考点：平行线分线段成比例 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：延长BC至F点，使得CF=BD，证得△EBD≌△EFC后即可证得∠B=∠F，然后证得AC∥EF，利用平行线分线段成比例定理证得CF=EA后即可求得BD的长．
解答：解：延长BC至F点，使得CF=BD，
∵ED=EC
∴∠EDB=∠ECF
∴△EBD≌△EFC
∴∠B=∠F
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB
∴∠ACB=∠F
∴AC∥EF
∴AE=CF=2
∴BD=AE=CF=2
故选A．
点评：本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
3．（2012 宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）
A． B． C． D．
考点：平行线分线段成比例 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据矩形的对角线相等，利用勾股定理求出对角线的长度，然后根据平行线分线段成比例定理列式表示出EF、EH的长度之和，再根据四边形EFGH是平行四边形，即可得解．
解答：解：在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
根据勾股定理，AC=BD=，
∵EF∥AC∥HG，
∴，
∵EH∥BD∥FG，
∴，
∴=1，
∴EF+EH=AC=，
∵EF∥HG，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长=2（EF+EH）=2．
故选D．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，矩形的对角线相等，勾股定理，根据平行线分线段成比例定理求出1是解题的关键，也是本题的难点．
4．（2012 柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　）
A．FG B．FH C．EH D．EF
考点：相似图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：观察图形，先找出对应顶点，再根据对应顶点的连线即为对应线段解答．
解答：解：由图可知，点A、E是对应顶点，
点B、F是对应顶点，
点D、H是对应顶点，
所以，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是EF．
故选D．
点评：本题考查了相似图形，根据对应点确定对应线段，所以确定出对应点是解题的关键．
5.（2012 铜仁地区）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　　）
A．∠E=2∠K
B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
考点：相似多边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本选项错误；
B、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴BC=2HI，故本选项正确；
C、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长×2，故本选项错误；
D、∵六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，∴S六边形ABCDEF=4S六边形GHIJKL，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查的是相似多边形的性质，即两个相似多边形的对应角相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
6. （2012 荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
考点：相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：网格型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据勾股定理求出△ABC的三边，并求出三边之比，然后根据网格结构利用勾股定理求出三角形的三边之比，再根据三边对应成比例，两三角形相似选择答案．
解答：解：根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC=，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，，=3，
三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，
三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，
三边之比为：：4，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与网格结构的知识，根据网格结构分别求出各三角形的三条边的长，并求出三边之比是解题的关键．
7. （2012 海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
考点：相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选C．
点评：此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用
8．（2012 遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：求出的值，推出△AEF∽△ABC，得出 ，把S四边形BCFE=8代入求出即可．
解答：解：∵，
∴=，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∴9S△AEF=S△ABC，
∵S四边形BCFE=8，
∴9（S△ABC-8）=S△ABC，
解得：S△ABC=9．
故选A．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，题型较好，但是一道比较容易出错的题目．
9. （2012 宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三角形的中位线求出EF= BD，EF∥BD，推出△AEF∽△ABD，得出，求出
，即可求出△AEF与多边形BCDFE的面积之比．
解答：解：连接BD，
∵F、E分别为AD、AB中点，
∴EF=BD，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴，
∴△AEF的面积：四边形EFDB的面积=1：3，
∵CD=AB，CB⊥DC，AB∥CD，
∴，
∴△AEF与多边形BCDFE的面积之比为1：（1+4）=1：5，
故选C．
点评：本题考查了三角形的面积，三角形的中位线等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．
10．（2012 钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
A．点M B．点N C．点O D．点P
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：网格型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
解答：解：点P在对应点M和点N所在直线上，
故选：D．
点评：此题主要考查了位似图形的概念，根据位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上得出是解题关键．
11．（2012 毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，即可得出对应点的坐标应应乘以-2，即可得出点A′的坐标．
解答：解：根据以原点O为位中心，图形的坐标特点得出，对应点的坐标应应乘以-2，
故点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（-2，-4），
故选：C．
点评：此题主要考查了关于原点对称的位似图形的性质，得出对应点的坐标乘以k或-k是解题关键．
二、填空题
12．（2012 宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 =
S2．（填“＞”“=”或“＜”）
考点：黄金分割 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据黄金分割的定义得到PA2=PB AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB AB，即可得到S1=S2．
解答：解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB AB，
∴S1=S2．
故答案为=．
点评：本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．
14.（2012 自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；二次函数的最值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：设BM=xcm，则MC=1-xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．
解答：解：设BM=xcm，则MC=1-xcm，
∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，
∴∠AMB=90°-∠NMC=∠MNC，
∴△ABM∽△MCN，则，即，
解得CN=，
∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1-x）]=- x2+x+，
∵-＜0，
∴当x=-cm时，S四边形ABCN最大，最大值是-×（）2+×+=cm2．
故答案是：，．
点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．
15. （2012 资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 。
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：求两条线段的关系，把两条线段放到两个三角形中，利用两个三角形的关系求解．
解答：解：如图，作OF⊥BC于F，OE⊥CD于E，
∵ABCD为矩形
∴∠C=90°
∵OF⊥BC，OE⊥CD
∴∠EOF=90°
∴∠EON+∠FON=90°
∵ON⊥OM
∴∠EON=∠FOM
∴△OEN∽△OFM
∵O为中心
∴,
∴,
即y=x，
故答案为：y=x，
点评：此题主要考查的是相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的在图中作出辅助线，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．
16.（2012 镇江）如图，E是 ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 2
．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，即可得BC=AD=4，AB∥CD，继而可证得△FEC∽△FAB，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=4，AB∥CD，
∴△FEC∽△FAB，
∴，
∴，
∴CF=BC=×4=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
17.（2012 泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2
．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先连接BE，由题意易得BF=CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP=1：3，即可得PF：CF=PF：BF=1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
解答：解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，
∴BF=CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP=BD：AC=1：3，
∴DP=PF=CF=BF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF==2，
∵∠APD=∠BPF，
∴tan∠APD=2．
故答案为：2．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
18．（2012 青海）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12
m．
考点：相似三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：应用题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据题意得出△ABE∽△ACD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出CD的值．
解答：解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，
∴EB∥DC，
∴△ABE∽△ACD，
∴，
∵BE=1.5，AB=2，BC=14，
∴AC=16，
∴，
∴CD=12．
故答案为：12．
点评：本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键．
19. （2012 娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42
米．
考点：相似三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意易得△ABO∽△NAM，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
解答：解：根据题意得：AO⊥BM，NM⊥BM，
∴AO∥NM，
∴△ABO∽△NBM，
∴，
∵OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，
∴BM=OB+OM=4+5=9（米），
∴，
解得：NM=3.42（米），
∴林丹起跳后击球点N离地面的距离NM为3.42米．
故答案为：3.42．
点评：此题考查了相似三角形的应用．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用，注意把实际问题转化为数学问题求解．
20.（2012 北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5
m．
考点：相似三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明同学的身高即可求得树高AB．
解答：解：∵∠DEF=∠BCD=90°∠D=∠D
∴△DEF∽△DCB
∴,
∵DE=40cm=0.4m，EF=20cm=0.2m，AC=1.5m，CD=8m，
∴,
∴BC=4，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米，
故答案为5.5
点评：本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
21.（2012 阜新） 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 12
．
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由△ABC与△A1B1C1为位似图形，位似比是1：2，即可得△ABC与△A1B1C1为相似三角形，且相似比为1：2，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
解答：解：∵△ABC与△A1B1C1为位似图形，
∴△ABC∽△A1B1C1，
∵位似比是1：2，
∴相似比是1：2，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比为：1：4，
∵△ABC的面积为3，
∴△A1B1C1的面积是：3×4=12．
故答案为：12．
点评：此题考查了位似图形的性质．注意位似图形是相似图形的特殊情况，注意相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用．
三、解答题
22．（2012 上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
考点：平行线分线段成比例 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）证得△ABF与△AFD全等后即可证得结论；
（2））利用得到 ，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAF-∠EAF=∠DAE-∠EAF，
即：∠BAE=∠DAF，
∴△BAE≌△DAF
∴BE=DF；
（2）∵，
∴
∴FG∥BC
∴∠DGF=∠DBC=∠BDC
∴DF=GF
∴BE=GF
∴四边形BEFG是平行四边形．
点评：本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键．
23． （2012 云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．
求证：△ABC∽△MED．
考点：相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED，也可得出△ABC∽△MED．
解答：证明：∵MD⊥AB，
∴∠MDE=∠C=90°，
∵ME∥BC，
∴∠B=∠MED，
在△ABC与△MED中，，
∴△ABC≌△MED（AAS）．
∴△ABC∽△MED．
点评：此题考查了相似三角形的判定，注意两三角形全等一定相似，但两三角形相似不一定全等，要求掌握三角形全等及相似的判定定理，难度一般．
24．（2012 株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据A与C关于直线MN对称得到AC⊥MN，进一步得到∠COM=90°，从而得到在矩形ABCD中∠COM=∠B，最后证得△COM∽△CBA；
（2）利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM的长．
解答：（1）证明：∵A与C关于直线MN对称，
∴AC⊥MN，
∴∠COM=90°．
在矩形ABCD中，∠B=90°，
∴∠COM=∠B，
又∵∠ACB=∠ACB，
∴△COM∽△CBA；
（2）解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，
∴AC=10，
∴OC=5，
∵△COM∽△CBA，
∴，
∴OM=．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的性质，解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形．
25. （2012 株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
考点：相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；二次函数的最值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可；
（2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可．
解答：解：（1）∵从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
∴AM=12-t，AN=2t
∵∠AMN=∠ANM
∴AM=AN，从而12-t=2t
解得：t=4 秒，
∴当t为4时，∠AMN=∠ANM．

（2）如图，作NH⊥AC于H，
∴∠NHA=∠C=90°，
∴NH∥BC
∴△NHA∽△ABC
∴，
即：,
∴NH=t,
从而有S△AMN=（12-t） t=-t2+t，
∴当t=6时，S最大值=．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据证得的相似三角形得到比例式，从而求解．
26. （2012 江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）
考点：相似三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据等角对等边得出∠OAC=∠OCA= （180°-∠BOD）和∠OBD=∠ODB= （180°-∠BOD），进而利用平行线的判定得出即可；
（2）首先作OM⊥EF于点M，则EM=16cm，利用cos∠OEF= ≈0.471，即可得出∠OEF的度数；
（3）首先证明Rt△OEM∽Rt△ABH，进而得出AH的长即可．
解答：（1）证明：证法一：∵AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=（180°-∠BOD），
同理可证：∠OBD=∠ODB=（180°-∠BOD），
∴∠OAC=∠OBD，
∴AC∥BD，
证法二：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，
∴OB=OD=85cm，
∴,
又∵∠AOC=∠BOD
∴△AOC∽△BOD，
∴∠OAC=∠OBD；
∴AC∥BD；
（2）解：在△OEF中，OE=OF=34cm，EF=32cm；
作OM⊥EF于点M，则EM=16cm；
∴cos∠OEF=≈0.471，
用科学记算器求得∠OEF=61.9°；
（3）解法一：小红的连衣裙会拖落到地面；
在Rt△OEM中，OM==30cm，
过点A作AH⊥BD于点H，
同（1）可证：EF∥BD，
∴∠ABH=∠OEM，则Rt△OEM∽Rt△ABH，
∴，AH==120cm
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．
解法二：小红的连衣裙会拖落到地面；
同（1）可证：EF∥BD，∴∠ABD=∠OEF=61.9°；
过点A作AH⊥BD于点H，在Rt△ABH中
sin∠ABD=，
AH=AB×sin∠ABD=136×sin61.9°=136×0.882≈120.0cm.
所以：小红的连衣裙垂挂在衣架后的总长度122cm＞晒衣架的高度AH=120cm．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数解题是解决问题的关键．
27．（2012 陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+ ．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；
（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m-n）2，可见S的大小只与m、n的差有关：
①当m=n时，S取得最小值；
②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问．
解答：解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x，
∵△ABC为正三角形，
∴AE′=BF′=x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB，
∴x+x+x=3+，
∴x=，即x=3-3，
（没有分母有理化也对，x≈2.20也正确）
（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），
它们的面积和为S，则NE=m，PE=n．
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）．
∴S=m2+n2=PN2，
延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m-n）2．
∵AD+DE+EF+BF=AB，即m+m+n+n=+3，化简得m+n=3．
∴S= [32+（m-n）2]= +（m-n）2
①当（m-n）2=0时，即m=n时，S最小．
∴S最小=；
②当（m-n）2最大时，S最大．
即当m最大且n最小时，S最大．
∵m+n=3，
由（2）知，m最大=3-3．
∴S最大= [9+（m最大-n最小）2]
= [9+（3-3-6+3）2]
=99-54…．
（S最大≈5.47也正确）
点评：本题以位似变换为基础，综合考查了正三角形、正方形、勾股定理、直角三角形边角性质等重要知识点，有一定的难度．本题（1）（2）（3）问之间互相关联，逐级推进，注意发现并利用好其中的联系．第（3）问的要点是求出面积和S的表达式，然后针对此表达式进行讨论，在求S最大值的过程中，利用了第（1）（2）问的结论．
28．（2012 河北）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 AE=ED
；
AE和ED的位置关系为 AE⊥ED
；
（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
考点：位似变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED；
（2）①根据△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH=HC= EC，进而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；
②根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，进而得出CH的长．
解答：解：（1）∵点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴△ABE≌△DCE，
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
故答案为：AE=ED，AE⊥ED；
（2）①由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
∵△EGF与△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=AB，EF=EB，
∴∠GFE=∠C，
∴EH=HC=EC，
∴GF=HC，FH=FE+EH=EB+EC=BC=EC=CD，
∴△HGF≌△DHC．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．
②根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
∵∠FHG+∠FGH=90°，
∴∠FGH=∠DHC，
∴，
∴△GFH≌△HCD，
∴CH=FG，
∵EF=FG，
∴EF=CH，
∵△EGF与△EAB的相似比是k：1，BC=2，
∴BE=EC=1，
∴EF=k，
∴CH的长为k．
点评：此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键．2013年中考数学专题复习第十八讲 等腰三角形与直角三角形
【基础知识回顾】
一、等腰三角形
1、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形
2、等腰三角形的性质：
⑴等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为
⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为
⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是
3、等腰三角形的判定：
⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形，简称
【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等
2、同为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 讨论角时应主要底角只被围 角】
4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都 都等于
⑵等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴
等边三角形的判定：
⑴有三个角相等的三角形是等边三角形
⑵有一个角是 度的 三角形是等边三角形
【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质
2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】
二、线段的垂直平分线和角的平分线
1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线
2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等
3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在
角的平分线：
1、性质：角平分线上的点到 得距离相等
2、判定：到角两边距离相等的
【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的
2、要移用作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】
三、直角三角形：
1、勾股定理和它的逆定理：
勾股定理：若 一 个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足
逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足 则这个三角形是直角三角形
【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合
2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，
3、勾股数，列举常见的勾股数三组 、 、 】
2、直角三角形的性质：
除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：
⑴直角三角形两锐角
⑵直角三角形斜边的中线等于
⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它就对 边是 边的一半
3、直角三角形的判定：
除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：
定义法：⑴有一个角是 的三角形是直角三角形
⑵有两个角是 的三角形是直角三角形
⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的 这个三角形是直角三角形
【名师提醒：直角三角形的有关性质在边形，中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】
【重点考点例析】
考点一：等腰三角形性质的运用
例1 （2012 襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是 或4
．
分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．
解：（1）当AB=AC时，
∵∠A=30°，
∴CD=AC=×8=4；
（2）当AB=BC时，
则∠A=∠ACB=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴CD=cos∠BCD BC=cos30°×8=4；
（3）当AC=BC时，
则AD=4，
∴CD=tan∠A AD=tan30° 4=；
故答案为：或或4。
点评：本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角形的性质和解直角三角形，关键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．
对应训练
1．（2012 广安）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（　　）
A．45° B．75° C．45°或75° D．60°
1．C
分析：首先根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案．
解答：解：如图1：AB=AC，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=BC，∠ADB=90°，
∵AD=BC，
∴AD=BD，
∴∠B=45°，
即此时△ABC底角的度数为45°；
如图2，AC=BC，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AD=BC，
∴AD=AC，
∴∠C=30°，
∴∠CAB=∠B==75°，
即此时△ABC底角的度数为75°；
综上，△ABC底角的度数为45°或75°．
故选C．
点评：此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．
考点二：线段垂直平分线
例2 （2012 毕节地区）如图．在Rt△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（　　）
A． B．2 C． D．4
思路分析：求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．
解：∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠ACB=180°-30°-90°=60°，
∵DE垂直平分斜边AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD=30°，
∴∠DCB=60°-30°=30°，
∵BD=1，
∴CD=2=AD，
∴AB=1+2=3，
在△BCD中，由勾股定理得：CB=，
在△ABC中，由勾股定理得：AC==2，
故选A．
点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．
对应训练
2．（2012 贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．1
2．B
分析：连接AF，求出AF=BF，求出∠AFD、∠B，得出∠BAC=30°，求出AE，求出∠FAC=∠AFE=30°，推出AE=EF，代入求出即可．
解答：解：连接AF，
∵DF是AB的垂直平分线，
∴AF=BF，
∵FD⊥AB，
∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°-30°=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，∠FAC=60°-30°=30°，
∵DE=1，
∴AE=2DE=2，
∵∠FAE=∠AFD=30°，
∴EF=AE=2，
故选B．
点评：本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线，角平分线的性质等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强
考点三：等边三角形的判定与性质
例3 （2012 遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．
思路分析：（1））由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QPC=90°，设AP=x，则PC=6-x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6-x= （6+x），求出x的值即可；
（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
解答：解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QPC=90°，
设AP=x，则PC=6-x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=QC，即6-x=（6+x），解得x=2；
（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
如图，作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ=∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴,
∴△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．
对应训练
3．（2012 湘潭）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使B点与C点重合，得到△DCE，连接BD，交AC于F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
3．分析：（1）由平移的性质可知BE=2BC=6，DE=AC=3，故可得出BD⊥DE，由∠E=∠ACB=60°可知AC∥DE，故可得出结论；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的长．
解答：解：（1）AC⊥BD∵△DCE由△ABC平移而成，
∴BE=2BC=6，DE=AC=3，∠E=∠ACB=60°，
∴DE=BE，
∵BD⊥DE，
∵∠E=∠ACB=60°，
∴AC∥DE，
∴BD⊥AC；
（2）在Rt△BED中，
∵BE=6，DE=3，
∴BD===．
点评：本题考查的是等边三角形的性质及平移的性质，熟知图形平移后的图形与原图形全等的性质是解答此题的关键．
考点四：角的平分线
例4 （2012 梅州）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，则EF= 2
．
思路分析：作EG⊥OA于F，根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG=30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半解题．
解答：解：如图，作EG⊥OA于F，
∵EF∥OB，
∴∠OEF=∠COE=15°，
∵∠AOE=15°，
∴∠EFG=15°+15°=30°，
∵EG=CE=1，
∴EF=2×1=2．
故答案为2．
点评：本题考查了角平分线的性质和含30°角的直角三角形，综合性较强，是一道好题．
对应训练
4．（2012 常德）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DC=2，则D到AB边的距离是 2
．
4．2
分析：过D作DE⊥AB于E，得出DE的长度是D到AB边的距离，根据角平分线性质求出CD=ED，代入求出即可．
解答：解：过D作DE⊥AB于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．
∵AD平分∠CAB，∠ACD=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=2（角平分线性质），
故答案为：2．
点评：本题考查了对角平分线性质的应用，关键是作辅助线DE，本题比较典型，难度适中．
考点五：勾股定理
例5 （2012 黔西南州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，则四边形ACEB的周长为 ．
思路分析：先证明四边形ACED是平行四边形，可得DE=AC=2．由勾股定理和中线的定义可求AB和EB的长，从而求出四边形ACEB的周长．
解：∵∠ACB=90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形．
∴DE=AC=2．
在Rt△CDE中，由勾股定理得CD==2，
∵D是BC的中点，
∴BC=2CD=4，在△ABC中，∠ACB=90°，由勾股定理得AB==2，
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB=EC=4．
∴四边形ACEB的周长=AC+CE+EB+BA=10+2，
故答案为：10+2．
点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理和中线的定义，注意寻找求AB和EB的长的方法和途径．
对应训练
5． （2012 新疆）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=π，S2=2π，则S3是 ．
分析：在直角三角形中，利用勾股定理得到a2+b2=c2，在等式两边同时乘以，变形后得到S2+S3=S1，将已知的S1与S2代入，即可求出S3的值．
解答：解：在直角三角形中，利用勾股定理得：a2+b2=c2，
∴a2+b2=c2，即（）2π+（）2π=（）2π，
∴S2+S3=S1，
又S1=，S2=2π，
则S3=S1-S2=-2π=．
故答案为：。
点评：此题考查了勾股定理，以及圆的面积求法，利用了转化的思想，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012 泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（　　）
A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8
1．C
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
设CE=x，则ED=AD-AE=4-x，
在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，
即x2=22+（4-x）2，
解得x=2.5，
即CE的长为2.5．
故选C．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．
2．（2012 济宁）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（-2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（　　）
A．-4和-3之间 B．3和4之间 C．-5和-4之间 D．4和5之间
2．A
分析：先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
解答：解：∵点P坐标为（-2，3），
∴OP==，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA=OP=，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4．
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的横坐标介于-4和-3之间．
故选A．
点评：本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 肇庆）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．16或20
1．C
分析：由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
解答：解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；
②当8为腰时，8-4＜8＜8+4，符合题意．
故此三角形的周长=8+8+4=20．
故选C．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．
2．（2012 攀枝花）已知实数x，y满足|x-4|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）
A．20或16 B．20
C．16 D．以上答案均不对
2．B
分析：根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解答：解：根据题意得，解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8=20．
故选B．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．
3．（2012 江西）等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（　　）
A．20° B．50° C．60° D．80°
3．B
分析：根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，可以求得其底角的度数．
解答：解：∵等腰三角形的一个顶角为80°
∴底角=（180°-80°）÷2=50°．
故选B．
点评：考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质的运用，比较简单．
4．（2012 三明）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．C
分析：分为三种情况：①OA=OP，②AP=OP，③OA=OA，分别画出即可．
解答：解：以O为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P和P′，此时三角形是等腰三角形，即2个；
以A为圆心，以OA为比较画弧交x轴于点P″（O除外），此时三角形是等腰三角形，即1个；
作OA的垂直平分线交x轴于一点P1，此时三角形是等腰三角形，即1个；
2+1+1=4，
故选C．
点评：本题考查了等腰三角形的判定和坐标于图形性质，主要考查学生的动手操作能力和理解能力，注意不要漏解啊．
5．（2012 本溪）如图在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，DE是AB边的垂直平分线，垂足为D，交边BC于点E，连接AE，则△ACE的周长为（　　）
A．16 B．15 C．14 D．13
5．分析：首先连接AE，由在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，利用勾股定理即可求得BC的长，又由DE是AB边的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，继而可得△ACE的周长为：BC+AC．
解答：解：连接AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，
∴BC==10，
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△ACE的周长为：AE+EC+AC=BE+CE+AC=BC+AC=10+6=16．
故选A．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用，注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等定理的应用．
6．（2012 荆门）如图，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为（　　）
A．2 B． C． D．3
6．C
分析：先根据△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线可知∠EBP=∠QBF=30°，再根据BF=2，FQ⊥BP可得出BQ的长，再由BP=2BQ可求出BP的长，在Rt△BEF中，根据∠EBP=30°即可求出PE的长．
解：∵△ABC是等边三角形P是∠ABC的平分线，
∴∠EBP=∠QBF=30°，
∵BF=2，FQ⊥BP，
∴BQ=BF cos30°=2×=，
∵FQ是BP的垂直平分线，
∴BP=2BQ=2，
在Rt△BEF中，
∵∠EBP=30°，
∴PE=BP=．
故选C．
点评：本题考查的是等边三角形的性质、角平分线的性质及直角三角形的性质，熟知等边三角形的三个内角都是60°是解答此题的关键．
7．（2012 黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（　　）
A．（2，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
7．C
分析：在RT△ABC中利用勾股定理求出AC，继而得出AM的长，结合数轴的知识可得出点M的坐标．
解答：解：由题意得，AC==，
故可得AM=，BM=AM-AB=-3，
又∵点B的坐标为（2，0），
∴点M的坐标为（-1，0）．
故选C．
点评：此题考查了勾股定理及坐标轴的知识，属于基础题，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键，难度一般．
1．（2012 铜仁地区）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（　　）
　 A． 6 B． 7 C． 8 D． 9
考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。
分析： 由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，然后即可求得结论．
解答： 解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB，∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN，∴BM=ME，EN=CN，∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=9∴MN=9，故选D．
点评： 此题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BMO△CNO是等腰三角形．
　
2．（2012 佳木斯）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）
　 A． 20 B． 12 C． 14 D． 13
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质。
分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
解答： 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，∵点E为AC的中点，∴DE=CE=AC=5，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．故选C．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
　
二、填空题
8．（2012 随州）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 6和4或5和5
．
8．6和4或5和5
分析：此题分为两种情况：6是等腰三角形的腰或6是等腰三角形的底边．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形．
解答：解：当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；
当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理，
故该等腰三角形的另两边为 6和4或5和5．
故答案为：6和4或5和5．
点评：本题考查了等腰三角形的性质，应从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法，难度适中．
9．（2012 泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= 3
．
9．3
分析：直接根据等腰三角形“三线合一”的性质进行解答即可．
解答：解：∵△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，
∴BD=BC=×6=3．
故答案为：3．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
10．（2012 钦州）已知等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为 50°
．
10．50°
分析：已知给出了等腰三角形的顶角等于80°，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
解答：解：∵等腰三角形的顶角等于80°，
又∵等腰三角形的底角相等，
∴底角等于（180°-80°）÷2=50°．
故答案为：50°．
点评：本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；题目比较简单，属于基础题．
11．（2012 黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长 ．
11．6或或
分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．
解答：解：①如图1，
当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，
则BD=CD=3，
故底边长为6；
②如图2，△ABC为锐角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，
则AD=3，
∴BD=2，
∴BC==，
∴此时底边长为；
③如图3，△ABC为钝角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，
则AD=3，
∴BD=8，
∴BC=，
∴此时底边长为．
故答案为：6或或．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论．
12．（2012 贵阳）如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数 ．
12．
分析：先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数．
解答：解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴∠BA1A===80°，
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠CA2A1===40°；
同理可得，
∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，
∴∠An=．
故答案为：．
点评：本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
13．（2012 海南）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 9
．
13．9
考点：等腰三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．
解答：解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，
∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，
∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，
∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，
∴OD=BD，OE=CE，
∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．
故答案为：9．
点评：此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
14．（2012 黄冈） 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为 36°
．
14．36°
分析：由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可得AE=BE，则可求得∠ABE的度数，又由AB=AC，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ABC的度数，继而求得答案．
解答：解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠ABE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C==72°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=72°-36°=36°．
故答案为：36°．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．
15．（2012 黔东南州）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成 4
个正三角形．
15．4
分析：先在平面内摆出一个正三角形，然后再在空间又可以搭出三个等边三角形．
解答：解：如图，用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形．
故答案为：4．
点评：本题考查的是等边三角形的性质，解答此题时要注意题中是求空间图形而不是平面图形．
16．（2012 泰州）如图，△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，若CD=4，则点D到AB的距离是 4
．
16．4
分析：过点D作DE⊥AB于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD，即可得解．
解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=CD，
∵CD=4，
∴DE=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键．
17．（2012 佳木斯）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 ．
17．8或或
分析：由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB-AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．
解答：解：如图所示：
当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，
根据勾股定理得：BC==；
当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，
在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，
根据勾股定理得：AD==4，
∴BD=AB+AD=5+4=9，
在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，
根据勾股定理得：BC==3；
当AD为底边上的高时，如图所示：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，
根据勾股定理得：BD==4，
∴BC=2BD=8，
综上，等腰三角形的底边长为8或或．
故答案为：8或或.
点评：此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．
4．（2012 鸡西）Rt△ABC中，∠A=90°，BC=4，有一个内角为60°，点P是直线AB上不同于A、B的一点，且∠ACP=30°，则PB的长为　4或或　．
考点： 含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题： 分类讨论。
分析： 分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示，由∠ABC=60°，利用直角三角形的两锐角互余求出∠CAB=30°，又∠PCA=30°，由∠PCA+∠ACB求出∠PCB为60°，可得出三角形PCB为等边三角形，根据等边三角形的三边相等，由BC的长即可求出PB的长；当∠ABC=30°时，再分两种情况：（i）P在A的右边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠PCA+∠ACB求出∠PCB为直角，由∠ABC=30°及BC的长，利用锐角三角形函数定义及cos30°的值，即可求出PB的长；当P在A的左边时，如图所示，由∠PCA=30°，∠ACB=60°，根据∠ACB﹣∠ACP求出∠PCB为30°，得到∠PCB=∠ABC，利用等角对等边得到PC=PB，由BC及∠ABC=30°，利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出AC的长，再利用勾股定理求出AB的长，由AB﹣BP表示出AP，在直角三角形ACP中，利用勾股定理列出关于PB的方程，求出方程的解得到PB的长，综上，得到所有满足题意的PB的长．
解答： 解：分两种情况考虑：当∠ABC=60°时，如图所示：∵∠CAB=90°，∴∠BCA=30°，又∠PCA=30°，∴∠PCB=∠PCA+∠ACB=60°，又∠ABC=60°，∴△PCB为等边三角形，又BC=4，∴PB=4；当∠ABC=30°时，如图所示：（i）当P在A的右边时，如图所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠PCB=90°，又∠B=30°，BC=4，∴cosB=，即cos30°=，解得：PB==；（ii）当P在A的左边时，如图所示：∵∠PCA=30°，∠ACB=60°，∴∠BCP=30°，又∠B=30°，∴∠BCP=∠B，∴CP=BP，在Rt△ABC中，∠B=30°，BC=4，∴AC=BC=2，根据勾股定理得：AB==2，∴AP=AB﹣PB=2﹣PB，在Rt△APC中，根据勾股定理得：AC2+AP2=CP2=BP2，∴22+（2﹣BP）2=BP2，解得：BP=，综上，BP的长分别为4或或．故答案为：4或或
点评： 此题考查了含30°直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及锐角三角函数定义，利用了转化及分类讨论的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
　
5．（2012 无锡） 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于　3　cm．
考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质。
分析： 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GH∥CD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度．
解答： 解：∵△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点，∴AD=BD=CD=AB=4cm；又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，∴GH∥CD，GD=1cm，∴=，即=，解得，GH=3cm；故答案是：3．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．
　
6．（2012 朝阳）下列说法中正确的序号有　①②③④　．
①在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，则AB=4；
②八边形的内角和度数约为1080°；
③2、3、4、3这组数据的方差为0.5；
④分式方程的解为x=；
⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一条对角线长为2．
考点： 直角三角形斜边上的中线；分式方程的解；多边形内角与外角；菱形的性质；方差。
分析： ①根据直角三角形斜边上中线性质得出即可；②根据多边形内角和定理把8代入求出即可；③求出平均数，再求出方差，比较即可；④转化成整式方程，求出方程的解，进行检验即可；⑤分为两种情况，求出对角线的长，即可判断⑤．
解答： 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD为AB边上的中线，且CD=2，∴AB=2CD=4，∴①正确；∵八边形的内角和度数是（8﹣2）×180°=1080°，∴②正确；∵平均数是（2+3+4+3）=3，∴方差是[（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（3﹣3）2]=0.5，∴③正确；∵=，去分母得：1=3x﹣1，解得：x=，经检验x=是原方程的解，∴④正确；∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=OC，OD=OB，AB=AD，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD=BD，AB=BD=2BO，分为两种情况：当BD=2=AB时，BO=，由勾股定理得：AO=3，AC=6；当AC=2时，AO=，由勾股定理得：BO=1，BD=2，∴⑤错误；故答案为：①②③④．
点评： 本题考查了菱形的性质和判定，解分式方程、平均数、方差、勾股定理等知识点，主要考查学生的推理能力和计算能力．
三、解答题
18．（2012 益阳）如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．
求证：AB=AC．
18．分析：根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．
解答：证明：∵AE平分∠DAC，
∴∠1=∠2，
∵AE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
19．（2012 珠海）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
19．分析：（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD= ×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AD，即可得出答案．
解答：解：（1）如图所示：
．
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形．
点评：本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．
20．（2012 常州）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE=AF．
20．
分析：连接CE，由与EF是线段AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．
解答：证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE≌△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF．
点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．
7．（2012 淮安）如图，△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，已知∠BDC=45°，BD=10，AB=20．求∠A的度数．
考点： 含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。
分析： 首先在直角三角形BDC中，利用BD的长和∠BDC=45°求得线段BC的长，然后在直角三角形ABC中求得∠A的度数即可；
解答： 解：∵在直角三角形BDC中，∠BDC=45°，BD=10，∴BC=BD sin∠BDC=10×=10∵∠C=90°AB=20∴sin∠A===，∴∠A=30°．
点评： 本题考查了等腰直角三角形和含30°角的直角三角形的知识，属于基础题，比较简单．
21．（2012 南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB= 90
°；
②若⊙O的半径是1，AB= ，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
21．分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；
②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧 上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
解答：解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．
②如图，连接AB、OA、OB．
在△AOB中，
∵OA=OB=1．AB=，
∴OA2+OB2=AB2．
∴∠AOB=90°．
当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；
当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°-∠AOB）=135°
（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①
∵∠MAN=∠APB+∠ANB，
∴∠APB=∠MAN-∠ANB；
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°-∠ANB），
∴∠APB=∠MAN+∠ANB-180°；
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，
∴∠APB=180°-∠MAN-∠ANB，
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，
∠APB=∠MAN+∠ANB．
点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．
1．（2012 河池）如图，在10×10的正方形网格中，△ABC的顶点和线段EF的端点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：tanA=　　，AC=　2　（结果保留根号）；
（2）请你在图中找出一点D（仅一个点即可），连接DE、DF，使以D、E、F为顶点的三角形与△ABC全等，并加以证明．
考点： 勾股定理；全等三角形的判定；锐角三角函数的定义。
专题： 网格型。
分析： （1）延长AB，过C作延长线的垂线CG，在直角三角形ACG中，由CG及AG的长，利用锐角三角函数定义求出tanA的值，利用勾股定理求出AC的值即可；（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如图所示，理由为：在直角三角形FDM中，由FM与MD的长，利用勾股定理求出FD的长，同理求出BC的长，可得出FD=BC，同理可得出ED=AC，EF=AB，利用SSS可得出△ABC≌△EFD．
解答： 解：（1）延长AB，过C作CG⊥AB，交延长线于点G，在Rt△ACG中，CG=2，AG=4，根据勾股定理得：AC==2，tanA==；（2）图中找出一点D，连接DE、DF，△ABC≌△EFD，如右图所示，证明：在Rt△EMD中，EM=4，MD=2，根据勾股定理得：ED==2，在Rt△FDM中，FM=2，MD=2，根据勾股定理得：FD==2，同理在Rt△BCG中，根据勾股定理得：BC=2，在△ABC和△EFD中，∵，∴△ABC≌△EFD（SSS）．故答案为：（1）；2
点评： 此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，以及全等三角形的判定，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
　
2．（2012 鄂州）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°，∠C=45°，∠E=60°，量得DE=8，试求BD的长．
考点： 勾股定理；平行线的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。
分析： 过点F作FM⊥AD于M，利用在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半和平行线的性质以及等腰直角三角形的性质即可求出BD的长．
解答： 解：过点F作FM⊥AD于M，∵∠EDF=90°，∠E=60°，∴∠EFD=30°，∵DE=8，∴EF=16，∴DF==8，∵EF∥AD，∴∠FDM=30°，∴FM=DF=4，∴MD==12，∵∠C=45°，∴∠MFB=∠B=45°，∴FM=BM=4，∴BD=DM﹣BM=12﹣4．
点评： 本题考查了勾股定理的运用、平行线的性质以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是作垂直构造直角三角形，利用勾股定理求出DM的长．
　
3．（2012 北京）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠CED=45°，∠DCE=30°，DE=，BE=2．求CD的长和四边形ABCD的面积．
考点： 勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形。
分析： 利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长，求出AC，AB的长即可得出四边形ABCD的面积．
解答： 解：过点D作DH⊥AC，∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1，又∵∠DCE=30°，∴HC=，DC=2，∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴S四边形ABCD=×2×（3+）+×1×（3+）=．
点评： 此题主要考查了解直角三角形和三角形面积求法，根据已知构造直角三角形进而得出直角边的长度是解题关键．2013年中考数学专题复习第六讲：二次根式
【基础知识回顾】
二次根式
式子（ ）叫做二次根式
【名师提醒：①次根式必须注意a___o这一条件，其结果也是一个非数即：___o
②二次根式（a≥o）中，a可以表示数，也可以是一切符合条件的代数式】
二次根式的性质：
①（）2= （a≥0） =
③= （a≥0 ,b≥0） ④= (a≥0, b≥0)
【名师提醒：二次根式的性质注意其逆用：如比较2和3的大小，可逆用（）2=a(a≥0)将根号外的整数移到根号内再比较被开方数的大小】
三、最简二次根式：
最简二次根式必须同时满足条件：
1、被开方数的因数是 ，因式是整式
2、被开方数不含 的因数或因式
四、二次根式的运算：
1、二次根式的加减：先将二次根式化简，再将 的二次根式进行合并，合并的方法同合并同类项法则相同
2、二次根式的乘除：
乘除法则：.= （a≥0 ,b≥0） 除法法则：=（a≥0，b＞0）
3、二次根式的混合运算顺序：先算 再算 最后算
【名师提醒：1、二次根式除法运算过程一般情况下是用将分母中的根号化去这一方法进行：如：= =
2、二次根式混合运算过程要特别注意两个乘法公式的运用
3、二次根式运算的结果一定要化成 】
【重点考点例析】
考点一：二次根式有意义的条件
例1 （2012 潍坊）如果代数式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＜3 C．x＞3 D．x≥3
思路分析：根据二次根式的意义得出x-3≥0，根据分式得出x-3≠0，即可得出x-3＞0，求出即可．
解：要使代数式有意义，
必须x-3＞0，
解得：x＞3．
故选C．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件的应用，注意：分式中A≠0，二次根式中a≥0．
对应训练
1．（2012 德阳）使代数式有意义的x的取值范围是（　　）
A．x≥0 B．x≠ C．x≥0且x≠ D．一切实数
1．C
1．解：由题意得：2x-1≠0，x≥0，
解得：x≥0，且x≠，
故选：C．
考点二：二次根式的性质
例2 （2012 张家界）实数a、b在轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（　　）
A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b
思路分析：现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，
原式=-a-[-（a+b）]=-a+a+b=b．
故选C．
点评：本题考查了二次根式的化简和性质、实数与数轴，解题的关键是注意开方结果是非负数、以及绝对值结果的非负性．
对应训练
2．（2012 呼和浩特）实数a，b在数轴上的位置如图所示，则的化简结果为 ．
1．-b
2．解：∵由数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴
=|a+b|+a
=-a-b+a
=-b，
故答案为：-b．
考点三：二次根式的混合运算
例3 （2012 上海）．
思路分析：利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．
解：原式=
=
=3．
点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键．
对应训练
3．（2012 南通）计算：．
3．解：
．
考点四：与二次根式有关的求值问题
例4 （2012 巴中）先化简，再求值：，其中x=．
思路分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解：原式=，
当x=时，x+1＞0，
可知，
故原式=；
点评：本题考查的是二次根式及分式的化简求值，解答此题的关键是当x=时得出，此题难度不大．
对应训练
4．（2012 台湾）计算之值为何？（　　）
A．0 B．25 C．50 D．80
4．D
分析：根据平方差公式求出1142-642=（114+64）×（114-64）=178×50，再提出50得出50×（178-50）=50×128，分解后开出即可．
解：
=
=
=
=
==2×5×8，
=80，
故选D．
点评：本题考查了平方差公式，因式分解，二次根式的运算等知识点的应用，解此题的关键是能选择适当的方法进行计算，本题主要考查学生的思维能力和应变能力，题目比较好，是一道具有代表性的题目．
【聚焦山东中考】
1．（2012 泰安）下列运算正确的是（　　）
A． B． C．x6÷x3=x2 D．（x3）2=x5
1．B．
2.（2012 临沂）计算： ．
2．0
3．（2012 青岛）计算： ．
3．7
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 肇庆）要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x≥-2 C．x≥2 D．x≤2
1．D
2．（2012 南平）计算=（　　）
A． B．5 C． D．
2．A
3.（2012 玉林）计算：=（　　）
A．3 B． C． D．
3．C．
4．（2012 杭州）已知，则有（　　）
A．5＜m＜6 B．4＜m＜5 C．-5＜m＜-4 D．-6＜m＜-5
4．A
4．解：

，
∵，
∴，
即5＜m＜6，
故选A．
5．（2012 南充）下列计算正确的是（　　）
A．x3+x3=x6 B．m2 m3=m6 C． D．
5．D
6．（2012 黔东南州）下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．B
7．（2012 广西）使式子有意义的x的取值范围是（　　）
　 A． x≥﹣1 B． ﹣1≤x≤2 C． x≤2 D． ﹣1＜x＜2
考点： 二次根式有意义的条件。
分析： 因为二次根式的被开方数是非负数，所以x+1≥0，2﹣x≥0，据此可以求得x的取值范围．
解答： 解：根据题意，得
，
解得，﹣1≤x≤2；
故选B．
点评： 考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
　
8．（2012 上海）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 分母有理化。
分析： 二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案．
解答： 解：∵×=a﹣b，
∴二次根式的有理化因式是：．
故选：C．
点评： 此题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键．
　
9．（2012 三明）下列计算错误的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 二次根式的混合运算。
专题： 计算题。
分析： 根据二次根式的乘法对A、B进行判断；根据二次根式的除法对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．
解答： 解：A、=，所以A选项的计算正确；
B、与不是同类二次根式，不能合并，所以B选项的计算错误；
C、÷===2，所以C选项的计算正确；
D、==×=2，所以D选项的计算正确．
故选B．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算．
　
10．（2012 自贡）下列计算正确的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 二次根式的加减法；二次根式的乘除法。
专题： 计算题。
分析： 根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把化为最简二次根式，然后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断．
解答： 解：A、与不能合并，所以A选项不正确；
B、×=，所以B选项不正确；
C、﹣=2=，所以C选项正确；
D、÷=2÷=2，所以D选项不正确．
故选C．
点评： 本题考查了二次根式的加减运算：先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的乘除法．
　
11．（2012 资阳）下列计算或化简正确的是（　　）
　 A．a2+a3=a5 B． C． D．
考点： 二次根式的加减法；算术平方根；合并同类项；分式的基本性质。
专题： 计算题。
分析： A、根据合并同类项的法则计算；
B、化简成最简二次根式即可；
C、计算的是算术平方根，不是平方根；
D、利用分式的性质计算．
解答： 解：A、a2+a3=a2+a3，此选项错误；
B、+3=+，此选项错误；
C、=3，此选项错误；
D、=，此选项正确．
故选D．
点评： 本题考查了合并同类项、二次根式的加减法、算术平方根、分式的性质，解题的关键是灵活掌握有关运算法则，并注意区分算术平方根、平方根．
　
12．（2012 宜昌）下列计算正确的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 二次根式的混合运算。
专题： 计算题。
分析： 根据二次根式的乘除法则，及二次根式的化简结合选项即可得出答案．
解答： 解：A、 =1，故本选项正确；
B、﹣≠1，故本选项错误；
C、=，故本选项错误；
D、=2，故本选项错误；
故选A．
点评： 此题考查了二次根式的混合运算，解答本题注意掌握二次根式的加减及乘除法则，难度一般，注意仔细运算．
　
二、填空题
13．（2012 江西）当x=-4时，的值是 ．
13．
14．（2012 福州）若是整数，则正整数n的最小值为 ．
14．5
解：∵20n=22×5n．
∴整数n的最小值为5．
故答案是：5．
15．（2012 盐城）若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
15．x≥-1
16．（2012 铜仁地区）当x 时，二次根式有意义．
16．＞0
17．（2012 杭州）已知，若b=2-a，则b的取值范围是 ．
17．
解：∵，
∴，
解得a＞0且a＜，
∴0＜a＜，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
18．（2012 肇庆）计算的结果是 ．
18．2
19．（2012 南京）计算的结果是 ．
19．
解：原式=．
故答案为：。
20.（2012 遵义）计算： ．
20．
21．（2012 衡阳）计算 ．
21．
22．（2012 梅州）使式子有意义的最小整数m是　 　．
考点： 二次根式有意义的条件。
专题： 常规题型。
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，m﹣2≥0，
解得m≥2，
所以最小整数m是2．
故答案为：2．
点评： 本题考查二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
三、解答题
23．（2012 遵义）计算：（-1）101+（π-3）0+-．
23．解：原式=-1+1+2-（）=3-．
24．（2012 泉州）计算：+|-4|-9×3-1-20120．
24．解：+|-4|-9×3-1-20120
=+4-9×-1
=6+4-3-1
=6．
25．（2012 柳州）计算：．
考点： 二次根式的混合运算。
专题： 计算题。
分析： 先去括号得到原式=﹣+，再根据二次根式的性质和乘法法则得到原式=2﹣+．然后合并即可．
解答： 解：原式=﹣+
=2﹣+
=2．
点评： 本题考查了二次根式的混合运算：先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算；运用二次根式的性质和乘法法则进行运算．
　
26．（2012 大连）计算：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）
考点： 二次根式的混合运算；负整数指数幂。
专题： 计算题。
分析： 原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负指数公式化简，第三项利用平方差公式化简，合并后即可得到结果．
解答： 解：+（）﹣1﹣（+1）（﹣1）
=2+4﹣（5﹣1）
=2+4﹣4
=2．
点评： 此题考查了二次根式的混合运算，涉及的知识有：二次根式的化简，负指数公式，以及平方差公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．
　
（a≥o）
（a＜o）2013年中考数学专题复习第十六讲 相交线与平行线
【基础知识回顾】
直线、射线、线段
线段有 个端点，不的度量线比较大小，把线段向两个方向无限延伸，就得到直线，直线 端点，将线段向一个方向无限延伸就形成了射线，射线有 个端点，线段、直线、射线都有两种表示方法：不以用 表示 可以用 表示
线段工理：
直线工理
【名师提醒：一条直线上有几个点，则这条直线上存在 条线段】
二、角
1、定义：有公共端点的两条 组成的图形叫做角，角也可以一条 绕它的 从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形
【名师提醒：角的表示方法：不的用三个大写字母如∠AOB，也可用一个大写字母∠A或用一个数字或希腊字母表示，如∠1、∠2等，注意等于选择合适，简法的方法表示角】
2、角的分类：
角按照大小可分为：周角 、 、 锐角等。其中1周角= 度= 平角 直角 度= 分 1分= 秒
【名师提醒：钟表转动过程中常见时针，分针的夹角问题，要牢记一个前提：即时针分针转动 度，分针每分转动 度】
角的平分线
一条射线把一个角分成 的角，这条 叫做这个角的平分线
【名师提醒：1、一个角内有几条射线，则一共可形成 角】
互为余角 互为斜角
1、互为余角：若∠1+∠2 则称∠1与∠2互为余角
2、互为补角：若∠1+∠2 则称∠1与∠2互为补角
3性质：同角或等角的余角 同角或等角的余角
【名师提醒：1、互补和互余是挡两个角的 关系
2、一个锐角的补角比它的余角大 度】
三、相交线
1、对顶角及其性质：
对顶角：和邻补角两条直线相交所成德四个角中 的角是对顶角， 的
角是邻补角，如图： 对顶角有 邻补角有 对顶角性质
2、垂线及其性质
互相垂直：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是 则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫另一条直线的
性质：1、过一点 与已知直线垂直
2、直线外点与直线上各点连接的所有线段中， 最短，（简称： ）
【名师提醒：注意三个距离的区别1、两点间的距离是指：
2、点到直线的距离是指
3、两平行线间的距离是指 】
四、平行线：
1、三线八角：如图：两条直线a与b被第三条直线c所截，构成八个角
其中同位角有 对，分别是 ，内错角有 对，分别是 内错角有 对，分别是
2、平行线的意义：在同意平面呢 的两条直线叫平行线
3、平行公理：经过已知直线到一点 条直线与已知直线平行
4、平行线的性质和判定
两直线平行 ————→
【名师提醒：平行线的应用判定方法还有两条：1、平行于同一直线的两条直线互相 2、 同一直线的两条直线互相平行】
命题 公理 定理和证明
1、命题： 的语句叫命题，一个命题由 和 两部分构成，可分为 和 两类
2、公理：从实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真伪的原始根据的真命题
3、定理：经过证明的 命题叫做定理
4、互逆命题与互逆定理：
⑴在两个命题中，如果一个命题的 和 事另一个命题的 和 那么这两个命题称为互逆命题
⑵如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个 这两个定理称为
5、证明：⑴根据题设，定 义 公 理 及 定 理，经过逻辑推理来判断一个命题 这一推理过程称为证明
⑵命题完整证明的一般步骤：①审题：找出命题的 和
②根据题意画出
③写出 和
④分析证明的整理
⑤写出 每一步应有根据，要推理严密
【名师提醒：1、判断一个命题是其命题的 判断一个命题是假命题可以举出 2、任何一个命题一定有它的逆命题：对于任意一个定理 有它的逆定理】
【重点考点例析】
考点一：线与角的概念和性质
例1 （2012 丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（　　）
A．120° B．135° C．150° D．160°
思路分析：首先根据题意可得：∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数
解：如图，由题意得：∠1=30°，∠2=60°，
∵AE∥BF，
∴∠1=∠4=30°，
∵∠2=60°，
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°，
故选：C．
点评：此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
对应训练
1．（2012 江西）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（　　）
A．南偏西60° B．南偏西30° C．北偏东60° D．北偏东30°
1．思路分析：根据方向角的定义进行解答即可．解答：解：由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，
∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，
∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．
故选A．
点评：本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．
考点二：余角和补角
例2 （2012 孝感）已知∠α是锐角，∠α与∠β互补，∠α与∠γ互余，则∠β-∠γ的值等于（　　）
A．45° B．60° C．90° D．180°
思路分析：根据互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，结合题意即可得出答案．
解：由题意得，∠α+∠β=180°，∠α+∠γ=90°，
两式相减可得：∠β-∠γ=90°．
故选C．
点评：此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°，是解答本题的关键．
对应训练
2．（2012 南通）已知∠a=32°，则∠a的补角为（　　）
A．58° B．68° C．148° D．168°
2．分析：根据互为补角的和等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠a=32°，
∴∠a的补角为180°-32°=148°．
故选C．
点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记互为补角的和等于180°是解题的关键．
3．（2012 扬州）一个锐角是38度，则它的余角是 度．
3．52
分析：根据互为余角的两角之和为90°，可得出它的余角的度数．
解：这个角的余角为：90°-38°=52°．
故答案为：52．
点评：此题考查了余角的知识，掌握互为余角的两角之和为90°是解答本题的关键．
考点三：相交线与垂线
例3 （2012 北京）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠BOM等于（　　）
A．38° B．104° C．142° D．144°
思路分析：根据对顶角相等求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义求出∠AOM的度数，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠BOD=76°，
∴∠AOC=∠BOD=76°，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠AOC=×76°=38°，
∴∠BOM=180°-∠AOC=180°-38°=142°．
故选C．
点评：本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，准确识图是解题的关键．
对应训练
4．（2012 泉州）（1）如图，点A、O、B在同一直线上，已知∠BOC=50°，则∠AOC= °．
4．分析：根据邻补角互补直接求出∠AOC的值．
解：∵∠BOC=50°，
∴∠A0C=180°-50°=130°．
点评：本题考查了对顶角、邻补角，知道邻补角的和为180°是解题的关键．
考点四：平行线的判定与性质
例4 （2012 衡阳）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（　　）
A．70° B．90° C．110° D．80°
思路分析：首先根据垂直于同一条直线的两直线平行可得a∥b，再根据两直线平行同位角相等可得∠1=∠3．根据对顶角相等可得∠2=∠3，利用等量代换可得到∠2=∠1=70°．
解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，
∴a∥b，
∴∠1=∠3，
∵∠3=∠2，
∴∠2=∠1=70°．
故选：A．
点评：此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定方法与性质定理．
对应训练
5．（2012 宜宾）如图，已知∠1=∠2=∠3=59°，则∠4= ．
5．121°
分析：由∠1=∠3，利用同位角相等两直线平行，得到AB与CD平行，再利用两直线平行同旁内角互补得到∠5与∠4互补，利用对顶角相等得到∠5=∠2，由∠2的度数求出∠5的度数，即可求出∠4的度数．
解：∵∠1=∠3，
∴AB∥CD，
∴∠5+∠4=180°，又∠5=∠2=59°，
∴∠4=180°-59°=121°．
故答案为：121°
点评：此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
考点五：真假命题的识别
例6 （2012 呼和浩特）下列命题中，真命题的个数有（　　）
①一个图形无论经过平移还是旋转，变换后的图形与原来图形的对应线段一定平行
②函数y=x2+图象上的点P（x，y）一定在第二象限
③正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面
④使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为．
A．3个 B．1个 C．4个 D．2个
思路分析：①根据平移的性质以及旋转的性质得出答案即可；②根据二次根式的性质以及点的坐标性质，得出答案；③根据正投影的定义得出答案；
④根据使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|-3，y=-x2，故|x|-3=-x2，进而利用绝对值得性质，解方程即可得出答案．
解：①平移后对应线段平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化．
旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化，故此选项错误；
②根据二次根式的意义得出x＜0，y＞0，故函数y=x2+图象上的点P（x，y）一定在第二象限，故此选项正确；
③根据正投影的定义得出，正投影的投影线彼此平行且垂直于投影面，故此选项正确；
④使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立，即y=|x|-3，y=-x2，故|x|-3=-x2，
x2-|x|-3=0，
当x＞0，则x2-x-3=0，
解得：x1=，x2=（不合题意舍去），
当x＜0，则x2+x-3=0，
解得：x1=（不合题意舍去），x2=，
故使得|x|-y=3和y+x2=0同时成立的x的取值为：，-，故此选项错误，
故正确的有2个，
故选：D．
点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
同时也考查了平移的性质以及旋转的性质和二次根式的性质、正投影、解一元二次方程等知识，熟练根据绝对值性质整理出一元二次方程是解题关键．
对应训练
6．（2012 龙岩）下列命题中，为真命题的是（　　）
A．对顶角相等 B．同位角相等 C．若a2=b2，则a=b D．若a＞b，则-2a＞-2b
6．分析：分别判断四个选项的正确与否即可确定真命题．
解：A、对顶角相等为真命题；
B、两直线平行，同位角相等，故为假命题；
C、a2=b2，则a=±b，故为假命题；
D、若a＞b，则-2a＜-2b，故为假命题；
故选A．
【聚焦山东中考】
1．（2012 滨州）借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角（　　）
A．65° B．75° C．85° D．95°
1．思路分析：先分清一副三角尺，各个角的度数分别为多少，然后将各个角相加或相减即可得出答案．
解：利用一副三角板可以画出75°角，用45°和30°的组合即可，
故选：B．
点评：此题主要考查了用三角板直接画特殊角，关键掌握用三角板画出的角的规律：都是15°的倍数．
2．（2012 济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（　　）
A．40° B．75° C．85° D．140°
2．分析：根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图：
∵AE，DB是正南正北方向，
∴BD∥AE，
∵∠DBA=45°，
∴∠BAE=∠DBA=45°，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，
又∵∠DBC=80°，
∴∠ABC=80°-45°=35°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．
故选C．
点评：本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．
3．（2012 日照）如图，DE∥AB，若∠ACD=55°，则∠A等于（　　）
A．35° B．55° C．65° D．125°
3．分析：由DE∥AB，∠ACD=55°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠A的度数．
解：∵DE∥AB，∠ACD=55°，
∴∠A=∠ACD=55°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．
4．（2012 临沂）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，则∠2的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．140°
4．分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据直角三角形的性质即可得出∠2的度数．
解：∵AB∥CD，DB⊥BC，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
∵DB⊥BC，
∴∠2=90°-∠3=90°-40°=50°．
故选B．
点评：本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
5．（2012 济南）如图，直线a∥b，直线c与a，b相交，∠1=65°，则∠2=（　　）
A．115° B．65° C．35° D．25°
5．分析：由直线a∥b，∠1=65°，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由对顶角相等，即可求得答案．
解：∵直线a∥b，∠1=65°，
∴∠3=∠1=65°，
∴∠2=∠3=65°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
6．（2012 济南）下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．四个角是直角的四边形是正方形
D．对角线相等的梯形是等腰梯形
6．分析：根据矩形、菱形的判定方法以及定义即可作出判断．解答：解：A、对角线相等的平形四边形是矩形，故选项错误；
B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
C、四个角是直角的四边形是矩形，故选项错误；
D、正确．
故选D．点评：本题考查了真命题的判断，正确掌握定义、定理是关键．
7．（2012 菏泽）已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段
AC= cm．
7．5或11
分析：点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．因此分类讨论计算．
解：根据题意，点C可能在线段BC上，也可能在BC的延长线上．
若点C在线段BC上，则AC=AB-BC=8-3=5（cm）；
若点C在BC的延长线上，则AC=AB+BC=8+3=11（cm）．
故答案为 5或11．
点评：此题考查求两点间的距离，运用了分类讨论的思想，容易掉解．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 永州）永州境内的潇水河畔有朝阳岩、柳子庙和迥龙塔等三个名胜古迹（如图所示）．其中柳子庙坐落在潇水之西的柳子街上，始建于1056年，是永州人民为纪念唐宋八大家之一的柳宗元而筑建．现有三位游客分别参观这三个景点，为了使这三位游客参观完景点后步行返回旅游车上所走的路程总和最短．那么，旅游车等候这三位游客的最佳地点应在（　　）
A．朝阳岩
B．柳子庙
C．迥龙塔
D．朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间位置
1．分析：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，然后对四个答案进行比较即可．
解：设朝阳岩距离柳子庙的路程为5，朝阳岩距离迥龙塔的路程为8，则迥龙塔距离柳子庙的路程为13，
A、当旅游车停在朝阳岩时，总路程为5+13=18；
B、当旅游车停在柳子庙时，总路程为5+8=13；
C、当旅游车停在迥龙塔时，总路程为13+8=21；
D、当旅游车停在朝阳岩和迥龙塔这段路程的中间时，总路程大于13．
故路程最短的是旅游车停在柳子庙时，
故选B．
点评：本题考查了直线、射线及线段的有关知识，用特殊值的方法比较容易说出来．
2．（2012 长沙）下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（　　）
A． B． C． D．
2．分析：根据互补的两个角的和等于180°求出70°角的补角，然后结合各选项即可选择．
解：70°角的补角=180°-70°=110°，是钝角，
结合各选项，只有D选项是钝角，
所以，最有可能与70°角互补的是D选项的角．
故选D．
点评：本题考查了互为补角的定义，根据补角的定义求出70°角的补角是钝角是解题的关键．
3．（2012 桂林）如图，与∠1是内错角的是（　　）
A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
3．分析：根据内错角的定义找出即可．
解：根据内错角的定义，∠1的内错角是∠3．
故选B．
点评：本题考查了“三线八角”问题，确定三线八角的关键是从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义．
4．（2012 张家界）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法正确的是（　　）
A．当∠1=∠2时，一定有a∥b
B．当a∥b时，一定有∠1=∠2
C．当a∥b时，一定有∠1+∠2=90°
D．当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b
4．分析：根据平行线的判定定理与性质对各选项进行逐一判断即可．
解：A、若∠1=∠2不符合a∥b的条件，故本选项错误；
B、若a∥b，则∠1+∠2=180°，∠1不一定等于∠2，故本选项错误；
C、若a∥b，则∠1+∠2=180°，故本选项错误；
D、如图，由于∠1=∠3，当∠3+∠2=180°时，a∥b，，所以当∠1+∠2=180°时，一定有a∥b，故本选项正确．
故选D．
点评：本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理与性质是解答此题的关键．
6．（2012 肇庆）如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A的度数为（　　）
A．100° B．90° C．80° D．70°
6．分析：先根据平行线的性质求出∠C的度数，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可．
解：∵DE∥BC，∠AED=40°，
∴∠C=∠AED=40°，
∵∠B=60°，
∴∠A=180°-∠C-∠B=180°-40°-60°=80°．
故选C．
点评：本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠C的度数是解答此题的关键．
7．（2012 玉林）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1=50°，则∠2=（　　）
A．40° B．50° C．100° D．130°
7．分析：根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠2的度数．
解：∵a∥b，
∴∠1=∠2=50°．
故选B．
点评：此题考查了平行线的性质，关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，难度一般．
1．（2012 长春）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上一点，DE∥AB，∠ADE=42°，则∠B的大小为（　　）
　 A． 42° B． 45° C． 48° D． 58°
考点： 平行线的性质；直角三角形的性质。
专题： 探究型。
分析： 先根据平行线的性质求出∠CAB的度数，再根据直角三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵DE∥AB，∠ADE=42°，∴∠CAB=∠ADE=42°，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠B=90°﹣∠CAB=90°﹣42°=48°．故选C．
点评： 本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，用到的知识点为：①两直线平行，同位角相等；②直角三角形的两个锐角互补．
　
2．（2012 恩施州）如图，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，EG平分∠BEF，交CD于点G，∠1=50°，则∠2等于（　　）
　 A． 50° B． 60° C． 65° D． 90°
考点： 平行线的性质；角平分线的定义。
分析： 由AB∥CD，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，又由EG平分∠BEF，求得∠BEG的度数，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数．
解答： 解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠1=180°，∵∠1=50°，∴∠BEF=130°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠BEF=65°，∴∠2=∠BEG=65°．故选C．
点评： 此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用．
　
3．（2012 广元）一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度（　　）
　 A． 先向左转130°，再向左转50° B． 先向左转50°，再向右转50°
　 C． 先向左转50°，再向右转40° D． 先向左转50°，再向左转40°
考点： 平行线的性质。
分析： 首先根据题意画出图形，然后利用同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行，即可判定B正确，A，C，D错误，注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：如图：A、∵∠1=130°，∴∠3=50°=∠2，∴a∥b，当方向相反；B、∵∠1=∠2=50°，∴a∥b；C、∵∠1=50°，∠2=40°，∴∠1≠∠2，∴a不平行于b；C、∵∠2=40°，∴∠3=140°≠∠1，∴a不平行于b．故选B．
点评： 此题考查了平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意同位角相等，两直线平行与内错角相等，两直线平行定理的应用．
　
4．（2012 河池）如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上．如果∠1=25°，那么∠2的度数是（　　）
　 A． 30° B． 25° C． 20° D． 15°
考点： 平行线的性质。
专题： 探究型。
分析： 先根据直角三角板的性质得出∠AFE的度数，再根据平行线的性质求出∠2的度数即可．
解答： 解：∵△GEF是含45°角的直角三角板，∴∠GFE=45°，∵∠1=25°，∴∠AFE=∠GEF﹣∠1=45°﹣25°=20°，∵AB∥CD，∴∠2=∠AFE=20°．故选C．
点评： 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
　
5．（2012 荆门）已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于（　　）
　 A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
考点： 平行线的性质。
专题： 探究型。
分析： 先根据三角形外角的性质求出∠3的度数，再由平行线的性质得出∠4的度数，由直角三角形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵∠3是△ADG的外角，∴∠3=∠A+∠1=30°+25°=55°，∵l1∥l2，∴∠3=∠4=55°，∵∠4+∠EFC=90°，∴∠EFC=90°﹣55°=35°，∴∠2=35°．故选B．
点评： 本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
　
6．（2012 盐城）一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1=75°，则∠2的大小是（　　）
　 A． 75° B． 115° C． 65° D． 105°
考点： 平行线的性质。
专题： 探究型。
分析： 先根据AD∥BC求出∠3的度数，再根据AB∥CD即可得出结论．
解答： 解：∵AD∥BC，∠1=75°，∴∠3=∠1=75°，∵AB∥CD，∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣75°=105°．故选D．
点评： 本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，同位角相等，同旁内角互补．
8．（2012 岳阳）下列命题是真命题的是（　　）
A．如果|a|=1，那么a=1
B．一组对边平行的四边形是平行四边形
C．如果a有有理数，那么a是实数
D．对角线相等的四边形是矩形
8．分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：A、如果|a|=1，那么a=±1，错误；
B、一组对边平行的四边形是平行四边形，也可能是梯形，错误；
C、如果a有有理数，那么a是实数，正确；
D、对角线相等的四边形是矩形，也有可能是等腰梯形或其它四边形，错误．
故选C．
点评：主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（2012 娄底）下列命题中，假命题是（　　）
A．平行四边形是中心对称图形
B．三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等
C．对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差
D．若x2=y2，则x=y
9．分析：根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可．
解：A、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题；
B、三角形三边的垂直平分线相交于一点，为三角形的外心，这点到三角形三个顶点的距离相等，故该命题是真命题；
C、用样本的数字特征估计总体的数字特征：主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差，故该命题是真命题；
D、若x2=y2，则x=±y，不是x=y，故该命题是假命题；
故选D．
点评：本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．
二、填空题
5．（2012 南宁）如图所示，用直尺和三角尺作直线AB，CD，从图中可知，直线AB与直线CD的位置关系为 ．
5．AB∥CD
分析：根据同位角相等，两直线平行判断．解答：解：根据题意，∠1与∠2是三角尺的同一个角，
所以∠1=∠2，
所以，AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：AB∥CD．
点评：本题考查了平行线的判定熟练掌握同位角相等，两直线平行，并准确识图是解题的关键．
10．（2012 厦门）已知∠A=40°，则∠A的余角的度数是 ．
10．50°
分析：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，再根据∠A=40°求出∠B的度数即可．
解：设∠A的余角是∠B，则∠A+∠B=90°，
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-40°=50°．
故答案为：50°．
点评：本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
11．（2012 泰州）已知∠α的补角是130°，则∠α= 度．
11．50
分析：根据补角的和等于180°列式计算即可得解．
解：∵∠α的补角是130°，
∴∠α=180°-130°=50°．
故答案为：50．
点评：本题考查了余角与补角的定义，熟记补角的和等于180°是解题的关键．
7．（2012 鞍山）如图，直线a∥b，EF⊥CD于点F，∠2=65°，则∠1的度数是　25°　．
考点： 平行线的性质；直角三角形的性质。
专题： 探究型。
分析： 先根据直线a∥b，∠2=65°得出∠FDE的度数，再由EF⊥CD于点F可知∠DFE=90°，故可得出∠1的度数．
解答： 解：∵直线a∥b，∠2=65°，∴∠FDE=∠2=65°，∵EF⊥CD于点F，∴∠DFE=90°，∴∠1=90°﹣∠FDE=90°﹣65°=25°．故答案为：25°．
点评： 本题考查的是平行线的性质及直角三角形的性质，根据题意得出∠FDE的度数是解答此题的关键．
　
8．（2012 贵港）如图所示，直线a∥b，∠1=130°，∠2=70°，则∠3的度数是　60°　．
考点： 平行线的性质；三角形的外角性质。
分析： 利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3的同位角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求解．
解答： 解：如图，∵∠1=130°，∠2=70°，∴∠4=∠1﹣∠2=130°﹣70°=60°，∵a∥b，∴∠3=∠4=60°．故答案为：60°．
点评： 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
12．（2012 随州）平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线．若平面内的不同n个点最多可确定15条直线，则n的值为 ．
12．6
分析：根据平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线找出规律，再把15代入所得关系式进行解答即可．
解：∵平面内不同的两点确定1条直线，；
平面内不同的三点最多确定3条直线，即；
平面内不同的四点确定6条直线，即，
∴平面内不同的n点确定（n≥2）条直线，
∴平面内的不同n个点最多可确定15条直线时，=15，解得n=-5（舍去）或n=6．
故答案为：6．
点评：本题考查的是直线、射线、线段，是个规律性题目，关键知道当不在同一平面上的n个点时，可确定多少条直线，代入15即可求出n的值．
13．（2012 宁夏）如图，C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏西25°方向，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB= 度．
13．70
分析：先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即可进行解答．解答：解：连接AB．
∵C岛在A岛的北偏东45°方向，在B岛的北偏25°方向，
∴∠CAB+∠ABC=180°-（45°+25°）=110°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠ACB=180°-（∠CAB+∠ABC）=180°-110°=70°．
故答案为：70．
点评：本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB及∠ABC的度数是解答此题的关键．
14．（2012 广州）已知∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，则∠ABD= 度．
14．15
分析：根据角平分线的定义解答．解答：解：∵∠ABC=30°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠ABC=×30°=15°．
故答案为：15．
点评：本题考查了角平分线的定义，熟记定义是解题的关键．
15．（2012 铁岭）如图，已知∠1=∠2，∠B=40°，则∠3= ．
15．40°
分析：由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”得AB∥CE，再根据两直线平行，同位角相等即可得到∠3=∠B=40°．
解：∵∠1=∠2，
∴AB∥CE，
∴∠3=∠B，
而∠B=40°，
∴∠3=40°．
故答案为40°．
点评：本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
16．（2012 永州）如图，已知a∥b，∠1=45°，则∠2= 度．
16．135
考点：平行线的性质．专题：探究型．分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由两角互补的性质即可得出结论．
解：∵a∥b，∠1=45°，
∴∠1=∠3=45°，
∴∠3=180°-∠3=180°-45°=135°．
故答案为：135．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．
17．（2012 宿迁）如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′= °．
17．40
分析：根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG，再根据平角的定义求出∠EFD，然后根据折叠的性质可得∠EFD′=∠EFD，再根据图形，∠GFD′=∠EFD′-∠EFG，代入数据计算即可得解．
解：矩形纸片ABCD中，AD∥BC，
∵∠CEF=70°，
∴∠EFG=∠CEF=70°，
∴∠EFD=180°-70°=110°，
根据折叠的性质，∠EFD′=∠EFD=110°，
∴∠GFD′=∠EFD′-∠EFG，
=110°-70°，
=40°．
故答案为：40．
点评：本题考查了平行线的性质，以及折叠变换，根据两直线平行，内错角相等求出∠EFG是解题的关键，另外，根据折叠前后的两个角相等也很重要．
18．（2012 绵阳）如图，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF= 度．
18．35
分析：首先过点E作EM∥AB，由AB∥CD，可得EM∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEC的度数，又由对顶角相等，求得∠BED的度数，由EF是∠BED的平分线，即可求得答案．解答：解：过点E作EM∥AB，
∵AB∥CD，
∴EM∥AB∥CD，
∵∠1=30°，∠2=40°，
∴∠3=∠1=30°，∠4=∠2=40°，
∴∠BED=∠AEC=∠3+∠4=70°，
∵EF是∠BED的平分线，
∴∠BEF=1 2 ∠BED=1 2 ×70°=35°．
故答案为：35．
点评：此题考查了平行线的性质与角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用
三、解答题
19．（2012 佛山）比较两个角的大小，有以下两种方法（规则）
①用量角器度量两个角的大小，用度数表示，则角度大的角大；
②构造图形，如果一个角包含（或覆盖）另一个角，则这个角大．对于如图给定的∠ABC与∠DEF，用以上两种方法分别比较它们的大小．注：构造图形时，作示意图（草图）即可．
19．分析：①根据量角器的使用方法量出每一个角的度数，根据角的度数即可比较大小；
②把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，根据图形的包含情况即可得出答案．
解答：①解：用量角器度量∠AOB的度数时，把量角器的圆心和角的顶点重合，零刻度线和角的一条边OA重合，角的另一条边OB落在读数为130°的刻度线上，连接AB，则∠ABO=180°-130°=50°，同法量出∠DEF=70°，
即∠DEF＞∠ABC．
②解：如图：
把∠ABC放在∠DEF上，使B和E重合，边EF和BC重合，DE和BA在EF的同侧，
从图形可以看出∠DEF包含∠ABC，
即∠DEF＞∠ABC．
点评：本题主要考查学生的动手操作能力，注意：用量角器测量角的度数的方法，比较两个角的大小由三种方法：①度量法，②重叠法，③观察法，即通过看直接比较两个角的大小．
相等
性质
判定
同旁内角
相等相似三角形
第一部分 讲解部分
（一）课标要求
1．理解相似三角形的概念，总结相似三角形的对应角相等、对应边成比例等性质，掌握它们的基本运用。
2．经历三角形相似与全等的类比过程，进一步体验类比思想、特殊与一般的辩证思想。掌握判定两个三角形相似的基本方法；掌握两个相似三角形的周长比、面积比以及对应的角平分线比、对应的中线比、对应的高的比的性质；知道三角形的重心。会用相似三角形的判定与性质解决简单的几何问题和实际问题。
（二）知识要点
1．相似三角形的定义：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形。对应边的比叫做相似比。
三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等。
2．相似三角形的判定：①平行法②三组对应边的比相等(类似于三角形全等判定“SSS”)③两组对应边的比相等，且夹角相等(类似于三角形全等判定“SAS”)④两角对应相等(AA)
直角三角形中斜边、直角边对应比相等（类似于直角三角形全等判定“HL”）。
相似三角形的基本图形：
判断三角形相似，若已知一角对应相等，可先考虑另一角对应相等，注意公共角或对顶角或同角（等角）的余角（或补角）相等，若找不到第二对角相等，就考虑夹这个角的两对应边的比相等；若无法得到角相等，就考虑三组对应边的比相等。
3．相似三角形的性质：①对应角相等②对应边的比相等③对应的高、中线、角平分线、周长之比等于相似比④对应的面积之比等于相似比的平方。
4．相似三角形的应用：求物体的长或宽或高；求有关面积等。
（三）考点精讲
考点一：平行线分线段成比例
例1、（2011广东肇庆）如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n 与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC ＝ 4，CE ＝ 6，BD ＝ 3，则BF ＝（ ）
A． 7 B． 7.5 C． 8 D． 8.5
例2（2012 福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号）
练习：
1．（2011湖南怀化，6，3）如图所示：△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3，则CE的值为（ ）
A．9 B．6 C．3 D．4
2．（2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F是□ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2012 孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（　　）
A． B． C． D．
考点二：相似三角形的判定
例3、（2011湖北荆州）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有（ ）
A．1对　　B．2对　　　C．3对　　　　D．4对　
例4、（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种
例5（2012 徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= BC．图中相似三角形共有（　　）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
例6（2012 资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；
（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB；
（3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．
练习：
1．（2011江苏无锡，7，3分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA∶OC = OB∶OD，则下列结论中一定正确的是 ( )
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．②和④相似
2．（2011新疆乌鲁木齐，10，4分）如图，等边三角形的边长为3，点为边上一点，且，点为边上一点若，则的长为
A． B． C． D．1
3. （2012 攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. （2012 义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．
（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；
（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；
（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．
考点三：相似三角形的性质
例7、（2010山东烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是（ ）
A．AB2=BC·BD B．AB2=AC·BD C．AB·AD=BD·BC D．AB·AD=AD·CD
例8、（2011浙江嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC中，DE为中位线，则四边形BCED的面积为（　　）
（A） （B）
（C） （D）
例9（2012 重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 9：1
．
练习
1．（2011青海西宁，10，3分）如图6，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADB+∠EDC=120°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为
A．9 B．12 C．16 D．18
2．（2011四川雅安，9,3分）如图，D、E、F分别为△ABC三边的中点，则下列说法中不正确的为（ ）
A．△ADE∽△ABC B． C． D．DF=EF
3．（2011四川内江，加试2，6分）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，DF过EC的中点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．若△ADE的面积为S，则四边形BOGC的面积= ．
4．（2011辽宁丹东，16，3分）已知：如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么______________．
考点四 位似
例10（2012 玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=3，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（　　）
A． B． C． D．
对应训练
（2012 咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）
A．（，0） B．（ C． D．
考点五：相似三角形的应用
例6、（2010安徽芜湖）如图，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则_______m．
例7、（2011青海）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是　 　mm．
练习：
1．（2011湖北黄石，13，3分）有甲乙两张纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的2倍，如图（4）.将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形ABCD，则AB与BC的数量关系为 。
（五）真题演练
2、（ 2011重庆江津）已知如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,下列说法正确的是( )
A.都相似 B.都不相似 C.只有(1)相似 D.只有(2)相似
3、（2011黑龙江鸡西）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为 （ ）
A .3 B .2 C. D .3
5、（2011山东滨州）如图，直线PM切⊙O于点M,直线PO交⊙O于A、B两点，弦AC∥PM, 连接OM、BC.
求证：（1）△ABC∽△POM; (2)2OA2=OP·BC.
【聚焦山东中考】
1．（2012 潍坊）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（　　）
A． B． C． D．2
2．（2012 东营）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B′的坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（2，-3） C．（3，-2）或（-2，3） D．（-2，3）或（2，-3）
3. （2012 日照）在菱形ABCD中，E是BC边上的点，连接AE交BD于点F，若EC=2BE，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
4.（2012 德州）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（　　）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组F
5．（2012 威海）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（4，0），（8，2），（6，4）．已知△A1B1C1的两个顶点的坐标为（1，3），（2，5），若△ABC与△A1B1C1位似，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为 （3，4）或（0，4）
．
6．（2012 菏泽）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明）．
聚焦全国
1．（2012 天门）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
2．（2012 宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（　　）
A． B． C． D．
3．（2012 柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（　　）
A．FG B．FH C．EH D．EF
4.（2012 铜仁地区）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（　　）
A．∠E=2∠K
B．BC=2HI
C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL
5. （2012 荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
6. （2012 海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（　　）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
7．（2012 遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC， ，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（　　）
A．9 B．10 C．12 D．13
8. （2012 宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= AB，点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．（2012 钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（　　）
A．点M B．点N C．点O D．点P
10．（2012 毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（　　）
A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）
二、填空题
11．（2012 宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 =
S2．（填“＞”“=”或“＜”）
12.（2012 自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．
13. （2012 资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 。
14.（2012 镇江）如图，E是 ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4， ，则CF的长为 2
．
15.（2012 泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 2
．
16．（2012 青海）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 12
m．
17. （2012 娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 3.42
米．
18.（2012 北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= 5.5
m．
19.（2012 阜新） 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 12
．
三、解答题
20．（2012 上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．
（1）求证：BE=DF；
（2）当 时，求证：四边形BEFG是平行四边形．
21． （2012 云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．
求证：△ABC∽△MED．
22．（2012 株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O．
（1）求证：△COM∽△CBA；
（2）求线段OM的长度．
23. （2012 株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？
（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．
24. （2012 江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量：
AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm．
（1）求证：AC∥BD；
（2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）；
（3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由．
（参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器）
25．（2012 陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+ ．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
26．（2012 河北）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．
（1）AE和ED的数量关系为 AE=ED
；
AE和ED的位置关系为 AE⊥ED
；
（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．
①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．
②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．
第二部分 专题
a
b
c
A
B
C
D
E
F
m
n
A
B
C
D
O
①
②⊙o⊙
③⊙o⊙
④⊙o⊙
（第7题）
A
B
D
C
（例5）
A
B
C
D
E
G
F
O
35°
75°
75°
70°
(1)
A
B
C
D
O
4
3
6
8
(2)
（第3题）
（第5题）2013年中考数学专题复习第十讲：一元一次不等式（组）
【基础知识回顾】
不等式的基本概念：
1、不等式：用 连接起来的式子叫做不等式
2、不等式的解：使不等式成立的 值，叫做不等式的解
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等的解的 叫做不等式的解集
【名师提醒：1、常用的不等号有 等
2、不等式的解与解集是不同的两个概念，不等式的解事单独的未知数的值，而解集是一个包围的未知数的值组成的机合，一般由无数个解组成
3、不等式的解集一般可以在数轴上表示出来。注意“>”“<”在数轴上表示为 ，而“≥”“≤”在数轴上表示为 】
二、不等式的基本性质：
基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个 或同一个 不等号的方向 ，即：若a基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若a0则a c b c（或—）
基本性质3、不等式两边都乘以（或除以）同一个 不等号的方向 ，即：若a【名师提醒：运用不等式的基本性质解题时要主要与等式基本性质的区别与联系，特别强调：在不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向要 】
三、一元一次不等式及其解法：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 且系数 的不等式叫一元一次不等式，其一般形式为 或
2、一元一次不 等 式 的 解 法 步 骤 和 一 元一次方程的解法相同，即包含 等五个步骤
【名师提醒：在最后一步系数化为1时，切记不等号的方向是否要改变 】
一元一次不等式组及其解法：
1、定义：把几个含有相同未知数的 合起来，就组成了一个一元一次不等式组
2、解集：几个不等式解集的 叫做由它们所组成的不等式组的解集
3、解法步骤：先求出不等式组中多个不等式的 再求出他们的 部分，就得到不等式组的解集
4、一元一次不等式组解集的四种情况（a1
【名师提醒：1、求不等式的解集，一般要体现在数轴上，这样不
2、一元一次不等式组求解过程中往常出现求特殊解的问题，比如：整数解、非负数解等，这时要注意不要漏了解，特别当出现“≥”或“≤”时要注意两头的数值是否在取值的范围内】
五、一元一次不等式（组）的应用：
基本步骤同一元一次方程的应用可分为： 、 、 、 、 、 、 等七个步骤
【名师提醒：列不等式（组）解应用题，涉及的题型常与方案设计型问题相联系如：最大利润，最优方案等】
【重点考点例析】
考点一：不等式的基本性质
例1 （2012 绵阳）已知a＞b，c≠0，则下列关系一定成立的是（　　）
　 A． ac＞bc B． C． c﹣a＞c﹣b D． c+a＞c+b
考点： 不等式的性质。
分析： 根据不等式的基本性质进行判断即可．
解答： 解：A、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时乘以负数c，则不等号的方向发生改变，即ac＜bc．故本选项错误；
B、当c＜0时，不等式a＞b的两边同时除以负数c，则不等号的方向发生改变，即．故本选项错误；
C、在不等式a＞b的两边同时乘以负数﹣1，则不等号的方向发生改变，即﹣a＜﹣b；然后再在不等式的两边同时加上c，不等号的方向不变，即c﹣a＜c﹣b．故本选项错误；
D、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍然成立，即a+c＞b+c；故本选项正确；
故选D．
点评： 主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
对应训练
1．（2012 怀化）已知a＜b，下列式子不成立的是（　　）
　 A． a+1＜b+1 B． 3a＜3b C．﹣a＞﹣b D．如果c＜0，那么＜
考点： 不等式的性质。
分析： 利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变．
解答： 解：A、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
B、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式两边同时乘以﹣，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意；
D、不等式两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意．
故选D．
点评： 本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变．
考点二：不等式（组）的解法
例2 （2012 衢州）不等式2x﹣1＞x的解是　 　．
考点： 解一元一次不等式。
专题： 计算题。
分析： 先去分母，再移项、合并同类项、化系数为1即可．
解答： 解：去分母得，4x﹣2＞x，
移项得，4x﹣x＞2，
合并同类项得，3x＞2，
系数化为1得，x＞．
故答案为：x＞．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解答此题的关键．
例3 （2012 长沙）一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 不等式的解集。
专题： 计算题。
分析： 由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组的解集为﹣1≤x＜2，从而得出正确选项．
解答： 解：由图示可看出，从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆，表示x≥﹣1；
从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆，表示x＜2，所以这个不等式组的解集为﹣1≤x＜2，即：．
故选：C．
点评： 考查了不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
对应训练
2．（2012 白银）不等式2﹣2x＜x﹣4的解集是　x＞2　．
考点： 解一元一次不等式。
专题： 计算题。
分析： 将不等式的未知项移到不等式左边，常数项移动不等式右边，左右合并后，在不等式左右两边同时除以﹣3，不等号方向改变，即可求出原不等式的解集．
解答： 解：2﹣2x＜x﹣4，
移项得：﹣2x﹣x＜﹣4﹣2，
合并得：﹣3x＜﹣6，
将x系数化为1得：x＞2，
则原不等式的解集为x＞2．
故答案为：x＞2
点评： 此题考查了一元一次不等式的解法，解法步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1，求出解集．
3．（2012 咸宁）不等式组的解集在数轴上表示为（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
分析： 分别求出各不等式的解集，并求出其公共解集，在数轴上表示出来即可．
解答： 解：，
由①得，x＞1；
由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：1＜x≤2．
在数轴上表示为：
故选C．
点评： 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集及解一元一次不等式组，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
考点三：不等式（组）的特殊解
例3 （2012 毕节地区）不等式组的整数解是　 　．
考点： 一元一次不等式组的整数解。
分析： 首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的整数解即可．
解答： 解：，
解①得：x≤1，
解②得：x＞﹣
则不等式组的解集是：﹣＜x≤1，
则整数解是：﹣1，0，1．
故答案是：﹣1，0，1．
点评： 本题考查了不等式组的整数解，正确解不等式组是解题的关键．
对应训练
4．（2012 大庆）不等式组的整数解是　 　．
考点： 一元一次不等式组的整数解。
分析： 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后确定解集中的整数即可．
解答： 解：，
解①得：x＞2，
解②得：x≤3，
则不等式组的解集是：2＜x≤3．
则不等式组的整数解是：3．
故答案是：3．
点评： 考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
考点四：确定不等式（组）中字母的取值范围
　
例5 （2012 黄石）若关于x的不等式组有实数解，则a的取值范围是　 　．
考点： 解一元一次不等式组。
专题： 计算题。
分析： 分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有实数解即可得到关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
解答： 解：，由①得，x＜3，由②得，x＞，
∵此不等式组有实数解，
∴＜3，
解得a＜4．
故答案为：a＜4．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，根据不等式组有实数解得出关于a的不等式是解答此题的关键．
对应训练
5．（2012 鄂州）若关于x的不等式的解集为x＜2，则a的取值范围是　 　．
考点： 解一元一次不等式组。
分析： 根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律得出﹣a≥2，求出即可．
解答： 解：，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜﹣a，
∵不等式组的解集是x＜2，
∴﹣a≥2，
∴a≤﹣2，
故答案为：a≤﹣2
点评： 本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式（组）的应用，关键是能根据不等式的解集得出关于a的不等式，题目比较好，难度不大．
考点五：不等式（组）的应用
例5 （2012 自贡）暑期中，哥哥和弟弟二人分别编织28个中国结，已知弟弟单独编织一周（7天）不能完成，而哥哥单独编织不到一周就已完成．哥哥平均每天比弟弟多编2个．
求：（1）哥哥和弟弟平均每天各编多少个中国结？（答案取整数）
（2）若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作几天，两人所编中国结数量相同？
考点： 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用。
专题： 应用题。
分析： （1）设弟弟每天编x个中国结，根据弟弟单独工作一周（7天）不能完成，得7x＜28；根据哥哥单独工作不到一周就已完成，得7（x+2）＞28，列不等式组进行求解；
（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，结合（1）中求得的结果，列方程求解．
解答： 解：（1）设弟弟每天编x个中国结，则哥哥每天编（x+2）个中国结．
依题意得：，
解得：2＜x＜4．
∵x取正整数，
∴x=3；
（2）设哥哥工作m天，两人所编中国结数量相同，
依题意得：3（m+2）=5m，
解得：m=3．
答：弟弟每天编3个中国结；若弟弟先工作2天，哥哥才开始工作，那么哥哥工作3天，两人所编中国结数量相同．
点评： 本题考查一元一次不等式组和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
对应训练
5．（2012 铜仁地区）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）关系式为：A种纪念品8件需要钱数+B种纪念品3件钱数=950；A种纪念品5件需要钱数+B种纪念品6件需要钱数=800；
（2）关系式为：用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，得出不等式组求出即可；
（3）计算出各种方案的利润，比较即可．
解答： 解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，
根据题意得方程组得：，
解方程组得：，
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，
∴，
解得：50≤x≤53，
∵x 为正整数，
∴共有4种进货方案；
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，
因此选择购A种50件，B种50件．
总利润=50×20+50×30=2500（元）
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，找到相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解．
【聚焦山东中考】
1．（2012 临沂）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
分析： 首先求不等式组中每个不等式的解集，再利用解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，找到不等式组的公共解集，再用数轴表示公共部分．
解答： 解：，
由①得：x＜3，
由②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
在数轴上表示为：
．
故选：A．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
2．（2012 泰安）将不等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题： 探究型。
分析： 分别求出各不等式的解集，在数轴上表示出来，其公共部分即为不等式组的解集．
解答： 解：，由①得，x＞3；由②得，x≤4，
故其解集为：3＜x≤4．
在数轴上表示为：
故选C．
点评： 本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，解答此类题目时要注意实心圆点与空心圆点的区别．
3．（2012 烟台）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题： 计算题。
分析： 先解不等式组得到﹣1＜x≤2，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法即可得到正确答案．
解答： 解：
解不等式①得，x≤2，
解不等式②得x＞﹣1，
所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．
故选A．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集：在数轴上，一个数的左边部分表示大于这个数，这个数用空心圈上，当含有等于这个数时，用实心圈上．也考查了解一元一次不等式组．
4．（2012 潍坊）不等式组的解等于（　　）
　 A． 1＜x＜2 B． x＞1 C． x＜2 D． x＜1或x＞2
考点： 解一元一次不等式组。
专题： 探究型。
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：，由①得，x＞1；由②得，x＜2，
故此不等式组的解集为：1＜x＜2．
故选A．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．（2012 滨州）不等式的解集是（　　）
　 A． x≥3 B． x≥2 C． 2≤x≤3 D． 空集
考点： 解一元一次不等式组。
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，就是不等式组的解集．
解答： 解：，
解①得：x≥2，
解②得：x≥3．
则不等式组的解集是：x≥3．
故选A．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
6．（2012 日照）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有（　　）
　 A．29人 B． 30人 C． 31人 D． 32人
考点： 一元一次不等式组的应用。
分析： 首先设这个敬老院的老人有x人，则有牛奶（4x+28）盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒”可得不等式组，解出不等式组后再找出符合条件的整数．
解答： 解：设这个敬老院的老人有x人，依题意得：
，
解得：29＜x≤32，
∵x为整数，
∴x最少为30，
故选：B．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组．
7．（2012 菏泽）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是　 　．
考点： 不等式的解集。
专题： 探究型。
分析： 根据“同大取较大”的法则进行解答即可．
解答： 解：∵不等式组的解集是x＞3，
∴m≤3．
故答案为：m≤3．
点评： 本题考查的是不等式的解集，熟知“同大取较大”的法则是解答此题的关键．
8．（2012 济南）不等式组的解集为　 　．
考点： 解一元一次不等式组。
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：，由①得，x＜2；由②得，x≥﹣1，
故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
故答案为：﹣1≤x＜2．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
9．（2012 威海）解不等式组，并把解集表示在数轴上：．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
专题： 探究型。
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
解答： 解：解不等式①，得x≤﹣2，
解不等式②，得x＞﹣3，
故原不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣2，
在数轴上表示为（如图）
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
10．（2012 日照）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
专题： 计算题。
分析： 将不等式组的两不等式分别记作①和②，由不等式①移项，将x的系数化为1，求出x的范围，由不等式②左边去括号后，移项并将x的系数化为1求出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示在数轴上即可．
解答： 解：，
由不等式①移项得：4x+x＞1﹣6，
整理得：5x＞﹣5，
解得：x＞﹣1，…（1分）
由不等式②去括号得：3x﹣3≤x+5，
移项得：3x﹣x≤5+3，
合并得：2x≤8，
解得：x≤4，…（2分）
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．…（4分）
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…（6分）
点评： 此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法（同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解）来找出不等式组的解集．
11．（2012 聊城）解不等式组．
考点： 解一元一次不等式组。
专题： 探究型。
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：
解不等式①，得x＜3，
解不等式②，得x≥﹣1．
所以原不等式的解集为﹣1≤x＜3．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
　
12．（2012 济宁）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
专题： 计算题。
分析： 利用去分母及去括号法则化简原不等式组的两不等式，分别求出解集，将两解集表示在数轴上，找出两解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集．
解答： 解：，
由不等式①去分母得：x+5＞2x，解得：x＜5；
由不等式②去括号得：x﹣3x+3≤5，解得：x≥﹣1，
把不等式①、②的解集表示在数轴上为：
则原不等式的解集为﹣1≤x＜5．
点评： 此题考查了一元一次不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，其中不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小无解．
13．（2012 潍坊）为了援助失学儿童，初三学生李明从2012年1月份开始，每月一次将相等数额的零用钱存入已有部分存款的储蓄盒内，准备每6个月一次将储蓄盒内存款一并汇出（汇款手续费不计）．已知2月份存款后清点储蓄盒内有存款80元，5月份存款后清点储蓄盒内有存款125元．
（1）在李明2012年1月份存款前，储蓄盒内已有存款多少元？
（2）为了实现到2015年6月份存款后存款总数超过1000元的目标，李明计划从2013年1月份开始，每月存款都比2012年每月存款多t元（t为整数），求t的最小值．
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）设李明每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，根据题意得两个等量关系：①储蓄盒内原有存款+2个月的存款=80元；储蓄盒内原有存款+5个月的存款=125元，根据等量关系可列出方程组，解可得答案；
（2）首先计算出2012年共有的存款数，再由题意可得从2013年1月份开始，每月存款为（15+t）元；从2013年1月到2015年6月共有30个月，共存款30（15+t），再加上2012年共有的存款数存款总数超过1000元，由此可得不等式230+30（15+t）＞1000，解出不等式，取符合条件的最小的整数值即可．
解答： 解：（1）设李明每月存款x元，储蓄盒内原有存款y元，依题意得，
，
解得，
答：储蓄盒内原有存款50元；
（2）由（1）得，李明2012年共有存款12×15+50=230元，
2013年1月份后每月存入（15+t）元，
2013年1月到2015年6月共有30个月，
依題意得，230+30（15+t）＞1000，
解得t＞10，
所以t的最小值为11．
答：t的最小值为11．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，再设出未知数列出方程组与不等式组．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 凉山州）设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天枰称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（　　）
　 A． c＜b＜a B． b＜c＜a C． c＜a＜b D． b＜a＜c
考点： 不等式的性质；等式的性质。
专题： 应用题。
分析： 观察图形可知：b=2c；a＞b．
解答： 解：依题意得 b=2c；a＞b．
所以 a＞b＞c．
故选A．
点评： 此题考查不等式的性质，渗透了数形结合的思想，属基础题．
　
　
2．（2012 广州）已知a＞b，若c是任意实数，则下列不等式中总是成立的是（　　）
　 A． a+c＜b+c B． a﹣c＞b﹣c C． ac＜bc D． ac＞bc
考点： 不等式的性质。
分析： 根据不等式的性质，分别将个选项分析求解即可求得答案；注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：A、∵a＞b，c是任意实数，∴a+c＞b+c，故本选项错误；
B、∵a＞b，c是任意实数，∴a﹣c＞b﹣c，故本选项正确；
C、当a＞b，c＜0时，ac＜bc，而此题c是任意实数，故本选项错误；
D、当a＞b，c＞0时，ac＞bc，而此题c是任意实数，故本选项错误．
故选B．
点评： 此题考查了不等式的性质．此题比较简单，注意解此题的关键是掌握不等式的性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
　
3．（2012 常州）已知a、b、c、d都是正实数，且＜，给出下列四个不等式：
①＜；②＜；③；④＜
其中不等式正确的是（　　）
　 A．①③ B． ①④ C． ②④ D． ②③
考点： 不等式的性质。
专题： 计算题。
分析： 由＜，a、b、c、d都是正实数，根据不等式不等式的性质不等式都乘以bd得到ad＜bc，然后两边都加上ac得到ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），然后两边都除以（c+d）（a+b）得到＜，得到①正确，②不正确；同理可得到＜，则③正确，④不正确．
解答： 解：∵＜，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b），
∴＜，所以①正确，②不正确；
∵＜，a、b、c、d都是正实数，
∴ad＜bc，
∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c），
∴＜，所以③正确，④不正确．
故选A．
点评： 本题考查了不等式的性质：不等式两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不改变；等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
4．（2012 攀枝花）下列说法中，错误的是（　　）
　 A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B． ﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解
　 C．不等式﹣3x＞9的解集是x＞﹣3 D． 不等式x＜10的整数解有无数个
考点： 不等式的解集。
分析： 解不等式求得B，C即可选项的不等式的解集，即可判定C错误，又由不等式解的定义，判定B正确，然后由不等式整数解的知识，即可判定A与D正确，则可求得答案．
解答： 解：A、不等式x＜2的正整数只有1，故本选项正确，不符合题意；
B、2x﹣1＜0的解集为x＜，所以﹣2是不等式2x﹣1＜0的一个解，故本选项正确，不符合题意；
C、不等式﹣3x＞9的解集是x＜﹣3，故本选项错误，符合题意；
D、不等式x＜10的整数解有无数个，故本选项正确，不符合题意．
故选C．
点评： 此题考查了不等式的解的定义，不等式的解法以及不等式的整数解．此题比较简单，注意不等式两边同时除以同一个负数时，不等号的方向改变．
　
5．（2012 河北）下列各数中，为不等式组解的是（　　）
　 A． ﹣1 B． 0 C． 2 D． 4
考点： 不等式的解集；解一元一次不等式组。
专题： 计算题。
分析： 分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可．
解答： 解：，
由①得，x＞，
由②得，x＜4，
∴不等式组的解集为＜x＜4．
四个选项中在＜x＜4中的只有2．
故选C．
点评： 本题考查了不等式组的解集和解一元一次不等式，能找到各不等式的解集的公共部分是解题的关键．
　
　
6．（2012 遵义）如图，数轴上表示某不等式组的解集，则这个不等式组可能是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集。
分析： 首先由数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，然后解各不等式组，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答： 解：如图：数轴上表示的不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，
A、解得：此不等式组的解集为：﹣1≤x≤2，故本选项正确；
B、解得：此不等式组的解集为：x≤﹣1，故本选项错误；
C、解得：此不等式组的无解，故本选项错误；
D、解得：此不等式组的解集为：x≥2，故本选项错误．
故选A．
点评： 此题考查了在数轴上表示不等式解集的知识．此题比较简单，注意掌握不等式组的解法是解此题的关键．
　
　
　
7．（2012 西宁）函数y=的自变量x的取值范围在数轴上可表示为（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；函数自变量的取值范围。
专题： 探究型。
分析： 先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围并在数轴上表示出来即可．
解答： 解：∵y=，
∴x﹣2≥0，解得x≥2，
在数轴上表示为：
故选D．
点评： 本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知二次根式有意义的条件是解答此题的关键．
　
8．（2012 武汉）在数轴上表示不等式x﹣1＜0的解集，正确的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式。
分析： 求出不等式的解集，在数轴上表示出不等式的解集，即可选出答案．
解答： 解：x﹣1＜0，
∴x＜1，
在数轴上表示不等式的解集为：，
故选B．
点评： 本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集的应用，注意：在数轴上，右边表示的数总比左边表示的数大，不包括该点时，用“圆圈”，包括时用“黑点”．
　
　
9．（2012 天门）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解答： 解：，
由①得x≥﹣1；
由②得x＜2；
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2；
在数轴上表示为：
故选C．
点评： 本题考查了不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．
　
　
10．（2012 云南）不等式组的解集是（　　）
　 A． x＜1 B． x＞﹣4 C． ﹣4＜x＜1 D． x＞1
考点： 解一元一次不等式组。
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可得到不等式组的解集．
解答： 解：，
由①得﹣x＞﹣1，即x＜1；
由②得x＞﹣4；
由以上可得﹣4＜x＜1．
故选C．
点评： 主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
　
11．（2012 义乌市）在x=﹣4，﹣1，0，3中，满足不等式组的x值是（　　）
　 A．﹣4和0 B． ﹣4和﹣1 C． 0和3 D． ﹣1和0
考点： 解一元一次不等式组；不等式的解集。
专题： 探究型。
分析： 先求出不等式组的解集，再在其取值范围内找出符合条件的x的值即可．
解答： 解：，
由②得，x＞﹣2，
故此不等式组的解集为：﹣2＜x＜2，
x=﹣4，﹣1，0，3中只有﹣1、0满足题意．
故选D．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意求出不等式组的解集是解答此题的关键．
　
　
12．（2012 丹东）不等式组的解集是（　　）
　 A．﹣3＜x＜4 B． 3＜x≤4 C． ﹣3＜x≤4 D． x＜4
考点： 解一元一次不等式组。
专题： 探究型。
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
解答： 解：，
由①得，x＞﹣3；
由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：﹣3＜x＜4．
故选A．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
　
二、填空题
13．（2012 柳州）如图，x和5分别是天平上两边的砝码，请你用大于号“＞”或小于号“＜”填空： ．
考点： 不等式的性质。
分析： 托盘天平是支点在中间的等臂杠杆，天平平衡时砝码的质量等于被测物体的质量，根据图示知被测物体x的质量小于砝码的质量．
解答： 解：根据图示知被测物体x的质量小于砝码的质量，即x＜5；
故答案是：＜．
点评： 本题考查了不等式的相关知识，利用“天平”的不平衡来得出不等关系，体现了“数形结合”的数学思想．
　
　
　
14．（2012 南充）不等式x+2＞6的解集为　x＞4　．
考点： 解一元一次不等式。
专题： 计算题。
分析： 根据一元一次不等式的解法，移项、合并同类项即可．
解答： 解：移项得，x＞6﹣2，
合并同类项得，x＞4．
故答案为：x＞4．
点评： 本题考查了解一元一次不等式，比较简单，注意移项要变号．
2．（2012 珠海）不等式组的解集是　﹣1＜x≤2　．
考点： 解一元一次不等式组。
专题： 计算题。
分析： 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
解答： 解：，
解不等式①得，x＞﹣1，
解不等式②得，x≤2，
所以不等式组的解集是﹣1＜x≤2．
故答案为：﹣1＜x≤2．
点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
　
　
15．（2012 黑龙江）若不等式组的解集是x＞1，则a的取值范围是　a≤1　．
考点： 解一元一次不等式组。
专题： 计算题。
分析： 先求出第二个不等式的解集，然后根据“同大取大”确定a的值即可．
解答： 解：，
解不等式②得，x＞1，
∵不等式组的解集是x＞1，
∴a≤1．
故答案为：a≤1．
点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的确定求法，根据“同大取大”的原则，a不大于1，从而得解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
　
　　
16．（2012 绵阳）如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数a，b组成的有序数对（a，b）共有　6　个．
考点： 一元一次不等式组的整数解。
分析： 首先解不等式组，不等式组的解集即可利用a，b表示，根据不等式组的整数解仅为1，2即可确定a，b的范围，即可确定a，b的整数解，即可求解．
解答： 解：，
由①得：x≥，
由②得：x≤，
不等式组的解集为：≤x≤，
∵整数解仅有1，2，
，
∴0＜≤1，2≤＜3，
解得：0＜a≤3，4≤b＜6，
∴a=1，2，3，
b=4，5，
∴整数a，b组成的有序数对（a，b）共有3×2=6个，
故答案为：6．
点评： 此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定a，b的取值范围是解决问题的关键．
17．（2012 广安）不等式2x+9≥3（x+2）的正整数解是　1，2，3　．
考点： 一元一次不等式的整数解。
专题： 计算题。
分析： 先解不等式，求出其解集，再根据解集判断其正整数解．
解答： 解：2x+9≥3（x+2），
去括号得，2x+9≥3x+6，
移项得，2x﹣3x≥6﹣9，
合并同类项得，﹣x≥﹣3，
系数化为1得，x≤3，
故其正整数解为1，2，3．
点评： 本题考查了一元一次不等式的整数解，会解不等式是解题的关键．
　
　
18．（2012 陕西）小宏准备用50元钱买甲、乙两种饮料共10瓶，已知甲饮料每瓶7元，乙饮料每瓶4元，则小红最多能买　3　瓶甲饮料．
考点： 一元一次不等式的应用。
分析： 首先设小红能买x瓶甲饮料，则可以买（10﹣x）瓶乙饮料，由题意可得不等关系：甲饮料的花费+乙饮料的花费≤50元，根据不等关系可列出不等式，再求出整数解即可．
解答： 解：设小红能买x瓶甲饮料，则可以买（10﹣x）瓶乙饮料，由题意得：
7x+4（10﹣x）≤50，
解得：x≤，
∵x为整数，
∴x，0，1，2，3，
则小红最多能买3瓶甲饮料．
故答案为：3．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，关键是弄清题意，找出合适的不等关系，设出未知数，列出不等式．
　
19．（2012 凉山州）某商品的售价是528元，商家出售一件这样的商品可获利润是进价的10%～20%，设进价为x元，则x的取值范围是　440≤x≤480　．
考点： 一元一次不等式组的应用。
分析： 根据：售价=进价×（1+利润率），可得：进价=，商品可获利润（10%～20%），即售价至少是进价（1+10%）倍，最多是进价的1+20%倍，据此即可解决问题．
解答： 解：设这种商品的进价为x元，则得到不等式：
≤x≤，
解得440≤x≤480．
则x的取值范围是440≤x≤480．
故答案为：440≤x≤480．
点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，读懂题列出不等式关系式即可求解．注意弄清售价、进价、利润率之间的关系．
三、解答题
20．（2012 肇庆）解不等式：2（x+3）﹣4＞0，并把解集在下列的数轴上（如图）表示出来．
考点： 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。
分析： 首先去括号，再合并同类项，移项，再把x的系数化为1即可求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
解答： 解：2（x+3）﹣4＞0，
去括号得：2x+6﹣4＞0，
合并同类项得：2x+2＞0，
移项得：2x＞﹣2，
把x的系数化为1得：x＞﹣1，
在数轴上表示为：
．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式，解答这类题学生往往在解题时不注意去括号、移项要改变符号这一点而出错．做题过程中同学们一定要注意．
　
21．（2012 嘉兴）解不等式2（x﹣1）﹣3＜1，并把它的解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集。
专题： 计算题。
分析： 根据一元一次不等式的解法，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解．
解答： 解：去括号得，2x﹣2﹣3＜1，
移项、合并得，2x＜6，
系数化为1得，x＜3．
在数轴上表示如下：
点评： 本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，＞向右画，＜向左画，≤与≥用实心圆点，＜与＞用空心圆圈．
　
22．（2012 呼和浩特）（1）解不等式：5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7；
（2）若（1）中的不等式的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解，求a的值．
考点： 解一元一次不等式；一元一次方程的解；一元一次不等式的整数解。
分析： （1）根据不等式的基本性质先去括号，然后通过移项、合并同类项即可求得原不等式的解集；
（2）根据（1）中的x的取值范围来确定x的最小整数解；然后将x的值代入已知方程列出关于系数a的一元一次方程2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3，通过解该方程即可求得a的值．
解答： 解：（1）5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7
5x﹣10+8＜6x﹣6+7
5x﹣2＜6x+1
﹣x＜3
x＞﹣3
（2）由（1）得，最小整数解为x=﹣2，
∴2×（﹣2）﹣a×（﹣2）=3
∴a=．
点评： 本题考查了解一元一次不等式、一元一次方程的解以及一元一次不等式的整数解．解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
23．（2012 岳阳）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
解答： 解：，
由①得2x≥2，即x≥1；
由②得x＜3；
在数轴上表示为：
故不等式组的解集为：1≤x＜3．
点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x≥较小的数、＜较大的数，那么解集x介于两数之间．
　
　
24．（2012 苏州）解不等式组．
考点： 解一元一次不等式组。
分析： 首先分别解出两个不等式，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定解集即可．
解答： 解：，
由不等式①得，x＜2，
由不等式②得，x≥﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜2．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是正确求出两个不等式的解集．
　
　
25．（2012 莆田）已知三个一元一次不等式：2x＞6，2x≥x+1，x﹣4＜0，请从中选择你喜欢的两个不等式，组成一个不等式组，求出这个不等式组的解集，并把解集在数轴上表示出来．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。
专题： 开放型。
分析： 任意选取两个不等式组成不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来．
解答： 解：由题意可得不等式组：，由①得，x＞3；由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：3＜x＜4，
在数轴上表示为：
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
　
26．（2012 梅州）解不等式组：，并判断﹣1、这两个数是否为该不等式组的解．
考点： 解一元一次不等式组；估算无理数的大小。
专题： 探究型。
分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，由x的取值范围即可得出结论．
解答： 解：，
由①得x＞﹣3；
由②得x≤1
故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤1，
所以﹣1是该不等式组的解，不是该不等式组的解．
点评： 本题考查的是解一元一次不等式组及估算无理数的大小，根据题意求出x的取值范围是解答此题的关键．
　
　
27．（2012 玉林）求不等式组的整数解．
考点： 一元一次不等式组的整数解。
分析： 首先解出两个不等式，再根据大大取大，小小取小，大小小大取中，大大小小找不着确定不等式组的解集，再找出符合条件的整数解即可．
解答： 解：，
由①得：x≥4，
由②得：x≤6，
不等式组的解集为：4≤x≤6，
故整数解是：x=4，5，6．
点评： 此题主要考查了求一元一次不等式组的整数，解解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
　
28．（2012 张家界）某公园出售的一次性使用门票，每张10元，为了吸引更多游客，新近推出购买“个人年票”的售票活动（从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B两类：A类年票每张100元，持票者每次进入公园无需再购买门票；B类年票每张50元，持票者进入公园时需再购买每次2元的门票．某游客一年中进入该公园至少要超过多少次时，购买A类年票最合算？
考点： 一元一次不等式组的应用。
分析： 由于购买A年票首先要花100元，以后就不用再花钱了，那么可让另外三种购票方式所花的费用分别大于等于100，可得出不等式组，然后根据得到的自变量的取值范围，判断除至少超过多少次，购买A才合算．
解答： 解：设某游客一年中进入该公园x次，依题意得不等式组：
，
解①得：x≥10，
解②得：x≥25，
∴不等数组的解集是：x≥25．
答：某游客一年进入该公园超过25次时，购买A类年票合算．
点评： 此题主要考查了不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
29．（2012 益阳）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进A、B两种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
（1）若购进A、B两种树苗刚好用去1220元，问购进A、B两种树苗各多少棵？
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用。
分析： （1）假设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，利用购进A、B两种树苗刚好用去1220元，结合单价，得出等式方程求出即可；
（2）结合（1）的解和购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，可找出方案．
解答： 解：（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，根据题意得：
80x+60（17﹣x ）=1220，
解得：x=10，
∴17﹣x=7，
答：购进A种树苗10棵，B种树苗7棵；
（2）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗（17﹣x）棵，
根据题意得：
17﹣x＜x，
解得：x＞，
购进A、B两种树苗所需费用为80x+60（17﹣x）=20x+1020，
则费用最省需x取最小整数9，
此时17﹣x=8，
这时所需费用为20×9+1020=1200（元）．
答：费用最省方案为：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵．这时所需费用为1200元．
点评： 此题主要考查了一元一次不等式组的应用以及一元一次方程应用，根据一次函数的增减性得出费用最省方案是解决问题的关键．
　
　
30．（2012 宁波）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水及提示计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨以下 a 0.80
超过17吨但不超过30吨的部分 b 0.80
超过30吨的部分 6.00 0.80
（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a、b的值；
（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）根据等量关系：“小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元”；“5月份用水25吨，交水费91元”可列方程组求解即可．
（2）先求出小王家六月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可．
解答： 解：（1）由题意，得
②﹣①，得5（b+0.8）=25，
b=4.2，
把b=4.2代入①，得17（a+0.8）+3×5=66，
解得a=2.2
∴a=2.2，b=4.2．
（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116元，
9200×2%=184元，
∵116＜184，
∴小王家六月份的用水量超过30吨．
设小王家六月份用水量为x吨，
由题意，得17×3+13×5+6.8（x﹣30）≤184，
6.8（x﹣30）≤68，
解得x≤40．
∴小王家六月份最多能用水40吨．
点评： 本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．同时考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题干找出合适的等量关系．
　
31．（2012 湖州）为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，现计划用210000元资金，购买这三种树共1000棵．
（1）求乙、丙两种树每棵各多少元？
（2）若购买甲种树的棵树是乙种树的2倍，恰好用完计划资金，求这三种树各能购买多少棵？
（3）若又增加了10120元的购树款，在购买总棵树不变的前提下，求丙种树最多可以购买多少棵？
考点： 一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用。
分析： （1）利用已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，即可求出乙、丙两种树每棵钱数；
（2）假设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000﹣3x）棵，利用（1）中所求树木价格以及现计划用210000元资金购买这三种树共1000棵，得出等式方程，求出即可；
（3）假设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000﹣y）棵，根据题意得：200（1000﹣y）+300y≤210000+10120，求出即可．
解答： 解：（1）已知甲、乙丙三种树的价格之比为2：2：3，甲种树每棵200元，
则乙种树每棵200元，
丙种树每棵×200=300（元）；
（2）设购买乙种树x棵，则购买甲种树2x棵，丙种树（1000﹣3x）棵．
根据题意：
200×2x+200x+300（1000﹣3x）=210000，
解得x=300
∴2x=600，1000﹣3x=100，
答：能购买甲种树600棵，乙种树300棵，丙种树100棵；
（3）设购买丙种树y棵，则甲、乙两种树共（1000﹣y）棵，
根据题意得：
200（1000﹣y）+300y≤210000+10120，
解得：y≤201.2，
∵y为正整数，∴y取201．
答：丙种树最多可以购买201棵．
点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．本题难点是（3）中总钱数变化，购买总棵树不变的情况下得出不等式方程．
　
32．（2012 哈尔滨）同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310元，购买2个足球和5个篮球共需500元．
（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？
（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，要求购买足球和篮球的总费用不超过5720元，这所中学最多可以购买多少个篮球？
考点： 一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）根据费用可得等量关系为：购买3个足球和2个篮球共需310元；购买2个足球和5个篮球共需500元，把相关数值代入可得一个足球、一个篮球的单价；
（2）不等关系为：购买足球和篮球的总费用不超过5720元，列式求得解集后得到相应整数解，从而求解．
解答： （1）解：设购买一个足球需要X元，购买一个篮球需要y元，
根据题意得，
解得，
∴购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元．
（2）方法一：
解：设购买a个篮球，则购买（96﹣a）个足球．
80a+50（96﹣a）≤5720，
a≤30．
∵a为整数，
∴a最多可以购买30个篮球．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
方法二：
解：设购买n个足球，则购买（96﹣n）个篮球．
50n+80（96﹣n）≤5720，
n≥65
∵n为整数，
∴n最少是66
96﹣66=30个．
∴这所学校最多可以购买30个篮球．
点评： 考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用；得到相应总费用的关系式是解决本题的关键．
　
　
33．（2012 资阳）为了解决农民工子女就近入学问题，我市第一小学计划2012年秋季学期扩大办学规模．学校决定开支八万元全部用于购买课桌凳、办公桌椅和电脑，要求购买的课桌凳与办公桌椅的数量比为20：1，购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元．已知一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元，用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅．（课桌凳和办公桌椅均成套购进）
（1）一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为多少元？
（2）求出课桌凳和办公桌椅的购买方案．
考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用。
分析： （1）根据一套办公桌椅比一套课桌凳贵80元以及用2000元恰好可以买到10套课桌凳和4套办公桌椅，得出等式方程求出即可；
（2）利用购买电脑的资金不低于16000元，但不超过24000元，得出16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000求出即可．
解答： 解：（1）设一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为x元、y元，得：
，…（2分）
解得
∴一套课桌凳和一套办公桌椅的价格分别为120元、200元…（3分）；
（2）设购买办公桌椅m套，则购买课桌凳20m套，由题意得：
16000≤80000﹣120×20m﹣200×m≤24000…（5分）
解得：…（6分），
∵m为整数，
∴m=22、23、24，有三种购买方案：…（7分）
方案一 方案二 方案三
课桌凳（套） 440 460 480
办公桌椅（套） 22 23 24
…（8分）
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用和不等式组的应用，根据已知得出不等式关系是解题关键．
　
解集 口诀：大大取小
x>a
x>b
解集 口诀：
XX解集 口诀：
X>b
X解集 口诀：
X>a
X>b2013年中考数学专题复习第一讲 实数（含详细参考答案）
【基础知识回顾】
一、实数的分类：
1、按实数的定义分类：
实数
有限小数或无限循环数
2、按实数的正负分类：
实数
【名师提醒：1、正确理解实数的分类。如：是 数，不是 数，是 数，不是 数。2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】
二、实数的基本概念和性质
1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a的相反数是 ，0的相反数是 ，a、b互为相反数
3、倒数：实数a的倒数是 ， 没有倒数，a、b互为倒数
4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
=
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b的相反数是 ，a-b的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】
三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。其中a的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：
一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a的取值范围一样，n的取值不同，当表示较大数时，n的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。2、近似数3.05万是精确到 位，而不是百分位】
四、数的开方。
1、若x2=a(a 0),则x叫做a的 ，记做±，其中正数a的 平方根叫做a的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。
2、若x3=a,则x叫做a的 ，记做，正数有一个 的立方根，0的立方根是 ，负数 立方根。
【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。】
【重点考点例析】
考点一：无理数的识别。
例1 （2012 六盘水）实数中是无理数的个数有（　　）个．
　 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
思路分析：先把化为，再根据无理数的定义进行解答即可。根据无理数的三种形式，结合所给的数据判断即可．
解：，所以数字中无理数的有：，共3个．
故选C．
点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。
对应训练
1．（2012 盐城）下面四个实数中，是无理数的为（　　）
　 A．0 B． C．﹣2 D．
1．B
考点二、实数的有关概念。
例2 （2012 乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（　　）
　 A．﹣500元 B． ﹣237元 C． 237元 D． 500元
思路分析：根据题意237元应记作﹣237元．
解：根据题意，支出237元应记作﹣237元．
故选B．
点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
例3 （2012 遵义）﹣（﹣2）的值是（　　）
　 A．﹣2 B． 2 C． ±2 D． 4
思路分析：根据相反数的定义可知，﹣（﹣2）是﹣2的相反数，由于﹣2＜0，所以﹣（﹣2）=2．
解：∵﹣（﹣2）是﹣2的相反数，﹣2＜0，
∴﹣（﹣2）=2．
故选B．
点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
例4 （2012 扬州）﹣3的绝对值是（　　）
　 A．3 B． ﹣3 C． ﹣3 D．
思路分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
解：﹣3的绝对值是3．
故选：A．
点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
例5 （2012 黄石）的倒数是（　　）
　 A． B． 3 C． ﹣3 D．
思路分析：一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到．
解：的倒数是．
故选C．
点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
例6 （2012 怀化）64的立方根是（　　）
　 A．4 B． ±4 C． 8 D． ±8
思路分析：如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．
解：∵4的立方等于64，
∴64的立方根等于4．
故选A．
点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．
例7 （2012 荆门）若与互为相反数，则x+y的值为（　　）
　 A．3 B． 9 C． 12 D． 27
思路分析：根据互为相反数的和等于0列式，再根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程组，求解得到x、y的值，然后代入进行计算即可得解．
解：∵与互为相反数，
∴+=0，
∴，
②﹣①得，y=12，
把y=12代入②得，x﹣12﹣3=0，
解得x=15，
∴x+y=12+15=27．
故选D．
点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．
对应训练
2．（2012 丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（　　）
　 A．﹣3℃ B． ﹣2℃ C． +3℃ D． +2℃
2．A
3．（2012 张家界）﹣2012的相反数是（　　）
　 A．﹣2012 B． 2012 C． D．
3．B
4．（2012 铜仁地区）|﹣2012|=　 　．4．2012．
5．（2012 常德）若a与5互为倒数，则a=（　　）
　 A． B． 5 C． ﹣5 D．
5．A
6．（2011 株洲）8的立方根是（　　）
　 A．2 B． ﹣2 C． 3 D． 4
6．A
7．（2012 广东）若x，y为实数，且满足|x﹣3|+=0，则（）2012的值是　 　．
7．1
解：根据题意得：，
解得：．
则（）2012=（）2012=1．
故答案是：1．
考点三、实数与数轴。
例8 （2012 乐山）如图，A、B两点在数轴上表示的数分别为a、b，下列式子成立的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＜0
C．（b-1）（a+1）＞0 D．（b-1）（a-1）＞0
思路分析：根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围，再对各选项进行逐一分析即可．
解：a、b两点在数轴上的位置可知：-1＜a＜0，b＞1，
∴ab＜0，a+b＞0，故A、B错误；
∵-1＜a＜0，b＞1，
∴b-1＞0，a+1＞0，a-1＜0故C正确，D错误．
故选C．
点评：本题考查了数轴．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．
对应训练
8．（2012 常德）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．ab＞0
C．|a|+b＜0 D．a-b＞0
8．A
考点四、科学记数法。
例9 （2012 潍坊）许多人由于粗心，经常造成水龙头“滴水”或“流水”不断．根据测定，一般情况下一个水龙头“滴水”1个小时可以流掉3.5千克水，若1年按365天计算，这个水龙头1年可以流掉（　　）千克水．（用科学记数法表示，保留3个有效数字）
A．3.1×104 B．0.31×105 C．3.06×104 D．3.07×104
思路分析：先列式表示1年水龙头滴水的重量，再把结果用科学记数法表示．有效数字是从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
解：3.5×24×365=30660=3.066×104≈3.07×104
故选D．
点评：此题主要考查了有理数的乘法在实际生活中的应用以及科学记数法的表示方法。用科学记数法表示一个数的方法是：
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．
对应训练
9．（2012 鸡西）2012年5月8日，“最美教师”张丽莉为救学生身负重伤，张老师舍己救人的事迹受到全国人民的极大关注，在住院期间，共有691万人以不同方式向她表示问候和祝福，将691万人用科学记数法表示为 人．（结果保留两个有效数字）
9．6.9×106
【聚焦山东中考】
一、选择题
1．（2012 临沂）的倒数是（　　）
　 A．6 B． ﹣6 C． D．
1．B．
1．（2012 青岛）﹣2的绝对值是（　　）
　 A． B． ﹣2 C． D． 2
1．D
2．（2012 济宁）在数轴上到原点距离等于2的点所标示的数是（　　）
A．-2 B．2 C．±2 D．不能确定
2．C．
3．（2012 聊城）在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是和-1，则点C所对应的实数是（　　）
A． B．
C． D．
3．D
解：设点C所对应的实数是x．
则有 ，
解得．
故选D．
4．（2012 烟台）的值是（　　）
　 A．4 B． 2 C． ﹣2 D． ±2?
4．B．
5．（2012 日照）据新华社报道：在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米．194亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.94×1010 B．0.194×1010 C．19.4×109 D．1.94×109
5．A
6．（2012 济南）2012年伦敦奥运会火炬传递路线全长约为12800公里，数字12800用科学记数法表示为（　　）
A．1.28×103 B．12.8×103 C．1.28×104 D．0.128×105
6．C
7．（2012 泰安）已知一粒米的质量是0.000021千克，这个数字用科学记数法表示为（　　）
A．21×10-4千克 B．2.1×10-6千克 C．2.1×10-5千克 D．21×10-4千克
7．C
二、填空题
8．（2012 德州）﹣1，0，0.2，，3中正数一共有　 　个．
8．3
9．（2012 青岛）为改善学生的营养状况，中央财政从2011年秋季学期起，为试点地区在校生提供营养膳食补助，一年所需资金约为160亿元，用科学记数法表示为 元．
9．1.6×1010
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 陕西）如果零上5℃记作+5℃，那么零下7℃可记作（　　）
　 A．﹣7℃ B． +7℃ C． +12℃ D． ﹣12℃
1．A
2．（2012 河北）下列各数中，为负数的是（　　）
　 A．0 B． ﹣2 C． 1 D．
2．B．
3．（2012 义乌市）﹣2的相反数是（　　）
　 A．2 B． ﹣2 C． ±2 D．
3．A
4．（2012 江西）﹣1的绝对值是（　　）
　 A．1 B． 0 C． ﹣1 D． ±1
4．A
5．（2012 襄阳）一个数的绝对值等于3，这个数是（　　）
　 A．3 B． ﹣3 C． ±3 D．
5．C
6．（2012 宜昌）如图，数轴上表示数-2的相反数的点是（　　）
A．点P B．点Q
C．点M D．点N
6．A
解：从数轴可以看出N表示的数是-2，M表示的数是-0.5，Q表示的数是0.5，P表示的数是2，
∵-2的相反数是2，
∴数轴上表示数-2的相反数是点P，
故选A．
7．（2012 攀枝花）﹣3的倒数是（　　）
　 A．3 B． ﹣3 C． D．
7．D．
8．（2012 黄冈）下列实数中是无理数的是（　　）
A． B． C． D．
8．D
9．（2012 丽水）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（　　）
A．﹣4 B． ﹣2
C． 0 D．4
9．B
10．（2012 毕节地区）实数a、b在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是（　　）
A．a＜b B．|a|＞|b|
C．-a＜-b D．b-a＞0
10．C
11．（2012 遵义）据有关资料显示，2011年遵义市全年财政总收入202亿元，将202亿用科学记数法可表示（　　）
A．2.02×102 B．202×108 C．2.02×109 D．2.02×1010
11．D
12．（2012 南京）PM2.5是大气压中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（　　）
A．0.25×10-5 B．0.25×10-6 C．2.5×10-5 D．2.5×10-6
12．D
13．（2012 恩施州）恩施生态旅游初步形成，2011年全年实现旅游综合收入908600000元．数908600000用科学记数法表示（保留三个有效数字），正确的是（　　）
A．9.09×109 B．9.087×1010 C．9.08×109 D．9.09×108
13．A
14．（2012 达州）今年我市参加中考的学生人数约为6.01×104人．对于这个近似数，下列说法正确的是（　　）
A．精确到百分位，有3个有效数字? B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到十位，有4个有效数字? D．精确到个位，有5个有效数字?
14．B
15．（2012 台湾）如图，数在线的A、B、C、D四点所表示的数分别为a、b、c、d，且O为原点．根据图中各点位置，判断|a-c|之值与下列何者不同？（　　）
A．|a|+|b|+|c| B．|a-b|+|c-b|
C．|a-d|-|d-c| D．|a|+|d|-|c-d|
15．A
解：A、∵|a|+|b|+|c|=AO+BO+CO≠AC，故本选项正确；
B、∵|a-b|+|c-b|=AB+BC=AC，故本选项错误；
C、∵|a-d|-|d-c|=AD-CD=AC，故本选项错误；
D、∵|a|+|d|-|c-d|=AO+DO-CD=AC，故本选项错误；
故选A．
二．填空题
16．（2012 连云港）某药品说明书上标明药品保存的温度是（20±2）℃，该药品在　 　℃范围内保存才合适．
16．18℃～22℃
解：温度是20℃±2℃，表示最低温度是20℃﹣2℃=18℃，最高温度是20℃+2℃=22℃，即18℃～22℃之间是合适温度．
故答案为：18℃～22℃．
17．（2012 上海）计算=　 　．
17．
18．（2012 湘潭）5月4日下午，胡锦涛总书记在纪念中国共产主义青年团成立90周年大会上指出：希望广大青年坚持远大理想、坚持刻苦学习、坚持艰苦奋斗、坚持开拓创新、坚持高尚品行．我国现有约78000000名共青团员，用科学记数法表示为 名．
18．7.8×107
19．（2012 绥化）已知1纳米=0.000000001米，则2012纳米用科学记数法表示为 米．
19．2.012×10-6
20．（2012 玉林）某种原子直径为1.2×10-2纳米，把这个数化为小数是 纳米．
20．0.012
21．（2012 资阳）为了保护人类居住环境，我国的火电企业积极做好节能环保工作．2011年，我国火电企业的平均煤耗继续降低，仅为330000毫克/千瓦时，用科学记数法表示并保留三个有效数字为 毫克/千瓦时．
21．3.30×105
22．（2012 泰州）如图，数轴上的点P表示的数是-1，
将点P向右移动3个单位长度得到点P′，
则点P′表示的数是 ．
22．2
23．（2012 广安）实数m、n在数轴上的位置如图所示，
则|n-m|= ．
23．m-n
24．（2012 娄底）写出一个x的值，使|x﹣1|=x﹣1成立，你写出的x的值是　 　．
24．2（答案不唯一）．
25．（2012 哈尔滨）化简：=　 　．
25．3
26．（2012 张家界）已知，则x+y=　 　．
26．1































正无理数
无理数
负分数
＿
零
正整数
整数
有理数
无限不循环小数
（a＞0）
（a＜0）
0 （a=0）2013年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质
【基础知识回顾】
二次函数的定义：
一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式
2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，y口向 ，当x<-时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口向 当x<-时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标
3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1 （2012 常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
思路分析：根据抛物线的性质，开口向上的抛物线，其上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，即可得到答案．
解：∵二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），
∴该抛物线的开口向上，且对称轴是x=2．
∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大，
∵x取0时所对应的点离对称轴最远，x取时所对应的点离对称轴最近，
∴y3＞y2＞y1．
故选B．
点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越大．
对应训练
1．（2012 衢州）已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
2．A
2．解：∵二次函数y=x2-7x+，
∴此函数的对称轴为：x==，
∵0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0，
∴对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴y1＞y2＞y3．
故选：A．
考点二：二次函数的图象和性质
例2 （2012 咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
思路分析：①根据函数与方程的关系解答；
②找到二次函数的对称轴，再判断函数的增减性；
③将m=-1代入解析式，求出和x轴的交点坐标，即可判断；
④根据坐标的对称性，求出m的值，得到函数解析式，将m=2012代入解析式即可．
解：①∵△=4m2-4×（-3）=4m2+12＞0，∴它的图象与x轴有两个公共点，故本选项正确；
②∵当x≤1时y随x的增大而减小，∴函数的对称轴x=-≥1在直线x=1的右侧（包括与直线x=1重合），则≥1，即m≥1，故本选项错误；
③将m=-1代入解析式，得y=x2+2x-3，当y=0时，得x2+2x-3=0，即（x-1）（x+3）=0，解得，x1=1，x2=-3，将图象向左平移3个单位后不过原点，故本选项错误；
④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，∴对称轴为x==1006，则=1006，m=1006，原函数可化为y=x2-2012x-3，当x=2012时，y=20122-2012×2012-3=-3，故本选项正确．
故答案为①④（多填、少填或错填均不给分）．
点评：本题考查了二次函数的性质、二次函数的图象与几何变换、抛物线与x轴的交点，综合性较强，体现了二次函数的特点．
对应训练
2．（2012 河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中正确结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
1．解：①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本小题正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本小题错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3过原点，当x=0时，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=，故本小题错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小题正确．
故选D．
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
例3 （2012 玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，
则正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
思路分析：由抛物线与y轴的交点在1的上方，得到c大于1，故选项①错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到关于a与b的关系，整理得到2a+b=0，选项②正确；由抛物线与x轴的交点有两个，得到根的判别式大于0，整理可判断出选项③错误；令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和，将得到的a与b的关系式代入可得出两根之和为2，选项④正确，即可得到正确的选项．
解：由抛物线与y轴的交点位置得到：c＞1，选项①错误；
∵抛物线的对称轴为x==1，∴2a+b=0，选项②正确；
由抛物线与x轴有两个交点，得到b2-4ac＞0，即b2＞4ac，选项③错误；
令抛物线解析式中y=0，得到ax2+bx+c=0，
∵方程的两根为x1，x2，且=1，及=2，
∴x1+x2==2，选项④正确，
综上，正确的结论有②④．
故选C
点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
对应训练
3．（2012 重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列结论中，正确的是（　　）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
3．D
3．解：A、∵开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴交与负半轴，
∴c＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故本选项错误；
B、∵对称轴：x==，
∴a=b，
故本选项错误；
C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，
故本选项错误；
D、∵对称轴为x=，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，
∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜-2，
∴当x=-2时，4a-2b+c＜0，
即4a+c＜2b，
故本选项正确．
故选D．
考点四：抛物线的平移
例4 （2012 桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）
A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1
思路分析：首先根据A点所在位置设出A点坐标为（m，m）再根据AO=，利用勾股定理求出m的值，然后根据抛物线平移的性质：左加右减，上加下减可得解析式．
解：∵A在直线y=x上，
∴设A（m，m），
∵OA= ，
∴m2+m2=（）2，
解得：m=±1（m=-1舍去），
m=1，
∴A（1，1），
∴抛物线解析式为：y=（x-1）2+1，
故选：C．
点评：此题主要考查了二次函数图象的几何变换，关键是求出A点坐标，掌握抛物线平移的性质：左加右减，上加下减．
对应训练
4．（2012 南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）．
4．①③
4．解：原式可化为：y=（x+1）2-4，
由函数图象平移的法则可知，将函数y=x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）2-4，的图象，故①正确；
函数y=（x+1）2-4的图象开口向上，函数y=-x2；的图象开口向下，故不能通过平移得到，故②错误；
将y=（x-1）2+2的图象向左平移2个单位，再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）2-4的图象，故③正确．
故答案为：①③．
【聚焦山东中考】
1．（2012 泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（　　）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
1．C
1．解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴-m＞0，n＜0，
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
故选C．
2．（2012 济南）如图，二次函数的图象经过（-2，-1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（　　）
A．y的最大值小于0 B．当x=0时，y的值大于1
C．当x=-1时，y的值大于1 D．当x=-3时，y的值小于0
2．D
2．解：A、由图象知，点（1，1）在图象的对称轴的左边，所以y的最大值大于1，不小于0；故本选项错误；
B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y轴的交点在（1，1）点的左边，故y＜1；故本选项错误；
C、对称轴在（1，1）的右边，在对称轴的左边y随x的增大而增大，∵-1＜1，∴x=-1时，y的值小于x=-1时，y的值1，即当x=-1时，y的值小于1；故本选项错误；
D、当x=-3时，函数图象上的点在点（-2，-1）的左边，所以y的值小于0；故本选项正确．
故选D．
3．（2012 菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
3．C
3．解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴x=＜0，
∴b＜0，
∵二次函数图象经过坐标原点，
∴c=0，
∴一次函数y=bx+c过第二四象限且经过原点，反比例函数位于第二四象限，
纵观各选项，只有C选项符合．
故选C．
4．（2012 泰安）设A（-2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=-（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4．A
4．解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，如右图，
∴对称轴是x=-1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．
5．（2012 烟台）已知二次函数y=2（x-3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=-3；③其图象顶点坐标为（3，-1）；④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．A
5．解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线x=3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个．
故选A．
6．（2012 日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2-4ac＞0；②2a+b＜0；③4a-2b+c=0；④a：b：c=-1：2：3．其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
6．D
6．解：由二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，选项①正确；
又对称轴为直线x=1，即=1，
可得2a+b=0（i），选项②错误；
∵-2对应的函数值为负数，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＜0，选项③错误；
∵-1对应的函数值为0，
∴当x=-1时，y=a-b+c=0（ii），
联立（i）（ii）可得：b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，选项④正确，
则正确的选项有：①④．
故选D．
7．（2012 泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y=3（x+2）2+3 B．y=3（x-2）2+3 C．y=3（x+2）2-3 D．y=3（x-2）2-3
7．A
8．（2012 潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：
旋钮角度（度） 20 50 70 80 90
所用燃气量（升） 73 67 83 97 115
（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；
（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？
（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．
8．解：（1）若设y=kx+b（k≠0），
由，
解得，
所以y=x+77，把x=70代入得y=65≠83，所以不符合；
若设（k≠0），由73=，解得k=1460，
所以y=，把x=50代入得y=29.2≠67，所以不符合；
若设y=ax2+bx+c，
则由，
解得 ，
所以y=x2-x+97（18≤x≤90），
把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意．
所以二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律；
（2）由（1）得：y=x2-x+97=（x-40）2+65，
所以当x=40时，y取得最小值65．
即当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升；
（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115-65=50（升）
设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：
a=10，
解得a=23（立方米），
即该家庭以前每月平均用气量为23立方米．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）
A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3
1．C
2．（2012 兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
2．D
2．解：根据题意得：y=|ax2+bx+c|的图象如右图：
所以若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，
则k＞3，
故选D．
3．（2012 德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）
A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
3．B
3．解：∵当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴函数图象过（1，0）点，即1+b+c=0①，
∵当1≤x≤3时，总有y≤0，
∴当x=3时，y=9+3b+c≤0②，
①②联立解得：c≥3，
故选B．
4．（2012 北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（　　）
A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）
4．B
5．（2012 广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）
A．1 B． C．- D．-2
5．C
1．（2012 西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（　　）
　 A． 当x=0时，y的值大于1 B． 当x=3时，y的值小于0
　 C． 当x=1时，y的值大于1 D． y的最大值小于0
考点： 二次函数的图象。
专题： 数形结合。
分析： 观察二次函数图象当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答： 解：由图可知，当x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，A、当x=0时，y的值小于1，故本选项错误；B、当x=3时，y的值小于0，故本选项正确；C、当x=1时，y的值小于1，故本选项错误；D、y的最大值不小于1，故本选项错误．故选B．
点评： 本题考查了二次函数图象，仔细观察图象，利用二次函数的增减性解答即可．
6．（2012 巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-1
6．C
6．解：二次函数y=2（x+1）（x-3）可化为y=2（x-1）2-8的形式，
A、∵此二次函数中a=2＞0，∴抛物线开口向上，故本选项错误；
B、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，故本选项错误；
C、∵由二次函数的解析式可知，此抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；
D、由二次函数的解析式可知抛物线对称轴为x=1，故本选项错误．
故选C．
7．（2012 天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
7．B
7．解：根据图象可得：a＞0，c＜0，
对称轴：＞0，
①∵它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0），
∴对称轴是x=1，
∴=1，
∴b+2a=0，
故①错误；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②错误；
③∵a-b+c=0，
∴c=b-a，
∴a-2b+4c=a-2b+4（b-a）=2b-3a，
又由①得b=-2a，
∴a-2b+4c=-7a＜0，
故此选项正确；
④根据图示知，当x=4时，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=-2a，
∴8a+c＞0；
故④正确；
故正确为：③④两个．
故选：B．
8．（2012 乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（　　）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1
8．B
8．解：∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，
且经过点（-1，0），
∴易得：a-b+1=0，a＜0，b＞0，
由a=b-1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，
由b=a+1＞0得到a＞-1，结合上面a＜0，所以-1＜a＜0②，
∴由①②得：-1＜a+b＜1，且c=1，
得到0＜a+b+1＜2，
∴0＜t＜2．
故选：B．
9．（2012 扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2
9．B
10．（2012 宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）
10．D
11．（2012 陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
11．B
11．解：当x=0时，y=-6，故函数与y轴交于C（0，-6），
当y=0时，x2-x-6=0，即（x+2）（x-3）=0，
解得x=-2或x=3，
即A（-2，0），B（3，0）；
由图可知，函数图象至少向右平移2个单位恰好过原点，
故|m|的最小值为2．
故选B．
二、填空题
12．（2012 玉林）二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．
12．7
12．解：∵二次项系数为-1，
∴函数图象开口向下，
顶点坐标为（2，），
当y=0时，-（x-2）2+=0，
解得x1=，得x2=．
可画出草图为：（右图）
图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有7个，为（2，0），（2，1），（2，2），（1，0），（1，1），（3，0），（3，1）．
13．（2012 长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
13．18
13．解：∵抛物线y=a（x-3）2+k的对称轴为x=3，且AB∥x轴，
∴AB=2×3=6，
∴等边△ABC的周长=3×6=18．
故答案为：18．
14．（2012 孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0； ②a-b+c＜0； ③3a+c＜0； ④当-1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是 （把正确的序号都填上）．
14．①②③
14．解：根据图象可得：a＜0，c＞0，
对称轴：x==1，
=-1，
b=-2a，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①正确；
把x=-1代入函数关系式y=ax2+bx+c中得：y=a-b+c，
由图象可以看出当x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，故②正确；
∵b=-2a，
∴a-（-2a）+c＜0，
即：3a+c＜0，故③正确；
由图形可以直接看出④错误．
故答案为：①②③．
15．（2012 苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则 （填“＞”、“＜”或“=”）．
15．y1＞y2
15．解：由二次函数y=（x-1）2+1可，其对称轴为x=1，
∵x1＞x2＞1，
∴两点均在对称轴的右侧，
∵此函数图象开口向上，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大，
∵x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
16．（2012 成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．
16．
16．解：∵x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴[-2（a-1）]2-4a（a-3）＞0，
∴a＞-1，
将（1，0）代入y=x2-（a2+1）x-a+2得，a2+a-2=0，
解得（a-1）（a+2）=0，
a1=1，a2=-2．
可见，符合要求的点为0，2，3．
∴P=3 7 ．
故答案为．
17．（2012 上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
17．y=x2+x-2
18．（2012 宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．
18．y=-（x+1）2-2
18．解：二次函数y=（x-1）2+2顶点坐标为（1，2），
绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（-1，-2），
所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=-（x+1）2-2．
故答案为：y=-（x+1）2-2．
2．（2012 贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　0＜m＜2　．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象。
专题： 图表型。
分析： 首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围．
解答： 解：分段函数y=的图象如图：故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜2，故答案为：0＜m＜2．
点评： 本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．
19．（2012 广安）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
19．
19．解：如图，过点P作PM⊥y轴于点M，
∵抛物线平移后经过原点O和点A（-6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=-3，
得出二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（-6，0）代入得出：
0=（-6+3）2+h，
解得：h=，
∴点P的坐标是（-3，），
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=|-3|×||=．
故答案为：．
三、解答题
20．（2012 柳州）已知：抛物线y=（x-1）2-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
20．解：（1）抛物线y=（x-1）2-3，
∵a=＞0，
∴抛物线的开口向上，
对称轴为x=1；
（2）∵a=＞0，
∴函数y有最小值，最小值为-3；
（3）令x=0，则y=（0-1）2-3=，
所以，点P的坐标为（0，），
令y=0，则（x-1）2-3=0，
解得x1=-1，x2=3，
所以，点Q的坐标为（-1，0）或（3，0），
当点P（0，），Q（-1，0）时，设直线PQ的解析式为y=kx+b，
则，
解得，
所以直线PQ的解析式为y=x，
当P（0，），Q（3，0）时，设直线PQ的解析式为y=mx+n，
则，
解得 ，
所以，直线PQ的解析式为y=x，
综上所述，直线PQ的解析式为y=x或y=x．
3．（2012 佛山）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi 0 1 2 3 4 5 …
yi 0 1 4 9 16 25 …
yi+1﹣yi 1 3 5 7 9 11 …
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…
请回答：
①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
考点： 二次函数的性质；实数。
专题： 规律型。
分析： （1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表示为2n，因为偶数与奇数相差1，所以奇数可以表示为2n+1．（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以写成整数的形式，据此可以得到答案；（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律；
解答： 解：（1）n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+1；（2）有理数b=（n≠0）；（3）①当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=1时，y=1，当x=时，y=．故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…②当x=0时，y=0，当x=时，y=，当x=时，y=，当x=时，y=，故当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值依次增加、、…
点评： 本题考查了二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．2013年中考数学专题复习第二讲：实数的运算
【基础知识回顾】
实数的运算。
1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有 、 、 、 、 、 和 共六种，运算顺序是先算 ，再算 ，最后算 ，有括号时要先算 ，同一级运算，按照 的顺序依次进行。
2、运算法则：
加法：同号两数相加，取 的符号，并把 相加，异号两数相加，取 的符号，并用较大的 减去较小 的，任何数同零相加仍得 。
减法，减去一个数等于 。
乘法：两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把 相乘。
除法：除以一个数等于乘以这个数的 。
乘方：(-a) 2n +1 = (-a) 2n =
3、运算定律：加法交换律：a+b=
加法结合律：(a+b)+c=
乘法交换律：ab=
乘法结合律：（ab）c=
分配律： （a+b）c=
二、零指数、负整数指数幂。
= （a≠0） a-p= （a≠0）
【名师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（）-1= 】
三、实数的大小比较：
1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照 的原则进行比较以外，，还有 比较法、 比较法等，两个负数 大的反而小。
2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为 。
【名师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较的大小，可以先确定和的取值范围，然后得结论：+2 -2。】
【重点考点例析】
考点一：实数的大小比较。
例1 （2012 西城区）已知的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2-a-b的值为 ．
思路分析：由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，即得出a和b，然后代入代数式求值．
解：∵3＜＜4，
∴a=3，b=-3，
则a2-a-b=32-3-（-3）=9-3-+3=9-，
故答案为：9-．
点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
例2 （2012 台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=，乙=，丙=，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（　　）
A．丙＜乙＜甲 B．乙＜甲＜丙 C．甲＜乙＜丙 D．甲=乙=丙
思路分析：本题可先估算无理数的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．
解：∵3=＜＜=4，
∴8＜5+＜9，
∴8＜甲＜9；
∵4=＜＜=5，
∴7＜3+＜8，
∴7＜乙＜8，
∵4= ＜＜=5，
∴5＜1+＜6，
∴丙＜乙＜甲
故选A．
点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
对应训练
1．（2012 南京）12的负的平方根介于（　　）
A．-5与-4之间 B．-4与-3之间 C．-3与-2之间 D．-2与-1之间
1．B．
2．（2012 宁夏）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b= ．
2．7
考点二：实数的混合运算。
例3 （2012 岳阳）计算：．
思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
解：原式=3-+3-1+2×
=3-+3-1+
=5．
点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．
对应训练
3．（2012 肇庆）计算：．
3．解：原式=
=
=．
考点三：实数中的规律探索。
例4 （2012 张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是
=ad-bc．例如：，．
（1）按照这个规定，请你计算的值；
（2）按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，的值．
思路分析：（1）根据符号的意义得到=5×8-7×6，然后进行实数的乘法运算，再进行实数的减法运算即可；
（2）利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2，则=，然后根据符号的意义得到3×1-4×1，再进行实数的运算．
解：（1）=5×8-7×6=-2；
（2）由x2-4x+4=0得（x-2）2=4，
∴x=2，
∴==3×1-4×1=-1．
点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．
对应训练
【聚焦山东中考】
一、选择题
1．（2012 泰安）下列各数比-3小的数是（　　）
A．0 B．1 C．-4 D．-1
1．C
2．（2012 聊城）计算的结果是（　　）
A． B． C．-1 D．1
2．A
3．（2012 菏泽）在算式的中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
3．D
二、填空题
1．（2012 德州） ．（填“＞”、“＜”或“=”）
1．＞
2．（2012 济南）计算：2sin30°= ．
2．-3
解：2sin30° =2×-4=1-4=-3．
故答案为：-3．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 重庆）在-3，-1，0，2这四个数中，最小的数是（　　）
A．-3 B．-1 C．0 D．2
1．A
2．（2012 桂林）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的城市是（　　）
A．桂林11.2℃ B．广州13.5℃ C．北京-4.8℃ D．南京3.4℃
2．C
3．（2012 莆田）下列各数中，最小的数是（　　）
A．-l B．0 C．1 D．
3．A
4．（2012 肇庆）计算-3+2的结果是（　　）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
4．B
5．（2012 南通）计算6÷（-3）的结果是（　　）
A． B．-2 C．-3 D．-18
5．B
6．（2012 滨州）-23等于（　　）
A．-6 B．6 C．-8 D．8
6．C
7．（2012 黑龙江）若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．2012
7．C
8．（2012 义乌市）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
8．B
9．（2012 天津）估计的值在（　　）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
9．B
二、填空题
10．（2012 绵阳）比-1℃低2℃的温度是 ℃．（用数字填写）
10．-3
11．（2012 扬州）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是-2℃，那么当天的日温差是 ．
11．8℃
13．（2012 云南）写出一个大于2小于4的无理数： 。
13．、、、π…（只要是大于小于无理数都可以）
14．（2012 陕西）计算2cos45°-+= ．
14．
15．（2012 荆门）计算 ．
15．-1
16．（2012 沈阳）今年沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，则今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数约为 %（结果保留一位小数）．
16．28.6
解：∵沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，
∴去年人均最低工资=900-200=700元，
∴今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数=200 700 ≈0.286=28.6%．
故答案为：28.6．
17．（2012 黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：
令 S=1+2+3+…+98+99+100 ①
S=100+99+98+…+3+2+1 ②
①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050
请类比以上做法，回答下列问题：
若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n= ．
17．12
解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，
则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，
①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，
整理得，n2+2n-168=0，
解得n1=12，n2=-14（舍去）．
故答案为：12．
三、解答题
18．（2012 珠海）计算：．
18．解：原式=2-1+1-2=0．
19．（2012 株洲）计算：2-1+cos60°-|-3|．
19．解：原式=．
20．（2012 重庆）计算：．
20．解：原式=2+1-5+1+9=8．2013年中考数学专题复习第十二讲：一次函数
【基础知识回顾】
一次函数的定义:
一般的：如果y= （ ）即y叫x的一次函数
特别的：当b= 时，一次函数就变为y-kx(k≠0)，这时y叫x的
【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，是有当b=0时，它才是正比例函数】
二、一次函数的同象及性质：
1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）（-，0）的一条
正比例函数y= kx的同象是经过点 和 的一条直线
【名师提醒：同为一次函数的同象是一条直线，所以函数同象是需返取
个特殊的点过这两个点画一条直线即可】
2、正比例函数y= kx(k≠0)当k>0时，其同象过 、 象限，时y随x的增大而
)当k<0时，其同象过 、 象限，时y随x的增大而
一次函数y= kx+b，同象及函数性质
①、k>0 b>0过 象限
k>0 b<0过 象限
k<0 b>0过 象限
k<0 b>0过 象限
4、若直线y= k1x+ b1与l1y= k2x+ b2平解，则k1 k2，若k1≠k2，则l1与l2
【名师提醒：y随x的变化情况，只取决于 的符号与 无关，而直线的平移，只改变 的值 的值不变】
三、用系数法求一次函数解析式：
关键：确定一次函数y= kx+ b中的字母 与 的值
步骤：1、设一次函数表达式
2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式
3、解关于系数的方程或方程组
4、将所求的系数代入等设函数表达式中
四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组
1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b中
2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数同象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立
3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标
【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合同象去解决
2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解得问题】
五、一次函数的应用
一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式
3、确定取值范围 4、利用函数性质解决问题 5、作答
【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案涉及问题等】
【重点考点例析】
考点一：一次函数的同象和性质
例1 （2012 黄石）已知反比例函数y=（b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过第几象限．（　　）
A．一 B．二 C．三 D．四
思路分析：先根据反比例函数的增减性判断出b的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系判断出次函数y=x+b的图象经过的象限即可．
解：∵反比例函数y=（b为常数），当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴b＜0，
∵一次函数y=x+b中k=1＞0，b＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四限，
∴此函数的图象不经过第二象限．
故选B．
点评：本题考查的是一次函数的图象与系数的关系及反比例函数的性质，一次函数y=kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大；
②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大；
③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小；
④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小．
例2 （2012 上海）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，-3）在函数上，则y随x的增大而 （增大或减小）．
思路分析：首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小确定答案．
解：∵点（2，-3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，
∴2k=-3，
解得：k=-，
∴正比例函数解析式是：y=-x，
∵k=-＜0，
∴y随x的增大而减小，
故答案为：减小．
点评：此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函数解析式，关键是掌握反比例函数的性质．
对应训练
1．（2012 沈阳）一次函数y=-x+2图象经过（　　）
A．一、二、三象限 B．一、二、四象限
C．一、三、四象限 D．二、三、四象限
1．B
2．（2012 贵阳）在正比例函数y=-3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，则P（m，5）在第 象限．
2．二
2．解：∵正比例函数y=-3mx中，函数y的值随x值的增大而增大，
∴-3m＞0，解得m＜0，
∴点P（m，5）在第二象限．
故答案为：二．
考点二：一次函数解析式的确定
例3 （2012 聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
思路分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，-2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，-2），
∴ k+b=0 b=-2 ，
解得 k=2 b=-2 ，
∴直线AB的解析式为y=2x-2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=2，
∴ 2 x=2，
解得x=2，
∴y=2×2-2=2，
∴点C的坐标是（2，2）．
点评：本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式．
对应训练
3．（2012 湘潭）已知一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．
3．解：∵一次函数y=kx+b（k≠0）图象过点（0，2），
∴b=2，
令y=0，则x=-2 k ，
∵函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为2，
∴×2×||=2，即||=2，
当k＞0时，=2，解得k=1；
当k＜0时，-=2，解得k=-1．
故此函数的解析式为：y=x+2或y=-x+2．
考点三：一次函数与方程（组）不等式（组）的关系
例4 （2012 恩施州）如图，直线y=kx+b经过A（3，1）和B（6，0）两点，则不等式组0＜kx+b＜x的解集为 ．
思路分析：将A（3，1）和B（6，0）分别代入y=kx+b，求出k、b的值，再解不等式组0＜kx+b＜x的解集．
解：将A（3，1）和B（6，0）分别代入y=kx+b得，
，
解得 ，
则函数解析式为y=-x+2．
可得不等式组，
解得3＜x＜6．
故答案为3＜x＜6．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
例5 （2012 贵阳）如图，一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P，则方程组 的解是（　　）
A． B． C． D．
思路分析：根据图象求出交点P的坐标，根据点P的坐标即可得出答案．
解：∵由图象可知：一次函数y=k1x+b1的图象与y=k2x+b2的图象相交于点P的坐标是（-2，3），
∴方程组的解是，
故选A．
点评：本题考查了对一次函数与二元一次方程组的关系的理解和运用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
对应训练
4．（2012 桂林）如图，函数y=ax-1的图象过点（1，2），则不等式ax-1＞2的解集是 ．
4．x＞1
4．解：方法一∵把（1，2）代入y=ax-1得：2=a-1，
解得：a=3，
∴y=3x-1＞2，
解得：x＞1，
方法二：根据图象可知：y=ax-1＞2的x的范围是x＞1，
即不等式ax-1＞2的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
点评：本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，能把一次函数与一元一次不等式结合起来是解此题的关键．
5．（2012 呼和浩特）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是（　　）
A． B．
C． D．
5．C
解：∵x-2y=2，
∴y=x-1，
∴当x=0，y=-1，当y=0，x=2，
∴一次函数y=x-1，与y轴交于点（0，-1），与x轴交于点（2，0），
即可得出C符合要求，
故选：C．
考点四：一次函数的应用
例6 （2012 遵义）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（度）间的函数关系式．
（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：
档次 第一档 第二档 第三档
每月用电量x（度） 0＜x≤140
（2）小明家某月用电120度，需交电费 元；
（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式；
（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m的值．
思路分析：（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：第二档，第三档中x的取值范围；
（2）根据第一档范围是：0＜x≤140，利用图象上点的坐标得出解析式，进而得出x=120时，求出y的值；
（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c，将（140，63），（230，108）代入得出即可；
（4）分别求出第二、三档每度电的费用，进而得出m的值即可．
解：（1）利用函数图象可以得出，阶梯电价方案分为三个档次，利用横坐标可得出：
第二档：140＜x≤230，第三档x＞230；
（2）根据第一档范围是：0＜x≤140，
根据图象上点的坐标得出：设解析式为：y=kx，将（140，63）代入得出：k==0.45，
故y=0.45x，
当x=120，y=0.45×120=54（元），
故答案为：54；
（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=ax+c，
将（140，63），（230，108）代入得出：
，
解得： ，
则第二档每月电费y（元）与用电量x（度）之间的函数关系式为：y=x-7（140＜x≤230）；
（4）根据图象可得出：用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，
故，108-63=45（元），230-140=90（度），
45÷90=0.5（元），
则第二档电费为0.5元/度；
∵小刚家某月用电290度，交电费153元，
290-230=60（度），153-108=45（元），
45÷60=0.75（元），
m=0.75-0.5=0.25，
答：m的值为0.25．
点评：此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象获取正确信息是解题关键．
对应训练
6．（2012 漳州）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：
维生素C及价格 甲种原料 乙种原料
维生素C（单位/千克） 600 400
原料价格（元/千克） 9 5
现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C．设购买甲种原料x千克．
（1）至少需要购买甲种原料多少千克？
（2）设食堂用于购买这两种原料的总费用为y元，求y与x的函数关系式．并说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少？
6．解：（1）依题意，得600x+400（20-x）≥480×20，
解得x≥8．
∴至少需要购买甲种原料8千克．
（2）根据题意得：y=9x+5（20-x），
即y=4x+100，
∵k=4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x≥8，
∴当x=8时，y最小，
∴购买甲种原料8千克时，总费用最少．
【聚焦山东中考】
1.（2012 济南）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（　　）
A．x=2 B．y=2 C．x=-1 D．y=-1
1.C
2．（2012 潍坊）若直线y=-2x-4与直线y=4x+b的交点在第三象限，则b的取值范围是（　　）
A．-4＜b＜8 B．-4＜b＜0 C．b＜-4或b＞8 D．-4≤b≤8
2．A
2．解：，
解得： ，
∵交点在第三象限，
∴
解得：b＞-4，b＜8，
∴-4＜b＜8．
故选：A．
4．（2012 威海）如图，直线l1，l2交于点A，观察图象，点A的坐标可以看作方程组　　的解．
考点： 一次函数与二元一次方程（组）。
专题： 计算题。
分析： 设直线l1的解析式是y=kx﹣1，设直线l2的解析式是y=kx+2，把A（1，1）代入求出k的值，即可得出方程组．
解答： 解：设直线l1的解析式是y=kx﹣1，设直线l2的解析式是y=kx+2，∵把A（1，1）代入l1得：k=2，∴直线l1的解析式是y=2x﹣1∵把A（1，1）代入l2得：k=﹣1，∴直线l2的解析式是y=﹣x+2，∵A是两直线的交点，∴点A的坐标可以看作方程组的解，故答案为：．
点评： 本题考查了一元一次函数与二元一次方程组的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
5．（2012 烟台）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．
（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数表达式；
（2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？
5．解：（1）当0≤x≤200时，y与x的函数表达式是y=0.55x；
当x＞200时，y与x的函数表达式是
y=0.55×200+0.7（x-200），
即y=0.7x-30；
（2）因为小明家5月份的电费超过110元，
所以把y=117代入y=0.7x-30中，得x=210．
答：小明家5月份用电210度．
6．（2012 临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．
（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；
（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；
（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？
6．解：（1）由图象得：120千克，
（2）当0≤x≤12时，设日销售量与上市的时间的函数解析式为y=kx，
∵点（12，120）在y=kx的图象，
∴k=10，
∴函数解析式为y=10x，
当12＜x≤20，设日销售量与上市时间的函数解析式为y=kx+b，
∵点（12，120），（20，0）在y=kx+b的图象上，
∴，
∴
∴函数解析式为y=-15x+300，
∴小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式为：y= 10x (0≤x≤12) -15x+300 (12＜x≤20) ；
（3）∵第10天和第12天在第5天和第15天之间，
∴当5＜x≤15时，设樱桃价格与上市时间的函数解析式为z=kx+b，
∵点（5，32），（15，12）在z=kx+b的图象上，
∴，
∴，
∴函数解析式为z=-2x+42，
当x=10时，y=10×10=100，z=-2×10+42=22，
销售金额为：100×22=2200（元），
当x=12时，y=120，z=-2×12+42=18，
销售金额为：120×18=2160（元），
∵2200＞2160，
∴第10天的销售金额多．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 南充）下列函数中，是正比例函数的是（　　）
A．y=-8x B． C．y=5x2+6 D．y=-0.5x-1
1．A
2．（2012 温州）一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，4） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，2）
2．A
3．（2012 陕西）在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（　　）
A．（2，-3），（-4，6） B．（-2，3），（4，6）
C．（-2，-3），（4，-6） D．（2，3），（-4，6）
3．A
4．（2012 泉州）若y=kx-4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（　　）
A．-4 B． C．0 D．3
4．D
5．（2012 山西）如图，一次函数y=（m-1）x-3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞0
5．B
6．（2012 娄底）对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是（　　）
A．函数值随自变量的增大而减小
B．函数的图象不经过第三象限
C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象
D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
6．D
8．（2012 乐山）若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=ax+c的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．A
9．（2012 阜新）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（　　）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＞1 D．x＜1
9．B
9．解：由一次函数的图象可知，此函数是减函数，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），
∴当x＜0时，关于x的不等式kx+b＞1．
故选B．
10．（2012 河南）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（　　）
A．x＜ B．x＜3 C．x＞ D．x＞3
10．A
10．解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），
∴3=2m，
m= ，
∴点A的坐标是（，3），
∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜；
故选A．
11．（2012 陕西）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标为（　　）
A．（-1，4） B．（-1，2） C．（2，-1） D．（2，1）
11．D
12．（2012 哈尔滨）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是（　　）
A．y=-2x+24（0＜x＜12） B．y=-x+12（0＜x＜24）
C．y=2x-24（0＜x＜12） D．y=x-12（0＜x＜24）
12． B
13．（2012 武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③
13．A
解：甲的速度为：8÷2=4米/秒；
乙的速度为：500÷100=5米/秒；
b=5×100-4×（100+2）=92米；
5a-4×（a+2）=0，
解得a=8，
c=100+92÷4=123，
∴正确的有①②③．
故选A．
　
15．（2012 黔东南州）如图，是直线y=x﹣3的图象，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是（　　）
　 A． m＞﹣3 B． m＞﹣1 C． m＞0 D． m＜3
考点： 一次函数图象上点的坐标特征。
专题： 探究型。
分析： 把x=2代入直线的解析式求出y的值，再根据点P（2，m）在该直线的上方即可得出m的取值范围．
解答： 解：当x=2时，y=2﹣3=﹣1，
∵点P（2，m）在该直线的上方，
∴m＞﹣1．
故选B．
点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意求出当x=2时y的值是解答此题的关键．
　
16．（2012 南昌）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过（　　）
　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质。
专题： 计算题。
分析： 将（2，﹣1）与（﹣3，4）分别代入一次函数解析式y=kx+b中，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数的性质即可得到一次函数图象不经过第三象限．
解答： 解：将（2，﹣1）、（﹣3，4）代入一次函数y=kx+b中得：
，
①﹣②得：5k=﹣5，
解得：k=﹣1，
将k=﹣1代入①得：﹣2+b=﹣1，解得：b=1，
∴，
∴一次函数解析式为y=﹣x+1不经过第三象限．
故选C
点评： 此题考查了利用待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，灵活运用待定系数法是解本题的关键．
二、填空题
17．（2012 怀化）如果点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y=2x-1的图象上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“=”）
17．>
18．（2012 南京）已知一次函数y=kx+k-3的图象经过点（2，3），则k的值为 ．
18．2
19．（2012 江西）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，-1）、（-3，4）两点，则它的图象不经过第 象限．
19．三
20．（2012 湖州）一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为x= ．
20．-1
　
22．（2012 南平）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是　 　．
考点： 一次函数图象与几何变换。
分析： 先判断出直线经过坐标原点，然后根据向上平移，横坐标不变，纵坐标加求出平移后与坐标原点对应的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答．
解答： 解：直线y=2x经过点（0，0），
向上平移1个单位后对应点的坐标为（0，1），
∵平移前后直线解析式的k值不变，
∴设平移后的直线为y=2x+b，
则2×0+b=1，
解得b=1，
∴所得到的直线是y=2x+1．
故答案为：y=2x+1．
点评： 本题考查了一次函数图象与几何变换，利用点的变化解答图形的变化是常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．
　
23．（2012 南通）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于　 　．
考点： 一次函数图象上点的坐标特征。
专题： 探究型。
分析： 先令a=0，则P（﹣1，﹣3）；再令a=1，则P（0，﹣1），由于a不论为何值此点均在直线l上，设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），把两点代入即可得出其解析式，再把Q（m，n）代入即可得出2m﹣n的值，进而可得出结论．
解答： 解：∵令a=0，则P（﹣1，﹣3）；再令a=1，则P（0，﹣1），由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴设此直线的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴，解得，
∴此直线的解析式为：y=2x﹣1，，
∵Q（m，n）是直线l上的点，
∴2m﹣1=n，即2m﹣n=1，
∴原式=（1+3）2=16．
故答案为：16．
点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式．
　
24．（2012 黄冈）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货物相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；
②甲、乙两地之间的距离为120千米；
③图中点B的坐标为（3，75）；
④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，
以上4个结论正确的是　 　．
考点： 一次函数的应用。
分析： 根据一次函数的性质和图象结合实际问题对每一项进行分析即可得出答案．
解答： 解：①设快递车从甲地到乙地的速度为x千米/时，则
3（x﹣60）=120，
x=100．
故①正确；
②因为120千米是快递车到达乙地后两车之间的距离，不是甲、乙两地之间的距离，
故②错误；
③因为快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，
所以图中点B的横坐标为3+=3，
纵坐标为120﹣60×=75，
故③正确；
④设快递车从乙地返回时的速度为y千米/时，则
（y+60）（4﹣3）=75，
y=90，
故④正确．
故答案为；①③④．
点评： 本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，关键是根据一次函数的性质和图象结合实际问题判断出每一结论是否正确．
　
25．（2012 包头）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，点B的坐标为（﹣1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O，则过A1，B两点的直线解析式为　 　．
考点： 待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化-旋转；相似三角形的判定与性质。
分析： 过点B作BC⊥x轴于点C，根据相似三角形对应边成比例求出AC的长度，然后求出OA的长度，从而得到点A的坐标，再根据旋转变换的性质求出点A1的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．
解答： 解：如图，过点B作BC⊥x轴于点C，
∵点B的坐标为（﹣1，2），
∴OC=1，BC=2，
∵∠ABO=90°，
∴∠BAC+∠AOB=90°，
又∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠AOB=∠ABC，
∴Rt△ABC∽Rt△BOC，
∴=，
即=，
解得AC=4，
∴OA=OC+AC=1+4=5，
∴点A（﹣5，0），
根据旋转变换的性质，点A1（0，5），
设过A1，B两点的直线解析式为y=kx+b，
则，
解得．
所以过A1，B两点的直线解析式为y=3x+5．
故答案为：y=3x+5．
点评： 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，旋转变换的性质，作辅助线构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出AC的长度，然后得到点A的坐标是解题的关键．
三、解答题
26．（2012 武汉）在平面直角坐标系中，直线y=kx+3经过点（-1，1），求不等式kx+3＜0的解集．
26．解：如图，∵将（-1，1）代入y=kx+3得1=-k+3，
∴k=2，
即y=2x+3，
当y=0时，x=-，
即与x轴的交点坐标是（-，0），
由图象可知：不等式kx+3＜0的解集是x＜-．
27．（2012 岳阳）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水--清洗--灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．
（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；
（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？
27．解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，
图象经过（0，1500），（25，1000），则：
，
解得：，
故排水阶段解析式为：y=-20t+1500；
清洗阶段：y=0，
灌水阶段：设解析式为：y=at+c，
图象经过（195，1000），（95，0），则：
，
解得： ，
灌水阶段解析式为：y=10t-950；
（2）∵排水阶段解析式为：y=-20t+1500；
∴y=0时，0=-20t+1500，
解得：t=75，
则排水时间为75分钟，
清洗时间为：95-75=20（分钟），
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500（m3），
∴1500=10t-950，
解得：t=245，
故灌水所用时间为：245-95=150（分钟）．
28．解：（1）根据2012年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；
得出：a=60÷100=0.6，
居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．
则（122.5-0.6×150）÷（200-150）=0.65，
故：a=0.6；b=0.65．
（2）当x≤150时，y=0.6x．
当150＜x≤300时，y=0.65（x-150）+0.6×150=0.65x-7.5，
当x＞300时，y=0.9（x-300）+0.6×150+0.65×150=0.9x-82.5；
（3）当居民月用电量x≤150时，
0.6x≤0.62x，故x≥0，
当居民月用电量x满足150＜x≤300时，
0.65x-75≤0.62x，
解得：x≤250，
当居民月用电量x满足x＞300时，
0.9x-82.5≤0.62x，
解得：x≤，
综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.62元．
30．（2012 新疆）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为yA元，yB元．
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式；
C D 总计
A x吨 200吨
B 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
（2）当x为何值时，A村的运费较少？
（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．
考点： 一次函数的应用。
专题： 应用题。
分析： （1）由A村共有香梨200吨，从A村运往C仓库x吨，剩下的运往D仓库，故运往D仓库为（200﹣x）吨，由A村已经运往C仓库x吨，C仓库可储存240吨，故B村应往C仓库运（240﹣x）吨，剩下的运往D仓库，剩下的为300﹣（240﹣x），化简后即可得到B村运往D仓库的吨数，填表即可，由从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元，由表格中的代数式，即可分别列出yA，yB与x之间的函数关系式；
（2）由第一问表示出的yA与x之间的函数关系式得到此函数为一次函数，根据x的系数为负数，得到此一次函数为减函数，且0≤x≤200，故x取最大200时，yA有最小值，即为A村的运费较少时x的值；
（3）设两村的运费之和为W，W=yA+yB，把第一问表示出的两函数解析式代入，合并后得到W为关于x的一次函数，且x的系数大于0，可得出此一次函数为增函数，可得出x=0时，W有最小值，将x=0代入W关于x的函数关系式中，即可求出W的最小值．
解答： 解：（1）填写如下：
C D 总计
A x吨 （200﹣x）吨 200吨
B （240﹣x）吨 （60+x）吨 300吨
总计 240吨 260吨 500吨
由题意得：yA=40x+45（200﹣x）=﹣5x+9000；yB=25（240﹣x）+32（60+x）=7x+7920；
（2）对于yA=﹣5x+9000（0≤x≤200），
∵k=﹣5＜0，
∴此一次函数为减函数，
则当x=200吨时，yA最小，其最小值为﹣5×200+9000=8000（元）；
（3）设两村的运费之和为W（0≤x≤200），
则W=yA+yB=﹣5x+9000+7x+7920=2x+16920，
∵k=2＞0，
∴此一次函数为增函数，
则当x=0时，W有最小值，W最小值为16920元．
点评： 此题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：一次函数的性质，以及函数关系式的列法，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．本题注意x的范围为0≤x≤200．
　
31．（2012 绥化）星期天8：00～8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等候的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．
（1）8：00～8：30，燃气公司向储气罐注入了　 　米3的天然气；
（2）当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式；
（3）正在排队等候的20辆车加完气后，储气罐内还有天然气　 　米3，这第20辆车在当天9：00之前能加完气吗？请说明理由．
考点： 一次函数的应用。
分析： （1）根据函数图象可知，8点时储气罐中有2000米3的天然气，8：30时储气罐中有10000米3的天然气，即可得出燃气公司向储气罐注入了8000米3的天然气；
（2）根据图象上点的坐标得出函数解析式即可；
（3）根据每车20米3的加气量，则可求出20辆车加完气后的储气量，进而得出所用时间．
解答： 解：（1）根据图象可得出：燃气公司向储气罐注入了10000﹣2000=8000（米3）的天然气；
故答案为：8000；
（2）当x≥8.5时由图象可设y与x的函数关系式为y=kx+b，由已知得：
，
解得，
故当x≥8.5时，储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系式为：y=﹣1000x+18500，
（3）根据每车20米3的加气量，则20辆车加完气后，储气罐内还有天然气：
10000﹣20×20=9600（米3），
故答案为：9600，
根据题意得出：
9600=﹣1000x+18500，
x=8.9＜9，
答：这第20辆车在当天9：00之前能加完气．
点评： 此题主要考查了一次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，利用图象获取正确信息是解题关键．
Y随x的增大而
Y随x的增大而
原
料2013年中考数学专题复习第四讲：因式分解
【基础知识回顾】
一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积
【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】
二、因式分解常用方法：
1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】
2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2= ,
②完全平方公式：a2±2ab+b2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，
找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合该公式。】
公式分解的一般步骤
一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先
二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用 法来分解。
三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例1 （2012 安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）
A．m2+n B．m2-m+1 C．m2-n D．m2-2m+1
思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；
B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；
C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；
D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．
对应训练
1．（2012 凉山州）下列多项式能分解因式的是（　　）
A．x2+y2 B．-x2-y2 C．-x2+2xy-y2 D．x2-xy+y2
1．C
考点二：因式分解
例2 （2012 天门）分解因式：3a2b+6ab2= ．
思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab，然后提取公因式即可求得答案．
解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．
故答案为：3ab（a+2b）．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
例3 （2012 广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2= ．
思路分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解：3m3-18m2n+27mn2
=3m（m2-6mn+9n2）
=3m（m-3n）2．
故答案为：3m（m-3n）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
对应训练
2．（2012 温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a-4） B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2） D．（a-2）2-4
2．A．
3．（2012 恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　　）
A．a2b（a2-6a+9） B．a2b（a-3）（a+3） C．b（a2-3）2 D．a2b（a-3）2
3．D
考点三：因式分解的应用
例4 8．（2012 随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则()5= ．
考点：因式分解的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；分式的化简求值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．
解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，
∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，
化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，
若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，
因此a+b2=0，即b2=-a，
∴()5
=()5
=-()5
=()5
=（-2）5
=-32．
故答案为-32．
点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．
对应训练
4．（2012 苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab= ．
4．6
【聚焦山东中考】
1．（2012 济宁）下列式子变形是因式分解的是（　　）
A．x2-5x+6=x（x-5）+6 B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）
C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6 D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）
1．B．
2．（2012 临沂）分解因式：a-6ab+9ab2= ．
2．a（1-3b）2．
3．（2012 潍坊）分解因式：x3-4x2-12x= ．
考点：因式分解-十字相乘法等 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；因式分解-提公因式法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．
解答：解：x3-4x2-12x
=x（x2-4x-12）
=x（x+2）（x-6）．
故答案为：x（x+2）（x-6）．
点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．
4．（2012 威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
解答：解：3x2y+12xy2+12y3，
=3y（x2+4xy+4y2），
=3y（x+2y）2．
故答案为：3y（x+2y）2．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（　　）
A．（x-1）（x-2） B．x2 C．（x+1）2 D．（x-2）2
1．D
2．（2012 呼和浩特）下列各因式分解正确的是（　　）
A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） B．x2+2x-1=（x-1）2
C．4x2-4x+1=（2x-1）2 D．x2-4x=x（x+2）（x-2）
2．C
3．（2012 台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（　　）
A．2x-2 B．2x+2 C．4x+1 D．4x+2
3．A
4．（2012 西宁）下列分解因式正确的是（　　）
A．3x2-6x=x（3x-6） B．-a2+b2=（b+a）（b-a）
C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y） D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2
考点：因式分解-运用公式法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；因式分解-提公因式法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本选项错误；
B、-a2+b2=（b+a）（b-a），故本选项正确；
C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本选项错误；
D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．
点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．
5．（2012 温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）
A．a（a-4） B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2） D．（a-2）2-4
考点：因式分解-提公因式法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：直接提取公因式a即可．
解答：解：a2-4a=a（a-4），
故选：A．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
二、填空题
6．（2012 湘潭）因式分解：m2-mn= ．
6．m（m-n）
7．（2012 桂林）分解因式：4x2-2x= ．
7．2x（2x-1）
8．（2012 沈阳）分解因式：m2-6m+9= ．
8．（x-3）2．
9．（2012 黔西南州）分解因式：a4-16a2= ．
9．a2（a+4）（a-4）．
10．（2012 北海）因式分解：-m2+n2= ．
10．（n+m）（n-m）
11．（2012 北京）分解因式：mn2+6mn+9m= ．
11．m（n+3）2．
12．（2012 益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式： ．
12．解：答案不唯一，如x2-3
=x2-（）2
=（x+）（x-）．
故可填 x2-3．
13．（2012 宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2= ．
13．3（m-n）2
14．（2012 绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3= ．
14．ab（a-b）2．
15．（2012 宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为 ．
15．解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，
∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，
∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，
13xy-26x=0，
13x（y-2）=0，
∵x≠0，
∴y-2=0，
∴y=2；
故答案为：2．
16．（2012 广东）分解因式：2x2-10x= ．
考点：因式分解-提公因式法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先确定公因式是2x，然后提公因式即可．
解答：解：原式=2x（x-5）．
故答案是：2x（x-5）．
点评：本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键．
17．（2012 黄石）分解因式：x2+x-2= ．
考点：因式分解-十字相乘法等 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：因为（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．
解答：解：∵（-1）×2=-2，2-1=1，
∴x2+x-2=（x-1）（x+2）．
故答案为：（x-1）（x+2）．
点评：本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
18．（2012 黑河）因式分解：27x2-3y2= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解．
解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）．
故答案是：3（3x+y）（3x-y）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止
19．（2012 六盘水）分解因式：2x2+4x+2= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．
解答：解：2x2+4x+2
=2（x2+2x+1）
=2（x+1）2．
故答案为：2（x+1）2．
点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
20．（2012 南充）分解因式：x2-4x-12= ．
考点：因式分解-十字相乘法等 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．
解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）．
故答案为（x-6）（x+2）．
点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
21．（2012 哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是 ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式
解答：解：a3-2a2+a
=a（a2-2a+1）
=a（a-1）2．
故答案为：a（a-1）2．
点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
22．（2012 广州）分解因式：a3-8a= ．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：a3-8a，
=a（a2-8），
=a（a+2）（a-2）．
故答案为：a（a+2）（a-2）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
23．（2012 广西）分解因式：2xy-4x2= ．
考点：因式分解-提公因式法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数．
解答：解：原式=2x（y-2x）．
故答案是：2x（y-2x）．
点评：本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．
24．（2012 大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2= ．
考点：因式分解-分组分解法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可．
解答：解：ab-ac+bc-b2
=（ab-ac）+（bc-b2）
=a（b-c）-b（b-c）
=（b-c）（a-b）．
故答案是：（b-c）（a-b）．
点评：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．
三、解答题
25．（2012 扬州）（1）计算：-（-1）2+（-2012）0
（2）因式分解：m3n-9mn．
考点：提公因式法与公式法的综合运用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；实数的运算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；零指数幂 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非0数的0次幂等于1解答；
（2）先提取公因式mn，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解答：解：（1）-（-1）2+（-2012）0
=3-1+1
=3；
（2）m3n-9mn
=mn（m2-9）
=mn（m+3）（m-3）
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（ ）
（ ）2013年中考数学专题复习第七讲：二元一次方程（组）
【基础知识回顾】
等式的概念及性质：
1、等式：用“=”连接表示 关系的式子叫做等式
2、等式的性质：
1、性质①等式两边都加（减） 所得结果仍是等式即：若a=b,那么a±c=
2、性质2：等式两边都乘以或除以 （除数不为0）所得结果仍是等式 若：a=b,那么a c= 若a=b（c≠o）那么=
【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”不被漏项
②等式两边都除以一个数式时必须保证它的值 】
二、方程的有关概念：
1、含有未知数的 叫做方程
2、使方程左右两边相等的 的值，叫做方程的组
3、 叫做组方程
4、方程两边都是关于未知数的 这样的方程叫做整式方程
三、一元一次方程：
1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成 的形式
2、解一元一次方程的一般步骤：
1。 2。 3。 4。 5。
【名师提醒：1、一元一次方程的解法的多步骤的一句分别是等式的性质和合并同类法则要注意灵活准确运用
2、去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。 】
四、二元一次方程组及解法：
二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0(a.b.c是常数，a≠o,b≠o)
由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组
二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解
解二元一次方程组的基本思路是：
二元一次方程组的解法：① ②
【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解
2、二元一次方程组的解应写成
五、列方程（组）解应用题：
一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知 点和未知点
2、设：直接或间接设未知数
3、列：根据题意寻找等关系列方程（组）
4、解：解这个方程（组），求出未知数的值
5、验：检验方程（组）的解是否符合题意
6：答：写出（名称）
【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是：
2、几个常用的等量关系：①路程= X
②工作效率= 】
【重点考点例析】
考点一：等式性质及一元一次方程的解法
例1 （2012 漳州）方程2x-4=0的解是 ．
思路分析：根据一元一次方程的解法，移项，系数化为1即可得解．
解：移项得，2x=4，
系数化为1得，x=2．
故答案为：x=2．
点评：本题考查了移项解一元一次方程，是基础题，注意移项要变号．
对应训练
1．（2012 郴州）一元一次方程3x-6=0的解是 ．
1．x=2．
考点二：二元一次方程组的解法（巧解）
例2 （2012 厦门）解方程组：．
思路分析：先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．
解：，
①+②得，5x=5，解得x=1；
把x=1代入②得，2-y=1，解得y=1，
故此方程组的解为：．
点评：本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
对应训练
2．（2012 南京）解方程组．
2．解：
由①得x=-3y-1③，
将③代入②，得3（-3y-1）-2y=8，
解得：y=-1．
将y=-1代入③，得x=2．
故原方程组的解是．
考点三：一次方程（组）的应用
例3 （2012 温州）楠溪江某景点门票价格：成人票每张70元，儿童票每张35元．小明买20张门票共花了1225元，设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
思路分析：根据“小明买20张门票”可得方程：x+y=20；根据“成人票每张70元，儿童票每张35元，共花了1225元”可得方程：70x+35y=1225，把两个方程组合即可．
解：设其中有x张成人票，y张儿童票，根据题意得，
，
故选：B．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是弄清题意，把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
例4 （2012 天津）某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表）．
月使用费/元 主叫限定时间/分 主叫超时费/（元/分） 被叫
方式一 58 150 0.25 免费
方式二 88 350 0.19 免费
设一个月内使用移动电话主叫的时间为t分（t为正整数），请根据表中
提供的信息回答下列问题：
（Ⅰ）用含有t的式子填写下表：
t≤150 150＜t＜350 t=50 t＞350
方式一计费/元 58 108
方式二计费/元 88 88 88
（Ⅱ）当t为何值时，两种计费方式的费用相等？
（Ⅲ）当330＜t＜360时，你认为选用哪种计费方式省钱（直接写出结果即可）．
思路分析：（I）根据两种方式的收费标准进行计算即可；
（II）先判断出两种方式相等时t的大致范围，继而建立方程即可得出答案．
（III）计算出两种方式在此区间的收费情况，然后比较即可得出答案．
解：（Ⅰ）①当150＜t＜350时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
②当t＞350时，方式一收费：58+0.25（x-150）=0.25t+20.5；
③方式二当t＞350时收费：88+0.19（x-350）=0.19t+21.5．
t≤150 150＜t＜350 t=50 t＞350
方式一计费/元 58 0.25t+20.5 108 0.25t+20.5
方式二计费/元 88 88 88 0.19t+21.5
（Ⅱ）∵当t＞350时，（0.25t+20.5）-（0.19t+21.5）=0.06t-1＞0，
∴当两种计费方式的费用相等时，t的值在150＜t＜350取得．
∴列方程0.25t+20.5=88，
解得t=270．
即当主叫时间为270分时，两种计费方式的费用相等．
（Ⅲ）方式二．
方式一收费-方式二收费y=0.25t+20.5-0.19t-21.5=0.06t-1，
当330＜t＜360时，y＞0，即可得方式二更划算．
答：当330＜t＜360时，方式二计费方式省钱．
点评：此题考查了一元一次方程的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，要将实际问题转化为数学问题来求解．
例5 （2012 株洲）在学校组织的游艺晚会上，掷飞标游艺区游戏规则如下：如图掷到A区和B区的得分不同，A区为小圆内部分，B区为大圆内小圆外的部分（掷中一次记一个点）．现统计小华、小芳和小明掷中与得分情况如下：
小华：77分 小芳75分 小明： ？ 分
（1）求掷中A区、B区一次各得多少分？
（2）依此方法计算小明的得分为多少分？
思路分析：（1）首先设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，根据图示可得等量关系：①掷到A区5个的得分+掷到B区3个的得分=77分；②掷到A区3个的得分+掷到B区5个的得分=75分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可得到掷中A区、B区一次各得多少分；
（2）由图示可得求的是掷到A区4个的得分+掷到B区4个的得分，根据（1）中解出的数代入计算即可．
解：（1）设掷到A区和B区的得分分别为x、y分，依题意得：
，
解得：，
答：求掷中A区、B区一次各得10，9分．
（2）由（1）可知：4x+4y=76，
答：依此方法计算小明的得分为76分．
点评：此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组．
对应训练
3．（2012 宁夏）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
3．B
4．（2012 淮安）某省公布的居民用电阶梯电价听证方案如下：
第一档电量 第二档电量 第三档电量
月用电量210度以下，每度价格0.52元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价0.05元 月用电量350度以上，每度比第一档提价0.30元
例：若某户月用电量400度，则需交电费为210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）+（400-350）×（0.52+0.30）=230（元）
（1）如果按此方案计算，小华家5月份的电费为138.84元，请你求出小华家5月份的用电量；
（2）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为a元，则小华家该月用电量属于第几档？
4．解：（1）用电量为210度时，需要交纳210×0.52=109.2元，用电量为350度时，需要交纳210×0.52+（350-210）×（0.52+0.05）=189元，
故可得小华家5月份的用电量在第二档，
设小华家5月份的用电量为x，则210×0.52+（x-210）×（0.52+0.05）=138.84，
解得：x=262，即小华家5月份的用电量为262度．
（2）由（1）得，当a≤109.2时，小华家的用电量在第一档；
当109.2＜a≤189时，小华家的用电量在第二档；
当a＞189时，华家的用电量在第三档；
5．（2012 云南）某企业为严重缺水的甲、乙两所学校捐赠矿泉水共2000件．已知捐给甲校的矿泉水件数比捐给乙校件数的2倍少400件．求该企业分别捐给甲、乙两所学校的矿泉水个多少件？
5．解：设该企业向甲学校捐了x件矿泉水，向乙学校捐了y件矿泉水，
由题意得，，
解得：．
答：设该企业向甲学校捐了1200件矿泉水，向乙学校捐了800件矿泉水．
【聚焦山东中考】
1．（2012 滨州）李明同学早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用时15分钟．他骑自行车的平均速度是250米/分钟，步行的平均速度是80米/分钟．他家离学校的距离是2900米．如果他骑车和步行的时间分别为x，y分钟，列出的方程是（　　）
A． B．
C． D．
1．D
3．（2012 菏泽）已知是二元一次方程组的解，则2m﹣n的算术平方根为（　　）
　 A．±2 B． C． 2 D． 4
考点： 二元一次方程组的解；算术平方根。
分析： 由是二元一次方程组的解，根据二元一次方程根的定义，可得，即可求得m与n的值，继而求得2m﹣n的算术平方根．
解答： 解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得：，
∴2m﹣n=4，
∴2m﹣n的算术平方根为2．
故选C．
点评： 此题考查了二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法以及算术平方根的定义．此题难度不大，注意理解方程组的解的定义．
4．（2012 临沂）关于x、y的方程组的解是，则|m﹣n|的值是（　　）
　 A．5 B． 3 C． 2 D． 1
考点： 二元一次方程组的解。
专题： 常规题型。
分析： 根据二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组，求解得到m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
解答： 解：∵方程组的解是，
∴，
解得，
所以，|m﹣n|=|2﹣3|=1．
故选D．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解的定义，把方程组的解代入方程组求出m、n的值是解题的关键．
5．（2012 聊城）儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折优惠，能比标价省13.2元．已知书包标价比文具盒标价3倍少6元，那么书包和文具盒的标价各是多少元？
5．解：设书包和文具盒的标价分别为x元和y元，
根据题意，得
解得．
答：书包和文具盒的标价分别为48元和18元．
6．（2012 东营）如图，长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路运价为1.5元/（吨 千米），铁路运价为1.2元/（吨 千米），且这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元．求：
（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
6．分析：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，利用两个等量关系：A地到长青化工厂的公路里程×1.5x+B地到长青化工厂的公路里程×1.5y=这两次运输共支出公路运输费15000元；A地到长青化工厂的铁路里程×1.2x+B地到长青化工厂的铁路里程×1.2y=这两次运输共支出铁路运输费97200元，列出关于x与y的二元一次方程组，求出方程组的解集得到x与y的值，即可得到该工厂从A地购买原料的吨数以及制成运往B地的产品的吨数；
（2）由第一问求出的原料吨数×每吨1000元求出原料费，再由这两次运输共支出公路运输费15000元，铁路运输费97200元，两运费相加求出运输费之和，由制成运往B地的产品的吨数×每吨8000元求出销售款，最后由这批产品的销售款-原料费-运输费的和，即可求出所求的结果．
解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，
依题意得：
，
整理得：，
①×12-②得：13y=3900，
解得：y=300，
将y=300代入①得：x=400，
∴方程组的解集为：，
经检验x=400，y=300符合题意，
则工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨；
（2）依题意得：300×8000-400×1000-15000-97200=1887800（元），
∴这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．
点评：此题考查了二元一次方程组的应用，是一道与实际密切相关的热点考题，解答此类题时，要弄清题中的等量关系，列出相应的方程组，进而得到解决问题的目的．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 漳州）二元一次方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
1．B．
2．（2012 铜仁地区）铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等．如果每隔5米栽1棵，则树苗缺21棵；如果每隔6米栽1棵，则树苗正好用完．设原有树苗x棵，则根据题意列出方程正确的是（　　）
A．5（x+21-1）=6（x-1） B．5（x+21）=6（x-1）
C．5（x+21-1）=6x D．5（x+21）=6x
2．A
3．（2012 台湾）如图为制作果冻的食谱，傅妈妈想依此食谱内容制作六人份的果冻．若她加入50克砂糖后，不足砂糖可依比例换成糖浆，则她需再加几小匙糖浆？（　　）
A．15 B．18 C．21 D．24
3．C
4．（2012 凉山州）雅西高速公路于2012年4月29日正式通车，西昌到成都全长420千米，一辆小汽车和一辆 客车同时从西昌、成都两地相向开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米，设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/小时和y千米/小时，则下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．D
5．（2012 桂林）二元一次方程组的解是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 解二元一次方程组；解一元一次方程。
专题： 计算题。
分析： 解方程②求出x，把x的值代入①能求出y，即可得出答案．
解答： 解：，
∵解方程②得：x=2，
把x=2代入①得：2+y=3，
解得：y=1，
∴方程组的解为：，
故选D．
点评： 本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程的应用，关键是把方程组转化成一元一次方程，题目比较好，难度不大．
　
6．（2012 杭州）已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1，给出下列结论：
①是方程组的解；
②当a=﹣2时，x，y的值互为相反数；
③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a的解；
④若x≤1，则1≤y≤4．
其中正确的是（　　）
　 A．①② B． ②③ C． ②③④ D． ①③④
考点： 二元一次方程组的解；解一元一次不等式组。
分析： 解方程组得出x、y的表达式，根据a的取值范围确定x、y的取值范围，逐一判断．
解答： 解：解方程组，得，
∵﹣3≤a≤1，∴﹣5≤x≤3，0≤y≤4，
①不符合﹣5≤x≤3，0≤y≤4，结论错误；
②当a=﹣2时，x=1+2a=﹣3，y=1﹣a=3，x，y的值互为相反数，结论正确；
③当a=1时，x+y=2+a=3，4﹣a=3，方程x+y=4﹣a两边相等，结论正确；
④当x≤1时，1+2a≤1，解得a≤0，y=1﹣a≥1，已知0≤y≤4，
故当x≤1时，1≤y≤4，结论正确，
故选C．
点评： 本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组．关键是根据条件，求出x、y的表达式及x、y的取值范围．
　
7．（2012 黑龙江）某校团委与社区联合举办“保护地球，人人有责”活动，选派20名学生分三组到120个店铺发传单，若第一、二、三小组每人分别负责8、6、5个店铺，且每组至少有两人，则学生分组方案有（　　）
　 A．6种 B． 5种 C． 4种 D． 3种
考点： 二元一次方程的应用。
分析： 可设第一小组有x人，第二小组有y人，则第三小组有（20﹣x﹣y）人，根据选派20名学生分三组到120个店铺可列方程，再根据每组人数为≥2的正整数求解即可．
解答： 解：设第一小组有x人，第二小组有y人，则第三小组有（20﹣x﹣y）人，则
8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，
3x+y=20，
当x=2时，y=14，20﹣x﹣y=4，符合题意；
当x=3时，y=11，20﹣x﹣y=6，符合题意；
当x=4时，y=8，20﹣x﹣y=8，符合题意；
当x=5时，y=5，20﹣x﹣y=10，符合题意；
当x=6时，y=2，20﹣x﹣y=12，符合题意．
故学生分组方案有5种．
故选B．
点评： 考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的条件“每组至少有两人”．
　
　
8．（2012 衡阳）为了丰富同学们的课余生活，体育委员小强到体育用品商店购羽毛球拍和乒乓球拍，若购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，小强一共用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，若设每副羽毛球拍为x元，每副乒乓球拍为y元，列二元一次方程组得（　　）
　 A． B．
　 C． D．
考点： 由实际问题抽象出二元一次方程组。
专题： 应用题。
分析： 分别根据等量关系：购1副羽毛球拍和1副乒乓球拍共需50元，用320元购买了6副同样的羽毛球拍和10副同样的乒乓球拍，可得出方程，联立可得出方程组．
解答： 解：由题意得，．
故选B．
点评： 此题考查了由实际问题抽象二元一次方程组的知识，属于基础题，关键是仔细审题得出两个等量关系，建立方程组．
　
9．（2012 鸡西）为庆祝“六 一”国际儿童节，鸡冠区某小学组织师生共360人参加公园游园活动，有A、B两种型号客车可供租用，两种客车载客量分别为45人、30人，要求每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（　　）
　 A．3种 B． 4种 C． 5种 D． 6种
考点： 二元一次方程的应用。
分析： 可设租用A型号客车x辆，B型号客车Y辆，根据共360人参加公园游园活动可列方程，再根据车辆数为非负整数求解即可．
解答： 解：设租用A型号客车x辆，B型号客车Y辆，则
45x+30y=360，即3x+2y=24，
当x=0时，y=12，符合题意；
当x=2时，y=9，符合题意；
当x=4时，y=6，符合题意；
当x=6时，y=3，符合题意；
当x=8时，y=0，符合题意．
故师生一次性全部到达公园的租车方案有5种．
故选C．
点评： 考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题的条件“每辆车必须满载”．
　
二、填空题
10．（2012 怀化）方程组的解是 ．
10．
11．（2012 连云港）方程组的解为 ．
考点： 解二元一次方程组。
专题： 计算题。
分析： 利用①+②可消除y，从而可求出x，再把x的值代入①，易求出y．
解答： 解：，
①+②，得
3x=9，
解得x=3，
把x=3代入①，得
3+y=3，
解得y=0，
∴原方程组的解是．
故答案是．
点评： 本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减法消元的思想．
12．（2012 达州）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞1，则k的取值范围是 ．
12．k＞2
13．（2012 湘潭）湖南省2011年赴台旅游人数达7.6万人．我市某九年级一学生家长准备中考后全家3人去台湾旅游，计划花费20000元．设每人向旅行社缴纳x元费用后，共剩5000元用于购物和品尝台湾美食．根据题意，列出方程为 ．
13．20000-3x=5000
14．（2012 黑龙江）某商品按进价提高40%后标价，再打8折销售，售价为2240元，则这种电器的进价 元．
14．2000
15．（2012 咸宁）某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需 元．
15．1100
16．（2012 天门）学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，则全校师生表演的歌唱类节目有 个．
16．22
17．（2012 阜新）如图1，在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图2．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图2中Ⅱ部分的面积是 ．
17．100
三、解答题
18．（2012 湖州）解方程组．
18．解：
①+②得3x=9，解得x=3，
把x=3代入②，得3-y=1，解得y=2，
∴原方程组的解是．
19．（2012 宿迁）学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了6.5h；汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了6h，问平路和坡路各有多远？
19．解：设平路有x千米，坡路有y千米，由题意得：
，
解得：，
答：平路和坡路各有150米、120米．
20．（2012 苏州）我国是一个淡水资源严重缺乏的国家，有关数据显示，中国人均淡水资源占有量仅为美国人均淡水资源占有量的，中、美两国人均淡水资源占有量之和为13800m3，问中、美两国人均淡水资源占有量各为多少（单位：m3）？
20．解：设中国人均淡水资源占有量为xm3，美国人均淡水资源占有量为ym3．
根据题意得：，
解得：．
答：中、美两国人均淡水资源占有量各为2300m3，11500m3．
21．（2012 南昌）小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．
妈妈：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；
爸爸：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨单价上涨20%”；
小明：“爸爸、妈妈，我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？”
请你通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．
21．解：解法一：设上月萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价y元/斤，根据题意得：
．
解得：．
这天萝卜的单价是（1+50%）x=（1+50%）×2=3，
这天排骨的单价是（1+20%）y=（1+20%）×15=18，
答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤；
解法二：这天萝卜的单价是x元/斤，排骨的单价是y元/斤，根据题意得：
解得：．
答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．
22．（2012 娄底）体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如表，全部销售完后共获利润260元．
篮球 排球
进价（元/个） 80 50
售价（元/个） 95 60
（1）购进篮球和排球各多少个？
（2）销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
22．解：（1）设购进篮球x个，购进排球y个，由题意得：
解得：，
答：购进篮球12个，购进排球8个；
（2）设销售6个排球的利润与销售a个篮球的利润相等，由题意得：
6×（60-50）=（95-80）a，
解得：a=4，
答：销售6个排球的利润与销售4个篮球的利润相等．
23．（2012 广西）有甲、乙两种车辆参加来宾市“桂中水城”建设工程挖渠运土，已知5辆甲种车和4辆乙种车一次可运土共140立方米，3辆甲种车和2辆乙种车一次可运土共76立方米．求甲、乙两种车每辆一次可分别运土多少立方米？
考点： 二元一次方程组的应用。
专题： 应用题。
分析： 设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，根据题意所述的两个等量关系得出方程组，解出即可得出答案．
解答： 解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，
由题意得，，
解得：．
答：甲、乙两种车每辆一次可分别运土12和20立方米．
点评： 此题考查了二元一次方程组的应用，属于基础题，仔细审题，根据题意的等量关系得出方程是解答本题的关键．
　
23．（2012 吉林）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm．设演员的身高为xcm，高跷的长度为ycm，求x，y的值．
考点： 二元一次方程组的应用。
分析： 根据演员身高是高跷长度的2倍得出2y=x，利用高跷与腿重合部分的长度为28cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm，得出y+x﹣28=224，得出二元一次方程组，进而求出x，y的值即可．
解答： 解：设演员的身高为xcm，高跷的长度为ycm，根据题意得出：
，
解得：，
答：演员的身高为168cm，高跷的长度为84cm．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据已知得出等量关系组成方程组是解题关键．
24．（2012 海南）为了进一步推进海南国际旅游岛建设，海口市自2012年4月1日起实施《海口市奖励旅行社开发客源市场暂行办法》，第八条规定：“旅行社引进会议规模达到200人以上，入住本市A类旅游饭店，每次会议奖励2万元；入住本市B类旅游饭店，每次会议奖励1万元．”某旅行社5月份引进符合奖励规定的会议共18次，得到28万元奖金，求此旅行社引进符合奖励规定的入住A类和B类旅游饭店的会议各多少次？
考点： 二元一次方程组的应用。
分析： 首先设此旅行社引进符合奖励规定的入住A类旅游饭店的会议x次，入住B类旅游饭店的会议y次，根据题意可得等量关系：①入住A类旅游饭店的会议x次+入住B类旅游饭店的会议y次=18次；②入住A类旅游饭店的会议x次所得的奖励+入住B类旅游饭店的会议y次所得的奖励=28万元，根据等量关系可得方程组，解方程组即可．
解答： 解：设此旅行社引进符合奖励规定的入住A类旅游饭店的会议x次，入住B类旅游饭店的会议y次，由题意得：
，
解得：，
答：入住A类旅游饭店的会议10次，入住B类旅游饭店的会议8次．
点评： 此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系列出方程组．
25．（2012 江西）小华写信给老家的爷爷，问候“八一”建军节．折叠长方形信纸、装入标准信封时发现：若将信纸如图①连续两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有3.8cm；若将信纸如图②三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰1.4cm．试求信纸的纸长与信封的口宽．
考点： 二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用。
分析： 根据设信纸的纸长为xcm，根据信封折叠情况得出+3.8=+1.4，进而求出即可．
解答： 解：解法一：
设信纸的纸长为xcm，
根据题意得：+3.8=+1.4，
解得x=28.8；
所以信封的口宽为+3.8=11（cm），
答：信纸的纸长为28.8cm，信封的口宽为11cm．
解法二：
设信封的口宽为ycm，
根据题意得：4（y﹣3.8）=3（y﹣1.4），
解得y=11；
所以信纸的纸长为4×（11﹣3.8）=28.8（cm）．
答：信纸的纸长为28.8cm，信封的口宽为11cm．
解法三：设信纸的长度为xcm、信封的口宽为ycm，
根据题意得：
解得：
答：信纸的纸长为28.8cm，信封的口宽为11cm．
点评： 此题主要考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，根据已知折叠情况得出正确的等量关系是解题关键．
　
26．（2012 龙岩）已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计租车方案；
（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
考点： 二元一次方程组的应用；二元一次方程的应用。
分析： （1）根据“用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；”“用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可；
（2）由题意理解出：3a+4b=31，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案；
（3）根据（2）中所求方案，利用A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，分别求出租车费用即可．
解答： 解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，
依题意列方程组得：
，
解方程组，得：，
答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．
（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，
∴a=
∵a、b都是正整数
∴或或
答：有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车5辆，B型车4辆；
方案三：A型车1辆，B型车7辆．
（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，
∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）
方案二需租金：5×100+4×120=980（元）
方案三需租金：1×100+7×120=940（元）
∵1020＞980＞940
∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元．
点评： 本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，此题型是各地中考的热点，同学们在平时练习时要加强训练，属于中档题．
　
x=a
的形式
y=b
温馨提示：
若选用方式一，每月固定交费58元，当主动打出电话月累计时间不超过150分，不再额外交费；当超过150分，超过部分每分加收0.25元。2013年中考数学专题复习第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
圆的定义及性质：
圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
【名师提醒：1、在一个圆中，圆←决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是锥】
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其中三个，注意解题过程中的灵活运用
2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线
3、垂径定理常用作计算，在半径r弦a弦心d和弦h中已知两个可求另外两个】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
【名师提醒：注意：该定理的前提条件是“在同圆或等圆中”】
圆周角定理及其推论：
1、圆周角定义：顶点在 并且两边都和圆 的角叫圆周角
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，圆弧或等弧所对的圆周角 都等于这条弧所对的圆心角的
推论1、在同圆或等圆中，如果两个圆周角 那么它们所对的弧
推论2、半圆（或直弦）所对的圆周角是 900的圆周角所对的弦是
【名师提醒：1、在圆中，一条弦所对的圆心角只有一个，而 它所对的圆周角有 个，它们的关系是
作直弦所对的圆周角是圆中常作的辅助线】
圆内接四边形：
定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做 这个圆叫做
性质：圆内接四边形的对角
【名师提醒：圆内接平行四边形是 圆内接梯形是 】
考点一：垂径定理
例1 （2012 绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）
A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误
C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；
由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．
解答：解：根据甲的思路，作出图形如下：
连接OB，
∵BC垂直平分OD，
∴E为OD的中点，且OD⊥BC，
∴OE=DE=OD，又OB=OD，
在Rt△OBE中，OE=OB，
∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，
∴∠BOE=60°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
又∠BOE为△AOB的外角，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，
同理∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠C，
∴△ABC为等边三角形，
故甲作法正确；
根据乙的思路，作图如下：
连接OB，BD，
∵OD=BD，OD=OB，
∴OD=BD=OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
又BC垂直平分OD，∴OM=DM，
∴BM为∠OBD的平分线，
∴∠OBM=∠DBM=30°，
又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，
同理∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC为等边三角形，
故乙作法正确，
故选A
点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键．
对应训练
1．（2012 哈尔滨）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，则⊙O的半径为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由∠B的度数，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠AOC的度数，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形的内角和定理求出∠OAC=30°，又OP垂直于AC，得到三角形AOP为直角三角形，利用30°所对的直角边等于斜边的一半，根据OP的长得出OA的长，即为圆O的半径．
解答：解：∵圆心角∠AOC与圆周角∠B所对的弧都为，且∠B=60°，
∴∠AOC=2∠B=120°，
又OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∵OP⊥AC，
∴∠AOP=90°，
在Rt△AOP中，OP=2，∠OAC=30°，
∴OA=2OP=4，
则圆O的半径4．
故选A
点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
考点二：圆周角定理
例2 （2012 青海）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点N，点M在⊙O上，∠1=∠C
（1）求证：CB∥MD；
（2）若BC=4，sinM= ，求⊙O的直径．
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由∠C与∠M是 所对的圆周角，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠C=∠M，又由∠1=∠C，易得∠1=∠M，即可判定CB∥MD；
（2）首先连接AC，AB为⊙O的直径，可得∠ACB=90°，又由弦CD⊥AB，根据垂径定理的即可求得= ，继而可得∠A=∠M，又由BC=4，sinM= ，即可求得⊙O的直径．
解答：（1）证明：∵∠C与∠M是所对的圆周角，
∴∠C=∠M，
又∵∠1=∠C，
∴∠1=∠M，
∴CB∥MD；
（2）解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵CD⊥AB，
∴= ，
∴∠A=∠M，
∴sinA=sinM，
在Rt△ACB中，sinA=，
∵sinM=，BC=4，
∴AB=6，
即⊙O的直径为6．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理、平行线的判定以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
对应训练
37．（2012 沈阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由OD⊥AC OD为半径，根据垂径定理，即可得 ，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可证得BD平分∠ABC；
（2）首先由OB=OD，易求得∠AOD的度数，又由OD⊥AC于E，可求得∠A的度数，然后由AB是⊙O的直径，根据圆周角定理，可得∠ACB=90°，继而可证得BC=OD．
解答：证明：（1）∵OD⊥AC OD为半径，
∴，
∴∠CBD=∠ABD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵OB=OD，
∴∠OBD=∠0DB=30°，
∴∠AOD=∠OBD+∠ODB=30°+30°=60°，
又∵OD⊥AC于E，
∴∠OEA=90°，
∴∠A=180°-∠OEA-∠AOD=180°-90°-60°=30°，
又∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，BC=AB，
∵OD=AB，
∴BC=OD．
点评：此题考查了圆周角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
考点三：圆内接四边形的性质
例3 （2012 深圳）如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内 上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（　　）
A．6 B．5 C．3 D．3
考点：圆内接四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据圆内接四边形的性质求出∠OAB的度数，由圆周角定理可知∠AOB=90°，故可得出∠ABO的度数，根据直角三角形的性质即可得出AB的长，进而得出结论．
解答：解：∵四边形ABMO是圆内接四边形，∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-60°=30°，
∵点A的坐标为（0，3），
∴OA=3，
∴AB=2OA=6，
∴⊙C的半径长==3．
故选C．
点评：本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理及直角三角形的性质，熟知圆内接四边形对角互补的性质是解答此题的关键．
对应训练
3．（2011 肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（　　）
A．115° B．l05° C．100° D．95°
考点：圆内接四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据圆内接四边形的对角互补得到∠BAD+∠BCD=180°，而∠BCD与∠DEC为邻补角，得到∠DCE=∠BAD=105°．
解答：解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
而∠BCD+∠DCE=180°，
∴∠DCE=∠BAD，
而∠BAD=105°，
∴∠DCE=105°．
故选B．
点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
【聚焦山东中考】
1．（2012 泰安）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（　　）
A．CM=DM B． C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，
∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；
B为的中点，即，选项B成立；
在△ACM和△ADM中，
∵，
∴△ACM≌△ADM（SAS），
∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；
而OM与MD不一定相等，选项D不成立．
故选D
点评：此题考查了垂径定理，以及全等三角形的判定与性质，垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
2．（2012 东营）某施工工地安放了一个圆柱形饮水桶的木制支架（如图1），若不计木条的厚度，其俯视图如图2所示，已知AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，则圆柱形饮水桶的底面半径的最大值是 cm．
2．30
考点：垂径定理的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：当圆柱形饮水桶的底面半径最大时，圆外接于△ABC；连接外心与B点，可通过勾股定理即可求出圆的半径．
解答：解：连接OB，如图，
当⊙O为△ABC的外接圆时圆柱形饮水桶的底面半径的最大．
∵AD垂直平分BC，AD=BC=48cm，
∴O点在AD上，BD=24cm；
在Rt△0BD中，设半径为r，则OB=r，OD=48-r，
∴r2=（48-r）2+242，解得r=30．
即圆柱形饮水桶的底面半径的最大值为30cm．
故答案为：30．
点评：此题考查把实物图转化为几何图形的能力以及勾股定理，垂径定理的讨论和勾股定理．
3．（2012 泰安）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，点C是优弧上一点（不与A，B重合），则cosC的值为 ．
3．
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先构造直径所对圆周角，利用勾股定理得出BD的长，再利用cosC=cosD=求出即可．
解答：解：连接AO并延长到圆上一点D，连接BD，
可得AD为⊙O直径，故∠ABD=90°，
∵半径为5的⊙O中，弦AB=6，则AD=10，
∴BD==8，
∵∠D=∠C，
∴cosC=cosD===，
故答案为：．
点评：此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数的定义和圆周角定理，根据已知构造直角三角形ABD是解题关键．
4．（2012 青岛）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是 ．
4.150°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先在优弧上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理，即可求得∠ADC的度数，又由圆的内接四边形的性质，即可求得答案．
解答：解：在优弧上取点D，连接AD，CD，
∵∠AOC=60°，
∴∠ADC=∠AOC=30°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=180°-∠ADC=180°-30°=150°．
故答案为：150°．
点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 无锡）如图，以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长（　　）
A．等于4 B．等于4 C．等于6 D．随P点位置的变化而变化
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OA：OD，即（r+x）：1=9：（r-x），求出r2-x2=9，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案．
解答：解：连接NE，
设圆N半径为r，ON=x，则OD=r-x，OC=r+x，
∵以M（-5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，
∴OA=4+5=9，0B=5-4=1，
∵AB是⊙M的直径，
∴∠APB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°，
∵∠PBA=∠OBD，
∴∠PAB=∠ODB，
∵∠APB=∠BOD=90°，
∴△OBD∽△OCA，
∴，
即，
解得：（r+x）（r-x）=9，
r2-x2=9，
由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2-ON2=r2-x2=9，
即OE=OF=3，
∴EF=2OE=6，
故选C．
点评：本题考查了勾股定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OE=OF和r2-x2=9，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．
2．（2012 陕西）如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为（　　）
A．3 B．4 C．3 D．4
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，首先利用勾股定理求得OM的长，然后判定四边形OMPN是正方形，求得正方形的对角线的长即可求得OM的长．
解答：解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，
由垂径定理、勾股定理得：OM==3，
∵弦AB、CD互相垂直，
∴∠DPB=90°，
∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是正方形，
∴OP=3
故选C．
点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确地作出辅助线．
3．（2012 黄冈）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OC，可知，点E为CD的中点，在Rt△OEC中，OE=OB-BE=OC-BE，根据勾股定理，即可得出OC，即可得出直径．
解答：解：连接OC，根据题意，
CE=CD=6，BE=2．
在Rt△OEC中，
设OC=x，则OE=x-2，
故：（x-2）2+62=x2
解得：x=10
即直径AB=20．
故选D．
点评：本题是对垂径定理和解直角三角形的综合应用，解题的关键是利用勾股定理构造直角三角形．
4．（2012 河北）如图，CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，则下列结论正确的是（　　）
A．AE＞BE B． C．∠D=∠AEC D．△ADE∽△CBE
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据垂径定理及相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
解答：解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦（不是直径），AB⊥CD于点E，
∴AE=BE，，故A、B错误；
∵∠AEC不是圆心角，
∴∠D≠∠AEC，故C错误；
∵∠CEB=∠AED，∠DAE=∠BCE，
∴△ADE∽△CBE，故C正确．
故选D．
点评：本题考查了垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定，难度不大，是基础题．
5．（2012 重庆）已知：如图，OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在⊙O上，则∠ACB的度数为（　　）
A．45° B．35° C．25° D．20°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：直接根据圆周角定理进行解答即可．
解答：解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠ACB=∠AOB=45°．
故选A．
点评：本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．（2012 云南）如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC．若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BCD的度数．
解答：解：∵∠BAD与∠BCD是对的圆周角，
∴∠BCD=∠BAD=60°．
故选C．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
7．（2012 襄阳）△ABC为⊙O的内接三角形，若∠AOC=160°，则∠ABC的度数是（　　）
A．80° B．160° C．100° D．80°或100°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出图形，由圆周角定理即可求得答案∠ABC的度数，又由圆的内接四边四边形性质，即可求得∠AB′C的度数．
解答：解：如图，∵∠AOC=160°，
∴∠ABC=∠AOC=×160°=80°，
∵∠ABC+∠AB′C=180°，
∴∠AB′C=180°-∠ABC=180°-80°=100°．
∴∠ABC的度数是：80°或100°．
故选D．
点评：此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，注意别漏解．
8．（2012 泸州）如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C的度数为（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠A的度数，然后由三角形的内角和定理，即可求得∠C的度数．
解答：解：∵∠BOD=100°，
∴∠A=∠BOD=50°，
∵∠B=60°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=70°．
故选C．
点评：此题考查了圆周角定理与三角形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用是解此题的关键．
二、填空题
9．（2012 朝阳）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB，垂足为E，已知CD=6，AE=1，则⊙0的半径为 5
．
9．5
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OD，由垂径定理得求出DE，设⊙O的半径是R，由勾股定理得出R2=（R-1）2+32，求出R即可．
解答：解：
连接OD，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴由垂径定理得：DE=CE=3，
设⊙O的半径是R，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：OD2=OE2+DE2，即R2=（R-1）2+32，
解得：R=5，
故答案为：5．
点评：本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，用了方程思想，题目比较好，难度适中．
10．（2012 成都）如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C．若AB=2，0C=1，则半径OB的长为 2
．
10．2
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据垂径定理得出BC的长，再在Rt△OBC中利用勾股定理求出OB的长即可．
解答：解：∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB=2，
∴BC=，AB=，
∵0C=1，
∴在Rt△OBC中，
OB=．
故答案为：2．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，先求出BC的长，再利用勾股定理求出OB的长是解答此题的关键．
11．（2012 嘉兴）如图，在⊙O中，直径AB丄弦CD于点M，AM=18，BM=8，则CD的长为 24
．
11．24
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OD，由AM=18，BM=8可求出⊙O的半径，利用勾股定理可求出MD的长，再根据垂径定理即可得出CD的长．
解答：解：连接OD，
∵AM=18，BM=8，
∴OD===13，
∴OM=13-8=5，
在Rt△ODM中，DM=，
∵直径AB丄弦CD，
∴AB=2DM=2×12=24．
故答案为：24．
点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．（2012 株洲）已知：如图，在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，则∠AOB= ．
12．90°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数．
解答：解：∵在⊙O中，C在圆周上，∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°．
故答案为：90°．
点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用，注意数形结合思想的应用．
13．（2012 玉林）如图，矩形OABC内接于扇形MON，当CN=CO时，∠NMB的度数是 ．
13．30°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先连接OB，由矩形的性质可得△BOC是直角三角形，又由OB=ON=2OC，∠BOC的度数，又由圆周角定理求得∠NMB的度数．
解答：解：连接OB，
∵CN=CO，
∴OB=ON=2OC，
∵四边形OABC是矩形，
∴∠BCO=90°，
∴cos∠BOC=，
∴∠BOC=60°，
∴∠NMB=∠BOC=30°．
故答案为：30°．
点评：此题考查了圆周角定理、矩形的性质以及特殊角的三角函数值．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
14．（2012 义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（2，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是 ；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是 ．
14．（1），（2）0或
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案；
（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．
解答：解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，
∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=AC tan30°=2×，
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：；
（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，
∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=2，
如图3，当C与P重合时，
∵A（0，2）、B（2，2），
∴tan∠APC=，
∴∠APC=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为要的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或2．
故答案为：（1），（2）0或．
点评：此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．
15．（2012 鞍山）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA=，则∠D的度数是 ．
15.30°
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由圆周角定理、特殊角的三角函数值求得∠CAB=30°；然后根据直角三角形的两个锐角互余的性质、等腰三角形的性质、对顶角相等求得∠EOD=∠COB=60°；最后在直角三角形ODE中求得∠D的度数．
解答：解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵sinA=，
∴∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=OBC=60°，
∴∠COB=60°，
∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）；
又∵DE⊥AB，
∴∠D=90°-60°=30°．
故答案是：30°．
点评：本题综合考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值．解题时，注意“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一知识点的利用．
三、解答题
16．（2012 荆门）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）
考点：垂径定理的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB，先根据垂径定理求出AF的值，再在在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB的度数，由勾股定理求出OF的长，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）即可得出结论．
解答：解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．
∵OA=OB=5m，AB=8m，
∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，
在Rt△AOF中，sin∠AOF==0.8=sin53°，
∴∠AOF=53°，则∠AOB=106°，
∵OF==3（m），由题意得：MN=1m，
∴FN=OM-OF+MN=3（m），
∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，
∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE．
在Rt△ADE中，tan56°=，
∴DE=2m，DC=12m．
∴S阴=S梯形ABCD-（S扇OAB-S△OAB）=（8+12）×3-（π×52-×8×3）=20（m2）．
答：U型槽的横截面积约为20m2．
点评：本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形及等腰梯形，再利用勾股定理进行求解是解答此题的关键．
17．（2012 南通）如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
解答：解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE==8cm，
在Rt△OCF中，
OF==15cm，
∴EF=OF-OE=15-8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
点评：本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．（2012 宁夏）在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．求∠D的度数．
考点：垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接BD，根据平行线的性质可得：BD∥CF，则∠BDC=∠C，根据圆周角定理可得∠BDC= ∠BOC，则∠C= ∠BOC，根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
解答：解：方法一：连接BD．
∵AB⊙O是直径，
∴BD⊥AD
又∵CF⊥AD，
∴BD∥CF，
∴∠BDC=∠C．
又∵∠BDC=∠BOC，
∴∠C=∠BOC．
∵AB⊥CD，
∴∠C=30°，
∴∠ADC=60°．
方法二：设∠D=x，
∵CF⊥AD，AB⊥CD，∠A=∠A，
∴△AFO∽△AED，
∴∠D=∠AOF=x，
∴∠ADC=2∠ADC=2x，
∴x+2x=180，
∴x=60，
∴∠ADC=60°．
点评：本题考查了圆周角定理以及直角三角形的性质，正确得到∠C=∠BOC是解题的关键．
19．（2012 长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）求圆心O到BC的距离OD．
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ABC的度数，再直接根据三角形的内角和定理进行解答即可；
（2）连接OB，由等边三角形的性质可知，∠OBD=30°，根据OB=8利用直角三角形的性质即可得出结论．
解答：解：（1）在△ABC中，
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）∵△ABC为等边三角形，⊙O为其外接圆，
∴O为△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OD=8×=4．
点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，垂径定理，解直角三角形等知识，将各知识点有机结合，旨在考查同学们的综合应用能力．
20．（2012 大庆）如图△ABC中，BC=3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC=120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据垂直平分线的性质得出AB=BC，进而得出∠A=∠C=30°即可；
（2）根据BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，得出CD的长，进而求出AE的长度即可．
解答：解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC=90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB=BC，
∴∠A=∠C，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
即∠ACB=30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC=3，∠ACB=30°，∠BDC=90°，
∴cos30°==，
∴CD=，
∵AD=CD，
∴AC=3，
∵在Rt△AEC中，∠ACE=30°，
∴AE==．
点评：此题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出CD的长度是解题关键．
21．（2012 怀化）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，∠OBC=30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．
（1）当∠ADC=18°时，求∠DOB的度数；
（2）若AC=2，求证：△ACD∽△OCB．
考点：圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可；
（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出 ，根据相似三角形的判定推出即可．
解答：（1）解：连接OA，
∵OA=OB=OD，
∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°，
∴∠DAB=∠DAO+∠BAO=48°，
由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°．
（2）证明：过O作OE⊥AB于E，
由垂径定理得：AE=BE，
∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，
∴OE=OB=2，
由勾股定理得：BE=2=AE，
即AB=2AE=4，
∵AC=2，
∴BC=2，
即C、E两点重合，
∴DC⊥AB，
∴∠DCA=∠OCB=90°，
∵DC=OD+OC=2+4=6，OC=2，AC=BC=2，
∴=，
∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．
点评：本题综合考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生能否运用性质进行推理，题目综合性比较强，是一道比较好的题目．2013年中考数学专题复习第二十九讲 统计
【基础知识回顾】
1、是为了一定的目的对 考察对象进行的全面调查，其中所要考查对象的 称为总体，组成总体的 考查对象称为个体
2、抽样调查：是指从总体中抽取 对象进行调查，然后根据调查数据推理全体对象的情况，其中，被抽取的那些 组成一个样本，样本中 的数目叫做样本
【名师提醒：1、对被考查对象进行全面调查还是抽样调查要根据就考查对象的特点而选择，例如：当被考查对象数量有限时可采取 当受条件限制】
数据的代表：
平均数：⑴算术平均数 如果有n个数x1 ,x2 ,x3 …xn那么它们的平均数=
⑵加权平均数：若在一组数据中x1出现f1次，x2出现f2次...... xk出现fk次,则其平均数= （其中f1+ f2+...... fk=n）
2、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 或 叫做这组数据的中位数。
3、众数：在一组数据出现次数 的数据，称为该组数据的众数
【名师提醒：1、平均数：中位数和众数从不同的绝度描述了一组数据的 （用法可补立）
2、在一组数据中，平均数、中位数都是唯一的，而众数可能 ，求中位数时 一定要先将原数据 】
三、数据的波动：
1、极差：一组数据中 与 的差，叫做这组数据的极差
2、方差：几个数据x1 ,x2 ,x3 …xn的平均数为，则这组数据的方差s 2=
3、标准差：方差的
【名师提醒：极差、方差、标准差都是反应一组数据 大小的，其值越大，说明这组数据波动 】
统计图：
1、统计图是表示统计数据的图形，是数据及其关系的直观表现的反映，几种常见的统计图有 统计图 统计图 统计图
2、频数分布直方图：
⑴频数：在统计数据中落在不同小组中 的个数，叫做频数
⑵频率：=
⑶绘制频数直方图的步骤：a：计算 与 的差，b：决定 和 c：确定分点d：列出 f：画出
【名师提醒：1、各类统计图的特点：条形统计图可以反映 折线统计图能够显示 从扇形统计图能够看出 ，扇形的圆心角= 3600X
2、频数分布直方圆中每个长方形的高时 就有小长方形高的和为 】
【典型例题解析】
考点一：用样本估计总体
例1 （2012 资阳）某果园有苹果树100棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把苹果树分成了A、B、C三个级别，其中A级30棵，B级60棵，C级10棵，然后从A、B、C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵，测出其产量，制成了如下的统计表．小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是 7600
千克．
苹果树长势 A级 B级 C级
随机抽取棵数（棵） 3 6 1
所抽取果树的平均产量（千克） 80 75 70
考点：用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用样本估计总体的方法结合图表可以看出：A级每颗苹果树平均产量是80千克，B级每颗苹果树平均产量是75千克，C级每颗苹果树平均产量是70千克，用A级每颗苹果树平均产量是80千克×30棵+B级每颗苹果树平均产量是75千克×60棵+C级每颗苹果树平均产量是70千克×10棵=该果园的苹果总产量．
解答：解：由题意得：80×30+75×60+70×10=7600．
故答案为：7600．
点评：此题主要考查了用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
对应训练
1．（2012 苏州）某初中学校共有学生720人，该校有关部门从全体学生中随机抽取了50人，对其到校方式进行调查，并将调查的结果制成了如图所示的条形统计图，由此可以估计全校坐公交车到校的学生有 216
人．
考点：用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先求出50个人里面坐公交车的人数所占的比例，然后即可估算出全校坐公交车到校的学生．
解答：解：由题意得，50个人里面坐公交车的人数所占的比例为：=30%，
故全校坐公交车到校的学生有：720×30%=216人．
即全校坐公交车到校的学生有216人．
故答案为：216．
点评：此题考查了用样本估计总体的知识，解答本题的关键是根据所求项占样本的比例，属于基础题，难度一般．
考点二：平均数、众数、中位数
例2 （2012 武汉）对某校八年级随机抽取若干名学生进行体能测试，成绩记为1分，2分，3分，4分4个等级，将调查结果绘制成如下条形统计图和扇形统计图．根据图中信息，这些学生的平均分数是（　　）
A．2.25 B．2.5 C．2.95 D．3
考点：加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求得每个小组的人数，然后求平均分即可．
解答：解：总人数为12÷30%=40人，
∴3分的有40×42.5%=17人
2分的有8人
∴平均分为：=2.95
故选C．
点评：本题考查了加权平均数即统计图的知识，解题的关键是观察图形并求出各个小组的人数．
例3 8．（2012 永州）永州市5月下旬11天中日最高气温统计如下表：
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
最高气温（℃） 22 22 20 23 22 25 27 30 26 24 27
则这11天永州市日最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．22，25 B．22，24 C．23，24 D．23，25
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：将图表中的数据按从小到大排列：20，22，22，22，23，24，25，26，27，27，30，
其中数据22出现了三次，出现的次数最多，为众数；24处在第6位，为中位数．
所以这组数据的众数是22，中位数是24．
故选B．
点评：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这些概念掌握不清楚而误选其它选项．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
对应训练
2．（2012 柳州）某校篮球队在一次定点投篮训练中进球情况如图，那么这个对的队员平均进球个数是 6
．
考点：加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：平均数的计算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．
解答：解：根据题意得：=6，
故答案是：6．
点评：本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求4，5，7，8这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．
3．（2012 南充）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：
成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80
人数 1 2 4 3 3 2
这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．1.65，1.70 B．1.70，1.70 C．1.70，1.65 D．3，4
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答．
解答：解：15名运动员，按照成绩从低到高排列，第8名运动员的成绩是1.70，
所以中位数是1.70，
同一成绩运动员最多的是1.65，共有4人，
所以，众数是1.65．
因此，中位数与众数分别是1.70，1.65．
故选C．
点评：本题考查了中位数与众数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数；众数是出现次数最多的数据，众数有时不止一个．
考点三：极差、方差、标准差
例4 （2012 徐州）如图是某地未来7日最高气温走势图，这组数据的极差为 7
℃．
考点：极差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于极差是一组数据中最大值与最小值的差，所以找出最大值与最小值即可求出极差．
解答：解：根据图象得这组数据的最大值为32，最小值为25，
故极差为32-25=7（℃）．
故答案为：7．
点评：此题主要考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，利用极差定义得出是解题关键．
例5 （2012 株洲）市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛．在选拔赛中，每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 丁
．
甲 乙 丙 丁
平均数 8.2 8.0 8.0 8.2
方差 2.1 1.8 1.6 1.4
考点：方差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；算术平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，说明丁的成绩最稳定，得到丁是最佳人选．
解答：解：∵甲，乙，丙，丁四个人中甲和丁的平均数最大且相等，
甲，乙，丙，丁四个人中丁的方差最小，
说明丁的成绩最稳定，
∴综合平均数和方差两个方面说明丁成绩既高又稳定，
∴丁是最佳人选．
故答案为：丁．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
对应训练
4．（2012 宁波）我市某一周每天的最高气温统计如下：27，28，29，29，30，29，28（单位：℃），则这组数据的极差与众数分别为（　　）
A．2，28 B．3，29 C．2，27 D．3，28
考点：极差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据极差的定义，找出这组数的最大数与最小数，相减即可求出极差；
根据众数的定义，找出这组数中出现次数最多的数即可．
解答：解：这组数中，最大的数是30，最小的数是27，
所以极差为30-27=3，
29出现了3次，出现的次数最多，
所以，众数是29．
故选B．
点评：本题考查了极差与众数的概念，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．
5．（2012 襄阳）在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表：
植树株数（株） 5 6 7
小组个数 3 4 3
则这10个小组植树株数的方差是 0.6
．
考点：方差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求出平均数，再利用方差计算公式：s2= [（x1- ）2+（x2- ）2+…+（xn- ）2]求出即可．
解答：解：根据表格得出：=（5×3+6×4+7×3）=6，
方差计算公式：
s2= [（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2]，
= [（5-6）2+（5-6）2+…+（7-6）2]，
=×6，
=0.6．
故答案为：0.6．
点评：本题考查了方差的定义，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差，通常用s2来表示，计算公式是：
s2= s2= [（x1- ）2+（x2- ）2+…+（xn- ）2（可简单记忆为“方差等于差方的平均数”）
考点四：统计图表的综合运用
例6 （2012 镇江）某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（每人从中只能选一项），并将调查结果绘制成如图两幅统计图，请你结合图中信息解答问题．
（1）将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查的样本容量是 100
；
（3）已知该校有1200名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数．
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，利用条形图中喜欢武术的女生有10人，即可求出女生总人数，即可得出喜欢舞蹈的人数；
（2）根据（1）的计算结果再利用条形图即可得出样本容量；
（3）用全校学生数×喜欢剪纸的学生在样本中所占百分比即可求出．
解答：解：（1）∵根据扇形统计图可得出女生喜欢武术的占20%，
利用条形图中喜欢武术的女生有10人，
∴女生总人数为：10÷20%=50（人），
∴女生中喜欢舞蹈的人数为：50-10-16=24（人），
如图所示：
（2）本次抽样调查的样本容量是：30+6+14+50=100；
（3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100，
∴全校学生中喜欢剪纸的人数=1200×=360人．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
例7 （2012 朝阳）某中学为了解本校学生对球类运动的爱好情况，采用抽样的方法，从乒乓球、羽毛球、篮球和排球四个方面调查了若干名学生，在还没有绘制成功的“折线统计图”与“扇形统计图”中，请你根据已提供的部分信息解答下列问题．
（1）在这次调查活动中，一共调查了 200
名学生，并请补全统计图．
（2）“羽毛球”所在的扇形的圆心角是 108
度．
（3）若该校有学生1200名，估计爱好乒乓球运动的约有多少名学生？
考点：折线统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）读图可知喜欢乒乓球的有80人，占40%．所以一共调查了80÷40%=200人；
（2）喜欢排球的20人，应占 ×100%=10%，喜欢羽毛球的应占统计图的1-20%-40%-10%=30%，所占的圆心角为360°×30%=108°；
（3）利用样本估计总体的办法，计算出答案即可．
解答：解：（1）80÷40%=200（人）
喜欢篮球的人数：200×20%=40（人），
喜欢羽毛球的人数：200-80-20-40=60（人），
如图所示：
（2）×100%=10%，
1-20%-40%-10%=30%，
360°×30%=108°；
（3）喜欢乒乓球的人数：40%×1200=480（人）．
点评：本题考查学生的读图能力以及频率、频数的计算．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
对应训练
6．（2012 湛江）中学生骑电动车上学的现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了城区若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；C：赞成）并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调査中．共调査了 200
名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有多少名家长持反对态度？
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）用无所谓的人数除以其所占的百分比即可得到调查的总数；
（2）总数减去A、B两种态度的人数即可得到C态度的人数；
（3）用家长总数乘以持反对态度的百分比即可．
解答：解：（1）调查家长总数为：50÷25%=200人；
（2）持赞成态度的学生家长有200-50-120=30人，
故统计图为：
（3）持反对态度的家长有：80000×60%=48000人．
点评：本题考查了用样本估计总体和扇形统计图的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出有关信息．
7．（2012 盐城）第三十届夏季奥林匹克运动会将于2012年7月27日至8月12日在英国伦敦举行，目前正在进行火炬传递活动．某校学生会为了确定近期宣传专刊的主题，想知道学生对伦敦奥运会火炬传递路线的了解程度，决定随机抽取部分学生进行一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了如图两幅上不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 60
名；
（2）请补全折线统计图，并求出扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）若该校共有1200名学生，请根据上述调查结果估计该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数．
考点：折线统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）用了解很少的学生数除以其所占的百分比即可求出答案；
（2）用总数减去不了解、了解很少、了解的学生数，即可补全折线统计图；再用360°乘以基本了解部分所占的百分比即可求出扇形的圆心角的度数；
（3）用该校学生数乘以对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数所占的百分比即可．
解答：解：（1）根据题意得：30÷50%=60（名）
答：接受问卷调查的学生共有 60名；
（2）如图：60-10-15-30=5（名）；
“基本了解”部分所对应扇形的圆心角是：360°×=90°；
（3）该校学生中对伦敦奥运火炬传递路线达到了“了解”和“基本了解”程度的总人数是：
1200×=400（名）．
故答案为：60．
点评：本题考查了折线统计图和扇形统计图，解决本题的关键是从两种统计图中整理出解题的有关信息，在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．
【聚焦山东中考】
1．（2012 滨州）以下问题，不适合用全面调查的是（　　）
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间
B．鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数
C．学校招聘教师，对应聘人员面试
D．黄河三角洲中学调查全校753名学生的身高
考点：全面调查与抽样调查 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答：解：A、数量不大，应选择全面调查；
B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；
C、事关重大，调查往往选用普查；
D、数量较不大应选择全面调查．
故选B．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（2012 泰安）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选取20名同学统计了各自家庭一个月约节水情况．见表：
节水量/m3 0.2 0.25 0.3 0.4 0.5
家庭数/个 2 4 6 7 1
请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（　　）
A．130m3 B．135m3 C．6.5m3 D．260m3
考点：用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数400即可解答．
解答：解：20名同学各自家庭一个月平均节约用水是：
（0.2×2+0.25×4+0.3×6+04×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），
因此这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是：
400×0.325=130（m3），
故选A．
点评：本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可，关键是求出样本的平均数．
3．（2012 威海）某外贸公司要出口一批食品罐头，标准质量为每听454克，现抽去10听样品进行检测，它们的质量与标准质量的差值（单位：克）如下，-10，+5，0，+5，00，-5，0，+5，+10．则这10听罐头质量的平均数及众数为（　　）
A．454，454 B．455，454 C．454，459 D．455，0
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；算术平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求得-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10这10个数的平均数以及众数，然后分别加上454克，即可求解．
解答：解：平均数是：454+（-10+5+0+5+0+0-5+0+5+10）=454+1=455克，
-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10的众数是0，因而这10听罐头的质量的众数是：454+0=454克．
故选B．
点评：本题考查了众数与平均数的求法，正确理解定理，理解-10，+5，0，+5，0，0，-5，0，+5，+10与这10听罐头质量的平均数及众数的关系是关键．
4．（2012 日照）下图是根据今年某校九年级学生体育考试跳绳的成绩绘制成的统计图．如果该校九年级共有200名学生参加了这项跳绳考试，根据该统计图给出的信息可得这些同学跳绳考试的平均成绩为 175.5
．
考点：用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据各班人数所占百分比计算出各班人数，再根据加权平均数公式计算可得答案．
解答：解：一班人数：200×22%=44，
二班人数：200×27%=54，
三班人数：200×26%=52，
四班人数：200×25%=50，
这些同学跳绳考试的平均成绩为：（180×44+170×54+175×52+178×50）÷200=175.5，
故答案为：175.5．
点评：此题主要考查了加权平均数，关键是掌握加权平均数计算公式： ．
5．（2012 滨州）如表是晨光中学男子篮球队队员的年龄统计：
年龄 13 14 15 16
人数 1 5 5 1
他们的平均年龄是 14.5
．
考点：加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据加权平均数的计算公式进行计算即可．
解答：解：他们的平均年龄是：（13×1+14×5+15×5+16×1）÷12=14.5（岁）；
故答案为：14.5．
点评：本题考查的是加权平均数．熟记平均数的概念，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
6．（2012 德州）在某公益活动中，小明对本班同学的捐款情况进行了统计，绘制成如图不完整的统计图．其中捐100元的人数占全班总人数的25%，则本次捐款的中位数是 20
元．
考点：中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据捐款100元的人数占全班总人数的25%求得总人数，然后确定捐款20元的人数，然后确定中位数即可．
解答：解：∵捐100元的15人占全班总人数的25%，
∴全班总人数为15÷25%=60人，
∴捐款20元的有60-20-15-10=15人，
∴中位数是第30和第31人的平均数，均为20元
∴中位数为20元．
故答案为20．
点评：本题考查了中位数的求法，解题的关键是首先求得总人数和捐款20元的人数．
7．（2012 东营）某校篮球班21名同学的身高如下表：
身高/cm 180 185 187 190 201
人数/名 4 6 5 4 2
则该校篮球班21名同学身高的中位数是 187
cm．
考点：中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
解答：解：按从小到大的顺序排列，第11个数是187cm，故中位数是：187cm．
故答案为：187．
点评：本题为统计题，考查中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
8．（2012 东营）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）． 已知A、B两组捐款人数的比为1：5．
捐款人数分组统计表：
组别 捐款额x/元 人数
A 1≤x＜10 a
B 10≤x＜20 100
C 20≤x＜30
D 30≤x＜40
E x≥40
请结合以上信息解答下列问题．
（1）a= 20
，本次调查样本的容量是 500
；
（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少？
考点：频数（率）分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据A、B两组捐款的人数的比列式求解即可得到a的值，求出A、B两组捐款人数所占的百分比的和与A、B两组捐款的人数的和，列式计算即可求出样本容量；
（2）用样本容量乘以C组人数所占的百分比，计算即可得解，然后再补全统计图；
（3）先求出D、E两组的人数的和，再根据概率公式列式计算即可，或直接求出D、E两组捐款人数所占的百分比的和即可．
解答：解：（1）∵A、B两组捐款人数的比为1：5，B组捐款人数为100人，
∴A组捐款人数为：100÷5=20，
A、B两组捐款人数所占的百分比的和为：1-40%-28%-8%=1-76%=24%，
A、B两组捐款的人数的和为：20+100=120，
120÷24%=500，
故答案为：20，500；
（2）500×40%=200，
C组的人数为200，
补图见图．
（3）∵D、E两组的人数和为：
500×（28%+8%）=180，
∴捐款数不少于30元的概率是：=0.36．
[或：28%+8%=36%=0.36．]
点评：本题考查读频数分布直方图与扇形统计图以及频数分布表，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，根据分布表中B组的人数与利用扇形统计图求出B组人数所占的百分比是解题的关键，也是解决本题的突破口．
9. （2012 济南）济南以“泉水”而闻名，为保护泉水，造福子孙后代，济南市积极开展“节水保泉”活动，宁宁利用课余时间对某小区300户居民的用水情况进行了统计，发现5月份各户居民的用水量比4月份有所下降，宁宁将5月份各户居民的节水量统计整理如下统计图表：
节水量（米3） 1 1.5 2.5 3
户数 50 80 100 70
（1）300户居民5月份节水量的众数，中位数分别是多少米3？
（2）扇形统计图中2.5米3对应扇形的圆心角为
120
120
度；
（3）该小区300户居民5月份平均每户节约用水多少米3？
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；统计表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）众数是一组数据中出现次数最多的数据；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，根据定义可求解；
（2）首先计算出节水量2.5米3对应的居名民数所占百分比，再用360°×百分比即可；
（3）根据加权平均数公式：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则
，进行计算即可；
解答：解：（1）数据2.5出现了100次，次数最多，所以节水量的众数是2.5（米3）；
位置处于中间的数是第150个和第151个，都是2.5，故中位数是2.5米3．
（2）×100%×360°=120°；
（3）（50×1+80×1.5+2.5×100+3×70）÷300=2.1（米3）．
点评：此题主要考查了统计表，扇形统计图，平均数，中位数与众数，关键是看懂统计表，从统计表中获取必要的信息，熟练掌握平均数，中位数与众数的计算方法．
10．（2012 烟台）某市园林处去年植树节在滨海路两侧栽了A，B，C三个品种的树苗．栽种的A，B，C三个品种树苗数量的扇形统计图如图（1），其中B种树苗数量对应的扇形圆心角为120°．今年植树节前管理员调查了这三个品种树苗的成活率情况，准备今年从三个品种中选成活率最高的品种再进行栽种．经调查得知：A品种的成活率为85%，三个品种的总成活率为89%，但三个品种树苗成活数量统计图尚不完整，如图（2）．
请你根据以上信息帮管理员解决下列问题：
（1）三个品种树苗去年共栽多少棵？
（2）补全条形统计图，并通过计算，说明今年应栽哪个品种的树苗．
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据成活率求出A种树苗栽种的棵数，再用A种树苗的栽种棵数除以所占的百分比，进行计算即可得解；
（2）根据总成活率求出三种树苗成活的棵数，然后减去A、C两种的成活棵数即可得到B种树苗成活的棵数，即可补全条形统计图；根据B种树苗数量对应的扇形圆心角为120°求出B种树苗栽种的棵数，然后求出其成活率，再求出C种树苗的成活率，根据成活率即可作出正确选择．
解答：解：（1）A品种树苗棵数为1020÷85%=1200（棵），
所以，三个品种树苗共栽棵数为1200÷40%=3000（棵）；
（2）B品种树苗成活棵数为
3000×89%-1020-720=930（棵），
补全条形统计图，如图，…（7分）
B品种树苗成活率为×100%=93%；
C品种树苗成活率为×100%=×100%=90%．
所以，B品种成活率最高，今年应栽B品种树苗．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，本题易错点在于要先利用成活率求出A种树苗栽种的棵数．
11．（2012 威海）某市为提高学生参与体育活动的积极性，2011年9月围绕“你最喜欢的体育运动项目（只写一项）”这一问题，对初一新生进行随机抽样调查，下图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量是多少？
（2）根据条形统计图中的数据，求扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应扇形的圆心角度数．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）若该市2011年约有初一新生21000人，请你估计全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有多少人．
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）用喜欢健身操的学生数除以其所占的百分比即可求得样本容量；
（2）用周角乘以最喜欢足球运动的学生所占的百分比即可求得其圆心角的度数；
（3）求得喜欢篮球的人数后补全统计图即可；
（4）用总人数乘以喜欢足球的人数占总人数的百分比即可求解．
解答：解：（1）100÷20%=500，
∴本次抽样调查的样本容量是500；
（2）∵360°×=43.2°，
∴扇形统计图中“最喜欢足球运动”的学生数所对应的扇形圆心角度数为43.2°；
（3）如图：
（4）21000×=2520（人）
全市本届学生中“最喜欢足球运动”的学生约有2520人；
点评：此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
12．（2012 菏泽）某中学举行数学知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）二等奖所占的比例是多少？
（2）这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少？
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）若给所有参赛学生每人发一张卡片，各自写上自己的名字，然后把卡片放入一个不透明的袋子里，摇匀后任意摸出一张，求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率．
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）用单位1减去其他各组的所占的百分比即可；
（2）先求得总人数，然后乘以其所占的百分比即可；
（3）小长方形的高等于该组的频数；
（4）一等奖的人数除以总人数即可得到抽到一等奖的概率．
解答：解：（1）由1-10%-24%-46%=20%，所以二等奖所占的比例为20%
（2）参赛的总人数为：20÷10%=200人，
这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是：200×20%=40人；
（3）
（4）摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率为：20÷200=．
点评：本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率的知识，解题的关键是从两种统计图中整理出进一步解题的有关信息．
13．（2012 聊城）为进一步加强中小学生近视眼的防控工作，市教育局近期下发了有关文件，将学生视力保护工作纳入学校和教师的考核内容，为此，某县教育组管部门对今年初中毕业生的视力进行了一次抽样调查，并根据调查结果绘制如下频数分布表和频数分布直方图的一部分．
视力 频数（人） 频率
4.0～4.2 15 0.05
4.3～4.5 45 0.15
4.6～4.8 105 0.35
4.9～5.1 a 0.25
5.2～5.4 60 b
请根据图表信息回答下列问题：
（1）求表中a、b的值，并将频数分布直方图补充完整；
（2）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，估计该县5600名初中毕业生视力正常的学生有多少人？
考点：频数（率）分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）先求出这次调查的人数，则a=300×0.25，b=60÷300，即可将频数直方图补充完整；
（2）用总人数乘以视力在4.9以上（含4.9）的人数的频率，即可求出答案．
解答：解：（1）这次调查的人数是：15÷0.05=300（人），
所以a=300×0.25=75，
b=60÷300=0.2，
因为a=75，
所以4.9～5.1的人数是75，
如图：
（2）根据题意得：
5600×（0.25+0.2）=2520（人）．
答：该县初中毕业生视力正常的学生有2520人．
点评：本题考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（　　）
A．调查市场上老酸奶的质量情况
B．调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命
C．调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品
D．调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率
考点：全面调查与抽样调查 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
解答：解：A、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；
B、数量较大，具有破坏性的调查，应选择抽样调查；
C、事关重大的调查往往选用普查；
D、数量较大，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查．
故选C．
点评：本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（2012 衢州）下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式
B．了解衢州市每天的流动人口数，采用抽查方式
C．了解衢州市居民日平均用水量，采用普查方式
D．旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式
考点：全面调查与抽样调查 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据抽样调查和全面调查的特点与意义，分别进行分析即可得出答案．
解答：解：A．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，应采用抽样调查方式，故此选项错误；
B．了解衢州市每天的流动人口数，采用抽查方式；故此选项正确；
C．了解衢州市居民日平均用水量，应采用抽样调查方式；故此选项错误；
D．旅客上飞机前的安检，应采用全面调查方式；故此选项错误．
故选：B．
点评：此题主要考查了全面调查与抽样调查的特点，用到的知识点为：破坏性较强的，涉及人数较多的调查要采用抽样调查．
3．（2012 南宁）下列调查：
①调查一批灯泡的使用寿命；
②调查全班同学的身高；
③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准；
④企业招聘，对应聘人员进行面试．
其中符合用抽样调查的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．②③
考点：全面调查与抽样调查 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：本题需要根据具体情况正确选择普查或抽样调查等方法，并理解有些调查是不适合使用普查方法的．
解答：解：①调查一批灯泡的使用寿命，适合抽样调查；
②调查全班同学的身高，适合全面调查；
③调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准，适合抽样调查；
④企业招聘，对应聘人员进行面试，适合全面调查；
故选B．
点评：本题主要考查了全面调查和抽样调查，在解题时选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用是本题的关键．
4．（2012 攀枝花）为了了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析．在这个问题中，样本是指（　　）
A．150
B．被抽取的150名考生
C．被抽取的150名考生的中考数学成绩
D．攀枝花市2012年中考数学成绩
考点：总体、个体、样本、样本容量 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，即可得出答案．
解答：解：了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析．
样本是，被抽取的150名考生的中考数学成绩，
故选C．
点评：此题主要考查了样本确定方法，根据样本定义得出答案是解决问题的关键．
5．（2012 梅州）某同学为了解梅州市火车站今年“五一”期间每天乘车人数，随机抽查了其中五天的乘车人数，所抽查的这五天中每天乘车人数是这个问题的（　　）
A．总体 B．个体 C．样本 D．以上都不对
考点：总体、个体、样本、样本容量 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据总体、个体、样本、样本容量的定义进行解答．
解答：解：∵抽查的是“五一”期间每天乘车人数，
∴“五一”期间每天乘车人数是个体．
故选B．
点评：本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，是基础题．
6. （2012 铁岭）为了解长城小区“全民健身”活动的开展情况，随机对居住在该小区的40名居民一周的体育锻炼时间进行了统计，结果如下表：
锻炼时间（时） 3 4 5 6 7
人数（人） 6 13 14 5 2
这40名居民一周体育锻炼时间的中位数是（　　）
A．4小时 B．4.5小时 C．5小时 D．5.5小时
考点：中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：中位数是将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据或者最中间两个数据的平均数叫这组数据的中位数．本组数据中，把数据按照从大到小的顺序排列，最中间的两个数是的平均数即为中位数．
解答：解：由统计表可知：统计表中是按从小到大的顺序排列的，最中间两个人的锻炼时间都是5小时，故中位数是5小时．
故选C．
点评：本题考查了确定一组数据的中位数的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数，则找中间两位数的平均数．
7．（2012 衢州）某中学篮球队13名队员的年龄情况如下：
年龄（单位：岁） 15 16 17 18
人数 3 4 5 1
则这个队队员年龄的中位数是（　　）
A．15.5 B．16 C．16.5 D．17
考点：中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据中位数的定义，把13名同学按照年龄从小到大的顺序排列，找出第7名同学的年龄就是这个队队员年龄的中位数．
解答：解：根据图表，第7名同学的年龄是16岁，
所以，这个队队员年龄的中位数是16．
故选B．
点评：本题考查了中位数的定义，给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数据量的数．
8. （2012 肇庆）某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2：3：5，如图所示的扇形图表示上述分布情况．已知来自甲地区的为180人，则下列说法不正确的是（　　）
A．扇形甲的圆心角是72°
B．学生的总人数是900人
C．丙地区的人数比乙地区的人数多180人
D．甲地区的人数比丙地区的人数少180人
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：因为某校学生来自甲，乙，丙三个地区，其人数比为2：7：3，即甲区的人数是总人数的 ，利用来自甲地区的为180人，即可求出三个地区的总人数，进而求出丙地区的学生人数，分别判断即可．
解答：解：A．根据甲区的人数是总人数的，则扇形甲的圆心角是：
×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；
B．学生的总人数是：180÷=900人，故此选项正确，不符合题意；
C．丙地区的人数为：900×=450，，乙地区的人数为：900×=270，则丙地区的人数比乙地区的人数多450-270=180人，故此选项正确，不符合题意；
D．甲地区的人数比丙地区的人数少270-180=90人，故此选项错误．
故选：D．
点评：此题主要考查了扇形图的应用，先求出总体的人数，再分别乘以各部分所占的比例，即可求出各部分的具体人数是解题关键．
9. （2012 张家界）某农户一年的总收入为50000元，如图是这个农户收入的扇形统计图，则该农户的经济作物收入为（　　）
A．20000元 B．12500元 C．15500元 D．17500元
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：因为某农户一年的总收入为50000元，利用扇形图可知该农户的经济作物收入占35%，所以该农户的经济作物收入的钱数为：总收入×经济作物收入所占的百分比，求出得数即为结果．
解答：解：∵某农户一年的总收入为50000元，利用扇形图可知该农户的经济作物收入占35%，
∴50000×35%=17500（元）．
故选：D．
点评：本题考查了扇形统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，根据总收入×经济作物收入所占的百分比可求出解是解题关键．
10．（2012 襄阳）为了了解我市某学校“书香校园”的建设情况，检查组在该校随机抽取40名学生，调查了解他们一周阅读课外书籍的时间，并将调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每小组的时间包含最小值，不包含最大值），根据图中信息估计该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数约等于（　　）
A．50% B．55% C．60% D．65%
考点：频数（率）分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先求出m的值，再用一周课外阅读时间不少于4小时的人数除以抽取的学生数即可．
解答：解：m=40-5-11-4=20，
该校学生一周课外阅读时间不少于4小时的人数占全校人数的百分数是：
×100%=60%；
故选C．
点评：此题考查了频数分布直方图，解题的关键是求出m的值，找出一周课外阅读时间不少于4小时的人数．
11．（2012 丽水）为了解中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图（如图）．估计该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有（　　）
A．12 B．48 C．72 D．96
考点：频数（率）分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据直方图求出身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比，然后乘以300，计算即可．
解答：解：根据图形，身高在169.5cm～174.5cm之间的人数的百分比为：
×100%=24%，
所以，该校男生的身高在169.5cm～174.5cm之间的人数有300×24%=72（人）．
故选C．
点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题
12．（2012 资阳）小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米，下列说法错误的是（　　）
A．1.65米是该班学生身高的平均水平
B．班上比小华高的学生人数不会超过25人
C．这组身高数据的中位数不一定是1.65米
D．这组身高数据的众数不一定是1.65米
考点：算术平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息，对每一项进行分析即可．
解答：解：A、1.65米是该班学生身高的平均水平，正确；
B、因为小华的身高是1.66米，不是中位数，
所以班上比小华高的学生人数不会超过25人错误；
C、这组身高数据的中位数不一定是1.65米，正确；
D、这组身高数据的众数不一定是1.65米，正确．
故选B．
点评：此题考查了算术平均数、中位数、众数，解答此题不是直接求平均数、中位数、众数，而是利用平均数、中位数、众数的概念进行综合分析，平均数受极值的影响较大，而中位数不易受极端值影响．
13．（2012 济宁）数学课上，小明拿出了连续五日最低气温的统计表：
日期 一 二 三 四 五
最低气温（℃） 22 24 26 23 25
那么，这组数据的平均数和极差分别是 24和4
．
考点：极差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；算术平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据极差和平均数的定义即可求得．
解答：解：这组数据的平均数是（22+24+26+23+25）÷5=24，
极差为26-22=4．
故答案为：24，4．
点评：此题考查了极差和平均数，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．注意：①极差的单位与原数据单位一致．②如果数据的平均数、中位数、极差都完全相同，此时用极差来反映数据的离散程度就显得不准确．
14．（2012 珠海）某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的价格平均值相同，方差分别为 =8.5，=2.5，=10.1，=7.4．二月份白菜价格最稳定的市场是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
考点：方差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，即可得出答案．
解答：解：因为甲、乙、丙、丁四个市场的方差分别为=8.5，=2.5，=10.1，=7.4，乙的方差最小，
所以二月份白菜价格最稳定的市场是乙．
故选B．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
15．（2012 恩施州）希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正确的是（　　）
A．被调查的学生有200人
B．被调查的学生中喜欢教师职业的有40人
C．被调查的学生中喜欢其他职业的占40%
D．扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：通过对比条形统计图和扇形统计图可知：喜欢的职业是公务员的有40人，占样本的20%，所以被调查的学生数即可求解；各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体的百分比，乘以360度即可得到“公务员”所在扇形的圆心角的度数，结合扇形图与条形图得出即可．
解答：解：A．被调查的学生数为=200（人），故此选项正确，不符合题意；
B．根据扇形图可知喜欢医生职业的人数为：200×15%=30人，
则被调查的学生中喜欢教师职业的有：200-30-40-20-70=40（人），故此选项正确，不符合题意；
C．被调查的学生中喜欢其他职业的占：×100%=35%，故此选项错误，符合题意．
D．“公务员”所在扇形的圆心角的度数为：（1-15%-20%-10%-×100%）×360°=72°，故此选项正确，不符合题意；
故选：C．
点评：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．
16．（2012 杭州）如图是杭州市区人口的统计图．则根据统计图得出的下列判断，正确的是（　　）
A．其中有3个区的人口数都低于40万
B．只有1个区的人口数超过百万
C．上城区与下城区的人口数之和超过江干区的人口数
D．杭州市区的人口数已超过600万
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据条形统计图可以看出每个区的人口数，根据每个区的人口数进行判断，可选出答案．
解答：解：A、只有上城区人口数都低于40万，故此选项错误；
B、萧山区、余杭区两个区的人口超过100万，故此选项错误；
C、上城区与下城区的人口数之和低于江干区的人口数，故此选项错误；
D、杭州市区的人口数已超过600万，故此选项正确；
故选：D．
点评：此题主要考查了条形统计图，关键是从图中获取正确信息，从条形统计图中很容易看出数据的大小，便于比较．
17．（2012 徐州）九（2）班“环保小组”的5位同学在一次活动中捡废弃塑料袋的个数分别为：4，6，8，16，16．这组数据的中位数、众数分别为（　　）
A．16，16 B．10，16 C．8，8 D．8，16
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据众数和中位数的定义求解．找出次数最多的数为众数；把5个数按大小排列，位于中间位置的为中位数．
解答：解：在这一组数据中16是出现次数最多的，故众数是16；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数是8，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是8．
故选D．
点评：本题考查统计知识中的中位数和众数的定义．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
18．（2012 宜宾）宜宾今年5月某天各区县的最高气温如下表：
区县 翠屏区 南溪 长宁 江安 宜宾县 珙县 高县 兴文 筠连 屏山
最高气温（℃） 32 32 30 32 30 31 29 33 30 32
则着10个区县该天最高气温的众数和中位数分别是（　　）
A．32，31.5 B．32，30 C．30，32 D．32，31
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
解答：解：在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；
按大小排列后，处于这组数据中间位置的数是31、32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是31.5．
故选：A．
点评：此题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
19. （2012 温州）小林家今年1-5月份的用电量情况如图所示．由图可知，相邻两个月中，用电量变化最大的是（　　）
A．1月至2月 B．2月至3月 C．3月至4月 D．4月至5月
考点：折线统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据折线图的数据，分别求出相邻两个月的用电量的变化值，比较即可得解．
解答：解：1月至2月，125-110=15千瓦时，
2月至3月，125-95=30千瓦时，
3月至4月，100-95=5千瓦时，
4月至5月，100-90=10千瓦时，
所以，相邻两个月中，用电量变化最大的是2月至3月．
故选B．
点评：本题考查折线统计图的运用，折线统计图表示的是事物的变化情况，根据图中信息求出相邻两个月的用电变化量是解题的关键．
20. （2012 白银）地球的水资源越来越枯竭，全世界都提倡节约用水，小明把自己家1月至6月份的用水量绘制成折线图，那么小明家这6个月的月平均用水量是（　　）
A．10吨 B．9吨 C．8吨 D．7吨
考点：折线统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；算术平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：从图中得到6天用水量的6个数据，然后根据平均数的概念计算这6个数据的平均数就可得到平均用水量．
解答：解：这6天的平均用水量：（8+12+10+15+6+9）÷6=10吨，
故选：A．
点评：此题主要考查了折线图的应用以及平均数求法，要熟悉统计图，读懂统计图，熟练掌握平均数的计算方法是解题关键．
二、填空题
21．（2012 天门）Lost time is never found again（岁月既往，一去不回）．在这句谚语的所有英文字母中，字母“i”出现的频率是 0.12
．
考点：频数与频率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找出字母“i”出现的次数，及总的字母数，再由频率= 即可得出答案．
解答：解：由题意得，总共有25个，字母“i”出现的次数为：3次，
故字母“i”出现的频率是=0.12．
故答案为：0.12．
点评：此题考查了频数和频率的知识，掌握频率= 是解答本题的关键，注意在数字母频数的时候要细心．
22．（2012 漳州）漳州市某校在开展庆“六 一”活动前夕，从该校七年级共400名学生中，随机抽取40名学生进行“你最喜欢的活动”问卷调查，调查结果如下表：
你最喜欢的活动 猜谜 唱歌 投篮 跳绳 其它
人 数 6 8 16 8 2
请你估计该校七年级学生中，最喜欢“投篮”这项活动的约有 160
人．
考点：用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求得40人中最喜欢投篮活动的百分比，然后乘以总人数即可．
解答：解：最喜欢投篮游戏的人数为：400×=160人，
故答案为60．
点评：本题考查了用样本估计总体，解题的关键是根据图表得到喜欢投篮的人数的比例．
23．（2012 白银）某学校为了了解学生课间体育活动情况，随机抽取本校100名学生进行调查．整理收集到的数据，绘制成如图所示的统计图．若该校共有1200名学生，则估计该校喜欢“踢毽子”的学生
有 300
人．
考点：用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据条形统计图中每一组内的频数总和等于总数据个数，得出随机抽取本校的100名学生中喜欢“踢毽子”的学生数，计算出喜欢“踢毽子”的频率，然后利用样本估计总体的思想，求出该校喜欢“踢毽子”的学生数．
解答：解：∵随机抽取本校的100名学生中喜欢“踢毽子”的学生有：100-40-20-15=25（人），
∴喜欢“踢毽子”的频率为：25÷100=0.25，
∴该校喜欢“踢毽子”的学生有：1200×0.25=300（人）．
故答案为：300．
点评：本题考查读条形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力及用样本估计总体的思想．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．（2012 黄石）某校从参加计算机测试的学生中抽取了60名学生的成绩（40～100分）进行分析，并将其分成了六段后绘制成如图所示的频数分布直方图（其中70～80段因故看不清），若60分以上（含60分）为及格，试根据图中信息来估计这次测试的及格率约为 75%
．
考点：频数（率）分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据频率分布直方图，利用频数= ×组距，求出每一阶段内的频数，然后让60减去已求的每一阶段内的人数，易求70≤x＜80阶段内的频数，再把所有大于等于60分的频数相加，然后除以60易求及格率．
解答：解：∵频数=×组距，
∴当40≤x＜50时，频数=0.6×10=6，
同理可得：50≤x＜60，频数=9，
60≤x＜70，频数=9，
80≤x＜90，频数=15，
90≤x＜100，频数=3，
∴70≤x＜80，频数=60-6-9-9-15-3=18，
∴这次测试的及格率=×100%=75%，
故答案是75%．
点评：本题考查了频率分布直方图，解题的关键是利用公式频数= ×组距，求出每一阶段内的频数．
25.（2012 义乌市）在义乌市中小学生“人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是 90
分，众数是 90
分．
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；折线统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用折线图得出数据个数，再根据中位数和众数的定义求解．
解答：解：观察折线图可知：成绩为90的最多，所以众数为90；
这组学生共10人，中位数是第5、6名的平均分，
读图可知：第5、6名的成绩都为90，故中位数90．
故答案为：90，90．
点评：本题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是数据中出现最多的一个数．
26. （2012 西宁）72人参加商店举办的单手抓糖活动的统计结果如下表所示，若抓到糖果数的中位数为a，众数为b，则a+b的值为 19
．
抓到糖果数（颗） 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
次数（人） 3 7 6 10 11 13 7 7 1 4 2
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据中位数与众数的求法，分别求出抓到糖果数的中位数与众数再相加即可解答．
解答：解：第36与第37人抓到的糖果数均为9，故中位数a=9，
10出现了13次，次数最多，故众数b=10，
所以a+b=9+10=19．
故答案为19．
点评：本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
27. （2012 连云港）我市某超市五月份的第一周鸡蛋价格分别为7.2，7.2，6.8，7.2，7.0，7.0，6.6（单位：元/kg），则该超市这一周鸡蛋价格的众数为 7.2
（元/kg）．
考点：众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数，有时众数在一组数中有好几个，即可求出答案．
解答：解：由观察可知：在这些数据中，7.2出现3次，出现次数最多，
则该超市这一周鸡蛋价格的众数为7.2；
故答案为7.2．
点评：本题考查了众数的定义，解题的关键是认真仔细地观察，从中找到出现次数最多的数据．
28．（2012 上海）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有 150
名．
分数段 60-70 70-80 80-90 90-100
频率 0.2 0.25 0.25
考点：频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先求得80～90分数段的概率，然后用总人数乘以该组概率即可求得该分数段的人数．
解答：解：80～90分数段的频率为：1-0.2-0.25-0.25=0.3，
故该分数段的人数为：500×0.3=150人．
故答案为：150．
点评：本题考查了频率分布表的知识，解题的关键是根据表格中的内容求得该分数段的频率．
29．（2012 南宁）在学校艺术节文艺汇演中，甲、乙两个舞蹈队队员的身高的方差分别是S甲2=1.5，S乙2=2.5，那么身高更整齐的是 甲
队（填“甲”或“乙”）．
考点：方差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故由甲乙的方差可作出判断．
解答：解：由于S甲2＜S乙2，则甲队中身高更整齐．
∴两队中身高更整齐的是甲队．
故答案为：甲．
点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
30．（2012 梅州）为参加2012年“梅州市实践毕业生升学体育考试”，小峰同学进行了刻苦训练，在投掷实心球时，测得5次投掷的成绩（单位：m）8，8.5，8.8，8.5，9.2．这组数据的：①众数是 8.5
；②中位数是 8.5
；③方差是 0.156
．
考点：方差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．
解答：解：数据8.5出现了2次最多，故众数为8.5；
排序后数据为：8，8.5，8.5，8.8，9.2，
故中位数为8.5；
平均数为：（8+8.5+8.8+8.5+9.2）÷5=8.6
方差为： [（8-8.6）2+（8.5-8.6）2+（8.5-8.6）2+（8.8-8.6）2+（9.2-8.6）2]=0.156
故答案为8.5；8；0.156．
点评：本题考查了统计的有关知识，特别是求方差时牢记方差的公式是解题的关键．
31．（2012 温州）赵老师想了解本校“生活中的数学知识”大赛的成绩分布情况，随机抽取了100份试卷的成绩（满分为120分，成绩为整数），绘制成如图所示的统计图．由图可知，成绩不低于90分的
共有 27
人．
考点：频数（率）分布直方图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据频数分布直方图估计出89.5～109.5，109.5～129.5两个分数段的学生人数，然后相加即可．
解答：解：如图所示，89.5～109.5段的学生人数有24人，
109.5～129.5段的学生人数有3人，
所以，成绩不低于90分的共有24+3=27人．
故答案为：27．
点评：本题考查了读频数分布直方图的能力，根据图形估计出两个分数段的学生人数是解题的关键．
32.（2012 德阳）某班主任把本班学生上学方式的调查结果绘制成如图所示的不完整的统计图，已知乘公交车上学的学生有20人，骑自行车上学的学生有26人，则乘公交车上学的学生人数在扇形统计图中对应的扇形所占的圆心角的度数为 144°
．
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据骑自行车上学的学生有26人占52%，求出总人数，再根据乘车部分所对应的圆心角的度数为所占的比例乘以360度，即可求出答案；
解答：解：根据题意得：
总人数是：26÷52%=50人，
所以乘车部分所对应的圆心角的度数为360×=144°；
故答案为：144°．
点评：此题主要考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，列出算式是解决问题的关键．
33.（2012 宁波）如图是七年级（1）班学生参加课外兴趣小组人数的扇形统计图．如果参加外语兴趣小组的人数是12人，那么参加绘画兴趣小组的人数是 5
人．
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据参加外语兴趣小组的人数是12人，所占百分比为24%，计算出总人数，再用1减去所有已知百分比，求出绘画的百分比，再乘以总人数即可解答．
解答：解：∵参加外语小组的人数是12人，占参加课外兴趣小组人数的24%，
∴参加课外兴趣小组人数的人数共有：÷24%=50（人），
∴绘画兴趣小组的人数是50×（1-14%-36%-16%-24%）=5（人）．
故答案为5．
点评：本题考查了扇形统计图，从图中找到相关信息是解此类题目的关键．
34.（2012 新疆）某校九年级一班班长统计去年1～8月“校园文化”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图所示的折线统计图，这组数据的中位数是 58
．
考点：折线统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数．
解答：解：这组数据从大到小为：28，36，42，58，58，70，75，83，
故这组数据的中位数==58．
故答案为：58．
点评：此题考查了折线统计图及中位数的知识，关键是掌握寻找中位数的方法，一定不要忘记将所有数据从小到大依此排列再计算，难度一般．
35．（2012 十堰）某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数是 7
．
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据条形统计图可知，环数为5，6，7，8，9，10的人数依次为：1，2，7，6，3，1，其中环数7出现了7次，次数最多，即为这组数据的众数．
解答：解：观察条形统计图可知，环数7出现了7次，次数最多，即这组数据的众数为7．
故答案为：7．
点评：本题考查了条形统计图，众数的概念．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
36．（2012 南昌）如图是小明用条形统计图记录的某地一星期的降雨量．如果日降雨量在25mm及以上为大雨，那么这个星期下大雨的天数有 5
天．
考点：条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找到每天降雨量数据，大于25毫米以上即为下大雨．
解答：解：由条形统计图可知降雨量大于25毫米以上的有星期二60毫米，星期三40毫米，星期四30毫米，星期五28毫米，星期六50毫米，
所以这个星期下大雨的天数有5天，
故答案为：5．
点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
三、解答题
37．（2012 宁德）2102年2月，国务院发布新修订的《环境空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于2.5微米的颗粒物，环境检测中心今年在京津冀、长三角、珠三角等城市群以及直辖市和省会城市进行PM2.5检测，某日随机抽取25个监测点的研究性数据，并绘制成统计表和扇形统计图如下：
类别 组别 PM2.5日平均浓度值（微克/立方米） 频数 频率
A 1 15～30 2 0.08
2 30～45 3 0.12
B 3 45～60 a b
4 60～75 5 0.20
C 5 75～90 6 c
D 6 90～105 4 0.16
合计 以上分组均含最小值，不含最大值 25 1.00
根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）统计表中的a= 5
，b= 0.20
，c= 0.24
；
（2）在扇形统计图中，A类所对应的圆心角是 72
度；
（3）我国PM2.5安全值的标准采用世卫组织（WHO）设定的最宽限值：日平均浓度小于75微克/立方米．请你估计当日环保监测中心在检测100个城市中，PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市约有多少个？
考点：频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据总的监测点个数为25，即可求出第5个组别的频率；已知各个组别的频数，即可求出a的值，继而求出该组别的频数；
（2）A类所对应的圆心角=A类的频率×360°；
（3）PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市的个数=100×PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市的频率．
解答：解：（1）a=25-（2+3+5+6+4）=5，
b==0.20，
c==0.24；
故答案为：5，0.20，0.24；
（2）A类所对应的圆心角=（0.08+0.12）×360°=72°；
故答案为：72°；
（3）∵100×（0.08+0.12+0.20+0.20）=60个，
∴PM2.5日平均浓度值符合安全值的城市的个数约为60个．
点评：本题考查的是扇形统计图、频率分布表及用样本估计总体的知识，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
38．（2012 南京）某中学七年级学生共450人，其中男生250人，女生200人．该校对七年级所有学生进行了一次体育测试，并随机抽取了50名男生和40名女生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下的统计表：
成绩 划记 频数 百分比
不及格 9 10%
及格 18 20%
良好 36 40%
优秀 27 30%
合计 90 90 100%
（1）请解释“随机抽取了50名男生和40名女生”的合理性；
（2）从上表的“频数”，“百分比”两列数据中选择一列，用适当的统计图表示；
（3）估计该校七年级体育测试成绩不及格的人数．
考点：频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；抽样调查的可靠性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）所抽取男生和女生的数量应该按照比例进行，根据这一点进行说明即可；
（2）可选择扇形统计图，表示出各种情况的百分比；
（3）根据频数=总数×频率即可得出答案．
解答：解：（1）因为250×=50（人），200×=40（人）
所以，该校从七年级学生中随机抽取90名学生，应当抽取50名男生和40名女生；
（2）选择扇形统计图，表示各种情况的百分比，图形如下：
．
（3）450×10%=45（人）
答：估计该校七年级学生体育测试成绩不及格45人．
点评：此题考查了扇形统计图及用样本估计总体的知识，关键是明白频数=总数×频率这一关系式，另外要求我们能自己做出条形统计图及扇形统计图．
39．（2012 本溪）某中学为了更好地活跃校园文化生活，拟对本校自办的“辉煌”校报进行改版．先从全校学生中随机抽取一部分学生进行了一次问卷调查，题目为“你最喜爱校报的哪一个板块”（每人只限选一项）．问卷收集整理后绘制了不完整的频数分布表和如图扇形统计图．
板块名称 频数（人） 频率
科技创新 66 0.165
美文佳作 70 0.175
校园新闻 72 0.18
自然探索 a 0.16
体坛纵横 84 b
其它 44 0.11
合计
（1）填空：频数分布表中a= 400
，b= 0.21
；
（2）“自然探索”板块在扇形统计图中所占的圆心角的度数为 57.6°
；
（3）在参加此次问卷调查的学生中，最喜爱哪一个板块的人数最多？有多少人喜欢？
（4）若全校有1500人，估计喜欢“校园新闻”板块的有多少人？
考点：频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；用样本估计总体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据科技创新的是66人，频率是0.165，据此即可求得总人数，然后利用总人数乘以0.16即可求得a的值，利用84除以总人数即可求得频率b的值；
（2）利用“自然探索”板块的频率与360°的乘积就是扇形统计图中所占的圆心角的度数；
（3）最喜爱的板块就是人数最多，或频率最大的一组；
（4）用总人数1500乘以喜欢“校园新闻”板块的频率即可求解．
解答：解：（1）抽查的总人数是：66÷0.165=400，
则a=400×0.16=64，
b=84÷400=0.21；
（2）0.16×360=57.6°；
（3）最喜爱校园新闻的人数最多，是72人；
（4）若全校有1500人，估计喜欢“校园新闻”板块的有1500×0.48=270人．
点评：本题考查了频数分布表与扇形统计图，用到的知识点是：频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．以及扇形统计图中扇形的度数的确定方法，利用360°乘以每一组的频率．
40．（2012 南平）“六 一”前夕质监部门从某超市经销的儿童玩具、童车和童装中共抽查了300件儿童用品，以下是根据抽查结果绘制出的不完整的统计表和扇形图；
类别 儿童玩具 童车 童装
抽查件数 90
请根据上述统计表和扇形提供的信息，完成下列问题：
（1）分别补全上述统计表和统计图；
（2）已知所抽查的儿童玩具、童车、童车的合格率为90%、85%、80%，若从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，请估计购买到合格品的概率是多少？
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；统计表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据童车的数量是300×25%，童装的数量是300-75-90，儿童玩具占得百分比是 ×100%，童装占得百分比1-30%-25%=45%，即可补全统计表和统计图；
（2）先分别求出儿童玩具、童车、童装中合格的数量之和，再根据概率公式计算即可．
解答：解：（1）童车的数量是300×25%=75，
童装的数量是300-75-90=135，
儿童玩具占得百分比是×100%=30%，
童装占得百分比1-30%-25%=45%，
如图；
类别 儿童玩具 童车 童装
抽查件数 90 75 135
（2）儿童玩具中合格的数量是90×90%=81，
童车中合格的数量是75×85%=63.75，
童装中合格的数量是135×80%=108，
所以从该超市的这三类儿童用品中随机购买一件，购买到合格品的概率是=84.25%．
点评：本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图能够清楚地表示各部分所占的百分比．
41．（2012 宜昌）某超市销售多种颜色的运动服装，其中平均每天销售红、黄、蓝、白四种颜色运动服的数量如表，由此绘制的不完整的扇形统计图如图：
四种颜色服装销量统计表
服装颜色 红 黄 蓝 白 合计
数量（件） 20 n 40 1.5n m
所对扇形的圆心角 α 90° 360°
（1）求表中m，n，α的值，并将扇形统计图补充完整；
表中m= 160
，n= 40
，α= 90°
；
（2）为吸引更多的顾客，超市将上述扇形统计图制成一个可自由转动的转盘，并规定：顾客在本超市购买商品金额达到一定的数目，就获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针指向红色服装区域、黄色服装区域，可分别获得60元、20元的购物券．求顾客每转动一次转盘获得购物券金额的平均数．
考点：扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；加权平均数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据扇形图可知蓝色服装占总数的25%，由统计表可知蓝色服装有40件，总数m=蓝色服装的件数÷蓝色服装所占百分比；把红、黄、蓝、白四种颜色的服装加起来=总数，即可算出n的值；利用黄色衣服的件数÷总数×100%可得黄色衣服所占百分比，再用百分比×360°即可算出α的值；
（2）分别计算出红色衣服与蓝色衣服概率，再算出平均数即可．
解答：解：（1）m=40÷25%=160，
20+n+40+1.5n=160，
解得：n=40，
α=40÷160×100%×360°=90°，
扇形统计图如图所示：
（2）P（红）=20÷160=，P（黄）=40÷160=，
每转动一次转盘获得购物券金额的平均数是：
60×+20×=12.5（元）．
答：顾客每转动一次转盘获得购物券金额的平均数是12.5元．
点评：此题主要考查了扇形统计图与统计表，以及求概率与平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
42．（2012 丹东）某小型企业实行工资与业绩挂钩制度，工人工资分为A、B、C、D四个档次．小明对该企业三月份工人工资进行调查，并根据收集到的数据，绘制了如下尚不完整的统计表与扇形统计图．
档次 工资（元） 频数（人） 频率
A 3000 20
B 2800 0.30
C 2200
D 2000 10
根据上面提供的信息，回答下列问题：
（1）求该企业共有多少人？
（2）请将统计表补充完整；
（3）扇形统计图中“C档次”的扇形所对的圆心角是 144
度．
考点：频数（率）分布表 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据档次是A的工人，在扇形统计图中对应的扇形的圆心角是72°，则A所占的比例是： ，而档次是A的有20人，据此即可求得总人数；
（2）A的频率是：=0.20，利用B的频率0.30乘以总人数即可求得B的频数，同理求得D的频率，然后根据各档次的频率的和是1，即可求得C的频率，进而求得频数；
（3）利用C的频率乘以360°，即可求解．
解答：解：（1）20÷=100（人）
∴该企业共有100人；
（2）填表如下：
档次 工资（元） 频数（人） 频率
A 3000 20 0.20
B 2800 30 0.30
C 2200 40 0.40
D 2000 10 0.10
（3）360×0.4=144°．
点评：本题考查了频数分布表以及扇形统计图，正确理解扇形的圆心角的计算方法，以及频率的公式：频率= ，是关键．
43．（2012 宿迁）某学校抽查了某班级某月10天的用电量，数据如下表（单位：度）；
度数 8 9 10 13 14 15
天数 1 1 2 3 1 2
（1）这10天用电量的众数是 13度
，中位数是 13度
，极差是 7度
；
（2）求这个班级平均每天2013年中考数学专题复习第十四讲 二次函数的同象和性质
【基础知识回顾】
二次函数的定义：
一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式
2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，y口向 ，当x<-时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口向 当x<-时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标
3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1 （2012 常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y2＜y3 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
对应训练
1．（2012 衢州）已知二次函数y=x2-7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1
考点二：二次函数的图象和性质
例2 （2012 咸宁）对于二次函数y=x2-2mx-3，有下列说法：
①它的图象与x轴有两个公共点；
②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=-1；
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为-3．
其中正确的说法是 ．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．
对应训练
2．（2012 河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2-y1=4；④2AB=3AC；
其中正确结论是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系
例3 （2012 玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：
①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，
则正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
对应训练
3．（2012 重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列结论中，正确的是（　　）
A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b
考点四：抛物线的平移
例4 （2012 桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（　　）
A．y=（x+1）2-1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x-1）2+1 D．y=（x-1）2-1
对应训练
4．（2012 南京）已知下列函数①y=x2；②y=-x2；③y=（x-1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x-3的图象的有 （填写所有正确选项的序号）．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 白银）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时x的取值范围是（　　）
A．x＜-1 B．x＞3 C．-1＜x＜3 D．x＜-1或x＞3
2．（2012 兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜-3 B．k＞-3 C．k＜3 D．k＞3
3．（2012 德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（　　）
A．c=3 B．c≥3 C．1≤c≤3 D．c≤3
4．（2012 北海）已知二次函数y=x2-4x+5的顶点坐标为（　　）
A．（-2，-1） B．（2，1） C．（2，-1） D．（-2，1）
5．（2012 广元）若二次函数y=ax2+bx+a2-2（a、b为常数）的图象如图，则a的值为（　　）
A．1 B． C．- D．-2
1．（2012 西宁）如同，二次函数y=ax2+bx+c的图象过（﹣1，1）、（2，﹣1）两点，下列关于这个二次函数的叙述正确的是（　　）
　 A． 当x=0时，y的值大于1 B． 当x=3时，y的值小于0
　 C． 当x=1时，y的值大于1 D． y的最大值小于0
6．（2012 巴中）对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．当x＜1时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴是直线x=-1
7．（2012 天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
8．（2012 乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（-1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是（　　）
A．0＜t＜1 B．0＜t＜2 C．1＜t＜2 D．-1＜t＜1
9．（2012 扬州）将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（　　）
A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2-2 C．y=（x-2）2+2 D．y=（x-2）2-2
10．（2012 宿迁）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）
A．（-2，3） B．（-1，4） C．（1，4） D．（4，3）
11．（2012 陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-x-6向上（下）或向左（右）平移m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则|m|的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．6
二、填空题
12．（2012 玉林）二次函数y=-（x-2）2+的图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用下面的备用图画出图象来分析）．
13．（2012 长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x-3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为 ．
14．（2012 孝感）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：
①abc＜0； ②a-b+c＜0； ③3a+c＜0； ④当-1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是 （把正确的序号都填上）．
15．（2012 苏州）已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=（x-1）2+1的图象上，若x1＞x2＞1，则 （填“＞”、“＜”或“=”）．
16．（2012 成都）有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2-2（a-1）x+a（a-3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2-（a2+1）x-a+2的图象不经过点（1，0）的概率是 ．
17．（2012 上海）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 ．
18．（2012 宁波）把二次函数y=（x-1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为 ．
18．（2012 贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　 　．
19．（2012 广安）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
20．（2012 柳州）已知：抛物线y=（x-1）2-3．
（1）写出抛物线的开口方向、对称轴；
（2）函数y有最大值还是最小值？并求出这个最大（小）值；
（3）设抛物线与y轴的交点为P，与x轴的交点为Q，求直线PQ的函数解析式．
21．（2012 佛山）规律是数学研究的重要内容之一．
初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．
请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）写出奇数a用整数n表示的式子；
（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．
下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：
xi 0 1 2 3 4 5 …
yi 0 1 4 9 16 25 …
yi+1﹣yi 1 3 5 7 9 11 …
由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…
请回答：
①当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加个单位时，y的值变化规律是什么？2013年中考数学专题复习第二十二讲 梯形
【基础知识回顾】
梯形的定义、分类、和面积：
1、定义：一组对边平行，而另一组对边 的四边形，叫做梯形。其中，平行的两边叫做 两底间的距离叫做梯形的
2、分类：梯形
3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X高
【名师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边 外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】
二、等腰梯形的性质和判定：
1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等， 相等
⑵等腰梯形的对角线
⑶等腰梯形是 对称图形
2、判定： ⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等
⑵同一底上两个角 的梯形是等腰梯形
⑶对角线 的梯形是等腰梯形
【名师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等
2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形
3、解决梯 形 问 题 的 基 本思 路 是 通过做辅助线将梯形转化为 形式 常见的辅助线作法有
要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】
【重点考点例析】
考点一：梯形的基本概念和性质
例1 （2012 内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9
．
思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．
解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，
则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，
又∵BD=AC且BD⊥AC，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴BF=DE=3，
故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．
故答案为：9．
点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．
对应训练
1.（2012 无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于（　　）
A．17 B．18 C．19 D．20
1．考点：梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；线段垂直平分线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．
解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，
∴DE=CE，
∵AD=3，AB=5，BC=9，
∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．
故选A．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．
考点二：等腰梯形的性质
例2 （2012 呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（　　）
A．25 B．50 C．25 D．
思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．
解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC（已知），
即AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE=3，AC=DE，
在等腰梯形ABCD中，AC=DB，
∴DB=DE（等量代换），
∵AC⊥BD，AC∥DE，
∴DB⊥DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
作DF⊥BC于F，
则DF=BE=5，
S梯形ABCD=（AD+BC） DF=（3+7）×5=25，
故选A．
点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．
对应训练
2．（2012 厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3
．
2．3
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．
解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，
在△ABC与△DCB中，
∵,
∴△ABC≌△DCB，
∴∠DBC=∠ACB，
∴OB=OC=3．
故答案为：3．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．
考点三：等腰梯形的判定
例3 （2012 襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
考点：等腰梯形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．
解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．
（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB=ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=，
∴S菱形AECD=EC AG=2×=2。
点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
对应训练
4．（2011 百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．
（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是 ①DM=CN
．
（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．
考点：等腰梯形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行线分线段成比例 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．
（2）先根据SAS证明△AMD≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知 ，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．
解答：解：（1）可以选择①DM=CN；
（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN
∴△AMD≌△BCN，
∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，
∴，
∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB
∴四边形ABNM是等腰梯形．
点评：本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．
考点四：梯形的综合应用
例4 （2012 黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM= S梯形ABCD，正确的个数有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
考点：直角梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用SAS可得出△ABF与△CBE全等，由确定三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS可得出△AME与△CMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；由AD=AE= AB= BC，且CF= BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即△DCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的，由E为AB的中点，且EP平行于BM，得到P为AM的中点，可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，得到△PEM的面积为△ABF面积的，由ABFD为矩形得到△ABF与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到△PEM的面积为梯形面积的，可得出选项⑤错误，综上，得到正确的个数．
解答：解：连接DF，AC，EF，如图所示：
∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，
∴AE=EB=BF=FC，
在△ABF和△CBE中，，
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，
在△AME和△CMF中，，
∴△AME≌△CMF（AAS），
∴EM=FM，
在△BEM和△BFM中，，
∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；
∵AE=AD，∠EAD=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∴∠AED=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABN=∠CBN=45°，
∴∠AED=∠ABN=45°，
∴ED∥BN，选项②正确；
∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，
∴AD=FC，又AD∥FC，
∴四边形AFCD为平行四边形，
∴AF=DC，又AF=CE，
∴DC=EC，
则△CED为等腰三角形，选项③正确；
∵EF为△ABC的中位线，
∴EF∥AC，且EF=AC，
∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，
∴△EFM∽△CAM，
∴EM：MC=EF：AC=1：2，
设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，
设EB=y，则有BC=2y，
在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y，
∴3x=y，即x：y=：3，
∴EM：BE=：3，选项④正确；
∵E为AB的中点，EP∥BM，
∴P为AM的中点，
∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，
又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，
∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，
∵四边形ABFD为矩形，
∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，
∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，
∴S△EPM=S梯形ABCD，选项⑤错误．
则正确的个数有4个．
故选B
点评：此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．
对应训练
4．（2012 丽水）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=，AB=6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF=120°．
（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 6
；
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是 2或5
．
4．考点：直角梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）过E点作EG⊥DF，由E是AB的中点，得出DG=3，再根据∠DEG=60°得出∠DEF=120°，由tan60°= 即可求出GF的长，进而得出结论；
（2）过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，再由锐角三角函数的定义求出CH及BC的长，设AE=x，则BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的长，再判断出△EDF∽△BCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出关于x的方程，求出x的值即可．
解答：解：（1）如图1，过E点作EG⊥DF，
∵E是AB的中点，
∴DG=3，
∴EG=AD=，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=，
解得GF=3，
∴DF=6；
（2）如图2所示：
过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH=AD=，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH===1，BC===2，
设AE=x，则BE=6-x，
在Rt△ADE中，DE==，
在Rt△EFM中，EF==，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴，即，
解得x=2或5．
故答案为：2或5．
点评：本题考查了解直角梯形及相似三角形的判定与性质，勾股定理，特殊角的三角函数值等，解题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．
【聚焦山东中考】
1．（2012 烟台）如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．不能确定
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据题意可得OB=4，OD=3，从而利用勾股定理可求出BD，再有等腰梯形的对角线相等的性质可得出AC的值．
解答：解：如图，连接BD，
由题意得，OB=4，OD=3，
故可得BD=5，
又ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD=5．
故选B．
点评：此题考查了等腰梯形的性质及勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形对角线相等的性质，难度一般．
2．（2012 临沂）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC=BD B．OB=OC C．∠BCD=∠BDC D．∠ABD=∠ACD
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由四边形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的两条对角线相等，即可得AC=BD；易证得△ABC≌△DCB，即可得OB=OC；由∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，即可得∠ABD=∠ACD．注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
故本选项正确；
B、∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB，
在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴∠ACB=∠DBC，
∴OB=OC，
故本选项正确；
C、∵无法判定BC=BD，
∴∠BCD与∠BDC不一定相等，
故本选项错误；
D、∵∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ACD．
故本选项正确．
故选C．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 十堰）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB=MC，若AD=4，AB=6，BC=8，则梯形ABCD的周长为（　　）
A．22 B．24 C．26 D．28
1．
考点：梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先判断△AMB≌△DMC，从而得出AB=DC，然后代入数据即可求出梯形ABCD的周长．
解答：解：∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，∠DMC=∠MCB，
又∵MC=MB，
∴∠MBC=∠MCB，
∴∠AMB=∠DMC，
在△AMB和△DMC中，
∵，
∴可得△AMB≌△DMC，
∴AB=DC，
四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=24．
故选B．
点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定与性质，属于基础题，解答本题的关键是判断△AMB≌△DMC，得出AB=DC，难度一般．
2．（2012 漳州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠B=80°，则∠D的度数是（　　）
A．120° B．110° C．100° D．80°
2．考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据AB∥CD求出∠A的度数，再由等腰梯形的性质求出∠D的度数即可．
解答：解：∵AD∥BC，∠B=80°
∴∠A=180°-∠B=180°-80°=100°，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠D=∠A=100°．
故选C．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质，即等腰梯形同一底上的两个角相等．
3.（2012 乐山）下列命题是假命题的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．四条边都相等的四边形是菱形
C．矩形的两条对角线互相垂直
D．等腰梯形的两条对角线相等
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；命题与定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法做出判断即可．
解答：解：A、平行四边形的两组对边平行，正确，是真命题；
B、四条边都相等的四边形是菱形，正确，是真命题；
C、矩形的对角线相等但不一定垂直，错误，是假命题；
D、等腰梯形的两条对角线相等，正确，是真命题；
故选C．
点评：本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质及菱形的判定方法，属于基本定义，必须掌握．
4．（2012 广州）如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，AD=5，DC=4，DE∥AB交BC于点E，且EC=3，则梯形ABCD的周长是（　　）
A．26 B．25 C．21 D．20
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由BC∥AD，DE∥AB，即可得四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可求得BE的长，继而求得BC的长，由等腰梯形ABCD，可求得AB的长，继而求得梯形ABCD的周长．
解答：解：∵BC∥AD，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD=5，
∵EC=3，
∴BC=BE+EC=8，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC=4，
∴梯形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=4+8+4+5=21．
故选C．
点评：此题考查了等腰梯形的性质与平行四边形的判定与性质．此题比较简单，注意判定出四边形ABED是平行四边形是解此题的关键，同时注意数形结合思想的应用．
二、填空题
5．（2012 南通）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A+∠B=90°，AB=7cm，BC=3cm，AD=4cm，则CD= 2
cm．
5．2
考点：梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：作DE∥BC于E点，得到四边形CDEB是平行四边形，根据∠A+∠B=90°，得到三角形ADE是直角三角形，利用勾股定理求得AE的长后即可求得线段CD的长．
解答：解：作DE∥BC于E点，
则∠DEA=∠B
∵∠A+∠B=90°
∴∠A+∠DEA=90°
∴ED⊥AD
∵BC=3cm，AD=4cm，
∴EA=5
∴CD=BE=AB-AE=7-5=2cm，
故答案为2．
点评：本题考查了梯形的性质及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线．
6．（2012 丹东）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AB⊥AE．若AB=5，AE=6，则梯形上下底之和为 13
．
6．13
考点：梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由在梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，易证得△ADE≌△FCE，即可得EF=AE=6，CF=AD，又由AB⊥AE，AB=5，AE=6，由勾股定理即可求得BF的长，继而可求得梯形上下底之和．
解答：解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠F=∠DAE，∠ECF=∠D，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴CF=AD，EF=AE=6，
∴AF=AE+EF=12，
∵AB⊥AE，
∴∠BAF=90°，
∵AB=5，
∴BF==13，
∴AD+BC=BC+CF=BF=13．
故答案为：13．
点评：此题考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
7．（2012 钦州）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，∠B=60°，BC=8，则等腰梯形ABCD的周长为 40
．
7．40
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据等腰梯形的性质判断出AD=DC，在RT△ABC中解出AB，继而可求出等腰梯形ABCD的周长．
解答：解：∵∠B=60°，DC∥AB，AC⊥BC，
∴∠CAB=30°=∠ACD，∠DAC=30°，
∴AD=DC=BC=8，
在RT△ABC中，AB==16，
故可得等腰梯形ABCD的周长=AD+DC+BC+AB=40．
故答案为：40．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，属于基础题，解答本题的关键在于判断出AD=DC，难度一般．
8．（2012 长沙）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=2，∠B=60°，则BC的长为 4
．
8．4
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=2，AD=EC=2，易得△ABE是等边三角形，即可求得BC的长．
解答：解：过点A作AE∥CD交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD=2，AD=EC=2，
∵∠B=60°，
∴BE=AB=AE=2，
∴BC=BE+CE=2+2=4．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．
9．（2012 巴中）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥AC，点E是BC的中点且DE∥AB，则∠BCD的度数是 60°
．
9．60°
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直角三角形斜边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据BD⊥AC，点E是BC的中点可知DE=BE=EC= BC，又知DE∥AB，AD∥BC，可知四边形ABED是菱形，于是可得到AB=DE，再根据四边形ABCD是等腰梯形，可得AB=CD，进而得到DC= BC，然后可求出∠DBC=30°，最后求出∠BCD=60°．
解答：解：∵BD⊥AC，点E是BC的中点，
∴DE是直角三角形BDC的中线，
∴DE=BE=EC=∵DE∥AB，AD∥BC，
∴四边形ABED是菱形，
∴AB=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，
∴DC=BC，
又∵三角形BDC是直角三角形，
∴∠DBC=30°，
∴∠BCD=60°．
故答案为60．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定与性质．解此题的关键是熟练掌握直角三角形中，30°的角对应的直角边等于斜边的一半，此题难度一般．
10．（2012 黄冈） 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=4，AB=CD=5，∠B=60°，则下底BC的长为 9
．
10．9
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，分别利用解直角三角形的知识得出BE、CF的长，继而可得出答案．
解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，
∵AB=5，∠B=60°，
∴BE=；
同理可得CF=，
故BC的长=BE+EF+FC=5+AD=9．
故答案为：9．
点评：此题考查了等腰梯形的性质，解答本题的关键是求出BE及CF的长度，要求我们熟练记忆等腰梯形的几个性质．
三、解答题
11．（2012 盐城）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC．
（1）求证：DE=EC；
（2）若AD= BC，试判断四边形ABED的形状，并说明理由．
11．考点：梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直角三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，利用等角的余角相等，即可得∠EDC=∠C，又由等角对等边，即可证得DE=EC；
（2）易证得AD=BE，AD∥BC，即可得四边形ABED是平行四边形，又由BE=DE，即可得四边形ABED是菱形．
解答：（1）证明：∵∠BDC=90°，∠BDE=∠DBC，
∴∠EDC=∠BDC-∠BDE=90°-∠BDE，∠C=90°-∠DBC，
∴∠EDC=∠C，
∴DE=EC；
（2）若AD=BC，则四边形ABED是菱形．
证明：∵∠BDE=∠DBC．
∴BE=DE，
∵DE=EC，
∴BE=EC=BC，
∴AD=BE，
∵AD∥BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴ ABED是菱形．
点评：此题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定与性质以及菱形的判定．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．
12．（2012 苏州）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AB=CD，延长线段CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．
（1）求证：△ABE≌△CDA；
（2）若∠DAC=40°，求∠EAC的度数．
考点：梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）先根据题意得出∠ABE=∠CDA，然后结合题意条件利用SAS可判断三角形的全等；
（2）根据题意可分别求出∠AEC及∠ACE的度数，在△AEC中利用三角形的内角和定理即可得出答案．
解答：（1）证明：在梯形ABCD中，∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠BAD，∠BAD=∠CDA，
∴∠ABE=∠CDA
在△ABE和△CDA中，
，
∴△ABE≌△CDA．
（2）解：由（1）得：∠AEB=∠CAD，AE=AC，
∴∠AEB=∠ACE，
∵∠DAC=40°，
∴∠AEB=∠ACE=40°，
∴∠EAC=180°-40°-40°=100°．
点评：此题考查了梯形、全等三角形的判定及性质，解答本题的关键是根据梯形及题意条件得出一些线段之间的关系，注意所学知识的融会贯通．
13．（2012 永州）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，且AE=GF=GC．求证：四边形AEFG为平行四边形．
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由等腰梯形的性质可得出∠B=∠C，再根据等边对等角的性质得到∠C=∠GFC，所以∠B=∠GFC，故可得出AB∥GF，再由AE=GF即可得出结论．
解答：证明：∵梯形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，
∴∠B=∠C，
∵GF=GC，
∴∠GFC=∠C，
∴∠GFC=∠B，
∴AB∥GF，
又∵AE=GF，
∴四边形AEFG是平行四边形．
点评：本题考查的是等腰梯形的性质及平行四边形的判定定理，根据题意得出AB∥GF是解答此题的关键．
14．（2012 南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；梯形中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断．
（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出EH2=，也即得出了正方形EHGF的面积．
解答：证明：（1）在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，
故可得：EF=AC，同理FG=BD，GH=AC，HE=BD，
在梯形ABCD中，AB=DC，
故AC=BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形．
设AC与EH交于点M，
在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，
则EH∥BD，
同理GH∥AC，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴∠EHG=∠EMC=90°，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）连接EG．在梯形ABCD中，
∵E、F分别是AB、DC的中点，
∴EG=（AD+BC）=3．
在Rt△EHG中，
∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴EH2=，即四边形EFGH的面积为．
点评：此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的内角和定理得出EH=HG=GF=FE，这是本题的突破口．
15．（2012 怀化）如图，在等腰梯形ABCD中，E为底BC的中点，连接AE，DE．求证：AE=DE．
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：证明题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用等腰梯形的性质证明△ABE≌△DCE后，利用全等三角形的性质即可证得两对应线段相等．
解答：证明：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠B=∠C．
∵E是BC的中点，
∴BE=CE．
在△ABE和△DCE中，，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴AE=DE．
点评：本题主要考查等腰梯形的性质的应用，解题的关键是根据等腰梯形的性质得到证明全等所需的条件．
16．（2012 河北）如图，某市A，B两地之间有两条公路，一条是市区公路AB，另一条是外环公路AD-DC-CB，这两条公路围城等腰梯形ABCD，其中DC∥AB，AB：AD：CD=10：5：2．
（1）求外环公路的总长和市区公路长的比；
（2）某人驾车从A地出发，沿市区公路去B地，平均速度是40km/h，返回时沿外环公路行驶，平均速度是80km/h，结果比去时少用了 h，求市区公路的长．
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一元一次方程的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据AB：AD：CD=10：5：2设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，再根据等腰梯形的腰相等可得BC=AD=5xkm，再表示出外环的总长，然后求比值即可；
（2）根据题意可得等量关系：在外环公路上行驶所用时间+ h=在市区公路上行驶所用时间，根据等量关系列出方程，解方程即可．
解答：解：（1）设AB=10xkm，则AD=5xkm，CD=2xkm，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD=5xkm，
∴AD+CD+CB=12xkm，
∴外环公路的总长和市区公路长的比为12x：10x=6：5；
（2）由（1）可知，市区公路的长为10xkm，外环公路的总长为12xkm，由题意得：
=+．
解这个方程得x=1．
∴10x=10，
答：市区公路的长为10km．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及一元一次方程的应用，关键是理解题意，表示出外环公路与市区公路的长，此题用到的公式是：时间=路程÷速度．
17．（2012 杭州）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分别以AB，CD为边向外侧作等边三角形ABE和等边三角形DCF，连接AF，DE．
（1）求证：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面积之和等于梯形ABCD的面积，求BC的长．
考点：等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据等腰梯形的性质和等边三角形的性质以及全等三角形的判定方法证明△AED≌△DFA即可；
（2）如图作BH⊥AD，CK⊥AD，利用给出的条件和梯形的面积公式即可求出BC的长．
解答：（1）证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
而在等边三角形ABE和等边三角形DCF中，
AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，
∴△AED≌△DFA（SAS），
∴AF=DE；
（2）解：如图作BH⊥AD，CK⊥AD，则有BC=HK，
∵∠BAD=45°，
∴∠HAB=∠KDC=45°，
∴AB=BH=AH，
同理：CD=CK=KD，
∵S梯形ABCD=，AB=a，
∴S梯形ABCD=，
而S△ABE=S△DCF=，
∴=2×，
∴BC=．
点评：本题综合性的考查了等腰梯形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质以及等于直角三角形的性质和梯形、三角形的面积公式，属于中档题目．
直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形
一般梯形
等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形
特殊梯形2013年中考数学专题复习第九讲：分式方程
【基础知识回顾】
分式方程的概念
分母中含有 的方程叫做分式方程
【名师提醒：分母中是否含有未知数是区分方程和整式方程根本依据】
二、分式方程的解法：
1、解分式方程的基本思路是 把分式方程转化为整式方程：即分式
方程整式 ﹥方程
2、解分式方程的一般步骤：
1、 2、 3、
3、培根：
在进行分式方程去分母的变形时，有时可产生使原方程分母为 的根称为方程的培根。因此，解分式方程时必须验根，验根的方法是代入最简公分母，使最简公分母为 的根是培根应舍去。
【名师提醒：1、分式方程解法中的验根是一个必备的步骤，不被省略
2、分式方程的培根与无解并非用一个概念，无解完包含产生培根这一情况，也包含原方程去分母后的整式方程无解。如：-=1无解，有a的值培根】
三、分式方程的应用：
解题步骤同其它方程的应用一样，不同的是列出的方程是分式方程，所以在解分式方程应用题同样必须 完要检验是否为原方程的根，又要检验是否符合题意。
【名师提醒：分式方程应用题常见类型有行程问题、工作问题、销售问题等，其中行程问题中又出现逆水、顺水、航行这一类型】
【重点考点例析】
考点一：分式方程的概念（解为正、负数）
例1 （2009 孝感）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞-1 B．a＞-1且a≠0 C．a＜-1 D．a＜-1且a≠-2
思路分析：先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
解：去分母得，2x+a=x-1，
∴x=-1-a，
∵方程的解是正数，
∴-1-a＞0即a＜-1。
又因为x-1≠0，
∴a≠-2。
则a的取值范围是a＜-1且a≠-2
故选D．
点评：由于我们的目的是求a的取值范围，根据方程的解列出关于a的不等式，另外，解答本题时，易漏掉a≠-2，这是因为忽略了x-1≠0这个隐含的条件而造成的，这应引起同学们的足够重视．
例2 （2012 鸡西）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　）
A．-1.5 B．1 C．-1.5或2 D．-0.5或-1.5
思路分析：去分母得出方程①2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），分为两种情况：①根据方程无解得出x=0或x=3，分别把x=0或x=3代入方程①，求出m；②求出当2m+1=0时，方程也无解，即可得出答案．
解：方程两边都乘以x（x-3）得：（2m+x）x-x（x-3）=2（x-3），
即（2m+1）x=-6，①
①∵当2m+1=0时，此方程无解，
∴此时m=-0.5，
②∵关于x的分式方程无解，
∴x=0或x-3=0，
即x=0，x=3，
当x=0时，代入①得：（2m+0）×0-0×（0-3）=2（0-3），
解得：此方程无解；
当x=3时，代入①得：（2m+3）×3-3（3-3）=2（3-3），
解得：m=-1.5，
∴m的值是-0.5或-1.5，
故选D．
点评：本题考查了对分式方程的解的理解和运用，关键是求出分式方程无解时的x的值，题目比较好，需要考虑周全，不要漏解，难度也适中．
对应训练
1．（2010 牡丹江）已知关于x的分式方程-=1的解为负数，那么字母a的取值范围是 ．
1．a＞0且a≠2
2．（2011 黑龙江）已知关于x的分式方程-=0无解，则a的值为 ．
2．0、、或-1
2．解：去分母得ax-2a+x+1=0．
∵关于x的分式方程-=0无解，
（1）x（x+1）=0，
解得：x=-1，或x=0，
当x=-1时，ax-2a+x+1=0，即-a-2a-1+1=0，
解得a=0，
当x=0时，-2a+1=0，
解得a=．
（2）方程ax-2a+x+1=0无解，
即（a+1）x=2a-1无解，
∴a+1=0，a=-1．
故答案为：0、或-1．
点评：本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．
考点二：分式方程的解法
例3 （2012 上海）解方程：．
思路分析：观察可得最简公分母是（x+3）（x-3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解：方程的两边同乘（x+3）（x-3），得
x（x-3）+6=x+3，
整理，得x2-4x+3=0，
解得x1=1，x2=3．
经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，
故原方程的根为x=1．
点评：本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．
对应训练
3．（2012 苏州）解分式方程：．
3．解：去分母得：3x+x+2=4，
解得：x=，
经检验，x=是原方程的解．
考点三：分式方程的增根问题
例4 （2012 攀枝花）若分式方程：2+=有增根，则k= ．
思路分析：把k当作已知数求出x=，根据分式方程有增根得出x-2=0，2-x=0，求出x=2，得出方程=2，求出k的值即可．
解：∵分式方程2+=有增根，
去分母得：2（x-2）+1-kx=-1，
整理得：（2-k）x=2，
当2-k≠0时，x=；
当2-k=0是，此方程无解，即此题不符合要求；
∵分式方程2+=有增根，
∴x-2=0，2-x=0，
解得：x=2，
即=2，
解得：k=1．
故答案为：1．
点评：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，题目比较典型，是一道比较好的题目，增根问题可按如下步骤进行：
①根据最简公分母确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
对应训练
4．（2012 佳木斯）已知关于x的分式方程=1有增根，则a= ．
4．1
4．解：方程两边都乘以（x+2）得，
a-1=x+2，
∵分式方程有增根，
∴x+2=0，
解得x=-2，
∴a-1=-2+2，
解得a=1．
故答案为：1．
考点四：分式方程的应用
例5 （2012 岳阳）岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？
（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a、b均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？
思路分析：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据两队合作6个月完成求得x的值即可；
（2）根据费用不超过141万元列出一元一次不等式求解即可．
解：（1）设乙队需要x个月完成，则甲队需要（x-5）个月完成，根据题意得：
，
解得：x=15，
经检验x=15是原方程的根．
答：甲队需要10个月完成，乙队需要15个月完成；
（2）根据题意得：15a+9b≤141，
,
解得：a≤4 b≥9．
∵a、b都是整数
∴a=4 b=9或a=2 b=12
点评：此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
对应训练
5．（2012 珠海）某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支．
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？
5．解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得，
，
解得，x=4，
检验：当x=4时，分母不为0，故x=4是原分式方程的解．
答：第一次每只铅笔的进价为4元．
（2）设售价为y元，根据题意列不等式为：
，
解得，y≥6．
答：每支售价至少是6元．
【聚焦山东中考】
1．（2012 莱芜）对于非零的实数a、b，规定a b=﹣．若2 （2x﹣1）=1，则x=（　　）
　 A． B． C． D． ﹣
考点： 解分式方程。
专题： 新定义。
分析： 根据新定义得到﹣=1，然后把方程两边都乘以2（2x﹣1）得到2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），解得x=，然后进行检验即可．
解答： 解：∵2 （2x﹣1）=1，
∴﹣=1，
去分母得2﹣（2x﹣1）=2（2x﹣1），
解得x=，
检验：当x=时，2（2x﹣1）≠0，
故分式方程的解为x=．
故选A．
点评： 本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．也考查了阅读理解能力．
2．（2012 潍坊）方程的根是 ．
2．x=30
3．（2012 日照）某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠．若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元．请问该学校九年级学生有多少人？
3．解：设九年级学生有x人，根据题意，列方程得：
，
整理得：0.8（x+88）=x，
解之得：x=352，
经检验x=352是原方程的解．）
答：这个学校九年级学生有352人．
4．（2012 青岛）小丽乘坐汽车从青岛到黄岛奶奶家，她去时经过环湾高速公路，全程约84千米，返回时经过跨海大桥，全程约45千米．小丽所乘汽车去时的平均速度是返回时的1.2倍，所用时间却比返回时多20分钟．求小丽所乘汽车返回时的平均速度．
4．解：设小丽所乘汽车返回时的平均速度是x千米/时，根据题意得：
，
解这个方程，得x=75，
经检验，x=75是原方程的解．
答：小丽所乘汽车返回时的速度是75千米/时．
5．（2012 临沂）某工厂加工某种产品．机器每小时加工产品的数量比手工每小时加工产品的数量的2倍多9件，若加工1800件这样的产品，机器加工所用的时间是手工加工所用时间的倍，求手工每小时加工产品的数量．
5．解：设手工每小时加工产品x件，则机器每小时加工产品（2x+9）件，
根据题意可得：
，
解方程得x=27，
经检验，x=27是原方程的解，
答：手工每小时加工产品27件．
6．（2012 济南）冬冬全家周末一起去济南山区参加采摘节，他们采摘了油桃和樱桃两种水果，其中油桃比樱桃多摘了5斤，若采摘油桃和樱桃分别用了80元，且樱桃每斤价格是油桃每斤价格的2倍，问油桃和樱桃每斤各是多少元？
6．解：设油桃每斤为x元，则樱桃每斤是2x元，
根据题意得出：
，
解得：x=8，
经检验得出：x=8是原方程的根，
则2x=16，
答：油桃每斤为8元，则樱桃每斤是16元．
7．（2012 泰安）一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
7．解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天．
根据题意，得，
解得x=20，
经检验知x=20是方程的解且符合题意．
1.5x=30
故甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；
（2）设甲公司每天的施工费为y元，则乙公司每天的施工费为（y-1500）元，
根据题意得12（y+y-1500）=102000，解得y=5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000-1500）=105000（元）；
故甲公司的施工费较少．
8．（2012 威海）小明计划用360元从大型系列科普丛书《什么是什么》（每本价格相同）中选购部分图书．“六一”期间，书店推出优惠政策：该系列丛书8折销售．这样，小明比原计划多买了6本．求每本书的原价和小明实际购买图书的数量．
考点： 分式方程的应用。
分析： 根据：用360元钱打折后可购书本数﹣打折前360元钱可购书本数=6，列分式方程．
解答： 解：设每本书的原价为x元，根据题意，得
，
解这个方程，得x=15，
经检验，x=15是所列方程的根，
则（本），
所以，每本书的原价为15元，小明实际可购买图书30本．
点评： 本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
　
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 丽水）把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（　　）
A．x B．2x C．x+4 D．x（x+4）
1．D．
2．（2012 随州）分式方程的解是（　　）
A．v=-20 B．v=5 C．v=-5 D．v=20
2．B．
3．（2012 宜宾）分式方程的解为（　　）
A．3 B．-3 C．无解 D．3或-3
3．C
4．（2012 台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．A
5．（2012 宁夏）运动会上，初二（3）班啦啦队，买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根．乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．B
7．（2012 本溪）随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程。
分析： 根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．
解答： 解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：
=+，
故选：D．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，把列方程的问题转化为列代数式的问题．
　
　
8．（2012 吉林）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产450台机器所需时间相同．设原计划每天生产x台机器，则可列方程为（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 由实际问题抽象出分式方程。
分析： 根据现在生产600台机器的时间与原计划生产450台机器的时间相同，所以可得等量关系为：现在生产600台机器时间=原计划生产450台时间．
解答： 解：设原计划每天生产x台机器，则现在可生产（x+50）台．
依题意得：=．
故选：C．
点评： 此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产50台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．
　
9．（2012 黑河）若关于x的分式方程 =无解，则m的值为（　　）
　 A．﹣1.5 B． 1 C． ﹣1.5或2 D． ﹣0.5或﹣1.5
考点： 分式方程的解。
分析： 先把方程两边乘以x（x﹣3）得到x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），整理得（2m+1）x=﹣6，由于关于x的分式方程 =无解，则可能有x=3或x=0，然后分别把它们代入（2m+1）x=﹣6，即可得到m的值，然后再讨论方程（2m+1）x=﹣6无解得到m=﹣．
解答： 解：去分母得，x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3），
整理得，（2m+1）x=﹣6，
∵关于x的分式方程 =无解，
∴x=3或x=0，
把x=3代入（2m+1）x=﹣6得，（2m+1）×3=﹣6，解得x=﹣1.5；
把x=0代入（2m+1）x=﹣6得，（2m+1）×0=﹣6，无解，
又∵2m+1=0时，方程（2m+1）x=﹣6无解，
∴m=﹣，
所以m的值为﹣1.5或﹣0.5．
故选D．
点评： 本题考查了分式方程的解：把分式方程转化为整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，若整式方程的解使分式方程的分母不为零，则这个整式方程的解是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程的分母为零，则这个整式方程的解是分式方程的增根．
　
10．（2012 赤峰）解分式方程的结果为（　　）
　 A．1 B． ﹣1 C． ﹣2 D． 无解
考点： 解分式方程。
分析： 观察可得最简公分母是（x﹣1）（x+2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
解答： 解：方程的两边同乘（x﹣1）（x+2），
得：x+2=3
解得：x=1．
检验：把x=1代入（x﹣1）（x+2）=0，即x=1不是原分式方程的解．
则原分式方程无解．
故选D．
点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．
二、填空题
11．（2012 襄阳）分式方程的解是 ．
11．x=2
12．（2012 铁岭）某城市进行道路改造，若甲、乙两工程队合作施工20天可完成；若甲、乙两工程队合作施工5天后，乙工程队在单独施工45天可完成．求乙工程队单独完成此工程需要多少天？设乙工程队单独完成此工程需要x天，可列方程为 ．
12．
13．（2012 资阳）观察分析下列方程：①，②，③；请利用它们所蕴含的规律，求关于x的方程（n为正整数）的根，你的答案是：　 　．
考点： 分式方程的解。
专题： 规律型。
分析： 首先求得分式方程①②③的解，即可得规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，然后将x+=2n+4化为（x﹣3）+=n+（n+1），利用规律求解即可求得答案．
解答： 解：∵由①得，方程的根为：x=1或x=2，
由②得，方程的根为：x=2或x=3，
由②得，方程的根为：x=3或x=4，
∴方程x+=a+b的根为：x=a或x=b，
∴x+=2n+4可化为（x﹣3）+=n+（n+1），
∴此方程的根为：x﹣3=n或x﹣3=n+1，
即x=n+3或x=n+4．
故答案为：x=n+3或x=n+4．
点评： 此题考查了分式方程的解的知识．此题属于规律性题目，注意找到规律：方程x+=a+b的根为：x=a或x=b是解此题的关键．
　
14．（2012 连云港）今年6月1日起，国家实施了中央财政补贴条例支持高效节能电器的推广使用，某款定速空调在条例实施后，每购买一台，客户可获财政补贴200元，若同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，则条例实施前此款空调的售价为　 　元．
考点： 分式方程的应用。
分析： 可根据：“同样用11万元所购买的此款空调台数，条例实施后比实施前多10%，”来列出方程组求解．
解答： 解：假设条例实施前此款空调的售价为x元，根据题意得出：
（1+10%）=，
解得：x=2200，
经检验得出：x=2200是原方程的解，
答：则条例实施前此款空调的售价为2200元，
故答案为：2200．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，解题关键是找准描述语，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
　
15．（2012 鞍山）A、B两地相距10千米，甲、乙二人同时从A地出发去B地，甲的速度是乙的速度的3倍，结果甲比乙早到小时．设乙的速度为x千米/时，可列方程为 　．
考点： 由实际问题抽象出分式方程。
分析： 根据甲乙速度关系得出两人所行走的时间，进而得出等式方程即可．
解答： 解：设乙的速度为x千米/时，则甲的速度是3x千米/时，
根据题意可得：+=．
故答案为：+=．
点评： 此题考查了由实际问题抽象出分式方程，解决行程问题根据时间找出等量关系是解决本题的关键．
三、解答题
16．（2012 盐城）解方程：．
16．解：方程的两边同乘x（x+1），
得：3（x+1）=2x，
解得：x=-3．
检验：把x=-3代入x（x+1）=6≠0，即x=-3是原分式方程的解．
故原方程的解为：x=-3．
17．（2012 咸宁）解方程：．
17．解：原方程即：．
方程两边同时乘以（x+2）（x-2），
得x（x+2）-（x+2）（x-2）=8．
化简，得 2x+4=8．
解得：x=2．
检验：x=2时，（x+2）（x-2）=0，即x=2不是原分式方程的解，
则原分式方程无解．
18．（2012 泰州）当x为何值时，分式的值比分式的值大3？
18．解：根据题意得：-=3，
方程两边同乘以2-x，
得：3-x+1=3（2-x），
解得x=1．
检验：当x=1时，2-x=1≠0，即x=1是原方程的解，
即当x=1时，分式的值比分式的值大3．
19．（2012 长春）某班有45名同学参加紧急疏散演练，对比发现：经专家指导后，平均每秒撤离的人数是指导前的3倍，这45名同学全部撤离的时间比指导前快30秒，求指导前平均每秒撤离的人数．
19．解：设指导前平均每秒撤离的人数为x人，由题意得：
，
解得：x=1，
经检验：x=1是原分式方程的解，
答：指导前平均每秒撤离的人数为1人．
20．（2012 北京）列方程或方程组解应用题：
据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．
20．解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为（2x-4）毫克，由题意得：
，
解得：x=22，
经检验：x=22是原分式方程的解．
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．
21．（2012 玉林）一工地计划租用甲、乙两辆车清理淤泥，从运输量来估算：若租两辆车合运，10天可以完成任务；若单独租用乙车完成任务则比单独租用甲车完成任务多用15天．
（1）甲、乙两车单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元．试问：租甲乙车两车、单独租甲车、单独租乙车这三种方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
21．解：（1）设甲车单独完成任务需要x天，乙单独完成需要y天，
由题意可得：
，
解得：
，
即甲车单独完成需要15天，乙车单独完成需要30天；
（2）设甲车租金为a，乙车租金为y，
则根据两车合运共需租金65000元，甲车每天的租金比乙车每天的租金多1500元可得：
，
解得：，
①租甲乙两车需要费用为：65000元；
②单独租甲车的费用为：15×4000=60000元；
③单独租乙车需要的费用为：30×2500=75000元；
综上可得，单独租甲车租金最少．
22．（2012 河池）解分式方程：．
考点： 解分式方程。
专题： 计算题。
分析： 先把方程两边都乘以3（x﹣3）得到3（5x﹣4）+x﹣3=6x+5，解得x=2，然后进行检验确定分式方程的解．
解答： 解：去分母得3（5x﹣4）+x﹣3=6x+5，
解得x=2，
检验：当x=2时，3（x﹣3）≠0，
所以原方程的解为x=2．
点评： 本题考查了解分式方程：先去分母，把分式方程转化为整式方程，解整式方程，然后把整式方程的解代入原方程进行检验，最后确定分式方程的解．
　
24．（2012 贵阳）为了全面提升中小学教师的综合素质，贵阳市将对教师的专业知识每三年进行一次考核．某校决定为全校数学教师每人购买一本义务教育《数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），同时每人配套购买一本《数学课程标准（2011年版）解读》（以下简称《解读》），其中《解读》的单价比《标准》的单价多25元．若学校购买《标准》用了378元，购买《解读》用了1053元，请问《标准》和《解读》的单价各是多少元？
考点： 分式方程的应用。
分析： 首先设《标准》的单价为x元，根据《解读》的单价比《标准》的单价多25元，得出《解读》的单价是（x+25）元，利用两种书数量相同得出等式方程求出即可．
解答： 解：设《标准》的单价为x元，则《解读》的单价是（x+25）元，由题意得：
=，
解得：x=14，
经检验x=14是原方程的根，
则x+25=25+14=39．
答：《标准》和《解读》的单价各是14元、39元．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，根据已知表示出两种书的数量，进而得出等式方程是解题关键．
　
25．（2012 宁德）为配合“书香进校园”活动的开展，学校决定为各班级添置图书柜，原计划用4000元购买若干个书柜，由于市场价格变化，每个单价上涨20元，实际购买时多花了400元，求书柜原来的单价是多少元？
考点： 分式方程的应用。
分析： 首先设书柜原来的单价是x元，则由于市场价格变化，每个单价上涨20元后的单价是（x+20）元，根据等量关系：原计划4000元所买的书柜数量=实际4400元所买的书柜数量可得方程，解方程可得答案．
解答： 解：设书柜原来的单价是x元，由题意得：
=，
解得：x=200，
经检验：x=200是原分式方程的解，
答：书柜原来的单价是200元．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
　
26．（2012 南平）解分式方程：x﹣3+=0．
考点： 解分式方程。
分析： 公分母为（x+3），两边同乘以公分母，转化为整式方程求解，结果要检验．
解答： 解：去分母，得（x﹣3）（x+3）+6x﹣3x2=0，
去括号，得x2﹣9+6x﹣3x2=0，
合并，得﹣9+6x=0，
解得x=，
检验：当x=时，x+3≠0，
所以，原方程的解为x=．
点评： 本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．
　
27．（2012 黄冈）某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有AB两个制衣间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A、B两车间共完成一半后，A车间出现故障停产，剩下全部由B车间单独完成，结果前后共用了20天完成，求A、B两车间每天分别能加工多少件．
考点： 分式方程的应用。
分析： 首先设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意可得等量关系：A、B两车间生产4400件所用的时间+B两车间生产4400件所用的时间=20天，有等量关系可列出方程+=20，解方程可得答案，注意不要忘记检验．
解答： 解：设B车间每天能加工x件，则A车间每天能加工1.2x件，由题意得：
+=20，
解得：x=320，
经检验：x=320是原分式方程的解，
1.2×320=384（件）．
答：A车间每天能加工384件，B车间每天能加工320件．
点评： 此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答，必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
转化2013年中考数学专题复习第二十一讲 矩形 菱形 正方形
【基础知识回顾】
矩形：
1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形
2、矩形的性质：
⑴矩形的四个角都
⑵矩形的对角线
3、矩形的判定：
⑴用定义判定
⑵有三个角是直角的 是矩形
⑶对角线相等的 是矩形
【名师提醒：1、矩形是 对称到对称中心是 又是 对称图形对称轴有 条
2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两个全等的 三角形
3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等知识解决问题】
菱形：
1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形
2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都
⑵菱形的对角线 且每条对角线
3、菱形的判定：⑴用定义判定
⑵对角线互相垂直的 是菱形
⑶四条边都相等的 是菱形
【名师提醒：1、菱形即是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，分别是
2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形
3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算
4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形知识洁具的题目】
三、正方形：
1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形
2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，
⑵正方形四边条都
⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角
3、判定：⑴先证是矩形，再证
⑵先证是菱形，再证
【名师提醒：菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：
⑴正方形也即是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴
⑵几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的和联系】
【重点考点例析】
考点一：和矩形有关的折量问题
例1 （2012 肇庆）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．
（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积．
思路分析：（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证；
（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，然后利用勾股定理求出BC的长度，再利用梯形的面积公式列式计算即可得解．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE；
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，
∴BD=2BO=2×4=8，
∵∠DBC=30°，
∴CD=BD=×8=4，
∴AB=CD=4，DE=CD+CE=CD+AB=4+4=8，
在Rt△BCD中，BC= =4，
∴四边形ABED的面积=（4+8）×4 =24．
点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，平行四边形的判定与性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．
对应训练
1．（2012 哈尔滨）如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，∠AED=2∠CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 ．
1．
考点：矩形的性质；勾股定理．专题：计算题．
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AG=DG，然后根据等边对等角的性质可得∠ADG=∠DAG，再结合两直线平行，内错角相等可得∠ADG=∠CED，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGE=2∠ADG，从而得到∠AED=∠AGR，再利用等角对等边的性质得到AE=AG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解：∵四边形ABCD是矩形，点G是DF的中点，
∴AG=DG，
∴∠ADG=∠DAG，
∵AD∥BC，
∴∠ADG=∠CED，
∴∠AGE=∠ADG+∠DAG=2∠CED，
∵∠AED=2∠CED，
∴∠AGE=∠AED，
∴AE=AG=4，
在Rt△ABE中，AB==．
故答案为：．
点评：本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理的应用，求出AE=AG是解题的关键．
考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题
例2 （2012 衡阳）如图，菱形ABCD的周长为20cm，且tan∠ABD=，则菱形ABCD的面积为 cm2．
思路分析：连接AC交BD于点O，则可设BO=3x，AO=4x，继而在RT△ABO中利用勾股定理求出AB，结合菱形的周长为20cm可得出x的值，再由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得出答案．解答：解：连接AC交BD于点O，
则AC⊥BD，AO=OC，BO=DO，
设BO=3x，AO=4x，
则AB=5x，
又∵菱形ABCD的周长为20cm，
∴4×5x=20cm，
解得：x=1，
故可得AO=4，BO=3，AC=2AO=8cm，BD=2BO=6cm，
故可得AC×BD=24cm2．
故答案为：24．
点评：此题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直且平分的性质，及菱形的面积等于对角线乘积的一半是解答本题的关键．
对应训练
2．（2012 山西）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　）
A．5cm B．2cm C．cm D．cm
2．考点：菱形的性质；勾股定理．
分析：根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO= AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC= =5cm，
∴S菱形ABCD=BD AC 2 =×6×8=24cm2，
∵S菱形ABCD=BC×AD，
∴BC×AE=24，
∴AE=cm，
故选D．
点评：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
考点三：和正方形有关的证明题
例3 （2012 黄冈）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别在OD、OC上，且DE=CF，连接DF、AE，AE的延长线交DF于点M．
求证：AM⊥DF．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．
分析：根据DE=CF，可得出OE=OF，继而证明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代换可得出∠DME=90°，即得出了结论．解答：证明：∵ABCD是正方形，
∴OD=OC，
又∵DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，
在RT△AOE和RT△DOF中，，
∴△AOE≌△DOF，
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，
即可得AM⊥DF．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出∠OAE=∠ODF，利用等角代换解题．
对应训练
12．（2012 贵阳）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形．
分析：（1）根据正方形可知AB=AD，由等边三角形可知AE=AF，于是可以证明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF；
（2）连接AC，交EF与G点，由三角形AEF是等边三角形，三角形ECF是等腰直角三角形，于是可知AC⊥EF，求出EG=1，设BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出BC的上，进而求出正方形的周长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵ AB=AD AE=AF ，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴CE=CF，
（2）解：连接AC，交EF于G点，
∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，
∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，
∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，
解得x=，
∴AB==，
∴正方形ABCD的周长为4AB=．
点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质，解答本题的关键是对正方形和三角形的性质的熟练运用，此题难度不大，是一道比较不错的试题．
考点四：四边形综合性题目
例4 （2012 江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ．
7．15°或165°
15°或165°考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．专题：分类讨论．
分析：利用正方形的性质和等边三角形的性质证明△ABE≌△ADF（SSS），有相似三角形的性质和已知条件即可求出当BE=DF时，∠BAE的大小，应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．
解答：解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠FAE=30°，
∴∠BAE=∠FAD=15°，
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．
∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当BE=DF时，
∴AB=AD BE=DF AE=AF，
∴△ABE≌△ADF（SSS），
∴∠BAE=∠FAD，
∵∠EAF=60°，
∴∠BAE=（360°-90°-60°）×+60°=165°，
∴∠BAE=∠FAD=165°
故答案为：15°或165°．
点评：本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．
对应训练
4．（2012 铜仁地区）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 ．
4．
考点：正方形的性质；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：证△COA≌△DOB，推出等腰直角三角形AOB，求出AB= 2
OA，得出要使AB最小，只要OA取最小值即可，当OA⊥CD时，OA最小，求出OA的值即可．
解答：解：∵四边形CDEF是正方形，
∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，
∴∠COA=∠DOB，
∵在△COA和△DOB中
，
∴△COA≌△DOB，
∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AB= OA，
要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=CF=1，
即AB=，
故答案为：．
点评：本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出AB=OA和得出OA⊥CD时OA最小，题目具有一定的代表性，有一定的难度．
【聚焦山东中考】
2．（2012 青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）若OA=BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）首先根据垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，再由点O是EF的中点可得OE=OF，再加上对顶角∠DOF=∠BOE，可利用ASA证明△BOE≌△DOF；
（2）首先根据△BOE≌△DOF可得DO=BO，再加上条件AO=CO可得四边形ABCD是平行四边形，再证明DB=AC，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证出结论．
解答：（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，
∴∠BEO=∠DFO=90°，
∵点O是EF的中点，
∴OE=OF，
又∵∠DOF=∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（ASA）；
（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：
∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
又∵OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵OA=BD，OA=AC，
∴BD=AC，
∴ ABCD是矩形．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）．
3．（2012 威海）如图，在 ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是（　　）
A．AE=AF B．EF⊥AC C．∠B=60° D．AC是∠EAF的平分线
考点：菱形的判定；平行四边形的性质．分析：根据平行四边形性质推出∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，求出∠BAE=∠DCF，证△ABE≌△CDF，推出AE=CF，BE=DF，求出AF=CE，得出四边形AECF是平行四边形，再根据菱形的判定判断即可．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，∠DAB=∠DCB，AB=CD，AD=BC，
∵AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，
∴∠DCF=∠DCB，∠BAE=∠BAD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中
∠D=∠B AB=CD ∠DCF=∠BAE ，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，BE=DF，
∵AD=BC，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
A、∵四边形AECF是平行四边形，AE=AF，
∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
B、∵EF⊥AC，四边形AECF是平行四边形，
∴平行四边形AECF是菱形，故本选项正确；
C、根据∠B=60°和平行四边形AECF不能推出四边形是菱形，故本选项错误；
D、∵四边形AECF是平行四边形，
∴AF∥BC，
∴∠FAC=∠ACE，
∵AC平分∠EAF，
∴∠FAC=∠EAC，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC，
∵四边形AECF是平行四边形，
∴四边形AECF是菱形，故本选项正确；
故选C．点评：本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定、全等三角形的性质和判定、平行线的性质等知识点，主要考查学生的推理能力．
4．（2012 聊城）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．
求证：四边形OCED是菱形．
考点：菱形的判定；矩形的性质．专题：证明题．
分析：首先根据两对边互相平行的四边形是平行四边形证明四边形OCED是平行四边形，再根据矩形的性质可得OC=OD，即可利用一组邻边相等的平行四边形是菱形判定出结论．
解答：证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
点评：此题主要考查了菱形的判定，矩形的性质，关键是掌握菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
5．（2012 济宁）如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．
（1）在图中画出线段DE和DF；
（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？
考点：菱形的判定与性质；作图—复杂作图．
分析：（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可；
（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得EA=ED，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形AEDF是菱形，再根据菱形的性质可得线段AD和EF互相垂直平分．
解答：解（1）如图所示；
（2）∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠FAD=∠EAD，
∵AB∥DE，
∴∠FAD=∠EDA，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形，
∴AD与EF互相垂直平分．
点评：此题主要考查了画平行线，菱形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定方法，判定四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等，角相等，线段互相垂直且平分．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 南通）如图，矩形ABCD的对角线AC=8cm，∠AOD=120°，则AB的长为（　　）
A． 3cm B．2cm C．2 3 D．4cm
考点：矩形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：根据矩形的对角线相等且互相平分可得AO=BO=AC，再根据邻角互补求出∠AOB的度数，然后得到△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得解．
解：在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=AO=4cm．
故选D．
点评：本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，判定出△AOB是等边三角形是解题的关键．
2.（2012 黄冈）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（　　）
A．矩形 B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
考点：矩形的判定；三角形中位线定理．
分析：此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD，
故选C．
点评：本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
3．（2012 大连）如图，菱形ABCD中，AC=8，BD=6，则菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．28 D．40
3．考点：菱形的性质；勾股定理．专题：数形结合．
分析：据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
解：∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB= =5，
故菱形的周长为20．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
4．（2012 张家界）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
考点：菱形的判定；三角形中位线定理；矩形的性质．
分析：因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．
解答：解：连接AC、BD，
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB
∴EH=BD，
同理FG=BD，HG=AC，EF= AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
故选C．
5．（2012 丹东）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（　　）
A．3cm B．4cm C．2.5cm D．2cm
考点：菱形的性质；三角形中位线定理．
分析：先求出菱形的边长AB，再根据菱形的对角线互相平分判断出OE是△ABD的中位线，然后根据三角形的中位线等于第三边的一半解答．
解：∵菱形ABCD的周长为24cm，
∴边长AB=24÷4=6cm，
∵对角线AC、BD相交于O点，
∴BO=DO，
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE= AB=×6=3cm．
故选A．
点评：本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线定理，是基础题，求出OE等于菱形边长的一半是解题的关键．
6．（2012 泸州）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（　　）
A．24 B．16 C．4 D．2
考点：菱形的性质；勾股定理．
分析：由菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=6，BD=4，即可得AC⊥BD，求得OA与OB的长，然后利用勾股定理，求得AB的长，继而求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=4，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=D=2，AB=BC=CD=AD，
∴在Rt△AOB中，AB=，
∴菱形的周长是：4AB=4．
故选C．
点评：此题考查了菱形的性质与勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
7．（2012 恩施州）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B．2 C．3 D． 2
考点：菱形的性质；解直角三角形．专题：常规题型．
分析：设BF、CE相交于点M，根据相似三角形对应边成比例列式求出CG的长度，从而得到DG的长度，再求出菱形ABCD边CD上的高与菱形ECGF边CE上的高，然后根据阴影部分的面积=S△BDM+S△DFM，列式计算即可得解．
解答：解：如图，设BF、CE相交于点M，
∵菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，
∴△BCM∽△BGF，
∴，
即，
解得CM=1.2，
∴DM=2-1.2=0.8，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴菱形ABCD边CD上的高为2sin60°=2×，
菱形ECGF边CE上的高为3sin60°=3×，
∴阴影部分面积=S△BDM+S△DFM=1 2 ×0.8×+1 2 ×0.8×= ．
故选A．
点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，把阴影部分分成两个三角形的面积，然后利用相似三角形对应边成比例求出CM的长度是解题的关键．
8．（2012 贵港）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：
①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABCD= AM2．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析：根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF=∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD=120°，从而判定②正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM=∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH=AM，对应角相等可得∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确；根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出④错误．
解：在菱形ABCD中，∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中， ，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②小题正确；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中，，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，
又∵△AMH的面积=AM AM= AM2，
∴S四边形ABMD= AM2，
S四边形ABCD≠S四边形ABMD，故④小题错误，
综上所述，正确的是①②③共3个．
故选C．
点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键．
9．（2012 丹东）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E、F分别在边AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于点O．下列结论：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=，④S△ODC=S四边形BEOF中，正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析：由正方形ABCD的边长为4，AE=BF=1，利用SAS易证得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的对应角相等，易证得①∠DOC=90°正确；②由线段垂直平分线的性质与正方形的性质，可得②错误；易证得∠OCD=∠DFC，即可求得③正确；由①易证得④正确．
解答：解：∵正方形ABCD的边长为4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，
∵ ，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；
故①正确；
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），
故②错误；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=，
故③正确；
∵△EBC≌△FCD，
∴S△EBC=S△FCD，
∴S△EBC-S△FOC=S△FCD-S△FOC，
即S△ODC=S四边形BEOF．
故④正确．
故选C．
点评：此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
10．（2012 泸州）如图，边长为a的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形A′B′C′D′，图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
考点：正方形的性质；旋转的性质；解直角三角形．
分析：设B′C′与CD交于点E．由于阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED，又S正方形ABCD=，所以关键是求S四边形AB′ED．为此，连接AE．根据HL易证△AB′E≌△ADE，得出∠B′AE=∠DAE=30°．在直角△ADE中，由正切的定义得出DE=AD tan∠DAE=．再利用三角形的面积公式求出S四边形AB′ED=2S△ADE．
解答：解：如图，设B′C′与CD交于点E，连接AE．
在△AB′E与△ADE中，，
∴△AB′E≌△ADE（HL），
∴∠B′AE=∠DAE．
∵∠BAB′=30°，∠BAD=90°，
∴∠B′AE=∠DAE=30°，
∴DE=AD tan∠DAE= a．
∴S四边形AB′ED=2S△ADE=2××a×a= a2．
∴阴影部分的面积=S正方形ABCD-S四边形AB′ED=．
故选：D．
点评：本题主要考查了正方形、旋转的性质，直角三角形的判定及性质，图形的面积以及三角函数等知识，综合性较强，有一定难度．
二、填空题
11．（2012 十堰）如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=4，AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则EF= ．
11．
考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．
分析：过D作DK平行EF交CF于K，得出平行四边形DEFK，推出EF=DK，证△DCK∽△CBA，求出CK，根据勾股定理求出DK即可．
解：过D作DK平行EF交CF于K，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠DCB=90°，AD=BC=4，AB=CD=2，
∵AD∥BC，EF∥DK，
∴DEFK为平行四边形，
∴EF=DK，
∵EF⊥AC，
∴DK⊥AC，
∴∠DPC=90°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDK+∠DCP=90°，∠DCP+∠ACB=90°，
∴∠CDK=∠ACB，
∵∠DCK=∠ABC=90°，
∴△CDK∽△BCA，
∴，
即，
CK=1，
根据勾股定理得：EF=DK=，
故答案为：．
点评：本题考查了矩形性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，线段的垂直平分线性质的应用，关键是求出EO长，用的数学思想是方程思想．
12．（2012 山西）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是 ．
12．
考点：矩形的性质；坐标与图形性质；解直角三角形．
分析：过点B作DE⊥OE于E，有OC=2，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，可求出AC的长，根据矩形的性质可得OB的长，进而求出BE，OE的长，从而求出点B的坐标．解答：解：过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠CAO=30°，
∴AC=4，
∴OB=AC=4，
∴OE=2，
∴BE=2，
∴则点B的坐标是，
故答案为：．
点评：本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质以及勾股定理的运用和解直角三角形的有关知识，解题的关键是作高线得到点的坐标的绝对值的长度，
13．（2012 宁夏）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：2，且AC=10，则DE的长度是 ．
13．考点：矩形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
分析：根据∠EDC：∠EDA=1：2，可得∠EDC=30°，∠EDA=60°，进而得出△OCD是等边三角形，再由AC=10，求得DE．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，
∴∠EDC=30°，∠EDA=60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠DCE=90°-∠EDC=60°，
∴∠ODC=∠OCD=60°，
∴∠ODC+∠OCD+∠DOC=180°，
∴∠COD=60°，
∴△OCD是等边三角形，
DE=sin60° OD=，
故答案为 ．
点评：本题主要考查了勾股定理和矩形的性质，根据已知得出三角形OCD是等边三角形是解题关键，此题难度不大．
14．（2012 龙岩）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于F，EG⊥BC于G，则矩形CFEG的周长是 ．
14．12
考点：矩形的性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．
分析：推出四边形FCGE是矩形，得出FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，求出∠BEG=∠B，推出EG=BG，同理AF=EF，求出矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=AC+BC，代入求出即可．
解：∵∠C=90°，EF⊥AC，EG⊥BC，
∴∠C=∠EFC=∠EGC=90°，
∴四边形FCGE是矩形，
∴FC=EG，FE=CG，EF∥CG，EG∥CA，
∴∠BEG=∠A=45°=∠B，
∴EG=BG，
同理AF=EF，
∴矩形CFEG的周长是CF+EF+EG+CG=CF+AF+BG+CG=AC+BC=6+6=12，
故答案为：12．
点评：本题考查了等腰三角形的性质、等腰直角三角形、矩形的判定和性质，能求出矩形CFEG的周长=AC+BC是解此题的关键．
16．（2012 毕节地区）我们把顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．现有一个对角线分别为6cm和8cm的菱形，它的中点四边形的对角线长是 ．
16．5cm
考点：矩形的判定与性质；勾股定理；三角形中位线定理；菱形的性质．
分析：顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，问题得解．
解答：解：∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点所得的图形是矩形；
理由如下：
∵E、F、G、H分别为各边中点
∴EF∥GH∥DB，EF=GH=DB
EH=FG= AC，EH∥FG∥AC
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四边形EFGH是矩形，
∵EH=BD=3cm，EF=AC=4cm，
∴HF= =5cm．
故答案为：5cm．
点评：本题考查菱形的性质，菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半以及勾股定理的运用．
17．（2012 肇庆）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为 ．
17．20
考点：菱形的性质；勾股定理．
分析：根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
解：如图所示，
根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB= =5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故答案为：20．
点评：本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
18．（2012 西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=12，BD=16，E为AD中点，点P在x轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（-5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标 ．
18．
考点：菱形的性质；坐标与图形性质；等腰三角形的判定．分析：由在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE的长，然后分别从①当OP=OE时，②当OE=PE时，③当OP=EP时去分析求解即可求得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=1 2 AC=×12=6，OD=BD=×16=8，
∴在Rt△AOD中，AD= =10，
∵E为AD中点，
∴OE=AD=×10=5，
①当OP=OE时，P点坐标（-5，0）和（5，0）；
②当OE=PE时，此时点P与D点重合，即P点坐标为（8，0）；
③如图，当OP=EP时，过点E作EK⊥BD于K，作OE的垂直平分线PF，交OE于点F，交x轴于点P，
∴EK∥OA，
∴EK：OA=ED：AD=1：2，
∴EK=OA=3，
∴OK= =4，
∵∠PFO=∠EKO=90°，∠POF=∠EOK，
∴△POF∽△EOK，
∴OP：OE=OF：OK，
即OP：5=5 2 ：4，
解得：OP=，
∴P点坐标为．
∴其余所有符合这个条件的P点坐标为：．
故答案为：．
点评：此题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形的性质以及等腰三角形的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
19．（2012 宁德）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是BD、CD的中点，EF=6cm，则AB= cm．
19．考点：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．分析：连接AC，得出∠DEC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质得出EF=CD，求出CD即可．
解答：解：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AC⊥BD，
∴∠DEC=90°，
∵F为CD的中点，
∴EF=CD=6，
∴CD=12，
∴AB=CD=12，
故答案为：12．
点评：本题考查了直角三角形斜边上中线，三角形的中位线，菱形的性质，关键是求出EF=CD．
20．（2012 沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为 cm2．
20．
考点：菱形的性质；等边三角形的判定与性质．
分析：连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答：解：如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），
∴△ABD是等边三角形，
∴DE= AD=×8=4cm，
根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，
×8×4 =cm2．
故答案为：．
点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
21．（2012 绵阳）如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留两位有效数字，参考数据π≈3.14）
21．1.7
考点：正方形的性质．专题：数形结合．
分析：根据四个半圆的面积正好是正方形的面积但空白部分被重叠算了两次，所以空白部分的面积等于四个半圆的面积减去正方形的面积求出空白部分的面积，再利用阴影部分的面积等于正方形的面积减去空白部分的面积计算即可得解．
解答：解：根据图形，空白部分的面积=π（）2×4-2×2=2π-4，
阴影部分的面积=2×2-（2π-4），
=4-2π+4，
=8-2π，
≈8-2×3.14，
=8-6.28，
=1.72，
≈1.7．
故答案为：1.7．
点评：本题考查了正方形的性质，观察图形，得出四个半圆的面积减去正方形的面积等于空白部分的面积，然后列式求出空白部分的面积是解题的关键．
22．（2012 深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6 2，则另一直角边BC的长为 ．
22．7
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF-MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
解答：解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=，
∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF-FM=6-5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．
解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6 2 ，∴CM=6．
∴MA=CM-AC=6-5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．
点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
三、解答题
23．（2012 云南）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．
考点：矩形的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定；菱形的性质；菱形的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，根据OB=OD和AD∥BC推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2-16x+64+16，求出即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∵MN是BD的中垂线，
∴OB=OD，BD⊥MN， ，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．
（2）解：∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，
答：MD长为5．
点评：本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用，对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
24．（2012 吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作 ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质．专题：证明题．
分析：（1）根据平行四边形的性质、等腰三角形的性质，利用全等三角形的判定定理SAS可以证得△ADC≌△ECD；
（2）利用等腰三角形的“三合一”性质推知AD⊥C=BC，即∠ADC=90°；由平行四边形的判定定理（对边平行且相等是四边形是平行四边形）证得四边形ADCE是平行四边形，所以有一个角是直角的平行四边形是矩形．
解答：证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；
∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；
又∵AB=AC（已知），
∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），
∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；
在△ADC和△ECD中，
，
∴△ADC≌△ECD（SAS）；
（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），
∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），
∴AE∥CD；
又∵BD=CD，
∴AE=CD（等量代换），
∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），
∴∠ADC=90°，
∴ ADCE是矩形．
点评：本题综合考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定以及矩形的判定．注意：矩形的判定定理是“有一个角是直角的‘平行四边形’是矩形”，而不是“有一个角是直角的‘四边形’是矩形”．
25．（2012 青海）已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质．专题：证明题．
分析：①根据两直线平行，内错角相等求出∠DAC=∠NCA，然后利用“角边角”证明△AND和△CMN全等，根据全等三角形对应边相等可得AD=CN，然后判定四边形ADCN是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和推出∠MCD=∠MDC，再根据等角对等边可得MD=MC，然后证明AC=DN，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得证．
解答：证明：①∵CN∥AB，
∴∠DAC=∠NCA，
在△AND和△CMN中，
∵ ，
∴△AND≌△CMN（ASA），
∴AD=CN，
又∵AD∥CN，
∴四边形ADCN是平行四边形，
∴CD=AN；
②∵∠AMD=2∠MCD∠AMD=∠MCD+∠MCD，
∴∠MCD=∠MDC，
∴MD=MC，
由①知四边形ADCN是平行四边形，
∴MD=MN=MA=MC，
∴AC=DN，
∴四边形ADCN是矩形．
点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形ADCN是平行四边形是解题的关键．
27．（2012 温州）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．
考点：菱形的判定；勾股定理；平移的性质．专题：证明题．
分析：根据平移的性质可得CF=AD=10cm，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论．
解答：证明：由平移变换的性质得：
CF=AD=10cm，DF=AC，
∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，
∴AC= =10，
∴AC=DF=AD=CF=10，
∴四边形ACFD是菱形．
点评：此题主要考查了平移的性质，菱形的判定，关键是掌握平移的性质：各组对应点的线段平行且相等；菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形．
28．（2012 重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：综合题．
分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．
解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵ ，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵ ，
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
点评：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．2013年中考数学专题复习第十九讲 解直角三角形
【基础知识回顾】
锐角三角函数定义：
在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数
【名师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与 有关，与直角三角形的 无关
2、取值范围 】
二、特殊角的三角函数值：
α sinα cosα tanα
300
450
600
【名师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆
2、当 时，正弦和正切值随着角度的增大而 余弦值随着角度的增大而
3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=
⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】
三、解直角三角形：
1、定义：由直角三角形中除直角外的 个已知元素，求出另外 个未知元素的过程叫解直角三角形
2、解直角三角形的依据：
RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c
⑴三边关系：
⑵两锐角关系
⑶边角之间的关系：sinA cosA tanA
sinB cosB tanB
【名师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是
当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】
3、解直角三角形应用中的有关概念
⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角
⑵坡度坡角：如图：
斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i= 坡面与水平面得夹角为 用字母α表示，则i==
⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角
如图：OA表示 OB表示
OC表示 （也可称西南方向）
利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：
⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）
⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形
⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案
【名师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】
【重点考点例析】
考点一：锐角三角函数的概念
例1 （2012 内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（　　）
A． B． C． D．
思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．
解：如图：连接CD交AB于O，
根据网格的特点，CD⊥AB，
在Rt△AOC中，
CO==；
AC==；
则sinA==．
故选B．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．
对应训练
1．（2012 贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于（　　）
A． B． C． D．
1．A
考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．
解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C，
∵A点坐标为（2，1），
∴OC=2，AC=1，
∴OA==，
∴sin∠AOB=．
故选A．
点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．
考点二：特殊角的三角函数值
例2 （2012 孝感）计算：cos245°+tan30° sin60°= 1
．
思路分析：将cos45°=，tan30°= ，sin60°= 代入即可得出答案．
解：cos245°+tan30° sin60°=+×=+=1．
故答案为：1．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
对应训练
（2012 南昌）计算：sin30°+cos30° tan60°．
思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．
解：原式===2．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．
考点三：化斜三角形为直角三角形
例3 （2012 安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．
6．思路分析：过C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根据含30度角的直角三角形求出CD，根据勾股定理求出AD，相加即可求出答案．
解：
过C作CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
∵∠B=45°，
∴∠BCD=∠B=45°，
∴CD=BD，
∵∠A=30°，AC=2，
∴CD=，
∴BD=CD=，
由勾股定理得：AD==3，
∴AB=AD+BD=3+，
答：AB的长是3+．
点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
对应训练
3．（2012 重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）
3．考点：解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形内角和定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可求出答案．
解答：解：∵△ABD是等边三角形，
∴∠B=60°，
∵∠BAC=90°，
∴∠C=180°-90°-60°=30°，
∴BC=2AB=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=，
∴△ABC的周长是AC+BC+AB=2+4+2=6+2．
答：△ABC的周长是6+2．
点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．
考点四：解直角三角形的应用
例4 （2012 张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：
（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据≈1.414，≈1.73 ，≈2.45）
（2）求∠ACD的余弦值．
考点：解直角三角形的应用．
分析：（1）连接AC，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD的长后即可求周长和面积；
（2）直接利用余弦的定义求解即可．
解：（1）连接AC
∵AB=BC=15千米，∠B=90°
∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15千米
又∵∠D=90°
∴AD==（千米）
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.784≈55（千米）
面积=S△ABC+18 6 ≈157（平方千米）
（2）cos∠ACD=
点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
对应训练
6．（2012 益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．
（1）求B、C两点的距离；
（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）
考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．
分析：（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离；
（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．
解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，
∴BC=AC tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．
法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，
∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，
∴AD=60，CD=30，BC=60+30≈112（米）
（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）
∴此车没有超过限制速度．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012 济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为（　　）
A． B． C． D．3
1．A
考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：网格型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
解答：解：由图形知：tan∠ACB=，
故选A．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．
2．（2012 滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．不能确定
2．A
分析：由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．
解答：解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．
故选A．
点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．
3．（2012 烟台）计算：tan45°+ cos45°= 2
．
3．2
考点：特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解．
解答：解：原式=1+×=1+1=2．
故答案是：2．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．
4．（2012 济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA- |+（sinB- ）2=0，则∠C= 75°
．
4．75°
考点：特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；非负数的性质：绝对值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；非负数的性质：偶次方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形内角和定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA- =0，sinB- =0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．
解答：解：∵|cosA-|+（sinB-）2=0，
∴cosA- =0，sinB-=0，
∴cosA=，sinB=，
∴∠A=60°，∠B=45°，
则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°，
故答案为：75°．
点评：此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．
5．（2012 潍坊）校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据： =1.73，=1.41）；
（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．
5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．
解答：解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，AD==36.33，
在Rt△BDC中，BD==12.11，
则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。
（2）∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1×3600=43560，
∴该车速度为43.56千米/小时，
∵大于40千米/小时，
∴此校车在AB路段超速．
点评：此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．
6．（2012 青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
（1）求教学楼AB的高度；
（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）．
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）
6．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可；
（2）利用Rt△AME中，cos22°=，求出AE即可．
解：（1）过点E作EM⊥AB，垂足为M．
设AB为x．
Rt△ABF中，∠AFB=45°，
∴BF=AB=x，
∴BC=BF+FC=x+13，
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，
tan22°=，
则x-2 x+13 =2 5 ，
解得：x=12．
即教学楼的高12m．
（2）由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25．
在Rt△AME中，cos22°=．
∴AE=ME cos22° ≈25 15 16 ≈27，
即A、E之间的距离约为27m．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1.（2012 哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB的值是（　　）
A． B． C． D．
1.D
考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据锐角三角函数的定义得出sin∠B= ，代入即可得出答案．
解答：解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=5，
∴sin∠B==，
故选D．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生对锐角三角函数的定义的理解和记忆，题目比较典型，难度适中．
2．（2012 青海）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=5，AC=6，则tanB的值是（　　）
A． B． C． D．
2．考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直角三角形斜边上的中线 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB的长度，再利用勾股定理求出BC的长度，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．
解答：解：∵CD是斜边AB上的中线，CD=5，
∴AB=2CD=10，
根据勾股定理，BC===8，
tanB===．
故选C．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边应熟练掌握．
3．（2012 宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosB= ，则BC的长为（　　）
A．4 B． C． D．
3．考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据cosB= ，可得 = ，再把AB的长代入可以计算出CB的长．
解答：解：∵cosB=，
∴=，
∵AB=6，
∴CB=×6=4，
故选：A．
点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦．
4．（2012 天津）2cos60°的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
4．A
考点：特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据60°角的余弦值等于进行计算即可得解．
解答：解：2cos60°=2×=1．
故选A．
点评：本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
5．（2012 乐山）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则sinB的值为（　　）
A． B． C． D．1
5．C
考点：特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据AB=2BC直接求sinB的值即可．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴sinA==；
∴∠A=30°
∴∠B=60°
∴sinB=。
故选C．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题时，直接利用正弦的定义求解即可．
6．（2012 杭州）如图，在Rt△ABO中，斜边AB=1．若OC∥BA，∠AOC=36°，则（　　）
A．点B到AO的距离为sin54°
B．点B到AO的距离为tan36°
C．点A到OC的距离为sin36°sin54°
D．点A到OC的距离为cos36°sin54°
6．考点：解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；点到直线的距离 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据图形得出B到AO的距离是指BO的长，过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出BO=ABsin36°，即可判断A、B；过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，根据锐角三角形函数定义得出AD=AOsin36°，AO=AB sin54°，求出AD，即可判断C、D．
解答：解：
A、B到AO的距离是指BO的长，
∵AB∥OC，
∴∠BAO=∠AOC=36°，
∵在Rt△BOA中，∠BOA=90°，AB=1，
∴sin36°=，
∴BO=ABsin36°=sin36°，
故本选项错误；
B、由以上可知，选项错误；
C、过A作AD⊥OC于D，则AD的长是点A到OC的距离，
∵∠BAO=36°，∠AOB=90°，
∴∠ABO=54°，
∵sin36°=，
∴AD=AO sin36°，
∵sin54°=，
∴AO=AB sin54°，
∴AD=AB sin54° sin36°=sin54° sin36°，故本选项正确；
D、由以上可知，选项错误；
故选C．
点评：本题考查了对解直角三角形和点到直线的距离的应用，解此题的关键是①找出点A到OC的距离和B到AO的距离，②熟练地运用锐角三角形函数的定义求出关系式，题目较好，但是一道比较容易出错的题目．
7．（2012 宜昌）在“测量旗杆的高度”的数学课题学习中，某学习小组测得太阳光线与水平面的夹角为27°，此时旗杆在水平地面上的影子的长度为24米，则旗杆的高度约为（　　）
A．24米 B．20米 C．16米 D．12米
7．D
考点：解直角三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：直接根据锐角三角函数的定义可知，AB=BC tan27°，把BC=24米，tan27°≈0.51代入进行计算即可．
解答：解：∵AB⊥BC，BC=24米，∠ACB=27°，
∴AB=BC tan27°，
把BC=24米，tan27°≈0.51代入得，
AB≈24×0.51≈12米．
故选D．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
8．（2012 广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（　　）
A．100m B．100m C．150m D．50m
8．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：根据题意可得，把BC=50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可．
解：∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，
∴，
∵BC=50m，
∴AC=50 m，
∴AB= =100m，
故选：A．
点评：此题主要考查了解直角三角形的应用-坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
1．（2012 泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（　　）
　 A． 10米 B． 10米 C． 20米 D． 米
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析： 首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
解答： 解：∵在直角三角形ADC中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∴在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=AB﹣AB=20解得：AB=10．故选A．
点评： 本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
　
2．（2012 深圳）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（　　）
　 A． （6+）米 B． 12米 C． （4﹣2）米 D． 10米
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题；相似三角形的性质。
分析： 延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．
解答： 解：延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，∴CE=2，EF=4cos30°=2（米），在Rt△CED中，CE=2（米），∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4（米），∴BD=BF+EF+ED=12+2（米）在Rt△ABD中，AB=BD=（12+2）=（+6）（米）．故选：A．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用以及相似三角形的性质．解决本题的关键是作出辅助线得到AB的影长．
　
3．（2012 福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（　　）
　 A． 200米 B． 200米 C． 220米 D． 100（）米
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析： 图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
解答： 解：由已知，得∠A=30°，∠B=45°，CD=100，∵CD⊥AB于点D．∴在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD===100在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=45°∴DB=CD=100米，∴AB=AD+DB=100+100=100（+1）米．故选D．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．
二、填空题
9．（2012 宁夏）在△ABC中∠C=90°，AB=5，BC=4，则tanA= ．
9．
解答：解：如图，∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=，
∴tanA=．
故答案为：．
点评：本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，作出图形更容易理解．
10．（2012 武汉）tan60°= ．
10．
考点：特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可．
解答：解：tan60°的值为．
故答案为：．
点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
11．（2012 常州）若∠a=60°，则∠a的余角为 30°
，cosa的值为 ．
11．30°，
考点：特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；余角和补角 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据互为余角的两角之和为90°，可得出∠a的余角，再由cos60°=，填空即可．
解答：解：∠a的余角=90°-60°=30°，cos60°=．
故答案为：30°、．
点评：此题考查了特殊角的三角函数值及余角的知识，属于基础题，掌握互为余角的两角之和为90°，熟记一些特殊角的三角函数值是关键．
12．（2012 南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm．若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 2.7
cm．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
12．2.7
考点：解直角三角形的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．首先在等腰直角△BOD中，得到BD=OD=2cm，则CE=2cm，然后在直角△COE中，根据正切函数的定义即可求出OE的长度．
解答：解：过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E．
在△BOD中，∠BDO=90°，∠DOB=45°，
∴BD=OD=2cm，
∴CE=BD=2cm．
在△COE中，∠CEO=90°，∠COE=37°，
∵tan37°=≈0.75，∴OE≈2.7cm．
∴OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为2.7cm．
故答案为2.7．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，属于基础题型，难度中等，通过作辅助线得到CE=BD=2cm是解题的关键．
4．（2012 广西）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56°，那么旗杆的高度约是　12　米（结果保留整数）．（参考数据：sin56°≈0.829，cos56°≈0.559，tan56°≈1.483）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析： 在直角三角形ABC中，根据BC=8，∠ACB=56°即可求得AB的长．
解答： 解：由题意知BC=8，∠C=56°，故AB=BC tan56°≈8×1.483≈12米，故答案为12．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
　
三、解答题
13．（2012 铜仁地区）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= = ，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°= ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
13．考点：锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：新定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据直角三角形的性质用AC表示出AB及AC的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；
（2）由于tanA= ，所以可设BC=3，AC=4，则AB=5，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
解答：解：（1）∵Rt△ABC中，α=30°，
∴BC=AB，
∴AC==，
∴ctan30°=．
故答案为：；
（2）∵tanA=，
∴设BC=3，AC=4，则AB=5，
∴ctanA=．
点评：本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
14．（2012 巴中）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．
14．考点：解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF=60°，进而可得出答案．
解答：解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，
∴BC=AC=12，
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin45°=12×=12
CM=BM=12，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，
∴∠EDF=60°，
∴MD=BM÷tan60°=4，
∴CD=CM-MD=12-4．
点评：本题考查了解直角三角形的性质及平行线的性质，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．
15．（2012 遵义）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38， ≈1.73，精确到个位）
15．考点：解直角三角形的应用．
分析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．
解答：解：过点C作CD⊥AB于D，
∵BC=200m，∠CBA=30°，
∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC cos30°=200×=100 ≈173（m），
∵∠CAB=54°，
在Rt△ACD中，AD=≈100 1.36 ≈74（m），
∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．
答：隧道AB的长为247m．
16．（2012 六盘水）如图，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C，测得∠CAD=30°；小丽沿岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°．请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度．
16．考点：解直角三角形的应用．专题：应用题．
分析：先根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度
解：过点C作CE⊥AD于点E，
由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，
故可得∠ACB=∠CAB=30°，
即可得AB=BC=30m，
设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE= x，
又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，
解得：x=15，即可得CE=15m．
答：小丽自家门前的小河的宽度为15m．
点评：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般．
17．（2012 新疆）如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为15°，且OA=OB=3m．
（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；
（2）若跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（不写画法，保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．
（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
17．考点：解直角三角形的应用；弧长的计算．专题：探究型．分析：（1）过A作AD⊥BC于点D，根据比例关系及三角函数值可得出AD的值．
（2）根据出OA的长，求出∠AOD的度数，然后利用弧长的计算公式即可得出答案．解答：解：（1）过A作AD⊥BC于点D，
∵OA=OB=3m，
∴AB=3+3=6m，
∴AD=AB sin15°≈6×0.26≈1.6；
（2）如图所示，A点的运动路线是以点O为圆心，以OA的长为半径的的长．
连接OD，
∵O是AB的中点，
∴OD=OA=OB，
∴∠AOD=2∠B=30°，
∴A运动路线长=．
点评：本题考查的是解直角三角形的应用及弧长公式，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．
5．（2012 资阳）小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD=10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题。
分析： 连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N，将实际问题中的已知量转化为直角三角形中的有关量，设PM=x米，在Rt△PMA中，表示出AM，在Rt△PNB中，表示出BN，由AM+BN=46米列出方程求解即可．
解答： 解：连接PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米设PM=x米在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=xtan45°=x（米）在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=（x﹣10）tan60°=（x﹣10）（米）由AM+BN=46米，得x+（x﹣10）=46解得，，∴点P到AD的距离为米．（结果分母有理化为米也可）
点评： 此题考查了解直角三角形的知识，作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
　
6．（2012 绍兴）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，坡角∠BAC为32°．
（1）求一楼于二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；
（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2．小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，con32°=0.8480，tan32°=6249．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析： （1）在直角三角形ABC中利用∠BAC的正弦值和AB的长求得BC的长即可；（2）首先根据题意求得级高，然后根据10秒钟上升的级数求小明上升的高度即可．
解答： 解：（1）sin∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米．（2）∵tan32°=，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225∵10秒钟电梯上升了20级，∴小明上升的高度为：20×0.156225≈3.12米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．
　
7．（2012 郴州）如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题。
分析： 可在Rt△ABE中，根据坡面AB的长以及坡角的度数，求得铅直高度BE和水平宽AE的值，进而可在Rt△BFE中，根据BE的长及坡角的度数，通过解直角三角形求出EF的长；根据AF=EF﹣AE，即可得出AF的长度．
解答： 解：∵Rt△ABE中，∠BAE=45°，坝高BE=20米．∴AE=BE=20米，Rt△BEF中，BE=20，∠F=30°，∴EF=BE÷tan30°=20．∴AF=EF﹣AE=20﹣20≈15即AF的长约为15米．
点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
　
8．（2012 恩施州）新闻链接，据[侨报网讯]外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退．
2012年5月18日，某国3艘炮艇追袭5条中国渔船．刚刚完成黄岩岛护渔任务的“中国渔政310”船人船未歇立即追往北纬11度22分、东经110度45分附近海域护渔，保护100多名中国渔民免受财产损失和人身伤害．某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去．（见图1）
解决问题
如图2，已知“中国渔政310”船（A）接到陆地指挥中心（B）命令时，渔船（C）位于陆地指挥中心正南方向，位于“中国渔政310”船西南方向，“中国渔政310”船位于陆地指挥中心南偏东60°方向，AB=海里，“中国渔政310”船最大航速20海里/时．根据以上信息，请你求出“中国渔政310”船赶往出事地点需要多少时间．
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题。
分析： 过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中利用锐角三角函数的定义求出AD的值，同理在Rt△ADC中求出AC的值，再根据中国渔政310”船最大航速20海里/时求出所需时间即可．
解答： 解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵AB=，∠B=60°，∴AD=AB sin60°=×=70，在Rt△ADC中，AD=70，∠C=45°，∴AC=AD=140，∴“中国渔政310”船赶往出事地点所需时间为=7小时．答：“中国渔政310”船赶往出事地点需要7小时．
点评： 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．
18．（2012 苏州）如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为 米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
18．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析：（1）根据题意得出，∠BEF最大为45°，当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，进而得出EF的长，即可得出答案；
（2）利用在Rt△DPA中，DP=AD，以及PA=AD cos30°进而得出DM的长，利用HM=DM tan30°得出即可．
解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，
∴∠BEF最大为45°，
当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，
∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，
∴BF=EF=BD=15，
DF=15，
故：DE=DF-EF=15（ -1）≈11.0；
（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．
在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，
PA=AD cos30°=×30=15 ．
在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，
在Rt△DMH中，
HM=DM tan30°=×（15+27）=15+9．
GH=HM+MG=15+15+9 ≈45.6．
答：建筑物GH高为45.6米．
点评：此题主要考查了解直角三角形中坡角问题，根据图象构建直角三角形，进而利用锐角三角函数得出是解题关键．2013年中考数学专题复习第二十六讲 平移、旋转与对称
【基础知识回顾】
轴对称与轴对称图形：
1、轴对称：把一个图 形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形 那么就这说两个图形成轴对称，这条直线叫
2、轴对称图形：如果把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够互相 那么这个图形叫做轴对称图形
3、轴对称性质：⑴关于某条直线对称的两个图形
⑵对应点连接被对称轴
【名师提醒：1、轴对称是指 个图形的位置关系，而轴对称图形是指 各具有特殊形状的图形
2、对称轴是 而不是线段，轴对称图形的对称轴不一定只有一条】
二、图形的平移与旋转：
1、平移：⑴定义：在平面内，把某个图形沿着某个 移动一定的 这样的图形运动称为平移
⑵性质：Ⅰ平移不改变图形的 与 ，即平移前后的图形
Ⅱ平移前后的图形对应点连得线段平行且
【名师提醒：平移作图的关键是确定平移的 和 】
2、旋转：⑴定义：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向旋转一个 ，这样的图形运动称为旋转，这个点称为 转动的 称为旋转角
⑵旋转的性质：Ⅰ：旋转前后的图形
Ⅱ：旋转前后的两个圆形中，对应点到旋转中心的距离都 ，每对对应点与旋转中心的连线所成的角度都是旋转角旋转角都
【名师提醒：1、旋转作用的关键是确定 、 和 ，
2、一个图形旋转一定角度后如果能与自身重合，那么这个图形就是旋转对称图形】
三、中心对称与中心对称图形：
1、中心对称：在平面内，一个图形绕某一点旋转1800能与自身重合它能与另一个图形 就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做
2、中心对称图形：一个图形绕着某点旋转 后能与自身重合，这种图形叫中心对称图形，这个点叫做
3、性质：在中心对称的两个图形中，对称点的连线都经过 且被 平分
【名师提醒：1、中心对称是指一个图形的位置关系，而中心对称图形是指一个具有特殊形状的图形
2、常见的轴对称图形有 、 、 、 、 、 等，常见的中心对称图形有 、 、 、 、 、 等
3、所有的正n边形都是 对称圆形里有四条对称轴，边数为偶数的正多边形，又是 对称图形
4、注意圆形的各种变换在平面直角坐标系中的运用】
【典型例题解析】
考点一：轴对称图形
例1 （2012 柳州）娜娜有一个问题请教你，下列图形中对称轴只有两条的是（　　）
A． B． C． D．
圆 等边三角形 矩形 等腰梯形
考点：轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的概念，分别判断出四个图形的对称轴的条数即可．
解答：解：A、圆有无数条对称轴，故本选项错误；
B、等边三角形有3条对称轴，故本选项错误；
C、矩形有2条对称轴，故本选项正确；
D、等腰梯形有1条对称轴，故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查轴对称图形的概念，解题关键是能够根据轴对称图形的概念正确找出各个图形的对称轴的条数，属于基础题．
例2 （2012 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（　　）
A．（-3，-5） B．（3，5） C．（3．-5） D．（5，-3）
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．
解答：解：点P（-3，5）关于y轴的对称点的坐标为（3，5）．
故选B．
点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
对应训练
1. （2012 宁波）下列交通标志图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2012 沈阳）在平面直角坐标系中，点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（　　）
A．（-1，-2） B．（1，-2） C．（2，-1） D．（-2，1）
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数解答．
解答：解：点P（-1，2）关于x轴的对称点的坐标为（-1，-2）．
故选A．
点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
考点二：最短路线问题
例3 （2012 黔西南州）如图，抛物线y= x2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y交于C点，且A（-1，0），点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，m的值是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；二次函数的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先可求得二次函数的顶点坐标，再求得C关于x轴的对称点C′，求得直线C′D的解析式，与x轴的交点的横坐标即是m的值．
解答：解：∵点A（-1，0）在抛物线y=x2+bx-2上，
∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，
∴b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，
∴顶点D的坐标为（，-），
作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2
连接C′D交x轴于点M，
根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，
∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴，
即，
∴m=．
故选B．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．
对应训练
3. （2012 贵港）如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是 ．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先由MN=20求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，在Rt△AB′E中利用勾股定理即可求出AB′的值．
解答：解：∵MN=20，
∴⊙O的半径=10，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=10，BD=6，
∴OD==8；
同理，在Rt△AOC中，OA=10，AC=8，
∴OC==6，
∴CD=8+6=14，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=6，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，
在Rt△AB′E中，
∵AE=AC+CE=8+6=14，B′E=CD=14，
∴AB′=．
故答案为：．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题、垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
考点二：中心对称图形
例4 （2012 襄阳）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：依据轴对称图形与中心对称的概念即可解答．
解答：解：B选项是轴对称也是中心对称图形，C、D选项是轴对称但不是中心对称图形，A选项只是中心对称图形但不是轴对称图形．
故选A．
点评：对轴对称与中心对称概念的考查：
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
对应训练
4．（2012 株洲）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
解答：解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
考点二：平移旋转的性质
例5 （2012 义乌市）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
考点：平移的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
解答：解：根据题意，将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=10．
故选；C．
点评：本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
例6 （2012 十堰）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+3；⑤S△AOC+S△AOB=6+．其中正确的结论是（　　）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理的逆定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：证明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，故结论①正确；
由△OBO′是等边三角形，可知结论②正确；
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO′是直角三角形；进而求得∠AOB=150°，故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故结论④错误；
如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S△AOC+S△AOB转化为S△COO″+S△AOO″，计算可得结论⑤正确．
解答：解：由题意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，
故结论①正确；
如图①，连接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等边三角形，
∴OO′=OB=4．
故结论②正确；
∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．
在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故结论③正确；
S四边形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故结论④错误；
如图②所示，将△AOB绕点A逆时针旋转60°，使得AB与AC重合，点O旋转至O″点．
易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形，
则S△AOC+S△AOB=S四边形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=×3×4+×32=6+，
故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论为：①②③⑤．
故选A．
点评：本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB向不同方向旋转，体现了结论①-结论④解题思路的拓展应用．
对应训练
5.（2012 莆田）如图，△A′B′C′是由△ABC沿射线AC方向平移2cm得到，若AC=3cm，则A′C= 1
cm．
考点：平移的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据平移的性质得出AA′=2cm，再利用AC=3cm，即可求出A′C的长．
解答：解：∵将△ABC沿射线AC方向平移2cm得到△A′B′C′，
∴AA′=2cm，
又∵AC=3cm，
∴A′C=AC-AA′=1cm．
故答案为：1．
点评：本题主要考查对平移的性质的理解和掌握，能熟练地运用平移的性质进行推理是解此题的关键．
6．（2012 南通）如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+ ；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=3+ ；…按此规律继续旋转，直到点P2012为止，则AP2012等于（　　）
A．2011+671 B．2012+671 C．2013+671 D．2014+671
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：规律型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：仔细审题，发现将Rt△ABC绕点A顺时针旋转，每旋转一次，AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环，按此规律即可求解．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，BC=，
∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=2；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=2+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2++1=3+；
又∵2012÷3=670…2，
∴AP2012=670（3+）+2+=2012+671．
故选B．
点评：本题考查了旋转的性质及直角三角形的性质，得到AP的长度依次增加2，，1，且三次一循环是解题的关键．
考点四：图形的折叠
例7 （2012 遵义）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（　　）
　 A． 3 B． 2 C． 2 D． 2
考点： 翻折变换（折叠问题）。
分析： 首先过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，易证得△ENG≌△BNM（AAS），MN是△BCF的中位线，根据全等三角形的性质，即可求得GN=MN，由折叠的性质，可得BG=3，继而求得BF的值，又由勾股定理，即可求得BC的长．
解答： 解：过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=CF=，
∴NG=，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG﹣NG=3﹣=，
∴BF=2BN=5，
∴BC===2．
故选B．
点评： 此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
例8 （2012 天津）已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．
（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；
（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；
（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；
（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′Q的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m= t2- t+6，即可求得t的值．
解答：解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，
在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．
∵OP2=OB2+BP2，
即（2t）2=62+t2，
解得：t1=2，t2=-2（舍去）．
∴点P的坐标为（2，6）．
（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，
∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，
∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，
∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，
∴∠OPB+∠QPC=90°，
∵∠BOP+∠OPB=90°，
∴∠BOP=∠CPQ．
又∵∠OBP=∠C=90°，
∴△OBP∽△PCQ，
∴，
由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11-t，CQ=6-m．
∴．
∴m= t2- t+6（0＜t＜11）．
（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，
∴∠PEA=∠QAC′=90°，
∴∠PC′E+∠EPC′=90°，
∵∠PC′E+∠QC′A=90°，
∴∠EPC′=∠QC′A，
∴△PC′E∽△C′QA，
∴，
∵PC′=PC=11-t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6-m，
∴AC′=，
∴，
∵m= t2- t+6，
解得：t1=，t2=，
点P的坐标为（，6）或（，6）．
点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．
对应训练
7．（2012 资阳）如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
分析： 首先连接CD，交MN于E，由将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，即可得MN⊥CD，且CE=DE，又由MN∥AB，易得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形对应高的比等于相似比，即可得，又由MC=6，NC=，即可求得四边形MABN的面积．
解答： 解：连接CD，交MN于E，
∵将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，
∴MN⊥CD，且CE=DE，
∴CD=2CE，
∵MN∥AB，
∴CD⊥AB，
∴△CMN∽△CAB，
∴，
∵在△CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，
∴S△CMN=CM CN=×6×2=6，
∴S△CAB=4S△CMN=4×6=24，
∴S四边形MABN=S△CAB﹣S△CMN=24﹣6=18．
故选C．
点评： 此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
8．（2012 深圳）如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC于点F，连接AF、CE，
（1）求证：四边形AFCE为菱形；
（2）设AE=a，ED=b，DC=c．请写出一个a、b、c三者之间的数量关系式．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；
（2）由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC，
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CF=CE，
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
理由：由折叠的性质，得：CE=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AE=a，ED=b，DC=c，
∴CE=AE=a，
在Rt△DCE中，CE2=CD2+DE2，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a2=b2+c2．
点评：此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．
考点五：简单的图形变换作用
例9 （2012 广州）如图，⊙P的圆心为P（-3，2），半径为3，直线MN过点M（5，0）且平行于y轴，点N在点M的上方．
（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′．根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系．
（2）若点N在（1）中的⊙P′上，求PN的长．
考点：作图-轴对称变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直线与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：作图题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等找出点P′的位置，然后以3为半径画圆即可；再根据直线与圆的位置关系解答；
（2）设直线PP′与MN相交于点A，在Rt△AP′N中，利用勾股定理求出AN的长度，在Rt△APN中，利用勾股定理列式计算即可求出PN的长度．
解答：解：（1）如图所示，⊙P′即为所求作的圆，⊙P′与直线MN相交；
（2）设直线PP′与MN相交于点A，
在Rt△AP′N中，AN=，
在Rt△APN中，PN=．
点评：本题考查了利用轴对称变换作图，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，准确找出点P′的位置是解题的关键．
对应训练
9．（2012 凉山州）如图，梯形ABCD是直角梯形．
（1）直接写出点A、B、C、D的坐标；
（2）画出直角梯形ABCD关于y轴的对称图形，使它与梯形ABCD构成一个等腰梯形．
（3）将（2）中的等腰梯形向上平移四个单位长度，画出平移后的图形．（不要求写作法）
考点：作图-轴对称变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直角梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰梯形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；作图-平移变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标即可；
（2）首先求出A，B两点关于y轴对称点，在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，
（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象．
解答：解：（1）如图所示：
根据A，B，C，D，位置得出点A、B、C、D的坐标分别为：
（-2，-1），（-4，-4），（0，-4），（0，-1）；
（2）根据A，B两点关于y轴对称点分别为：A′（2，-1），（4，-4），
在坐标系中找出，连接各点，即可得出图象，如图所示；
（3）将对应点分别向上移动4个单位，即可得出图象，如图所示．
点评：此题主要考查了图形的平移和作轴对称图形，根据已知得出对应点的坐标是解题关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012 烟台）如图，所给图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进行分析可以选出答案．
解答：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误．
故选C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
2. （2012 潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏．如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形．则下列下子方法不正确的是（　　），[说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6，3）]．
A．黑（3，7）；白（5，3） B．黑（4，7）；白（6，2）
C．黑（2，7）；白（5，3） D．黑（3，7）；白（2，6）
考点：利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得出答案．
解答：解：A、若放入黑（3，7）；白（5，3），则此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；
B、若放入黑（4，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；
C、若放入黑（2，7）；白（5，3），则此时黑棋不是轴对称图形，白旗是轴对称图形，故本选项正确；
D、若放入黑（3，7）；白（6，2），则此时黑棋是轴对称图形，白旗也是轴对称图形，故本选项错误；
故选C．
点评：此题考查了轴对称图形的定义，属于基础题，注意将选项各棋子的位置放入，检验是否为轴对称图形，有一定难度，注意细心判断．
3．（2012 泰安）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为（　　）
　 A． 9：4 B． 3：2 C． 4：3 D． 16：9
考点： 翻折变换（折叠问题）。
专题： 数形结合。
分析： 设BF=x，则CF=3﹣x，BF′=x，在Rt△B′CF中，利用勾股定理求出x的值，继而判断△DB′G∽△CFB′，根据面积比等于相似比的平方即可得出答案．
解答： 解：设BF=x，则CF=3﹣x，BF′=x，
又点B′为CD的中点，
∴B′C=1，
在Rt△B′CF中，BF′2=B′C2+CF2，即x2=1+（3﹣x）2，
解得：x=，即可得CF=3﹣=，
∵∠DB′G+∠DGB'=90°，∠DB′G+∠CB′F=90°，
∴∠DGB=∠CB′F，
∴Rt△DB′G∽Rt△CFB′，
根据面积比等于相似比的平方可得：===．
故选D．
点评： 此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是求出FC的长度，然后利用面积比等于相似比的平方进行求解，难度一般．
4．（2012 济宁）如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是（　　）
　 A． 12厘米 B． 16厘米 C． 20厘米 D． 28厘米
考点： 翻折变换（折叠问题）；勾股定理。
分析： 先求出△EFH是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=20，再利用全等三角形的性质解答即可．
解答： 解：设斜线上两个点分别为P、Q，
∵P点是B点对折过去的，
∴∠EPH为直角，△AEH≌△PEH，
∴∠HEA=∠PEH，
同理∠PEF=∠BEF，
∴这四个角互补，
∴∠PEH+∠PEF=90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴△DHG≌△BFE，HEF是直角三角形，
∴BF=DH=PF，
∵AH=HP，
∴AD=HF，
∵EH=12cm，EF=16cm，
∴FH===20cm，
∴FH=AD=20cm．
故选C．
点评： 本题考查的是翻折变换及勾股定理、全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形，再根据直角三角形及全等三角形的性质解答．
5．（2012 德州）在四边形ABCD中，AB=CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只需添加一个条件，这个条件可以是 不唯一，可以是：AB∥CD或AD=BC，∠B+∠C=180°，∠A+∠D=180°等
．（只要填写一种情况）
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：开放型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形．
解答：解：∵AB=CD，
∴当AD=BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等时，四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图象，
故答案为：AD=BC或AB∥CD或∠B+∠C=180°或∠A+∠D=180°等．
点评：本题考查了中心对称图形的定义和平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
6．（2012 日照）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1 ＜
S2（用“＞”、“＜”或“=”填空）．
考点：轴对称的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；实数大小比较 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积，首先利用勾股定理算出OD的长，进而得到OA的长，再算出AC的长，即可表示出矩形ACDF的面积；图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的是 ，计算出结果后再比较S1与S2的大小即可．
解答：解：∵OE=1，
∴由勾股定理得OD=，
∴AO=，
∴AC=AO-CO=-1，
∴S阴影=S矩形=（-1）×1=-1，
∵大圆面积=πr2=π
∴阴影部分面积=π．
∵-1＜π，
∴S1＜S2，
故答案为：＜．
点评：此题主要考查了轴对称图形的性质以及正方形性质，根据已知得出AC=AO-CO= -1，进而得出矩形DCAF的面积是解题关键．
7．（2012 临沂）如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE=70°，则∠CAD= 70
°．
考点：轴对称的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行线的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先证明四边形BDEC是菱形，然后求出∠ABD的度数，再利用三角形内角和等于180°求出∠BAD的度数，然后根据轴对称性可得∠BAC=∠BAD，然后求解即可．
解答：解：∵CD与BE互相垂直平分，
∴四边形BDEC是菱形，
∴DB=DE，
∵∠BDE=70°，
∴∠ABD==55°，
∵AD⊥DB，
∴∠BAD=90°-55°=35°，
根据轴对称性，四边形ACBD关于直线AB成轴对称，
∴∠BAC=∠BAD=35°，
∴∠CAD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°．
故答案为：70．
点评：本题考查了轴对称的性质，三角形的内角和定理，判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关于直线AB成轴对称是解题的关键．
8．（2012 菏泽）（1）如图1，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件： ∠D=∠B或∠AED=∠C．
，使△ABC∽△ADE．
（2）如图2，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据相似三角形的判定定理再补充一个相等的角即可；
（2）先根据勾股定理求出BE的长，进而可得出CE的长，求出E点坐标，在Rt△DCE中，由DE=OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标．
解答：解：（1）∠D=∠B或∠AED=∠C．
（2）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴，
∴在Rt△ABE中，AE=AO=10，AB=8，BE==6，
∴CE=4，
∴E（4，8）．
在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，
又∵DE=OD，
∴（8-OD）2+42=OD2，，
∴OD=5，
∴D（0，5）．
点评：本题考查的是图形的翻折变换、勾股定理及相似三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
9．（2012 青岛）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 ．
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据直角三角形的性质求出BC、AB的长，再根据图形旋转的性质得出AC=A′C，BC=B′C，再由A′B=A′C即可得出∠A′CB=30°，故可得出∠BCB′=60°，进而判断出△BCB′是等边三角形，故可得出结论．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴A′C=AC=1，AB=2，BC=，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=1，
∴A′C=A′B′，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，
∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，
∴∠B′CB=90°-30°=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC=．
故答案为：．
点评：本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定定理，熟知旋转前后的图形全等是解答此题的关键．
10.（2012 济南）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于 8
．
考点：平移的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，可得四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式即可求解．
解答：解：∵将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，平移距离为2，
∴AD∥BE，AD=BE=2，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴四边形ABED的面积=BE×AC=2×4=8．
故答案为8．
点评：本题主要考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 丽水）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是（　　）
A．① B．② C．⑤ D．⑥
考点：生活中的轴对称现象 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，动手操作即可．
解答：解：如图，求最后落入①球洞；
故选：A．
点评：本题主要考查了生活中的轴对称现象；结合轴对称的知识画出图形是解答本题的关键．
2. （2012 重庆）下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合是解题的关键．
3. （2012 宜昌）在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是（　　）
A． B． C． D．
考点：轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选B．
点评：本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．（2012 自贡）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选：C．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．
5．（2012 资阳）下列图形：①平行四边形；②菱形；③圆；④梯形；⑤等腰三角形；⑥直角三角形；⑦国旗上的五角星．这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．
解答：解：①平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形；
②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；
③圆是中心对称图形，也是轴对称图形；
④梯形不是中心对称图形，等腰梯形是轴对称图形，一般梯形不是轴对称图形；
⑤等腰三角形不是中心对称图形，是轴对称图形；
⑥直角三角形不是中心对称图形，也不是轴对称图形；
⑦国旗上的五角星不是中心对称图形，是轴对称图形，
故是轴对称图形又是中心对称图形的有②③，
故选：B．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．
6．（2012 岳阳）岳阳楼是江南三大名楼之一，享有“洞庭天下水，岳阳天下楼”的盛名，从图中看，你认为它是（　　）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
考点：中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；轴对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称及中心对称的定义，结合图形即可作出判断．
解答：解：由图形可得，岳阳楼是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选A．
点评：此题考查了轴对称及中心对称图形的判定，属于基础题，掌握轴对称及中心对称的定义是解答本题的关键．
7．（2012 十堰）点P（-2，3）关于x轴对称点的坐标是（　　）
A．（-3，2） B．（2，-3） C．（-2，-3） D．（2，3）
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解．
解答：解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，
∴点P（-2，3）关于x轴对称点的坐标是（-2，-3 ）．
故选C．
点评：本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律，注意结合图象，进行记忆和解题．
8．（2012 深圳）已知点P（a-1，2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（　　）
A．a＜-1 B． C． D．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一元一次不等式组的应用 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，再根据各象限内的点的坐标的特点列出不等式组求解即可．
解答：解：∵点P（a-1，2a-3）关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P在第四象限，
∴，
解不等式①得，a＞1，
解不等式②得，a＜，
所以，不等式组的解集是1＜a＜．
故选B．
点评：本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，以及各象限内点的坐标的特点，判断出点P在第四象限是解题的关键．
9．（2012 孝感）如图，△ABC在平面直角坐标系中第二象限内，顶点A的坐标是（-2，3），先把△ABC向右平移4个单位得到△A1B1C1，再作△A1B1C1关于x轴对称图形△A2B2C2，则顶点A2的坐标是（　　）
A．（-3，2） B．（2，-3） C．（1，-2） D．（3，-1）
考点：坐标与图形变化-对称 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形变化-平移 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，让A的横坐标加4即可得到平移后A1的坐标；再把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，那么点A2的横坐标不变，纵坐标为A1的纵坐标的相反数．
解答：解：∵将△ABC向右平移4个单位得△A1B1C1，
∴A1的横坐标为-2+4=2；纵坐标不变为3；
∵把△A1B1C1以x轴为对称轴作轴对称图形△A2B2C2，
∴A2的横坐标为2，纵坐标为-3；
∴点A2的坐标是（2，-3）．
故答案为：（2，-3）．
点评：本题考查了坐标与图形的变化--对称及平移的知识；认真观察图形，根据各种特点做题是正确解答本题的关键．
10．（2012 南通）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，若线段M′N′与MN关于y轴对称，则点M的对应点M′的坐标为（　　）
A．（4，2） B．（-4，2） C．（-4，-2） D．（4，-2）
考点：坐标与图形变化-对称 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据坐标系写出点M的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数，即可得出M′的坐标．
解答：解：根据坐标系可得M点坐标是（-4，-2），
故点M的对应点M′的坐标为（4，-2），
故选：D．
点评：此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握关于y轴对称点的坐标的变化特点．
12. （2012 遵义）把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是（　　）
A． B． C． D．
考点：剪纸问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：结合空间思维，分析折叠的过程及剪菱形的位置，注意图形的对称性，易知展开的形状．
解答：解：当正方形纸片两次沿对角线对折成为一直角三角形时，在直角三角形中间的位置上剪三角形形，则直角顶点处完好，即原正方形中间无损，且三角形关于对角线对称，三角形的AB边平行于正方形的边．
故选C．
点评：本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏逻辑推理能力，需要在平时生活中多加培养．
13．（2012 西宁）如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（　　）
A．45° B．120° C．60° D．90°
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据旋转性质得出旋转后A到B，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOB即可．
解答：
解：将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，
即旋转角是90°，
故选D．
点评：本题考查了旋转的性质和正方形性质，主要考查学生的理解能力和推理能力，题型较好，难度适中．
14．（2012 苏州）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，则∠AOB′的度数是（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据旋转的性质旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，进而得出答案即可．
解答：解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，
∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，
∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB=45°-15°=30°，
故选：B．
点评：此题主要考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°是解题关键．
15. （2012 台州）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，PC，则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴CP′=BC sinB=2×=．
故选B．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（2012 兰州）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（　　）
A．130° B．120° C．110° D．100°
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
解答：解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB=120°，
∴∠HAA′=60°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，
故选：B．
点评：此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
17．（2012 舟山）如图，已知△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把△ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得△AB′D，则△ABC与△AB′D重叠部分的面积为（　　）
　 A． B． C． 3﹣ D．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
分析： 首先过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，由△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，利用等腰三角形的性质，即可求得AC的长，又由折叠的性质，易得∠CDB′=90°，∠B′=30°，B′C=AB′﹣AC=2﹣2，继而求得CD与B′D的长，然后求得高DE的长，继而求得答案．
解答： 解：过点D作DE⊥AB′于点E，过点C作CF⊥AB，
∵△ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，
∴AC=BC，
∴AF=AB=，
∴AC===2，
由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，
∵∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，
∴∠CDB′=90°，
∵B′C=AB′﹣AC=2﹣2，
∴CD=B′C=﹣1，B′D=B′C cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，
∴DE===，
∴S阴影=AC DE=×2×=．
故选A．
点评： 此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．
　
　
19．（2012 武汉）如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（　　）
　 A． 7 B． 8 C． 9 D． 10
考点： 翻折变换（折叠问题）。
专题： 探究型。
分析： 先根据翻折变换的性质得出EF=AE=5，在Rt△BEF中利用勾股定理求出BE的长，再根据AB=AE+BE求出AB的长，再由矩形的性质即可得出结论．
解答： 解：∵△DEF由△DEA翻折而成，
∴EF=AE=5，
在Rt△BEF中，
∵EF=5，BF=3，
∴BE===4，
∴AB=AE+BE=5+4=9，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=9．
故选C．
点评： 本题考查的是图形的翻折变换，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
二、填空题
20．（2012 宁夏）点B（-3，4）关于y轴的对称点为A，则点A的坐标是 （3，4）
．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答．
解答：解：点B（-3，4）关于y轴的对称点为A（3，4）．
故答案为：（3，4）．
点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
21．（2012 大庆）在直角坐标系中，C（2，3），C′（-4，3），C″（2，1），D（-4，1），A（0，a），B（a，O）（a＞0）．
（1）结合坐标系用坐标填空．
点C与C′关于点 （-1，3）
对称；
点C与C″关于点 （2，2）
对称；
点C与D关于点 （-1，2）
对称；
（2）设点C关于点（4，2）的对称点是点P，若△PAB的面积等于5，求a值．
考点：坐标与图形变化-对称 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据对称的性质，分别找出两对称点连线的中点即可；
（2）先求出点P的坐标，再利用△APB所在的梯形的面积减去两个直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
解答：解：（1）由图可知，点C与C′关于点（-1，3）对称； 点C与C″关于点（2，2）对称；点C与D关于点（-1，2）对称；
故答案为：（-1，3），（2，2），（-1，2）；
（2）点C关于点（4，2）的对称点P（6，1），
△PAB的面积=（1+a）×6-a2-×1×（6-a）=5，
整理得，a2-7a+10=0，
解得a1=2，a2=5，
所以，a的值为2或5．
点评：本题考查了坐标与图形的变化-对称，以及坐标与图形的性质，明确两点关于这两点连线的中点对称是解题的关键，（2）中△PAB的面积用所在梯形的面积减去两个直角三角形的面积表示是解题的关键．
22.（2012 遵义）在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有 13
种．
考点：利用轴对称设计图案 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
解答：解：如图所示：
故一共有13种做法，
故答案为：13．
点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
24．（2012 莆田）点A、B均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P是x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，Q是y轴上使得QA+QB的值最小的点，则OP OQ= 5
．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接AB并延长交x轴于点P，作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，求出点Q与y轴的交点坐标即可得出结论．
解答：解：连接AB并延长交x轴于点P，由三角形的三边关系可知，点P即为x轴上使得|PA-PB|的值最大的点，
∵点B是正方形的中点，
∴点P即为AB延长线上的点，此时P（3，0）即OP=3；
作A点关于y轴的对称点A′连接A′B交y轴于点Q，则A′B即为QA+QB的最小值，
∵A′（-1，2），B（2，1），
设过A′B的直线为：y=kx+b，则，
解得，
∴Q（0，），即OQ=，
∴OP OQ=3×=5．
故答案为：5．
点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意得出P、Q两点的坐标是解答此题的关键．
25．（2012 玉林）如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C′与AB相交于点D，则C′D= ．
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据等边三角形的判定得出△BCC′是等边三角形，再利用已知得出DC′是△ABC的中位线，进而得出DC′= BC= ．
解答：解：∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，
∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5，
∴△BCC′是等边三角形，
∴CC′=5，
∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，
∴C′D∥BC，
∴DC′是△ABC的中位线，
∴DC′=BC=，
故答案为：．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的判定和中位线的性质，根据已知得出DC′是△ABC的中位线是解题关键．
26．（2012 厦门）如图，点D是等边△ABC内的一点，如果△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了 60
度．
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据等边三角形的性质得到AC=AB，∠CAB=60°，而△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，则AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置，根据旋转的性质得到旋转角为60°．
解答：解：∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
又∵△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，
∴AB绕点A逆时针旋转了∠BAC到AC的位置，
∴旋转角为60°．
故答案为60．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等边三角形的性质．
27．（2012 攀枝花）如图，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PE+PB的最小值为 ．
考点：轴对称-最短路线问题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．
解答：解：连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中，
DE=．
故答案为：2．
点评：本题考查了轴对称-最短路线问题和正方形的性质，根据两点之间线段最短，可确定点P的位置．
28．（2012 岳阳）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上，若AB=3，BC=4，则BD= 　　．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
分析： 由题意可得∠AB′D=∠B=90°，AB′=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得B′C的长，然后设BD=B′D=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，由勾股定理CD2=B′C2+B′D2，即可得方程，解方程即可求得答案．
解答： 解：如图，点B′是沿AD折叠，点B的对应点，连接B′D，
∴∠AB′D=∠B=90°，AB′=AB=3，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∴B′C=AC﹣AB′=5﹣3=2，
设BD=B′D=x，则CD=BC﹣BD=4﹣x，
在Rt△CDB′中，CD2=B′C2+B′D2，
即：（4﹣x）2=x2+4，
解得：x=，
∴BD=．
故答案为：．
点评： 此题考查了折叠的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用，注意掌握折叠中的对应关系．
　
29．（2012 扬州）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果，那么tan∠DCF的值是 ．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
分析： 由矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，即可得BC=CF，CD=AB，由，可得，然后设CD=2x，CF=3x，利用勾股定理即可求得DF的值，继而求得tan∠DCF的值．
解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，
∴CF=BC，
∵，
∴，
设CD=2x，CF=3x，
∴DF==x，
∴tan∠DCF===．
故答案为：．
点评： 此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理．此题比较简单，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．
　
20．（2012 台州）如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=　 　度．
考点： 翻折变换（折叠问题）。
分析： 由四边形ABCD是正方形，可得AB=BC，∠CBD=45°，又由折叠的性质可得：A′B=AB，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠BA′C的度数．
解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠CBD=45°，
根据折叠的性质可得：A′B=AB，
∴A′B=BC，
∴∠BA′C=∠BCA′===67.5°．
故答案为：67.5．
点评： 此题考查了折叠的性质与正方形的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
　
三、解答题
30．（2012 江西） 如图，已知正五边形ABCDE，请用无刻度的直尺，准确地画出它的一条对称轴（保留作图痕迹）．
考点：作图-轴对称变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：作图题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据正五边形的对称性，先任意作出两条对角线相交于一点，然后过第五个顶点与这个交点作出对称轴即可．
解答：解：如图所示，直线AK即为所求的一条对称轴（解答不唯一）．
点评：本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握正五边形的对称性是解题的关键．
31．（2012 乐山）如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1；（要求：A与A1，B与B1，C与C1相对应）
（2）在（1）问的结果下，连接BB1，CC1，求四边形BB1C1C的面积．
考点：作图-轴对称变换 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）关于轴对称的两个图形，各对应点的连线被对称轴垂直平分．做BM⊥直线l于点M，并延长到B1，使B1M=BM，同法得到A，C的对应点A1，C1，连接相邻两点即可得到所求的图形；
（2）由图得四边形BB1 C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4，根据梯形的面积公式进行计算即可．
解答：解（1）如图，△A1B1C1 是△ABC关于直线l的对称图形．
（2）由图得四边形BB1C1C是等腰梯形，BB1=4，CC1=2，高是4．
∴S四边形BB1C1C= (BB1+CC1)×4，
= (4+2)×4=12．
点评：此题主要考查了作轴对称变换，在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
32. （2012 兰州）如图（1），矩形纸片ABCD，把它沿对角线BD向上折叠，
（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）折叠后重合部分是什么图形？说明理由．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据折叠的性质，可以作∠BDF=∠BDC，∠EBD=∠CBD，则可求得折叠后的图形．
（2）由折叠的性质，易得∠FDB=∠CDB，又由四边形ABCD是矩形，可得AB∥CD，即可证得∠FDB=∠FBD，即可证得△FBD是等腰三角形．
解答：解：（1）做法参考：
方法1：作∠BDG=∠BDC，在射线DG上截取DE=DC，连接BE；
方法2：作∠DBH=∠DBC，在射线BH上截取BE=BC，连接DE；
方法3：作∠BDG=∠BDC，过B点作BH⊥DG，垂足为E
方法4：作∠DBH=∠DBC，过，D点作DG⊥BH，垂足为E；
方法5：分别以D、B为圆心，DC、BC的长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE、BE
（做法合理均可得分）
∴△DEB为所求做的图形．
（2）等腰三角形．
证明：∵△BDE是△BDC沿BD折叠而成，
∴△BDE≌△BDC，
∴∠FDB=∠CDB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴∠FDB=∠BDC，
∴△BDF是等腰三角形．
33. （2012 荆门）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．
（1）请根据题意用实线补全图形；
（2）求证：△AFB≌△AGE．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据题意画出图形，注意折叠与旋转中的对应关系；
（2）由题意易得△ABC≌△AED，即可得AB=AE，∠ABC=∠E，然后利用ASA的判定方法，即可证得△AFB≌△AGE．
解答：解：（1）画图，如图；
（2）证明：由题意得：△ABC≌△AED．
∴AB=AE，∠ABC=∠E．
在△AFB和△AGE中，
∴△AFB≌△AGE（ASA）．
点评：此题考查了折叠与旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．此题考查了学生的动手能力，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠与旋转中的对应关系．
34.（2012 吉林）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在 上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
考点：翻折变换（折叠问题） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先连接OD，由折叠的性质，可得CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，则可得△OBD是等边三角形，继而求得OC的长，即可求得△OBC与△BCD的面积，又由在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6，即可求得扇形OAB的面积与的长，继而求得整个阴影部分的周长和面积．
解答：解：连接OD．
根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，∠DBC=∠OBC，
∴OB=OD=BD，
即△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∴∠CBO=∠DBO=30°，
∵∠AOB=90°，
∴OC=OB tan∠CBO=6×=2，
∴S△BDC=S△OBC=×OB×OC=×6×2=6，S扇形AOB=π×62=9π，=π×6=3π，
∴整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+=AC+OC+OB+=OA+OB+=6+6+3π=12+3π；
整个阴影部分的面积为：S扇形AOB-S△BDC-S△OBC=9π-6-6=9π-12．
点评：此题考查了折叠的性质、扇形面积公式、弧长公式以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
36. （2012 鸡西）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN
（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．
（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN= ∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；梯形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根据等腰梯形的性质可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM绕点B顺时针旋转90°，点A与点C重合，点M到达点M′，根据旋转变换的性质，△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，根据全等三角形对应角相等可得∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后证明M′、C、N三点共线，再利用“边角边”证明△BMN和△BM′N全等，然后根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）在∠CBN内部作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，然后证明∠C=∠BAM，再利用“角边角”证明△ABM和△CBM′全等，根据全等三角形对应边相等可得AM=CM′，BM=BM′，再证明∠MBN=∠M′BN，利用“边角边”证明△MBN和△M′BN全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=M′N，从而得到MN=CN-AM．
解答：解：（1）MN=AM+CN．
理由如下：
如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠A+∠BCD=180°，
把△ABM绕点B顺时针旋转90°到△CBM′，则△ABM≌△CBM′，
∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°，
∴点M′、C、M三点共线，
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△BMN和△BM′N中，
∵，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），
∴MN=M′N，
又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，
∴MN=AM+CN；
（2）MN=CN-AM．
理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM交CN于点M′，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°，
又∵∠BAD+∠BAM=180°，
∴∠C=∠BAM，
在△ABM和△CBM′中，
∵，
∴△ABM≌△CBM′（ASA），
∴AM=CM′，BM=BM′，
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN=∠ABC，
∴∠MBN=∠M′BN，
在△MBN和△M′BN中，
∵，
∴△MBN≌△M′BN（SAS），
∴MN=M′N，
∵M′N=CN-CM′=CN-AM，
∴MN=CN-AM．
点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋转变换作辅助线，构造出全等三角形，把MN、AM、CN通过等量转化到两个全等三角形的对应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高．
37. （2012 北京）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且
PQ=QD，请直接写出α的范围．
考点：旋转的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案；
（2）首先利用已知得出△APD≌△CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；
（3）由（2）得出∠CDB=90°-α，且PQ=QD，进而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，得出α的取值范围即可．
解答：解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，AM=MC，
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴∠ACQ=60°，
∴∠CDB=30°；
（2）如图1，连接PC，AD，
∵AB=BC，M是AC的中点，
∴BM⊥AC，
∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
在△APD与△CPD中，
∵，
∴△APD≌△CPD，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD，
∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，
∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
∴2∠CDB=180°-2α，
∴∠CDB=90°-α；
（3）如图2，延长BM，CQ交于点D，
∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∵P点是动点，∠BAD最大为2α，∠MAD最大等于α，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°是解题关键．2013年中考数学专题复习第十七讲 三角形与全等三角形
【基础知识回顾】
三角形的概念：
1、由 直线上的三条线段 组成的图形叫三角形
2、三角形的基本元素：三角形有 条边 个顶点 个内角
二、三角形的分类：
按边可分为 三角形和 三角形，按角可分为 三角形 三角形 三角形
【名师提醒：等边三角形属于特殊的 三角形，锐角三角形和钝角三角形有事称为 三角形】
三、三角形的性质：
1、三角形的内角和是 三角形的任意一个外角 和它不相得两个内角的和三角形的一个外角 任意一个和它不相邻的内角
2、三角形任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边
3、三角形具有 性
【名师提醒：1、三角形的外角是指三角形一边和另一边的 组成的角，三角形有 个外角，三角形的外角和事 ，是其中 各外角的和
2、三角形三边关系定理是确定三条线段否构成三角形和判断限度间不等关系的主要依据】
四、三角形中的主要线段：
1、角平分线：三角形的三条角平分线都在三角形 部 且交于一点，这些是三角形的 心 它到 得距离相等
2、中线：三角形的三条中线都在三角形 部，且交于一点
3、高线：不同三角 形 的 三 条高线位置不同，锐角三角形三条高都连三角形 直角三角形有一条高线在 部，另两条河 重合，钝角三角形有一条高线在三角形 部，两条在三角形 部
4、中位线：连接三角形任意两边 的线段叫做三角形的中位线。
定理：三角形的中位线 第三边且等于第三边的
【名师提醒：三角形的平分线、中线、高线、中位线都是 且都有 条】
五、全等三角形的概念和性质：
1、 的两个三角形叫做全等三角形
2、性质：全等三角形的 、 分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应
【名师提醒：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据】
全等三角形的判定：
1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为 ②角边角：简记为 ③角角边：简记为 ④边边边：简记为
2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用 来判定
【名师提醒：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组 对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的
2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字】
【重点考点例析】
考点一：三角形内角、外角的应用
例1 （2012 南通）如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（　　）
A．360° B．250° C．180° D．140°
思路分析：先利用三角形内角与外角的关系，得出∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4），再根据三角形内角和定理即可得出结果．
解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，
∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，
即∠1+∠2=∠C+（∠C+∠3+∠4）=70°+180°=250°．
故选B．
点评：此题主要考查了三角形内角和定理及外角的性质，三角形内角和是180°；三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和．
对应训练
1．（2012 泉州）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D、E分别在BC、AC的延长线上，则∠1= °．
1．80
分析：先根据三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再根据对顶角相等求出∠1的度数即可．
解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-60°-40°=80°，
∴∠1=∠ACB=80°．
故答案为：80．
点评：本题考查的是三角形的内角和定理，即三角形内角和是180°．
考点二：三角形三边关系
例2 （2012 泸州）已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（　　）
A．13 B．11 C．11 或13 D．12或15
2．分析：首先从方程x2-6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
解：由方程x2-6x+8=0，得：
解得x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为4+3+6=13．
故选A．
点评：考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
对应训练
1．（2012 义乌市）如果三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
思路分析：根据三角形三边关系，可令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，又因为第三边长为偶数，所以第三边长是4，6．问题可求．
解：由题意，令第三边为X，则5-3＜X＜5+3，即2＜X＜8，
∵第三边长为偶数，∴第三边长是4或6．
∴三角形的三边长可以为3、5、4．
故选：C．
点评：此题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解决此类问题的关键．
考点三：三角形全等的判定
例3 （2012 乐山）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四边形CEDF不可能为正方形；
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；
④点C到线段EF的最大距离为．
其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
思路分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
②当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
③由割补法可知四边形CDFE的面积保持不变；
④△DEF是等腰直角三角形DE= EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．
解：①如图，连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；
③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
可以利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此选项错误；
④△DEF是等腰直角三角形DE=EF，
当EF∥AB时，即EF取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离为．故此选项正确；
故正确的有2个，
故选：B．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CDFE的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．
例4 （2012 珠海）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．
求证：（1）△ADA′≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．
思路分析：（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED；
（2）首先由AC=A′C，可得点C在AA′的垂直平分线上；再证明△AEB′≌△A′ED，可得AE=A′E，进而得到点E也在AA′的垂直平分线上，再根据两点确定一条直线可得直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∴∠A′DE=90°，
根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，，
∴∠A′ED=45°，
∴A′D=DE，
在△AA′D和△CED中： AD=CD，∠ADA′=∠EDC，A′D=ED，
∴△AA′D≌△CED（SAS）；
（2）∵AC=A′C，
∴点C在AA′的垂直平分线上，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠CAE=45°，
∵AC=A′C，CD=CB′，
∴AB′=A′D，
在△AEB′和△A′ED中：∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED ，AB′=A′D，
∴△AEB′≌△A′ED，
∴AE=A′E，
∴点E也在AA′的垂直平分线上，
∴直线CE是线段AA′的垂直平分线．
点评：此题主要考查了正方形的性质，以及旋转的性质，关键是熟练掌握正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；找准旋转后相等的线段．
对应训练
3．（2012 鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）= BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．分析：先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB= BC，从而判断①；
设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△AEF=-（x-a）2+a2，
S△ABC=×a2=a2，再根据二次函数的性质即可判断②；
由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为a，而AD=a，所以EF≥AD，从而④错误；
先得出S四边形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD EF≥AD2，∴AD EF＞S四边形AEDF，所以③错误；
如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．
解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=．
故①正确；
设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．
∵S△AEF=AE AF=x（a-x）=-（x-a）2+a2，
∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，
又∵S△ABC=×a2=a2，
∴S△AEF≤S△ABC．
故②正确；
EF2=AE2+AF2=x2+（a-x）2=2（x-a）2+1 2 a2，
∴当x=a时，EF2取得最小值a2，
∴EF≥a（等号当且仅当x= a时成立），
而AD=a，∴EF≥AD．
故④错误；
由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=1 2 AD2，
∵EF≥AD，∴AD EF≥AD2，∴AD EF＞S四边形AEDF
故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．
故选C．点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
4．（2012 肇庆）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．
求证：（1）BC=AD；
（2）△OAB是等腰三角形．
4．分析：（1）根据AC⊥BC，BD⊥AD，得出△ABC与△BAD是直角三角形，再根据AC=BD，AB=BA，得出△ABC≌△BAD，即可证出BC=AD，
（2）根据△ABC≌△BAD，得出∠CAB=∠DBA，从而证出OA=OB，△OAB是等腰三角形．
证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴△ABC与△BAD是直角三角形，
在△ABC和△BAD中，
∵ AC=BD， AB=BA， ∠ACB=∠ADB ，
∴△ABC≌△BAD，
∴BC=AD，
（2）∵△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA，
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形．
点评：本题考查了全等三角形的判定及性质；用到的知识点是全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等，全等三角形的判定是重点，本题是道基础题，是对全等三角形的判定的训练．
考点四：全等三角形开放性问题
例5 （2012 义乌市）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上分别取点E、F，连接CE、BF．添加一个条件，使得△BDF≌△CDE，并加以证明．你添加的条件是 ．（不添加辅助线）．
思路分析：由已知可证∠ECD﹦∠FBD，又∠EDC﹦∠FDB，因为三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．故添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）；
解：（1）添加的条件是：DE=DF（或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等）．
（2）证明：在△BDF和△CDE中
∵ ，
∴△BDF≌△CDE．
点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
对应训练
5．（2012 衡阳）如图，AF=DC，BC∥EF，请只补充一个条件，使得△ABC≌△DEF，并说明理由．
5．分析：首先由AF=DC可得AC=DF，再由BC∥EF根据两直线平行，内错角相等可得∠EFD=∠BCA，再加上条件EF=BC即可利用SAS证明△ABC≌△DEF．
解：补充条件：EF=BC，可使得△ABC≌△DEF．理由如下：
∵AF=DC，
∴AF+FC=DC+FC，
即：AC=DF，
∵BC∥EF，
∴∠EFD=∠BCA，
在△EFD和△BCA中， EF=BC ∠EFD=∠BCA EF=BC ，
∴△EFD≌△BCA（SAS）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．
【聚焦山东中考】
1.（2012 烟台）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为 度．
1.85
分析：先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．解答：解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，
∴∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°，
∴∠BMD=180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°．
故答案为：85．点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
2．（2012 聊城）将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是（　　）
A．75° B．90° C．105° D．120°
2．分析：先根据直角三角形的性质得出∠BAE及∠E的度数，再由三角形内角和定理及对顶角的性质即可得出结论．解答：解：∵图中是一副直角三角板，
∴∠BAE=45°，∠E=30°，
∴∠AFE=180°-∠BAE-∠E=105°，
∴∠α=105°．
故选C．
点评：本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．
3．（2012 德州）不一定在三角形内部的线段是（　　）
A．三角形的角平分线 B．三角形的中线 C．三角形的高 D．三角形的中位线
3．分析：根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答．解答：
解：因为在三角形中，
它的中线、角平分线一定在三角形的内部，
而钝角三角形的高在三角形的外部．
故选C．
点评：本题考查了三角形的高、中线和角平分线，要熟悉它们的性质方可解答．
4．（2012 济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（　　）
A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
4．分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
解：如图，连接NC，MC，
在△ONC和△OMC中
，
∴△ONC≌△OMC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC，
故选A．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定的应，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题型较好，难度适中．
5．（2012 滨州）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= ．
5．40°
分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠B的度数，再根据三角形外角的性质可求出∠ADC的度数，再由三角形内角和定理解答即可．
解：∵AB=AD，∠BAD=20°，
∴∠B==80°，
∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°，
∵AD=DC，
∴∠C==40°．
点评：本题涉及到三角形的内角和定理、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，属较简单题目．
6．（2012 潍坊）如图所示，AB=DB，∠ABD=∠CBE，请你添加一个适当的条件 ，使△ABC≌△DBE．（只需添加一个即可）
6．∠BDE=∠BAC
分析：根据∠ABD=∠CBE可以证明得到∠ABC=∠DBE，然后根据利用的证明方法，“角边角”“边角边”“角角边”分别写出第三个条件即可．
解：∵∠ABD=∠CBE，
∴∠ABD+∠ABE=∠CBE+∠ABE，
即∠ABC=∠DBE，
∵AB=DB，
∴①用“角边角”，需添加∠BDE=∠BAC，
②用“边角边”，需添加BE=BC，
③用“角角边”，需添加∠ACB=∠DEB．
故答案为：∠BDE=∠BAC或BE=BC或∠ACB=∠DEB．（写出一个即可）
点评：本题考查了全等三角形的判定，根据已知条件有一边与一角，根据不同的证明方法可以选择添加不同的条件，需要注意，不能使添加的条件符合“边边角”，这也是本题容易出的地方．
7．（2012 临沂）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= cm．
7．3
分析：根据直角三角形的两锐角互余的性质求出∠ECF=∠B，然后利用“角边角”证明△ABC和△FEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=EF，再根据AE=AC-CE，代入数据计算即可得解．
解：∵∠ACB=90°，
∴∠ECF+∠BCD=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∴∠ECF=∠B，
在△ABC和△FEC中， ∠ECF=∠B EC=BC ∠ACB=∠FEC=90° ，
∴△ABC≌△FEC（ASA），
∴AC=EF，
∵AE=AC-CE，BC=2cm，EF=5cm，
∴AE=5-2=3cm．
故答案为：3．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的性质证明得到∠ECF=∠B是解题的关键．
8．（2012 济宁）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO= ．
8．
分析：根据等边三角形性质和三线合一定理求出∠BAF=30°，推出AB=AE，根据SAS证△BAO≌△EAO，推出∠AEO=∠ABO=30°即可．解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∠ABC=60°，AB=BC，
∵BF⊥AC，
∴∠ABF=∠ABC=30°，
∵AB=AC，AE=AC，
∴AB=AE，
∵AO平分∠BAE，
∴∠BAO=∠EAO，
∵在△BAO和△EAO中
∵ AB=AE，∠BAO=∠EAO， AO=AO ，
∴△BAO≌△EAO，
∴∠AEO=∠ABO=30°，
∴tan∠AEO=tan30°=，
故答案为：．点评：本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值等知识点的应用，关键是证出∠AEO=∠ABO，题目比较典型，难度适中．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 云南）如图，在△ABC中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD的度数为（　　）
A．40° B．45° C．50° D．55°
1．分析：首先利用三角形内角和定理求得∠BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得∠CAD的度数即可．
解：∵∠B=67°，∠C=33°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-67°-33°=80°
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAC=×80°=40°
故选A．
点评：本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单．三角形内角和定理在小学已经接触过．
2．（2012 梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）
A．150° B．210° C．105° D．75°
2．分析：先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．
解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，
∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，
∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°-75°=105°，
∴∠1+∠2=360°-2×105°=150°．
故选A．
点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3．（2012 漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
3．分析：根据直角三角形的两锐角互余求出∠1的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图，∠1=90°-60°=30°，
所以，∠α=45°+30°=75°．
故选C．
点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．（2012 广东）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是（　　）
A．5 B．6 C．11 D．16
4．分析：设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的值即可．
解：设此三角形第三边的长为x，则10-4＜x＜10+4，即6＜x＜14，四个选项中只有11符合条件．
故选C．
点评：本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5．（2012 郴州）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　）
A．1cm，2cm，4cm B．4cm，6cm，8cm C．5cm，6cm，12cm D．2cm，3cm，5cm
5．分析：根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：根据三角形的三边关系，知
A、1+2＜4，不能组成三角形；
B、4+6＞8，能够组成三角形；
C、5+6＜12，不能组成三角形；
D、2+3=5，不能组成三角形．
故选B．
点评：此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
6．（2012 玉林）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC≠BD，则图中全等三角形有（　　）
A．4对 B．6对 C．8对 D．10对
6．分析：根据菱形四边形等，对角线互相垂直且平分，结合全等三角形的判定即可得出答案．
解：图中全等三角形有：△ABO≌△ADO、△ABO≌△CDO，△ABO≌△CBO；
△AOD≌△COD，△AOD≌△COB；
△DOC≌△BOC；
△ABD≌△CBD，
△ABC≌△ADC，
共8对．
故选C．
点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的性质，注意掌握全等三角形的几个判定定理，在查找时要有序的进行，否则很容易出错．
7．（2012 贵阳）如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF
7．分析：全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．
解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选B．
点评：本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
三、填空题
8．（2012 呼和浩特）如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
8．66.5°
分析：根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+
ACF=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）= ；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF；
又∵∠B=47°（已知），∠B+∠BAC+∠BCA=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+ ACF=（∠B+∠ACB）+（∠B+∠BAC）=（∠B+∠B+∠BAC+∠BCA）=（外角定理），
∴∠AEC=180°-（∠DAC+ACF）=66.5°；
故答案是：66.5°．
点评：本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．
9．（2012 娄底）如图，FE∥ON，OE平分∠MON，∠FEO=28°，则∠MFE= 度．
9．56
分析：先根据平行线的性质得出∠NOE=∠FEO，再根据角平分线的性质得出∠NOE=∠EOF，由三角形外角的性质即可得出结论．
解：∵FE∥ON，∠FEO=28°，
∴∠NOE=∠FEO=28°，
∵OE平分∠MON，
∴∠NOE=∠EOF=28°，
∵∠MFE是△EOF的外角，
∴∠MFE=∠NOE+∠EOF=28°+28°=56°．
故答案为：56．
点评：本题考查的是三角形外角的性质，即三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和．
10．（2012 白银）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°，则∠A= 度．
10．50
分析：根据等角对等边的性质可得∠A=∠B，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠A+∠B=∠ACE，
∴∠A=∠ACE=×100°=50°．
故答案为：50．
点评：本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等边对等角的性质，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．
11．（2012 绥化）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是 ．
11．11或13
分析：题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．解答：解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；
②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．
故答案为：11或13．点评：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
12．（2012 柳州）如图，在△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= °．
12．40
分析：根据角平分线的性质得出∠ABD=∠DBC进而得出∠DBC的度数．解答：解：∵BD是∠ABC的角平分线，∠ABC=80°，
∴∠DBC=∠ABD=∠ABC=×80°=40°，
故答案为：40．
点评：此题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线性质得出∠ABD=∠DBC是解题关键．
13．（2012 绵阳）如图，BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，则应添加的一个条件
为 ．（答案不唯一，只需填一个）．
13．AC=CD
分析：根据∠1=∠2，求出∠BCA=∠ECD，根据SAS证明亮三角形全等即可．解答：解：添加的条件是AC=CD，
理由是：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠ECA=∠2+∠ECA，
∴∠BCA=∠ECD，
∵在△ABC和△DCE中
，
∴△ABC≌△DCE，
故答案为：AC=CD．
点评：本题考查了全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的发散思维能力，本题题型较好，是一道具有开放性的题目，答案不唯一．
三、解答题
14．（2012 铜仁地区）如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF，AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
14．考点：全等三角形的判定．专题：证明题．分析：首先利用平行线的性质得出∠AED=∠CFB，进而得出DE=BF，利用SAS得出即可．
证明：∵AE∥CF
∴∠AED=∠CFB，
∵DF=BE，
∴DF+EF=BE+EF，
即DE=BF，
在△ADE和△CBF中，
AE=CF ∠AED=∠CFB DE=BF，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定，利用两边且夹角对应相等得出三角形全等是解题关键．
15．（2012 赤峰）如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．
（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．
15．分析：（1）以A为圆心，以任意长为比较画弧，分别交AB和AC于一点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间的距离为半径画弧，两弧交于一点，过这点和A作射线，交BC于D，则，AD为所求；
（2）推出∠BAE=∠CAE，根据SAS证△BAE和△CAE全等即可．
（1）解：如图所示：
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵在△ABE和△ACE中
AB=AC ∠BAE=∠CAE AE=AE ，
∴△ABE≌△ACE（SAS）．
点评：本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，作图-基本作图的应用，主要考查学生的动手操作能力和推理能力．
16．（2012 重庆）已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
16．分析：由∠1=∠2可得：∠EAD=∠BAC，再有条件AB=AE，∠B=∠E可利用ASA证明△ABC≌△AED，再根据全等三角形对应边相等可得BC=ED．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中：∠B=∠E，AB=AE，∠BAC=∠EAD，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．
1．（2012 扬州）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE=DE．
考点： 全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题： 证明题。
分析： 作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF=∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE=CF即可．
解答： 证明：作CF⊥BE，垂足为F，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∴∠FED=∠D=∠CFE=90°，∠CBE+∠ABE=90°，∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BAE=∠CBF，∴四边形EFCD为矩形，∴DE=CF，在△BAE和△CBF中，有∠CBE=∠BAE，∠BFC=∠BEA=90°，AB=BC，∴△BAE≌△CBF，∴BE=CF=DE，即BE=DE．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质的应用，关键是求出△BAE≌△CBF，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
　
2．（2012 镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF=∠ADF．
（1）求证：△ADE≌△BFE；
（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．
考点： 全等三角形的判定与性质。
专题： 证明题。
分析： （1）由AD与BC平行，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，再由一对对顶角相等及E为AB中点得到一对边相等，利用AAS即可得出△ADE≌△BFE；（2）∠GDF=∠ADE，以及（1）得出的∠ADE=∠BFE，等量代换得到∠GDF=∠BFE，利用等角对等边得到GF=GD，即三角形GDF为等腰三角形，再由（1）得到DE=FE，即GE为底边上的中线，利用三线合一即可得到GE与DF垂直．
解答： （1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE=BE，在△AED和△BFE中，，∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）解：EG与DF的位置关系是EG⊥DF，理由为：连接EG，∵∠GDF=∠ADE，∠ADE=∠BFE，∴∠GDF=∠BFE，由（1）△AED≌△BFR得：DE=EF，即GE为DF上的中线，∴GE⊥DF．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
　
3．（2012 佛山）如图，已知AB=DC，DB=AC
（1）求证：∠ABD=∠DCA．注：证明过程要求给出每一步结论成立的依据．
（2）在（1）的证明过程中，需要作辅助线，它的意图是什么？
考点： 全等三角形的判定与性质。
分析： （1）连接AD，证明三角形BAD和三角形CAD全等即可得到结论；（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形．
解答： 证明：（1）连接AD，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SSS）∴∠ABD=∠DCA（全等三角形对应角相等）（2）作辅助线的意图是构造全等的三角形即两个三角形的公共边．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，属于基础题，相对比较简单．
　
4．（2012 滨州）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．
（1）求证：△ADF≌△CBE；
（2）求正方形ABCD的面积；
（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．
考点： 全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；正方形的性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）直接根据HL定理得出Rt△AFD≌Rt△CEB；（2）由ASA定理得出△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，再根据S正方形ABCD=4S△ABH+SH正方形EGF即可得出结论；（3）由△AFD≌△CEB可得出h1=h3，再根据（2）中△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，可知S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF，进而得出结论．
解答： （1）证明：在Rt△AFD和Rt△CEB中，∵AD=BC，AF=CE，∴Rt△AFD≌Rt△CEB；（2）解：∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，∴∠CBE=∠BAH又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°∴△ABH≌△BCE，同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4××2×1+1×1=5；（3）解：由（1）知，△AFD≌△CEB，故h1=h3，由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，∴S正方形ABCD=4S△ABH+S正方形HEGF=4×（h1+h2） h1+h22=2h12+2h1h2+h22．
点评： 本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质及平行线之间的距离，熟知判定全等三角形的SSS、SAS、ASA及HL定理是解答此题的关键．
　
5．（2012 长春）感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）
拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．
应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为　6　．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质。
分析： 拓展：利用∠1=∠2=∠BAC，利用三角形外角性质得出∠4=∠ABE，进而利用AAS证明△ABE≌△CAF；应用：首先根据△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，得出△ABD与△ADC面积比为：1：2，再证明△ABE≌△CAF，即可得出△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积得出答案即可．
解答： 拓展：证明：∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS）．应用：解：∵在等腰三角形ABC中，AB=AC，CD=2BD，∴△ABD与△ADC等高，底边比值为：1：2，∴△ABD与△ADC面积比为：1：2，∵△ABC的面积为9，∴△ABD与△ADC面积分别为：3，6；∵∠1=∠2，∴∠BEA=∠AFC，∵∠1=∠ABE+∠3，∠3+∠4=∠BAC，∠1=∠BAC，∴∠BAC=∠ABE+∠3，∴∠4=∠ABE，∴，∴△ABE≌△CAF（AAS），∴△ABE与△CAF面积相等，∴△ABE与△CDF的面积之和为△ADC的面积，∴△ABE与△CDF的面积之和为6，故答案为：6．
点评： 此题主要考查了三角形全等的判定与性质以及三角形面积求法，根据已知得出∠4=∠ABE，以及△ABD与△ADC面积比为：1：2是解题关键．
　
6．（2012 阜新）（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；
②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．
甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；
乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；
丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．
考点： 全等三角形的判定与性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）①BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；然后在△ABD和△CDF中，由三角形内角和定理可以求得∠CFD=90°，即BD⊥CF；②BD=CE，BD⊥CE．根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长BD交AC于F，交CE于H）BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°；（2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适．
解答： 解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE；②结论：BD=CE，BD⊥CE…1分理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°∴∠BAD﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAE…1分在Rt△ABD与Rt△ACE中，∵∴△ABD≌△ACE…2分∴BD=CE…1分延长BD交AC于F，交CE于H．在△ABF与△HCF中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC∴∠CHF=∠BAF=90°∴BD⊥CE…3分（2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°…2分
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质．SSS，SAS，ASA，AAS，HL均可作为判定三角形全等的定理． 注意：在全等的判定中，没有AAA（角角角）和SSA（边边角）（特例：直角三角形为HL，因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确定，属于SSS），因为这两种情况都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全等．
　
7．（2012 内江）已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；
（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的性质。
专题： 几何综合题。
分析： （1）根据已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60°，求出∠BAD=CAF，证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；（2）求出∠BAD=∠CAF，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；（3）画出图形后，根据SAS证△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．
解答： （1）证明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．（3）AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60°，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．
点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，菱形的性质的应用，主要考查学生的推理能力，注意：证明过程类似，题目具有一定的代表性，难度适中．2013年中考数学专题复习第十五讲 二次函数的应用
【基础知识回顾】
二次函数与一元二次方程：
二、二次函数解析式的确定：
1、设顶点式，即：设
2、设一般式，即：设
【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设 以y轴为对称轴，可设 顶点在x轴上，可设 抛物线过原点 等】
三、二次函数的应用
1、实际问题中解决最值问题：
2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题
【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围
2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】
【重点考点例析】
考点一：二次函数的最值
例1 （2012 呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x（　　）
A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为
C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为
分析：先用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数图象上点的坐标特征求出其最值即可．
点评：本题考查的是二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题是利用公式法求得的最值．
对应训练
1．（2012 兰州）已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（　　）
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定
考点二：确定二次函数关系式
例2 （2012 珠海）如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
分析：
（1）将点A（1，0）代入y=（x-2）2+m求出m的值，根据点的对称性，将y=3代入二次函数解析式求出B的横坐标，再根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图象和A、B的交点坐标可直接求出kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式组，求出B点坐标是解题的关键．
对应训练
2．（2012 佳木斯）如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）写出顶点坐标及对称轴；
（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．
分析：
（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2+bx+c中，列方程组求b、c的值即可；
（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴；
（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式 求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．关键是将抛物线上两点坐标代入解析式，列方程组求解析式，将抛物线解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴．
考点三：二次函数与x轴的交点问题
例3 （2012 天津）若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．
对应训练
3．（2012 株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（　　）
A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2
考点四：二次函数的实际应用
例4 （2012 绍兴）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-（x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．
分析：根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
点评：本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
例5 （2012 重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
月份x 1 2 3 4 5 6
输送的污水量y1（吨） 12000 6000 4000 3000 2400 2000
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据： ≈15.2，≈20.5， ≈28.4）
分析：
（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系求出即可，再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出解析式即可；
（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案；
（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5×[1+（a-30）%]×（1-50%）=18000，进而求出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的应用和根据实际问题列反比例函数关系式和二次函数关系式、求二次函数最值等知识．此题阅读量较大，得出正确关于a%的等式方程是解题关键．
对应训练
4．（2012 襄阳）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．
点评：此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．
5．（2012 益阳）已知：如图，抛物线y=a（x-1）2+c与x轴交于点A（1-，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．
（1）求原抛物线的解析式；
（2）学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：≈2.236，≈2.449，结果可保留根号）
考点：二次函数的应用．
分析：
（1）利用P与P′（1，3）关于x轴对称，得出P点坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式即可；
（2）根据已知得出C，D两点坐标，进而得出“W”图案的高与宽（CD）的比．
考点五：二次函数综合性题目
例6 （2012 自贡）如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．
（1）求的解析式；
（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．
分析：
（1）首先求出翻折变换后点A、B所对应点的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如图2所示，连接B1C并延长，与对称轴x=1交于点P，则点P即为所求．利用轴对称的性质以及三角形三边关系（三角形两边之差小于第三边）可以证明此结论．为求点P的坐标，首先需要求出直线B1C的解析式；
（3）如图3所示，所求的圆有两个，注意不要遗漏．解题要点是利用圆的半径表示点F（或点E）的坐标，然后代入抛物线的解析式，解一元二次方程求出此圆的半径．
点评：本题考查内容包括二次函数的图象与性质、待定系数法、翻折变换、轴对称的性质、三角形三边关系、圆的相关性质等，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，注意是“两线段之差最大”而不是“两线段之和最大”，后者比较常见，学生们已经有大量的训练基础，而前者接触较少，但二者道理相通；第（3）问中，首先注意圆有2个，不要丢解，其次注意利用圆的半径表示点的坐标，运用方程的思想求出圆的半径．
对应训练
6．（2012 遵义）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．
（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；
（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；
（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．
分析：
（1）根据函数经过原点，可得c=0，然后根据函数的对称轴，及函数图象经过点（3，）可得出函数解析式，根据二次函数的对称性可直接得出点A的坐标．
（2）根据题意可得点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2，代入函数解析式可得出点P的横坐标；
（3）先求出∠BOA的度数，然后可确定∠Q1OA=的度数，继而利用解直角三角形的知识求出x，得出Q1的坐标，利用二次函数图象函数的对称性可得出Q2的坐标．
点评：此题属于二次函数的综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的解，综合性较强，需要我们仔细分析，分步解答．
【聚焦山东中考】
1．（2012 泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）
A．-3 B．3 C．-6 D．9
考点：抛物线与x轴的交点．专题：探究型．
分析：先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为-3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
点评：本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
2．（2012 滨州）抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
分析：令抛物线解析式中x=0，求出对应的y的值，即为抛物线与y轴交点的纵坐标，确定出抛物线与y轴的交点坐标，令抛物线解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解有两个，可得出抛物线与x轴有两个交点，综上，得到抛物线与坐标轴的交点个数．
点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，以及一元二次方程的解法，其中令抛物线解析式中x=0，求出的y值即为抛物线与y轴交点的纵坐标；令y=0，求出对应的x的值，即为抛物线与x轴交点的横坐标．
3．（2012 济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需 秒．
分析：10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则A，B一定是关于对称轴对称的点，据此即可确定对称轴，则O到对称轴的时间可以求得，进而即可求得OC之间的时间．
点评：本题考查了二次函数的应用，注意到A、B关于对称轴对称是解题的关键．
4．（2012 菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 …
每天销售量（y件） … 500 400 300 200 100 …
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）
（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？
分析：
（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），，进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数增减性应用等知识，此题难度不大是中考中考查重点内容．
5．（2012 青岛）在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：
（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；
（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．
分析：
（1）观察可得该函数图象是一次函数，设出一次函数解析式，把其中两点代入即可求得该函数解析式，进而把其余两点的横坐标代入看纵坐标是否与点的纵坐标相同；
（2）销售利润=每个许愿瓶的利润×销售量；
（3）根据进货成本可得自变量的取值，结合二次函数的关系式即可求得相应的最大利润．
点评：此题主要考查了二次函数的应用；注意结合自变量的取值求得二次函数的最值问题．
6．（2012 聊城）某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）
（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？
（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？
分析：
（1）根据每月的利润z=（x-18）y，再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式，
（2）把z=350代入z=-2x2+136x-1800，解这个方程即可，将z═-2x2+136x-1800配方，得z=-2（x-34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润，最大利润是多少．
（3）结合（2）及函数z=-2x2+136x-1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，最低成本是18×（-2×32+100）.
点评：本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式，综合利用二次函数和一次函数的性质解决实际问题．
【备考真题过关】
一、选择题
2．（2012 湖州）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（　　）
A． B． C．3 D．4
分析：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出，，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
点评：本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．
3．（2012 宜昌）已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（　　）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
考点：抛物线与x轴的交点．分析：根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，得出△=4-4a＜0，a＞1，再根据b=-2，得出抛物线的对称轴在y轴的右侧，即可求出答案．
点评：此题考查了二次函数的图象与x轴交点，关键是根据二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解之间的联系求出a的值，这些性质和规律要求掌握．
4．（2012 资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（　　）
A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞5
5．（2012 义乌市）如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：
①当x＞0时，y1＞y2； ②当x＜0时，x值越大，M值越小；
③使得M大于2的x值不存在； ④使得M=1的x值是或．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
分析：利用图象与坐标轴交点以及M值的取法，分别利用图象进行分析即可得出答案．
点评：此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，利用数形结合得出函数增减性是解题关键．
6．（2012 大连）如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：抛物线在平移过程中形状没有发生变化，因此函数解析式的二次项系数在平移前后不会改变．首先，当点B横坐标取最小值时，函数的顶点在C点，根据待定系数法可确定抛物线的解析式；而点A横坐标取最大值时，抛物线的顶点应移动到E点，结合前面求出的二次项系数以及E点坐标可确定此时抛物线的解析式，进一步能求出此时点A的坐标，即点A的横坐标最大值．
点评：考查了二次函数综合题，解答该题的关键在于读透题意，要注意的是抛物线在平移过程中形状并没有发生变化，改变的是顶点坐标．注意抛物线顶点所处的C、E两个关键位置，前者能确定函数解析式、后者能得到要求的结果．
1．（2012 镇江）若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（　　）
　 A． m＜﹣1 B． ﹣1＜m＜0 C． 0＜m＜1 D． m＞1
点： 抛物线与x轴的交点。
专题： 探究型。
分析： 先令（x+1）（x﹣m）=0求出x的值即可得出二次函数与x轴的交点坐标，再根据抛物线的对称轴在y轴的右侧即可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，先根据函数的解析式得出二次函数的图象与x轴的交点是解答此题的关键．
　
2．（2012 泰安）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（　　）
　 A． ﹣3 B． 3 C． ﹣6 D． 9
考点： 抛物线与x轴的交点。
专题： 探究型。
分析： 先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
点评： 本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．
　
3．（2012 杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（　　）
　 A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点：抛物线与x轴的交点。
专题：推理填空题。
分析：整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根据抛物线的解析式确定出抛物线经过的两个定点是解题的关键，注意分情况讨论．
二、填空题
7．（2012 深圳）二次函数y=x2-2x+6的最小值是 ．
分析：利用配方法将原式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．
点评：本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．
8．（2012 无锡）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ．
三、解答题
9．（2012 杭州）当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．
考点：二次函数的最值．专题：分类讨论．
分析：当k分别取-1，1，2时，函数y=（k-1）x2-4x+5-k表示不同类型的函数，需要分类讨论，最终确定函数的最值．
10．（2012 徐州）二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
（3）在所给坐标系中画出二次函数y=x2+bx+c的图象．
考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．
分析：（1）把已知点的坐标代入解析式，然后解关于b、c的二元一次方程组即可得解；
（2）把函数解析式转化为顶点式形式，然后即可写出顶点坐标与对称轴解析式；
（3）采用列表、描点法画出图象即可．
（3）列表如下：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 0 -1 0 3 …
描点作图如下：
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，以及作二次函数图象，都是基础知识，一定要熟练掌握．
11．（2012 佛山）（1）任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2+bx+c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
x -1 0 1 2 3
y 0 3 4 3 0
②有序数对（-1，0）、（1，4）、（3，0）满足y=ax2+bx+c；
③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分（如图）．
（2）直接写出二次函数y=ax2+bx+c的三个性质．
分析：（1）选择①，观察表格可知抛物线顶点坐标为（1，4），设抛物线顶点式，将点（0，3）代入确定a的值；
（2）根据抛物线的对称轴，开口方向，增减性等说出性质．
12．（2012 兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=，x1 x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：
AB=|x1-x2|= ==；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2-4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2-4ac的值．
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．
13．（2012 武汉）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=（t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
分析：
（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解；
（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间．
点评：考查二次函数的应用；判断出所求二次函数的形式是解决本题的关键；注意结合（1）得到h的最大高度．
14．（2012 无锡）如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？
分析：
（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V；
（2）利用已知表示出包装盒的表面，进而利用函数最值求出即可．
15．（2012 黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．
（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？
（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）
分析：
（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解；
（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价．
点评：本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关系式，会表达单件的利润及总利润．
16．（2012 河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长（cm） 20 30
出厂价（元/张） 50 70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）
分析：
（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．
点评：本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．
17．（2012 资阳）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．
（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；
（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；
（3）若射线NM交x轴于点P，且PA PB=，求点M的坐标．
分析：
（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可；
（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，进而得出NF2=NB2，即可得出答案；
（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA PB的值转化为PF的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解．
点评：考查了二次函数综合题，在该二次函数综合题中，融入了勾股定理、相似三角形等重点知识，（3）题通过构建相似三角形将PA PB转化为PF的值是解题的关键，也是该题的难点．
18．（2012 株洲）如图，一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
分析：
（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）本问要点是求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值；
（3）本问要点是明确D点的可能位置有三种情形，如答图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
点评：本题是二次函数综合题，考查了抛物线上点的坐标特征、二次函数的极值、待定系数法求函数解析式、平行四边形等重要知识点．难点在于第（3）问，点D的可能位置有三种情形，解题时容易遗漏而导致失分．作为中考压轴题，本题有一定的难度，解题时比较容易下手，区分度稍低．
19．（2012 漳州）已知抛物线y=x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：
（1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可；
（2）根据等边三角形的性质求得PB=4，将PB=4代入函数的解析式后求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标；
（3）首先求得直线AP的解析式，然后设出点M的坐标，利用勾股定理表示出有关AP的长即可得到有关M点的横坐标的方程，求得M的横坐标后即可求得其纵坐标.
点评：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是仔细读题，并能正确的将点的坐标转化为线段的长，本题中所涉及的存在型问题更是近几年中考的热点问题．
A
B
C
O
x
y2013年中考数学专题复习第十一讲：平面直角坐标系与函数
【基础知识回顾】
平面直角坐标系：
1、定义：具有 的两条 的数轴组成平面直角坐标系，两条数轴分别称 轴 轴或 轴 轴，这两系数轴把一个坐标平面分成的四个部分，我们称作是四个
2、有序数对：在一个坐标平面内的任意一个点可以用一对 来表示，如A（a .b），（a .b）即为点A的 其中a是该点的 坐标，b是该点的 坐标平面内的点和有序数对具有 的关系。
3、各象限内点的特点：平面内点的坐标特征
① P（a .b）：第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
X轴上 Y轴上
②对称点：P对称点
③特殊位置点的特点：P（a .b）若在一、三象限角的平分线上，则
若在二、四象限角的平分线上，则
④对坐标轴的距离：P（a .b）到x轴的距离 到y轴的距离 到原点的距离
⑤坐标平面 内点 的 平移：将点P（a .b）向左右平移h个点位，对应点坐标为 或
向上（下）平移K个点位，对应点坐标为 或
【名师提醒：坐标平面内点的坐标所具备的特征必须结合坐标平面去理解和记忆，不可生硬死记一些结论】
二、确信位置常用的方法：
一、一般由两种：1、 平面直角坐标系中的有序数时 2、 方位角与距离
三、函数的有关概念：
1、常量与变量：在某一变化过程中，始终保持 的量叫做常量，数值发生 的量叫做变量
【名师提醒：常量与变量是相对的，在一个变化过程中，用一个量在不同情况下可以是常量，也可以是变量，要根据问题的条件来确定】
2、函数：
⑴、函数的概念：一般的在某个 过程中如果有两个变量x、y对于x德每一个确定的值，y都有 的值与之对应，我们就成x是 y是x的
⑵、自变量的取值范围：
主要有两种情况：①、解析或有意义的条件，常见分式和二次根式两种情况
②、实际问题有意义的条件：必须符合实际问题的背景
⑶、函数的表示方法：
通常有三种表示函数的方法：①、 法②、 法③、 法
⑷、函数的同象：
对于一个函数，把自变象x和函数y的每对对应值作为点的 与
在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫做这个函数的同象
【名师提醒：1、在确定自变量取值范围时要注意分式和二次根式同时存在，应保证两者都有意义，即被开数应 同时分母应
2、函数的三种表示方法应根据实际需要选择，有时需同时使用几种方法
3、函数同象是在自变量取值范围内无限个点组成的图形，同象上任意一点的坐标是解析式方程的一个解，反之满足解析式方程的每一个解都在函数同象上】
【重点考点例析】
考点一：平面直角坐标系中点的特征
例1 （2012 扬州）在平面直角坐标系中，点P（m，m-2）在第一象限内，则m的取值范围是 ．
思路分析：根据第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正，可得出m的范围．
解：由第一象限点的坐标的特点可得：，
解得：m＞2．
故答案为：m＞2．
点评：此题考查了点的坐标的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握第一象限的点的坐标，横坐标为正，纵坐标为正．
对应训练
1．（2012 怀化）在平面直角坐标系中，点（-3，3）所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．B
考点二：平面直角坐标系与其只是
例2 （2012 济南）如图，矩形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙分别由点A（2，0）同时出发，沿矩形BCDE的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2012次相遇地点的坐标是（　　）
　 A．（2，0） B． （﹣1，1） C． （﹣2，1） D． （﹣1，﹣1）
考点： 点的坐标。
专题： 规律型。
分析： 利用行程问题中的相遇问题，由于矩形的边长为4和2，物体乙是物体甲的速度的2倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
解答： 解：矩形的边长为4和2，因为物体乙是物体甲的速度的2倍，时间相同，物体甲与物体乙的路程比为1：2，由题意知：
①第一次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×1，物体甲行的路程为12×=4，物体乙行的路程为12×=8，在BC边相遇；
②第二次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×2，物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
③第三次相遇物体甲与物体乙行的路程和为12×3，物体甲行的路程为12×3×=12，物体乙行的路程为12×3×=24，在A点相遇；
…
此时甲乙回到原出发点，则每相遇三次，两点回到出发点，
∵2012÷3=670…2，
故两个物体运动后的第2012次相遇地点的是：第二次相遇地点，即物体甲行的路程为12×2×=8，物体乙行的路程为12×2×=16，在DE边相遇；
此时相遇点的坐标为：（﹣1，﹣1），
故选：D．
点评： 此题主要考查了行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，通过计算发现规律就可以解决问题．
　
对应训练
2．（2012 莆田）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（　　）
　 A．（1，﹣1） B． （﹣1，1） C． （﹣1，﹣2） D． （1，﹣2）
考点： 点的坐标。
专题： 规律型。
分析： 根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
解答： 解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2012÷10=201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选B．
点评： 本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2012个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
考点三：函数的概念及函数自变量的取值范围
例3 （2012 凉山州）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
思路分析：本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和分式两部分．根据二次根式的意义，被开方数x+1≥0，根据分式有意义的条件，x≠0．就可以求出自变量x的取值范围．
解：根据题意得：x+1≥0且x≠0
解得：x≥-1且x≠0．
点评：本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
对应训练
3．（2012 衡阳）函数 中自变量x的取值范围是（　　）
A．x＞-2 B．x≥2 C．x≠-2 D．x≥-2
3．A
考点四：函数图象的运用
例4 （2012 鸡西）一天晚饭后，小明陪妈妈从家里出去散步，如图描述了他们散步过程中离家的距离S（米）与散步时间t（分）之间的函数关系，下面的描述符合他们散步情景的是（　　）
A．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了B．从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了
C．从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了
D．从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回
思路分析：根据图象可知，有一段时间内时间在增加，而路程没有增加，意味着有停留，与x轴平行后的函数图象表现为随时间的增多路程又在增加，由此即可作出判断．
解：A、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书就回家了，图象为梯形，错误；
B、从家出发，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，然后回家了，描述不准确，错误；
C、从家出发，一直散步（没有停留），然后回家了，图形为上升和下降的两条折线，错误；
D、从家出发，散了一会儿步，到了一家书店，看了一会儿书，继续向前走了一段，18分钟后开始返回从家出发，符合图象的特点，正确．
故选D．
点评：考查了函数的图象，读懂图象是解决本题的关键．首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据函数图象用排除法判断．
例5 （2012 铁岭）如图，ABCD的边长为8，面积为32，四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上，它们的各边与ABCD的各边分别平行，且与ABCD相似．若小平行四边形的一边长为x，且0＜x≤8，阴影部分的面积的和为y，则y与x之间的函数关系的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
思路分析：根据平行四边形的中心对称性可知四块阴影部分的面正好等于一个小平行四边形的面积，再根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列式求出y与x之间的函数关系式，然后根据二次函数图象解答．
解：∵四个全等的小平行四边形对称中心分别在ABCD的顶点上，
∴阴影部分的面积等于一个小平行四边形的面积，
∵小平行四边形与ABCD相似，
∴，
整理得，
又0＜x≤8，
纵观各选项，只有D选项图象符合y与x之间的函数关系的大致图象．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，根据平行四边形的对称性与相似多边形的面积的比等于相似比的平方求出y与x的函数关系是解题的关键．
对应训练
4．（2012 绥化）甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（　　）
A．甲队率先到达终点B．甲队比乙队多走了200米路程
C．乙队比甲队少用0.2分钟
D．比赛中两队从出发到2.2秒时间段，乙队的速度比甲队的速度快
4．C
4．解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要4分钟，乙走完全程需要3.8分钟，乙队率先到达终点，本选项错误；
B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了1000米，路程相同，本选项错误；
C、因为4-3.8=02分钟，所以，乙队比甲队少用0.2分钟，本选项正确；
D、根据0～2.2分钟的时间段图象可知，甲队的速度比乙队的速度快，本选项错误；
故选C．
5．（2012 绥化）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC-
-DO的路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间函数关系最恰当的是（　　）
A． B． C． D．
考点：动点问题的函数图象．分析：根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在
CD
上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大，即可得出答案．解答：解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；
当P在上运动时，∠APB不变；
当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选C．点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
【聚焦山东中考】
1．（2012 威海）函数y=的自变量x的取值范围是（　　）
　 A．x＞3 B． x≥3 C． x≠3 D． x＜﹣3
考点： 函数自变量的取值范围。
分析： 一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
解答： 解：根据题意得到：x﹣3＞0，
解得x＞3．
故选A．
点评： 本题考查了函数式有意义的x的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于0混淆．
2．（2012 菏泽）点P（-2，1）在平面直角坐标系中所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．B
3．（2011 青岛）如图，若将直角坐标系中“鱼”的每个“顶点”的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的，则点A的对应点的坐标是（　　）
A．（-4，3） B．（4，3） C．（-2，6） D．（-2，3）
3．A
4．（2012 日照）洗衣机在洗涤衣服时，每浆洗一遍都经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水）．在这三个过程中，洗衣机内的水量y（升）与浆洗一遍的时间x（分）之间函数关系的图象大致为（　　）
A． B． C． D．
4．D
解：每浆洗一遍，注水阶段，洗衣机内的水量从0开始逐渐增多，
清洗阶段，洗衣机内的水量不变且保持一段时间，
排水阶段，洗衣机内的水量开始减少，直至排空为0，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
5．（2012 济宁）周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（　　）
A． B． C． D．
5．D
解：∵旗子是匀速上升的，且开始时是拿在同学手中，
∴旗子的高度与时间关系是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大，
纵观各选项，只有D选项图象符合．
故选D．
7．（2012 临沂）如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x（单位：s），四边形PBDQ的面积为y（单位：cm2），则y与x（0≤x≤8）之间函数关系可以用图象表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．B
解：①0≤x≤4时，
∵正方形的边长为4cm，
∴y=S△ABD-S△APQ
=×4×4- t t
=-t2+8，
②4≤x≤8时，
y=S△BCD-S△CPQ
=×4×4- （8-t） （8-t）
=-（8-t）2+8，
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选B．
　
8．（2012 莱芜）下列四幅图象近似刻画两个变量之间的关系，请按图象顺序将下面四种情景与之对应排序（　　）
①一辆汽车在公路上匀速行驶（汽车行驶的路程与时间的关系）
②向锥形瓶中匀速注水（水面的高度与注水时间的关系）
③将常温下的温度计插入一杯热水中（温度计的读数与时间的关系）
④一杯越来越凉的水（水温与时间的关系）
　 A．①②③④ B． ③④②① C． ①④②③ D． ③②④①
考点： 函数的图象。
专题： 图表型。
分析： ①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系；②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低．据此可以得到答案．
解答： 解：③将常温下的温度计插入一杯热水中温度计的读数一开始较快，后来变慢；
②向锥形瓶中匀速注水，水面的高度一开始随注水时间的增加较慢，后来变快；
④一杯越来越凉的水，水温随着时间的增加而越来越低；
①一辆汽车在公路上匀速行驶，汽车行驶的路程与时间成正比例关系．
故顺序为③②④①．
故选D．
点评： 本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 柳州）如图，P1、P2、P3这三个点中，在第二象限内的有（　　）
　 A．P1、P2、P3 B． P1、P2 C． P1、P3 D． P1
考点： 点的坐标。
分析： 根据点的坐标的定义，确定出这三个点的位置，即可选择答案．
解答： 解：由图可知，P1在第二象限，
点P2在y轴的正半轴上，
点P3在x轴的负半轴上，
所以，在第二象限内的有P1．
故选D．
点评： 本题考查了点的坐标，主要是对象限内的点与坐标轴上点的认识，是基础题．
　
　
2．（2012 龙岩）在平面直角坐标系中，已知点P（2，﹣3），则点P在（　　）
　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 点的坐标。
分析： 根据各象限内点的坐标的符号特征，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）可以得到答案．
解答： 解：∵横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，﹣3）在第四象限，
故选D．
点评： 此题主要考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
　
　
3．（2012 资阳）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
3．C
解：∵水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出时，
容器内剩余气体的体积随着注水时间的增加而匀速减少，
∴容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是C．
故选C．
4．（2012 河池）下列图象中，表示y是x的函数的个数有（　　）
　 A．1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 函数的概念。
分析： 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
解答： 解：第一个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第二个图象，对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象；
第三个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象；
第四个图象，对给定的x的值，有两个y值与之对应，不是函数图象．
综上所述，表示y是x的函数的有第一个、第二个，共2个．
故选B．
点评： 本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
　
5．（2012 自贡）伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速原路返回学校．这一情景中，速度v和时间t的函数图象（不考虑图象端点情况）大致是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 函数的图象。
分析： 往返路程相同，先慢，速度小，时间长，后快，速度大，时间短，由此判断函数图象．
解答： 解：依题意，回家时，速度小，时间长，返校时，速度大，时间短，
故选A．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
　
6．（2012 重庆）2012年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 函数的图象。
专题： 数形结合。
分析： 根据题意，把图象分为四段，第一段，小丽从出发到往回开，第二段到遇到妈妈，第三段与妈妈聊了一会，第四段，接着开往比赛现场分析图象，然后选择答案．
解答： 解：根据题意可得，S与t的函数关系的大致图象分为四段，
第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，
第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，
第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，
第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0，
纵观各选项，只有B选项的图象符合．
故选B．
点评： 本题考查了函数图象的知识，读懂题意，把整个过程分解成分段图象是解题的关键．
　
7．（2012 岳阳）如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 动点问题的函数图象。
专题： 动点型。
分析： 过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，则可证明△ENK≌△ENL，从而得出重叠部分的面积不变，继而可得出函数关系图象．
解答： 解：如右图，过点E作EM⊥BC于点M，EN⊥AB于点N，
∵点E是正方形的对称中心，
∴EN=EM，
由旋转的性质可得∠NEK=∠MEL，
在Rt△ENK和Rt△EML中，，
故可得△ENK≌△ENL，即阴影部分的面积始终等于正方形面积的．
故选B．
点评： 此题考查了动点问题的函数图象，证明△ENK≌△ENL，得出阴影部分的面积始终等于正方形面积的是解答本题的关键．
　
8．（2012 厦门）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示
x ﹣1 0 1
y ﹣1 1 3
则y与x之间的函数关系式可能是（　　）
　 A．y=x B． y=2x+1 C． y=x2+x+1 D．
考点： 函数关系式。
分析： 观察这几组数据，找到其中的规律，然后再答案中找出符合要求的关系式．
解答： 解：A．y=x，根据表格对应数据代入得出y≠x，故此选项错误；
B．y=2x+1，根据表格对应数据代入得出y=2x+1，故此选项正确；
C．y=x2+x+1，根据表格对应数据代入得出y≠x2+x+1，故此选项错误；
D．y=，根据表格对应数据代入得出y≠，故此选项错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查了求函数关系式，本题是开放性题目，需要找出题目中的两未知数的对应变化规律是解题关键．
　
9．（2012 十堰）一列快车从甲地开往乙地，一列慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，两车离乙地的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系如图所示，则下列结论中错误的是（　　）
　 A．甲、乙两地的路程是400千米 B． 慢车行驶速度为60千米/小时
　 C．相遇时快车行驶了150千米 D． 快车出发后4小时到达乙地
考点： 函数的图象。
分析： 根据函数的图象中的相关信息逐一进行判断即可得到答案．
解答： 解：观察图象知甲乙两地相距400千米，故A选项正确；
慢车的速度为150÷2.5=60千米/小时，故B选项正确；
相遇时快车行驶了400﹣150=250千米，故C选项错误；
快车的速度为250÷2.5=100千米/小时，用时400÷100=4小时，故D选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数的图象的知识，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，通过此类题目的训练能提高同学们的读图能力．
　
10．（2012 青海）如图反映的过程是：小刚从家去菜地浇水，又去青稞地除草，然后回家，如果菜地和青稞地的距离为a千米，小刚在青稞地除草比在菜地浇水多用了b分钟，则a，b的值分别为（　　）
　 A．1，8 B． 0.5，12 C． 1，12 D． 0.5，8
考点： 函数的图象。
专题： 图表型。
分析： 首先弄清横、总坐标所表示的意义，然后根据各个特殊点来分段分析整个函数图象．
解答： 解：此函数大致可分以下几个阶段：
①0﹣12分种，小刚从家走到菜地；
②12﹣27分钟，小刚在菜地浇水；
③27﹣33分钟，小刚从菜地走到青稞地；
④33﹣56分钟，小刚在青稞地除草；
⑤56﹣74分钟，小刚从青稞地回到家；
综合上面的分析得：由③的过程知，a=1.5﹣1=0.5千米；
由②、④的过程知b=（56﹣33）﹣（27﹣12）=8分钟．
故选D．
点评： 主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
　
　
13．（2012 泸州）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：
（1）若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；
（2）若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算（未超过部份仍按每度电0.50元计算）．
现假设某户居民某月用电量是x（单位：度），电费为y（单位：元），则y与x的函数关系用图象表示正确的是（　　）
　 A． B．
C． D．
考点： 分段函数；函数的图象。
专题： 分类讨论。
分析： 根据题意求出电费与用电量的分段函数，然后根据各分段内的函数图象即可得解．
解答： 解：根据题意，当0≤x≤100时，y=0.5x，
当x＞100时，y=100×0.5+0.8（x﹣100），
=50+0.8x﹣80，
=0.8x﹣30，
所以，y与x的函数关系为y=，
纵观各选项，只有C选项图形符合．
故选C．
点评： 本题考查了分段函数以及函数图象，根据题意求出各用电量段内的函数解析式是解题的关键．
　
14．（2012 六盘水）如图是邻居张大爷去公园锻炼及原路返回时离家的距离y（千米）与时间t（分钟）之间的函数图象，根据图象信息，下列说法正确的是（　　）
　 A． 张大爷去时所用的时间少于回家的时间
　 B． 张大爷在公园锻炼了40分钟
　 C． 张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路
　 D． 张大爷去时速度比回家时的速度慢
考点： 函数的图象。
分析： 根据图象可以得到张大爷去时所用的时间和回家所用的时间，在公园锻炼了多少分钟，也可以求出去时的速度和回家的速度，根据可以图象判断去时是否走上坡路，回家时是否走下坡路．
解答： 解：如图，
A、张大爷去时所用的时间为15分钟，回家所用的时间为5分钟，故选项错误；
B、张大爷在公园锻炼了40﹣15=25分钟，故选项错误；
C、据（1）张大爷去时走上坡路，回家时走下坡路，故选项错误．
D、张大爷去时用了15分钟，回家时候用了5分钟，因此去时的速度比回家时的速度慢，故选项正确．
故选D．
点评： 本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
　
　
16．（2012 海南）星期六，小亮从家里骑直行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象，根据图象信息，下列说法不一定正确的是（　　）
　 A． 小亮到同学家的路程是3千米
　 B． 小亮在同学家逗留的时间是1小时
　 C． 小亮去时走上坡路，回家时走下坡路
　 D． 小亮回家时用的时间比去时用的时间少
考点： 函数的图象。
专题： 数形结合。
分析： 根据函数图象，结合实际生活意义，对图象进行分析判断即可得解．
解答： 解：A、由图象可知，小亮离家3千米后，路程不再变化，说明小亮到他同学家的路程是3千米，故本选项正确；
B、路程保持3千米的时间为80﹣20=60分钟，也就是1小时，说明小亮在同学家逗留的时间是1小时，故本选项正确；
C、从题目与图象中无法看出是否有上坡与下坡的路段，故本选项错误；
D、去时用的时间为20﹣0=20分钟，
回家时用的时间为95﹣80=15分钟，
∵15＜20，
∴小亮回家时用的时间比去时用的时间少，故本选项正确．
故选C．
点评： 本题考查了函数图象的分析判断能力，根据图象分析出小亮从离开家到回到家的整个过程是解题的关键．
　
　
　
二、填空题
　
　
19．（2012 绍兴）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家，父亲在报亭看了10分钟报纸后，用15分钟返回家，则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系是 （只需填序号）．
24．④，②
解：∵小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回，
∴表示母亲离家的时间与距离之间的关系的图象是④；
∵父亲看了10分报纸后，用了15分返回家，
∴表示父亲离家的时间与距离之间的关系的图象是②．
故答案为：④②．
20．（2012 苏州）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S（单位：cm2）与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．
20．（4+2）
解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，
∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴AB=2cm，BC=2cm，
过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，
则四边形BCFE是矩形，
∴BE=CF，BC=EF=2cm，
∵∠A=60°，
∴BE=ABsin60°=2×= ，
AE=ABcos60°=2×=1，
∴×AD×BE=3，
即×AD× =3，
解得AD=6cm，
∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3，
在Rt△CDF中，CD==，
所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+=4+，
∵动点P的运动速度是1cm/s，
∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+）÷1=4+（秒）．
故答案为：（4+）．
21．（2012 无锡）函数y=1+中自变量x的取值范围是　 　．
考点： 函数自变量的取值范围。
专题： 常规题型。
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：根据题意得，2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评： 考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
　
22．（2012 鸡西）函数y=+中，自变量x的取值范围是　 　．
考点： 函数自变量的取值范围。
分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
解答： 解：根据题意得：，
解得：x＜1且x≠0，
故答案是：x＜1且x≠0．
点评： 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
　
23．（2012 恩施州）当x=　 　时，函数y=的值为零．
考点： 函数值；分式的值为零的条件。
专题： 计算题。
分析： 令函数值为0，建立关于x的分式方程，解分式方程即可求出x的值．
解答： 解：令=0，
去分母得，3x2﹣12=0，
移项系数化为1得，x2=4，
x=2或x=﹣2．
检验：当x=2时，x﹣2=0，故x=2不是原方程的解；
当x=﹣2时，x﹣2≠0，故x=﹣2是原方程的解．
故答案为﹣2．
点评： 本题考查了函数的值和分式值为0的条件，解分式方程时要注意检验．
　
24．（2012 宁德）五一节某超市搞促销活动：①一次性购物不超过150元不享受优惠；②一次性购物超过150元但不超过500元一律九折；③一次性购物超过500元一律八折．王宁两次购物分别付款120元、432元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款　 　元．
考点： 分段函数。
分析： 首先计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解．
解答： 解：一次性购物超过150元，但不超过500元一律9折则在这个范围内最低付款135元，因而第一次付款120元，没有优惠；
第二次购物时：是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9=480（符合超过150不高于500）．
则两次共付款：120+480=600元，超过500元，则一次性购买应付款：600×0.8=480元；
当第二次付款是超过500元时：可得出原价是 432÷0.8=540（符合超过500元），
则两次共应付款：120+540=660元，则一次性购买应付款：660×0.8=528元．
则一次性购买应付款：480元或528元．
故答案是：480元或528．
点评： 本题考查了分段函数，确定第二次购物时享受了哪种优惠方案，从而确定第二次购物时应付款数是关键．
　
　
三、解答题
26．（2012 无锡）如图1，A、D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm2，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．
26．解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，DO+OA=6cm，
DO=6-AO，
由图2知S△AOD=4，
∴DO AO=4，
∴a2-6a+8=0，
解得a=2或a=4，
由图2知，DO＞3，
∴AO＜3，
∴a=2，
∴A的坐标为（2，0），
D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M，
由图2，知AB=5cm，CB=1cm，
∴MB=3，
∴AM= =4．
∴OM=6，
∴B点坐标为（6，3）；
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC、PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD-S△ABM）=9，
∴×6×（4-y）+×1×（6-x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，
由A（2，0），B（6，3）求得直线AB的函数关系式为y=x-，
由 [或 或 ]
解得x=，y=．
∴P（，），
设直线PD的函数关系式为y=kx+4，
则=k+4，
∴k=- ，
∴直线PD的函数关系式为y=-x+4．
　锐角三角函数杨老师专题讲座20121222
锐角三角函数知识点总结与复习
1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。
如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，
则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
定 义 表达式 取值范围 关 系
正弦 (∠A为锐角)
余弦 (∠A为锐角)
正切 (∠A为锐角) (倒数)
余切 (∠A为锐角)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
0 1
1 0
0 1 不存在
不存在 1 0
6、正弦、余弦的增减性：
当0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。
一、知识性专题
专题1：锐角三角函数的定义
例1 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，则下列结论正确的是 ( )A．sin A＝ B．tan A＝ C．cosB＝ D．tan B＝
分析 sinA＝＝，tan A＝＝，cos B＝＝．故选D.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 ； 分析 在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．
分析 在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴sin A＝．故填．
例3（12·哈尔滨）在Rt△ABC中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB的值是 ；
【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=.
例4（2012内江）如图4所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 ；
【解析】欲求sinA，需先寻找∠A所在的直角三角形，而图形中∠A所在的△ABC并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD（如下图所示），恰好可证得CD⊥AB，于是有sinA＝＝＝．
例5 ( 2012宁波)，Rt△ABC,∠C=900,AB=6,cosB=,则BC的长为 ；
【解析】cosB==，又∵AB=6∴BC=4
例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角的邻边与对边的比叫做角的余切，记作ctan, 即ctan=，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30 = ；
（2）如图，已知tanA=，其中∠A为锐角，试求ctanA
的值．
【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30 。（2）由tanA=，为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA的值．【解析】（1）设BC=1, ∵α=30
∴AB=2∴由勾股定理得：AC=ctan30 ==(2) ∵tanA=
∴设BC=3 AC=4∴ctanA==
例7（2012山东滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（　　）A．不变B．缩小为原来的　C．扩大为原来的3倍D．不能确定
【解析】因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．【答案】选A．
例8（2012湖南）观察下列等式
①sin30°= cos60°=②sin45°= cos=45°=③sin60°= cos30°=
根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=　　．
解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．
答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；
sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．
点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin2a+sin2（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．
例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中，，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB； ②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪 组
【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB的长为x，则BC=，BD=，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．
例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ．
【解析】 要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．
【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=，易得：DN=，设PM=x，则PD=-x，由△DNP∽△BMP，得：，即，∴PN=x，由DN2+PN2=PD2，得：+x2=(-x)2，解得：x1=，x2=（舍去），∴tan∠APD==2．
例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于 ．
分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答：解：连接BD．∵E、F分別是AB、AD的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC=
例12（2011山东日照）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA= QUOTE \* MERGEFORMAT ．则下列关系式中不成立的是（　　）
A．tanA cotA=1 B．sinA=tanA cosA C．cosA=cotA sinA D．tan2A+cot2A=1
解答：解：根据锐角三角函数的定义，得
A、tanA cotA==1，关系式成立；B、sinA= QUOTE \* MERGEFORMAT ，tanA cosA=，关系式成立；
C、cosA=，cotA sinA=，关系式成立；D、tan2A+cot2A=（ QUOTE \* MERGEFORMAT ）2+（ QUOTE \* MERGEFORMAT ）2≠1，关系式不成立．故选D．点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=或sinA=tanA cosA．（3）正切之间的关系：tanA tanB=1．
例13（2011 贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是 ． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．
例14（2011烟台）如果△ABC中，sinA=cosB=，则下列最确切的结论是（ ）A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形
解：∵sinA=cosB=，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．
例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（　　） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、 B、
C、 D、
解答：故选D．
同步练习1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 ．
解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ，∴tanB′=tanB= ．
2 （2011甘肃兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是 ．
解：∵sin60°= ，cos60°= ，∴点M（－，）．∵点P（m，n）关于x轴对称点的坐标P′（m，-n），∴M关于x轴的对称点的坐标是（－，－）．故选B．
3（2011广东）已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（　　）
A、sinA=cosA B、sinA＞cosAC、sinA＞tanA D、sinA＜cosA
解答：解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：B．
4、（2011 宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=，则边BC的长为 ．cm
解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=，又AC=30cm，tan∠BAC=，则BC=ACtan∠BAC=30× QUOTE \* MERGEFORMAT =10 QUOTE \* MERGEFORMAT cm．故选C．
5、 （2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 ．
解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF= = ．
6、（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°的角的正切值是 ．
【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE中，用勾股定理求出AE=EF=x,于是BF=（+1）x.在直角三角形ABF中，tan∠FAB==+1=tan67.5°.选B。
7、（2012福州）如图15，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 .（结果保留根号）
解析：由已知条件，可知△BDC、△ADB是等腰三角形，且DA=DB=BC，可证△BDC∽△ABC，则有，设BC=x，则DC=1-x，因此，解方程得，
（不合题意，舍去），即AD=；又cosA=答案：
8、（2012南京）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合.OB与尺上沿的交点B在尺上的读书恰为2厘米，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数为 厘米.（结果精确到0.1厘米，参考数据sin370≈0.60,cos370≈0.80,tan370≈0.75）
解析：由于∠AOB=45°，B点读书为2厘米，则直尺的宽为2厘米，解直角三角形得点C的读数为2÷tan370≈2÷0.75≈2.7厘米.答案：2.7
9、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据≈1.414 ）（2） 求∠ACD的余弦值.
【解答】（1）结AC，∵AB=BC=15千米，∠B=90°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=15千米. 又∵∠D=90°，
∴AD==12（千米）
∴周长=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.784≈55（千米）.
面积=S△ABC+S△ADC=×15×15+×12×3=+18≈157（平方千米）.
（2）cos∠ACD=.
10、（2012甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度越高；如图（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角减至，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2 ，已知d1=4米，，，楼梯占用地板的长度增加了多少米？（计算结果精确到0.01米。参考数据：tan40°=0.839，tan36°=0.727）
解析：根据在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，在Rt△ADB中，AB=d2tanθ2=d2tan36°，即可得出d2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．
解：由题意可知可得，∠ACB=∠θ1，∠ADB=∠θ2在Rt△ACB中，AB=d1tanθ1=4tan40°，
在Rt△ADB中，AB=d2tanθ2=d2tan36°，得4tan40°=d2tan36°，∴d2=≈4.616，∴d2-d1=4.616-4=0.616≈0.62，答：楼梯占用地板的长度增加了0.62米．
11、（2012贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB的长．（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38，≈1.73，精确到个位）
解析： 首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△ACD中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．
答案： 解：过点C作CD⊥AB于D∵BC=200m，∠CBA=30°，∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC cos30°=200×=100≈173（m），∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD=≈≈74（m），∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．答：隧道AB的长为247m．
12、 （2011新疆建设兵团）如图，在△ABC中，∠A＝90°．（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，如图所示即是所求．（2）∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴AB1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝．
专题2 特殊角的三角函数值
例1（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________．【答案】1
例2（2012陕西）计算：．
【解析】原式【答案】
例3(2012广安)计算：cos45o+ ；
解析： ==
例4 计算|－3|＋2cos 45°－(－1)0．
解：原式＝3＋2×－1＝＋2．
例5 计算－＋＋(－1)2007－cos 60°．
解：原式＝＋3＋(－1)－＝3－1＝2．
例6 计算|－|＋(cos 60°－tan 30°)0＋．
解：原式＝＋1十＋2＝3＋1．
例7 计算－(π－3.14)0－|1－tan 60°|－.
解：原式＝8－1－＋1＋＋2＝10.
例8（2012呼和浩特）计算：
【解析】三角函数、绝对值、乘方
【答案】
例9（2011天水）计算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°=　 　．
分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA tan（90°﹣A）=1．
解答：解：原式=+1+=2．故答案为2．
例10（2011 莱芜）若a=3﹣tan60°，则 QUOTE \* MERGEFORMAT = 。
解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣，∴原式===故答案为： QUOTE \* MERGEFORMAT ．
练习1、（2011浙江）计算：|－1|－－（5－π）0+4cos45°.
【解】原式=1－×2－1+4×=
练习2、（2011浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2cos45°；
解答：解：（1）原式= QUOTE \* MERGEFORMAT ，= QUOTE \* MERGEFORMAT ；
练习3、计算：20110＋－2sin45°；
原式＝1＋2－＝1＋；
练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习3、C[提示：sin 59°＞sin 28°成立，0＜cosα＜1(α是锐角)成立，tan 30°＋tan 60°＝＋≠tan 90°，tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1．]
练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．
练习5、如图28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝，BC＝，
则AB的长为 ．
练习6、当x＝sin 60°时，代数式·＋的值是 ．
练习7、已知cos 59°24′≈0.509，则sin 30°36′≈ ．
练习8、若∠A，∠B互余，且tan A－tan B＝2，则tan2A＋tan2B＝ ．
练习9、如图28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝，则这个菱形的面积是 .
10．已知正方形ABCD的边长为1，若将线段BD绕着点B旋转后，点D落在DC延长线上的点D′处，则∠BAD′的正弦值为 .
11．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．
12．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，则BC＝ ．
13．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝ ．
14．如图28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC边上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝． (1)求DC的长；(2)求sinB的值．
练习4、2－ [提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2×－＋1＝2－.]
练习5、3＋ [提示：过点C作CD⊥AB，垂足为D，在Rt△BDC中，tan B＝．∴，∴BD＝3CD，∵BC＝，∴CD2＋(3CD)2＝()2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tan A＝，∴AD＝，∴AB＝AD＋BD＝3＋.]
练习6、．[提示：∵·＋＝2x，∴原式＝2sin 60°＝．]
练习7、0.509[提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．]
练习8、6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tan A·tan B＝1，tan2A＋tan2B＝(tan A－tan B)2＋2tan A·tan B＝22＋2＝6．]
练习9、[提示：∵cos B＝，设BE＝5x，则AB＝13x，∴AE＝＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝，则AE＝12x＝12×＝，BC＝5x＋1＝5×＋1＝，∴S＝×＝．]
10．[提示:如图28－155所示，根据题意得DD′＝2DC，设正方形的边长为x，则AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根据勾股定理得AD′＝＝x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝＝.∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝．]
11．30°[提示：如图28＝156所示，∵SABCD＝S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)， ∴GC＝FC．∵CF＝DC，∴GC＝DC，．∵∠DGC＝90°，sin 30°＝，∴∠CDG＝30°，即这个平行四边形的一个最小内角为30°．]
12．＋
13．30°[提示：x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，∴sinθ＝，∴θ＝30°．]
14．解：(1)∵cos∠ADC＝，∴设CD＝3x，则AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6． (2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝，∴sin B＝．
专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；
俯角：视线在水平线下方的角。
例1、（2012湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD．如图5，已知李明距假山的水平距离BD为12m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为 m．
【解析】如下图，过点A作AF⊥CD于F，则AF＝BD＝12m，FD＝AB＝1.6m．再由OE∥CF可知∠C＝∠AOE＝60°．所以，在Rt△ACF中，CF＝＝4，那么CD＝CF＋FD＝(4＋1.6)m．
例2、（2012珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO（不计粗细）上有两个木瓜A、B（不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O处于同一水平面的C处测得木瓜A的仰角为45°、木瓜B的仰角为30°.求C处到树干DO的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：）
【解析】如图,根据题意,得∠COD＝90°, ∠ACO＝45°, ∠BCO＝30°, AB＝2,求CO.设CO为x米, 根据AO＝CO,列方程,解得即可.
【答案】解:设CO为x米在Rt△BCO中,tan30°＝,则BO＝
在Rt△ACO中,AO＝CO,得方程＋2＝x解得x≈5.答: CO长大约是5米.
例3、（2012江苏盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF前A处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退0.5米到B处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300 .求小华的眼睛到地面的距离。（结果精确到0.1米，参考数据：1.732）.
【答案】设AC=BD=x，在Rt△ACA1中，∠AA1C=450，∴AA1=x，在Rt△DBB1中，BB1==，又∵BB1-AA1=,即×-x=，解得：x=≈1.4（米）．
例4、（2012山西）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
【解析】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE为矩形．
∴AB=EF，AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100米．∴CE===（米）． …4分在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100．
∴DF===100（米）．…6分∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）． …8分答：岛屿两端A．B的距离为542.3米．
例5、（2012呼和浩特22）如图，线段AB、DC分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B处测得D点的仰角为α，在A处测得D点的仰角为β。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC为m。请你通过计算用含α、β、m的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。
【答案】解：过点A作AM⊥CD于M 在Rt△BCD中，tanα=∴CD=BC·tanα=m tanα在Rt△AMD中，tanβ=
∴DM=AM·tanβ=m tanβ∴AB=CD–DM=m(tanα–tanβ)
例6、（2012湖北随州，20）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米？（，结果精确到米）。
解析：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立关于h1、h2的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。
答案：设太婆尖高h1米，老君岭高h2米，依题意，有
（米）
（米）答：太婆尖高度为137米，老君岭高度为237米。
题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。
2、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4：OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
例1、（2011山东省潍坊）轮船从B处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在观测灯塔A北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是 ．海里
解答： BC=50×0.5=25海里；根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里
例2、（2012年四川德阳）某时刻海上点P处有一客轮，测得灯塔A位于客轮P的北偏东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行小时到达B处，那么tan∠ABP=A. B.2 C. D.
【解析】如图6所示，根据题意可知∠APB=90°．且AP=20, PB=60×=40. 所以tan∠ABP=
例3、（2012连云港）已知B港口位于A观测点北偏东53.2°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min后到达C 处。现测得C处位于Ａ观测点北偏东79.8°方向。求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到0.1km）.(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50，≈1.41，≈2.24)
【解析】过点B作AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用Rt△ABH和Rt△BCH求线段AH、CH的长，利用AH－CH确定AC的长。
【答案】BC=40×=10.在Rt△ADB中，sin∠DAB=, sin53.2°≈0.8。所以AB=≈=20.如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H。在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC－∠DAB=63.6°―37°=26.6°，tan∠BAH=,0.5=,AH =2BH.BH2＋CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=202,BH=4,,所以AH=8，在Rt△AHB中， BH2＋CH2=BC 2，CH=所以AC=AH―CH=8―2＝6≈13.4k.
例4、（2012四川攀枝花）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B处，此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C的距离最近？（假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）
【答案】作CD⊥AB于D，设BD=x，∵∠BCD=30°，∴CD=x，因为∠CAD=45°，∴AD=CD=x，AB=x–x，依据题意，x–x=0.5，x=，答：再航行小时，离渔船C的距离最近。
例5、（2012山东东营）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处，观测到某港口城市P位于轮船的北偏西67.5°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B处，这时观测到城市P位于该船的南偏西36.9°方向，求此时轮船所处位置B与城市P的距离？（参考数据：sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈，tan67.5°≈）
【解析】过点P作PC⊥AB，构造直角三角形，设PC=x海里，
用含有x的式子表示AC，BC的值，从而求出x的值，再根据
三角函数值求出BP的值即可解答．
【答案】过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC=x海里．在Rt△APC中，∵tan∠A=，∴AC=．在Rt△PCB中，∵tan∠B=，∴BC=．∵AC＋BC=AB=21×5，∴，解得.∵，∴（海里）．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．
例6、（2012山东省青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）
⑴求教学楼AB的高度；
⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.
（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈ ）
【答案】解：⑴过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.
Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13
在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，∴tan22°= ，
=，x=12.即教学楼的高12m.
⑵由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt△AME中，cos22°=　，
∴ＡＥ＝　≈　 EQ \f(２５,)≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．
题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正切值应用举例：
坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(坡比)。用字母表示，即。坡度一般写成的形式，如等。把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么。
例1、(2012广安)如图2，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则迎水坡面AB的长度是 ．m
解：tan∠BAC=，∠BAC=30°,sin∠BAC=, sin∠BAC=,AB=2BC=100m
例2、小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼．为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°，已知办公大楼高46米，CD＝10米．求点P到AD的距离（用含根号的式子表示）．
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【解析】连结PA、PB，过点P作PM⊥AD于点M；延长BC，交PM于点N
则∠APM=45°，∠BPM=60°，NM=10米………1分设PM=米
在Rt△PMA中，AM=PM×tan∠APM=tan45°＝（米）…3分
在Rt△PNB中，BN=PN×tan∠BPM=(－10)tan60°＝(－10)（米）…5分[来@源:中国#教育︿%出版~网]
由AM+BN=46米，得 +(－10) ＝46……6分解得， ，
∴点P到AD的距离为米．（结果分母有理化为米也可）……8分【答案】（结果分母有理化为米也可）
例3、（2012湖北）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高
为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡
的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度，则AC的长度是 cm．
【解析】如图，过点B作BD⊥AC于D，依题意可求得AD＝60cm，BD＝54cm；由斜坡
BC的坡度i＝1：5，求得CD＝270cm，故AC＝CD－AD＝270－60＝210（cm）．
例4、（2012浙江省绍兴，19）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯AB的长为16.50米，按坡角∠BAC为32°.（1）求一楼与二楼之间的高度BC（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2.小明跨上电梯时，该电梯以每少上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32°=0.5299，cos32°=0.8480，tan32°=0.6249.
【解析】（1）在Rt△ABC中，已知∠BAC=32°，斜边AB的长为16.50米，根据锐角三角函数的定义即可求得一楼与二楼之间的高度BC．（2）先计算1级电梯的高，再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度．
【答案】解：（1）∵sin∠BAC=，∴BC=AB×sin32°=16.50×0.5299≈8.74米.
（2）∵tan32°= 级高级宽 ，∴级高=级宽×tan32°=0.25×0.6249=0.156225，∵10秒钟电梯上升了20级，∴小明上升的高度为：20×0.156225米.
例5、（2012浙江丽水，19）学校校园内有一小山坡，经测量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB长为12米.为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1:3（即为CD与BC的长度之比），A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
【解析】：∴AD=AC-CD=6-2.答：开挖后小山坡下降的高度AD为（6-2）米.
例6、（2012深圳）小明想测一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图3，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为 ．米
【解答】：如图3—1，根据坡角易求树的下半部分的高为2米，树的上半部分所在直角三角形的水平距离为米，由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为米，知树的高度为米，选择A
例7（2012江苏泰州24）如图，一居民楼底部B与山脚P位于同一水平线上，小李在P处测得居民楼顶A的仰角为60°，然后他从P处沿坡角为45°的山坡上走到C处，这时，PC=30m，点C与点A在同一水平线上，A、B、P、C在同一平面内．
（1）求居民楼AB的高度；（2）求C、A之间的距离．
（精确到0.1m，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
（第24题图）
【解析】过C作BP的垂线，垂足为G，利用特殊Rt△PCG和Rt△ABP中的边角关系，我们容易计算出CG（即AB）的长，最后用AC=BP+PG，就是C、A之间的距离．
【答案】（1）过C作BP的垂线，垂足为G，在Rt△PCG中，CG=PCsin450=30×=15，所以AB=15=21.2（m）（2）PG= PCcos450=30×=15，BP=，所以C、A之间的距离=BP+PG=15+5=33.5（m）
例8（2012四川）水务部门为加强防汛工作，决定对某水库大坝进行加固，大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示，已知迎水坡面AB的长为16米，∠B＝60°，背水坡面CD的长为16米，加固后大坝的横截面为梯形ABED，CE的长为8米．（1）已知需加固的大坝长为150米，求需要填土石方多少立方米？（2）求加固后大坝背水坡面DE的坡度．
【解析】（1）求出横截面△DCE的面积，然后乘以坝堤长度即可得出体积．可以分别过点A，D作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题．（2）求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比，这一点通常取梯形的顶点．【答案】解：（1）过点A作AG⊥BC于G，过点D作DH⊥BC于H，
∴AG＝DH．在Rt△ABG中，AG＝sin60°·AB＝×16＝8，
∴DH＝8．∴S△DCE＝·DH·CE＝×8×8＝32.
∴需要填土石方32×150＝4800(m3)．
（2）在Rt△DHC中，HC＝＝＝24，
∴HE＝HC＋CE＝24＋8＝32．
∴加固后大坝背水坡面DE的坡度＝＝＝．
例9 (2012江苏苏州)如图，已知斜坡AB长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（请讲下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．
（1）若修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE的长最多为　11.0　米；
（2）一座建筑物GH距离坡角A点27米远（即AG=27米），小明在D点测得建筑物顶部H的仰角（即∠HDM）为30°．点B、C、A、G、H在同一个平面内，点C、A、G在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH高为多少米？
解答： 解：（1）∵修建的斜坡BE的坡角（即∠BEF）不大于45°，∴∠BEF最大为45°当∠BEF=45°时，EF最短，此时ED最长，∵∠DAC=∠BDF=30°，AD=BD=30，∴BF=EF=BD=15，DF=15，故：DE=DF﹣EF=15（﹣1）≈11.0；（2）过点D作DP⊥AC，垂足为P．在Rt△DPA中，DP=AD=×30=15，PA=AD cos30°=×30=15．在矩形DPGM中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH中，HM=DM tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6．答：建筑物GH高为45.6米．
直角三角形中
的边角关系
锐角三
角函数
解直角三角形
实际问题
对边
邻边
斜边
A
C
B
EMBED Equation.3
C
B
A
图4
C
B
A
图4
D
22题图
A
B
C
D
E
F
F
A
B
C
C’
B’
A
C
B
D
第22题图
d2
图5
C
D
A
B
O
E
A
O
B
E
D
C
F
第24题图
（第22题图）
A
P
C
B
36.9°
67.5°
图2
（第20题图）
（第12题）
A
B
C
30
18
图3-1
图3
45°
60°
A
B
C
D
图9
E
A
B
C
D
E
G
H2013年中考数学专题复习第三十讲 概率
【基础知识回顾】
事件的分类：
1、确定事件：在一定条件下，有些事件发生与否是可以事先 这样的事件叫做确定事件，其中 发生的事件叫做必发事件 发生的时间叫做 事件
2、随机事件：在一定条件下，可能 也可能 的事件，称为随机事件
二、概率的概念：
一般地，对于一个随机事件A我们把刻画其发生可能性大小的 称为随机事件概发生的 记作
【名师提醒：1、概率从数上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小
2、若A为必然事件，则P1 A1 = 若A为不可能事件，则P1 A1 = 若A为随机事件，则 < P1 A1< 】
三、概率的计算：
1、较简单问题情景下的概率：
在一次试验中，有几种等可能的结果，事件A包含其中的几种结果，则事件A发生的概率P1 A1=
两步或两步以上的实验事件的概率计算方法：
常用的方法有列举：例 画 等
【名师提醒：当实验包含两步时，可采用列举或列表，当然也可以画树形图，当实验包含三步或三步以上时，一般用】法】
用频率估计概率
一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率会逐渐稳定在某个常数P附近，那么事件A发生的概率P1 A1=
【名师提醒：1、频率就等于概率，频率是通过多次 得到的数据，而概率是在理论上 出来的，只有当重复实验次数足够多时，可以用实验频率估计
2、要估计池塘中鱼的数目，可以先从中拿出m条做标记而后放回，待重分混合后，再从中取出几条，若其中有标记的有a条，则可估计池塘中鱼的数目为 】
【典型例题解析】
考点一：生活中的确定事件和随机事件
例1 （2012 资阳）下列事件为必然事件的是（　　）
A．小王参加本次数学考试，成绩是150分
B．某射击运动员射靶一次，正中靶心
C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻
D．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据事件的分类的定义及分类对四个选项进行逐一分析即可．
解答：解：A、小王参加本次数学考试，成绩是150分是随机事件，故本选项错误；
B、某射击运动员射靶一次，正中靶心是随机事件，故本选项错误；
C、打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻是随机事件，故本选项错误．
D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球是必然事件，故本选项正确；
故选D．
点评：本题考查的是随机事件，即在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
对应训练
1．（2012 孝感）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．通常水加热到100℃时沸腾
B．测量孝感某天的最低气温，结果为-150℃
C．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个是黑球
D．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：随机事件就是可能发生也可能不发生的事件，依据定义即可求解．
解答：解：A、C一定正确，是必然事件；
B是不可能事件，
D、篮球队员在罚球线上投篮未中属于随机事件．
故选D．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
考点二：概率的计算（）
例2 （2012 永州）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有正三角形、圆、平行四边形和正五边形．小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，则摸出的图形是中心对称图形的概率是 ．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
解答：解：共有4张牌，正面是中心对称图形的情况有2种，即B、C，所以摸出的图形是中心对称图形的纸牌的概率是：．
故答案：．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
例4 （2012 遵义）如图，4张背面完全相同的纸牌（用①、②、③、④表示），在纸牌的正面分别写有四个不同的条件，小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张（不放回），再随机摸出一张．
（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌出现的所有可能结果；
（2）以两次摸出牌上的结果为条件，求能判断四边形ABCD是平行四边形的概率．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）求得能判断四边形ABCD是平行四边形的情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
则共有12种等可能的结果；
（2）∵能判断四边形ABCD是平行四边形的有：①②，①③，②①，②④，③①，③④，④②，④③共8种情况，
∴能判断四边形ABCD是平行四边形的概率为：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
对应训练
2．（2012 新疆）在边长为1的小正方形组成的网格中，有如图所示的A，B两点，在格点上任意放置点C，恰好能使得△ABC的面积为1的概率为（　　）
A． B． C． D．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：按照题意分别找出点C所在的位置：当点C与点A在同一条直线上时，AC边上的高为1，AC=2，符合条件的点C有2个；当点C与点B在同一条直线上时，BC边上的高为1，BC=2，符合条件的点C有2个，再根据概率公式求出概率即可．
解答：解：可以找到4个恰好能使△ABC的面积为1的点，
则概率为：4÷16=．
故选：C．
点评：此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．
3．（2012 山西）小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD、BC上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：将图形分为四边形ABFE和四边形DCFE两部分，可得四边形ABFE内阴影部分是四边形ABFE面积的一半，四边形DCFE内阴影部分是四边形DCFE面积的一半，从而可得飞镖落在阴影部分的概率．
解答：解：∵四边形ABFE内阴影部分面积=×四边形ABFE面积，四边形DCFE内阴影部分面积=×四边形DCFE面积，
∴阴影部分的面积=×矩形ABCD的面积，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
故选C．
点评：此题考查同学的看图能力以及概率计算公式，从图中找到题目中所要求的信息．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
4．（2012 镇江）学校举办“大爱镇江”征文活动，小明为此次活动设计了一个以三座山为背景的图标（如图），现用红、黄两种颜色对图标中的A、B、C三块三角形区域分别涂色，一块区域只涂一种颜色．
（1）请用树状图列出所有涂色的可能结果；
（2）求这三块三角形区域中所涂颜色是“两块黄色、一块红色”的概率．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据树状图的画法画出即可；
（2）根据树状图求出所有可能的情况数，以及恰好是“两块黄色、一块红色”的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）画树状图法如下：
所有可能为：（黄，黄，黄），（黄，黄，红），（黄，红，黄），（黄，红，红），（红，黄，黄），
（红，黄，红），（红，红，黄），（红，红，红）；
（2）从树状图看出，所有可能出现的结果共有8种，
恰好“两块黄色、一块红色”的结果有3种，
所以这个事件的概率是．
点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
考点三：用频率估计概率
例5 （2012 宿迁）绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
每批粒数n 100 300 400 600 1000 2000 3000
发芽的粒数m 96 282 382 570 948 1912 2850
发芽的频数 0.960 0.940 0.955 0.950 0.948 0.956 0.950
则绿豆发芽的概率估计值是 （　　）
A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90
考点：利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：本题考查了绿豆种子发芽的概率的求法．对于不同批次的绿豆种子的发芽率往往误差会比较大，为了减少误差，我们经常采用多批次计算求平均数的方法．
解答：解：=（0.960+0.940+0.955+0.950+0.948+0.956+0.950）÷7≈0.95，
当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.95，故用频率估计概率，绿豆发芽的概率估计值是0.95．
故选B．
点评：考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
对应训练
5．（2012 大连）如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为 0.5
（精确到0.1）．
投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500
投中次数（m） 28 60 78 104 123 152 251
投中频率（m/n） 0.56 0.60 0.52 0.52 0.49 0.51 0.50
考点：利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
解答：解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
点评：此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
考点四：概率的应用（游戏的）
例6 （2012 黄冈）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机的摸出一个小球．记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y．小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜．
①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗？请说明理由．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明获胜的情况，继而利用概率公式即可求得答案，注意此题属于不放回实验；
（2）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与小明、小强获胜的情况，继而利用概率公式求得其概率，比较概率，则可得到他们制定的游戏规则是否公平，注意此题属于放回实验．
解答：解：①画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴小明获胜的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，小明获胜的有（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3）共6种情况，
∴P（小明获胜）=，
P（小强获胜）=，
∵P（小明获胜）≠P（小强获胜），
∴他们制定的游戏规则不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
对应训练
6．（2012 衡阳）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．
（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式即可求得答案；
（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可求得答案；
（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结论．
解答：解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，
∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为：；
（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况，
∴P（甲胜）=，
P（乙胜）=，
∴P（甲胜）=P（乙胜），
∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【聚焦山东中考】
1．（2012 聊城）“抛一枚均匀硬币，落地后正面朝上”这一事件是（　　）
A．必然事件 B．随机事件 C．确定事件 D．不可能事件
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
解答：解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选B．
点评：本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
2．（2012 济南）下列事件中必然事件的是（　　）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．正常情况下，将水加热到100℃时水会沸腾
C．三角形的内角和是360°
D．打开电视机，正在播动画片
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据必然事件的定义就是一定发生的事件，即可作出判断．
解答：解：A、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误；
B、必然事件，故选项正确；
C、是不可能发生的事件，故选项错误；
D、是随机事件，可能发生也可能不发生，故选项错误．
故选B．
点评：考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2012 枣庄）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是 ，则黄球的个数为（　　）
A．16 B．12 C．8 D．4
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先设黄球的个数为x个，根据题意，利用概率公式即可得方程： ，解此方程即可求得答案．
解答：解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：，
解得：x=4．
故选D．
点评：此题考查了概率公式的应用．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
4．（2012 泰安）从下列四张卡片中任取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是（　　）
A．0 B． C． D．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先判断图中中心对称图形的个数，再根据概率公式进行解答即可．
解答：解：∵在这一组图形中，中心对称图形只有最后一个，
∴卡片上的图形是中心对称图形的概率是．
故选D．
点评：本题主要考查的是概率公式及中心对称图形，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
5．（2012 临沂）在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D． 1
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中心对称图形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：确定既是中心对称的有几个图形，除以4即可求解．
解答：解：∵是中心对称图形的有圆、菱形，
所以从中随机抽取一张，卡片上的图形恰好是中心对称图形的概率是；
故选B．
点评：此题考查了概率公式，概率等于所求情况数与总情况数之比，关键是能够找出中心对称图形．
7．（2012 济南）暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小亮选到同一社区参加实践活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况，
∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为：．
故选B．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
8．（2012 泰安）一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球，则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的与这两个乒乓球上的数字之和大于5的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：列表得：
1 2 3 4
1 - 2+1=3 3+1=4 4+1=5
2 1+2=3 - 3+2=5 4+2=6
3 1+3=4 2+3=5 - 4+3=7
4 1+4=5 2+4=6 3+4=7 -
∵共有12种等可能的结果，这两个乒乓球上的数字之和大于5的有4种情况，
∴这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为：．
故选B．
点评：此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
9．（2012 青岛）用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于第二个转盘不等分，所以首先将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，然后画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与可配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：如图，将第二个转盘中的蓝色部分等分成两部分，
画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，可配成紫色的有3种情况，
∴可配成紫色的概率是：．
故选D．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意所选每种情况必须均等，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（2012 东营）小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x、乙立方体朝上一面朝上的数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y= 上的概率为（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；反比例函数图象上点的坐标特征 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与点P落在双曲线y= 上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：列表得：
甲
乙 1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
∵∴一共有36种结果，每种结果出现的可能性是相同的，点P落在双曲线y=上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1），
∴点P落在双曲线y=上的概率为：．
故选C．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（2012 聊城）我市初中毕业男生体育测试项目有四项，其中“立定跳远”“1000米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项“引体向上”或“推铅球”中选一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是 ．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：分别用A，B代表“引体向上”与“推铅球”，画树状图得：
∵共有8种等可能的结果，小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的有2种情况，
∴小亮、小明和大刚从“引体向上”或“推铅球”中选择同一个测试项目的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
12．（2012 烟台）如图所示的圆面图案是用相同半径的圆与圆弧构成的．若向圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率为 ．
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：计算出黑色区域的面积与整个图形面积的比，利用几何概率的计算方法解答即可．
解答：解：∵黑色区域的面积占了整个图形面积的，
所以飞镖落在黑色区域的概率为；
故答案为：．
点评：此题考查了几何概率，一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n，随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P（A），即有 P（A）= ．
13．（2012 菏泽）口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色1号、红色2号、黄色1号、黄色2号、黄色3号的5个小球，从中摸出两球，这两球都是红色的概率是 ．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意列出表格，然后根据表格求得所有等可能的情况与这两球都是红色的情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：列表得：
红1，黄3 红2，黄3 黄1，黄3 黄2，黄3 -
红1，黄2 红2，黄2 黄1，黄2 - 黄3，黄2
红1，黄1 红2，黄1 - 黄2，黄1 黄3，黄1
红1，红2 - 黄1，红2 黄2，红2 黄3，红2
- 红2，红1 黄1，红1 黄2，红1 黄3，红1
∵共有20种等可能的结果，这两球都是红色的有2种情况，
∴从中摸出两球，这两球都是红色的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（2012 烟台）第三届亚洲沙滩运动会服务中心要在某校选拔一名志愿者．经笔试、面试，结果小明和小颖并列第一．评委会决定通过抓球来确定人选．抓球规则如下：在不透明的布袋里装有除颜色之外均相同的2个红球和1个绿球，小明先取出一个球，记住颜色后放回，然后小颖再取出一个球．若取出的球都是红球，则小明胜出；若取出的球是一红一绿，则小颖胜出．你认为这个规则对双方公平吗？请用列表法或画树状图的方法进行分析．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据题意列表，再根据概率公式分别求出都是红球和一红一绿的概率，即可求出答案．
解答：解：根据题意，用A表示红球，B表示绿球，列表如下：
由此可知，共有9种等可能的结果，其中，两红球及一红一绿各有4种结果，
P（都是红球）=，
P（1红1绿球）=，
因此，这个规则对双方是公平的．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
15．（2012 潍坊）田忌赛马的故事为我们熟知．小亮与小齐学习概率初步知识后设计了如下游戏：小亮手中有方块10、8、6三张扑克牌，
小齐手中有方块9、7、5三张扑克牌．每人从各自手中取出一张牌进行比较，数字大的为本“局”获胜，每次取得牌不能放回．
（1）若每人随机取手中的一张牌进行比赛，求小齐本“局”获胜的概率；
（2）若比赛采用三局两胜制，即胜2局或3局者为本次比赛获胜者．当小亮的三张牌出牌顺序为先出6，再出8，最后出10时，小齐随机出牌应对，求小齐本次比赛获胜的概率．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小齐本“局”获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，小齐随机出牌的情况有：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），又由小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
∵每人随机取一张牌共有9种情况，小齐获胜的情况有（8，9），（6，9），（6，7）共3种，
∴小齐获胜的概率为P1=；
（2）据题意，小明出牌顺序为6、8、10时，
小齐随机出牌的情况有6种情况：（9，7，5），（9，5，7），（7，9，5），（7，5，9），（5，9，7），（5，7，9），7 分
∵小齐获胜的情况只有（7，9，5）一种，
∴小齐获胜的概率为P2=．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与列举法求概率的知识．此题难度适中，注意理解题意是解此题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
16．（2012 青岛）某商场为了吸引顾客，举行抽奖活动，并规定：顾客每购买100元的商品，就可随机抽取一张奖券，抽得奖券“紫气东来”、“花开富贵”、“吉星高照”，就可以分别获得100元、50元、20元的购物券，抽得“谢谢惠顾”不赠购物券；如果顾客不愿意抽奖，可以直接获得购物券10元．小明购买了100元的商品，他看到商场公布的前10000张奖券的抽奖结果如下：
奖券种类 紫气东来 花开富贵 吉星高照 谢谢惠顾
出现张数（张） 500 1000 2000 6500
（1）求“紫气东来”奖券出现的频率；
（2）请你帮助小明判断，抽奖和直接获得购物卷，哪种方式更合算？并说明理由．
考点：利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据概率的求法，找准两点：
①、符合条件的情况数目；
②、全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率．
（2）算出每张奖券获得的购物券金额的平均数，与10比较即可．
解答：解：（1）或5%；
（2）平均每张奖券获得的购物券金额为
100×+50×+20×+0×=14（元）
∵14＞10
∴选择抽奖更合算．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，易错点是获得购物券得到金额的平均数．
17．（2012 德州）若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数．
（1）请画出树状图并写出所有可能得到的三位数；
（2）甲、乙二人玩一个游戏，游戏规则是：若组成的三位数是“伞数”，则甲胜；否则乙胜．你认为这个游戏公平吗？试说明理由．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，由树状图即可求得所有可能得到的三位数；
（2）由（1），可求得胜与乙胜的概率，比较是否相等即可得到答案．
解答：解：（1）画树状图得：
所有得到的三位数有24个，分别为：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342，412，，413，421，423，431，432．…（5分）
（2）这个游戏不公平．
∵组成的三位数中是“伞数”的有：132，142，143，231，241，243，341，342，共有8个，
∴甲胜的概率为，
而乙胜的概率为，
∴这个游戏不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
18．（2012 日照）周日里，我和爸爸、妈妈在家都想使用电脑上网，可是家里只有一台电脑啊，怎么办？为了公平起见我设计了下面的两种游戏规则，确定谁使用电脑上网．
（1）任意投掷两枚质地均匀的硬币，若两枚正面都朝上，则爸爸使用电脑；若两枚反面都朝上，妈妈使用电脑；若一枚正面朝上一枚反面朝上，则我使用电脑．
（2）任意投掷两枚骰子，若点数之和被3整除，则爸爸使用电脑；若点数之和被3除余数为1，则妈妈使用电脑；若点数之和被3除余数为2，则我使用电脑．
请你来评判，这两种游戏规则哪种公平，并说明理由噢！
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意列出表格，然后根据表格求得两枚正面都朝上、两枚反面都朝上、一枚正面朝上一枚反面朝上的概率，比较大小，即可求得此游戏是否公平；
（2）首先根据题意列出表格，然后根据表格求得点数之和被3整除、点数之和被3除余数为1与点数之和被3除余数为2的概率，比较大小，即可求得此游戏是否公平．
解答：解：（1）列表得：
正面朝上 反面朝上
正面朝上 正面朝上 正面朝上 反面朝上 正面朝上
反面朝上 正面朝上 反面朝上 反面朝上 反面朝上
∵两枚硬币都是正面朝上的概率为：；
两枚硬币都是反面朝上的概率为：；
两枚硬币一正面朝上一反面朝上的概率为：；
∴“我”使用电脑的概率大；
（2）列表得：
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
∵点数之和被3整除的概率为：；
点数之和被3除余数为1的概率为：；
点数之和被3除余数为2的概率为：；
∴三种情况的概率相等．
∴第一种游戏规则不公平，第二种游戏规则公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 张家界）下列不是必然事件的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．三角形任意两边之和大于第三边
C．面积相等的两个三角形全等
D．三角形内心到三边距离相等
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．
解答：解：A、为必然事件，不符合题意；
B、为必然事件，不符合题意；
C、为不确定事件，面积相等的三角形不一定全等，符合题意；
D、为必然事件，不符合题意．
故选C．
点评：本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．
用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（2012 泰州）有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（　　）
A．事件A、B都是随机事件
B．事件A、B都是必然事件
C．事件A是随机事件，事件B是必然事件
D．事件A是必然事件，事件B是随机事件
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．首先判断两个事件是必然事件、随机事件，然后找到正确的答案．
解答：解：事件A、一年最多有366天，所以367人中必有2人的生日相同，是必然事件；
事件B、抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况，点数为偶数是随机事件．
故选D．
点评：该题考查的是对必然事件的概念的理解；解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2012 绵阳）下列事件中，是随机事件的是（　　）
A．度量四边形的内角和为180°
B．通常加热到100℃，水沸腾
C．袋中有2个黄球，共五个球，随机摸出一个求是红球
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，利用定义即可判断．
解答：解：A、是不可能事件，故选项错误；
B、是必然事件，故选项错误；
C、是不可能事件，故选项错误；
D、是随机事件，故选项正确．
故选D．
点评：本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4．（2012 岳阳）下列说法正确的是（　　）
A．随机事件发生的可能性是50%
B．一组数据2，2，3，6的众数和中位数都是2
C．为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生作为样本
D．若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定
考点：可能性的大小 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；抽样调查的可靠性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；中位数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；众数 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；方差 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据事件发生可能性的大小和概率的值的大小的关系以及中位数、众数、方差的定义分别进行判断即可．
解答：解：A、随机事件发生的可能性是大于0，小于1，故本选项错误；
B、一组数据2，2，3，6的众数是2，中位数是2.5，故本选项错误；
C、为了了解岳阳5万名学生中考数学成绩，可以从中抽取10名学生的中考数学成绩作为样本，容量太小，故本选项错误；
D、若甲组数据的方差S甲2=0.31，乙组数据的方差S乙2=0.02，则乙组数据比甲组数据稳定，故本选项正确；
故选D．
点评：此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性的大小、中位数、众数、方差等，解题的关键是根据有关定义判断出每一项的正误．
5．（2012 河北）掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是（　　）
A．每2次必有1次正面向上 B．可能有5次正面向上
C．必有5次正面向上 D．不可能有10次正面向上
考点：可能性的大小 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：本题考查了概率的简单计算能力，是一道列举法求概率的问题，属于基础题，可以直接应用求概率的公式．
解答：解：因为一枚质地均匀的硬币只有正反两面，
所以不管抛多少次，硬币正面朝上的概率都是，
所以掷一枚质地均匀的硬币10次，
可能有5次正面向上；
故选B．
点评：本题考查了可能性的大小，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6．（2012 杭州）一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（　　）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
考点：可能性的大小 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
解答：解：A．摸到红球是随机事件，故此选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故此选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故此选项正确；
故选：D．
点评：此题主要考查了随机事件以及可能性大小，利用可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等得出是解题关键．
7．（2012 厦门）某种彩票的中奖机会是1%，下列说法正确的是（　　）
A．买一张这种彩票一定不会中奖
B．买1张这种彩票一定会中奖
C．买100张这种彩票一定会中奖
D．当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%
考点：概率的意义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由某种彩票的中奖机会是1%，即可得中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
解答：解：A、因为中奖机会是1%，就是说中奖的概率是1%，机会较小，但也有可能发生，故本选项错误；
B、买1张这种彩票中奖的概率是1%，即买1张这种彩票会中奖的机会很小，故本选项错误；
C、买100张这种彩票不一定会中奖，故本选项错误；
D、当购买彩票的数量很大时，中奖的频率稳定在1%，故本选项正确．
故选D．
点评：此题考查了概率的意义．此题难度不大，注意概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生，注意概率是大量实验出现时，频数的一个稳定的数值.
8．（2012 湘潭）“湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为 ，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为由概率之和为1得出他遇到绿灯的概率即可．
解答：解：∵他在该路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
∴他遇到绿灯的概率是：1--=．
故选D．
点评：此题主要考查了概率公式的应用，根据事件的概率之和为1得出他遇到绿灯的概率是解题关键．
9．（2012 深圳）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同，小颖随意吃一个，吃到红豆粽的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：让红豆粽的总个数除以粽子的总个数即为小颖吃到红豆粽的概率．
解答：解：P（红豆粽）==．
故选：B．
点评：本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
10．（2012 黔西南州）袋子里有3个红球和2个蓝球，它们只有颜色上的区别，从袋子中随机地取出一个球，取出红球的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先求出总球数，再根据概率公式解答即可．
解答：解：因为3个红球，2个蓝球，一共是5个，从袋子中随机取出一个球，取出红球的概率是，
故选B．
点评：本题考查了概率的公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．（2012 贵阳）一个不透明的盒子里有n个除颜色外其它完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后在放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n大约是（　　）
A．6 B．10 C．18 D．20
考点：利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解答：解：由题意可得，×100%=30%，
解得，n=20（个）．
故估计n大约有20个．
故选：D．
点评：此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．
12．（2012 宁波）一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，摸到白球的概率为（　　）
A． B． C． D． 0
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．本题球的总数为1+2=3，白球的数目为2．
解答：解：根据题意可得：一个不透明口袋中装着只有颜色不同的1个红球和2个白球，共3个，
任意摸出1个，摸到白球的概率是：2÷3=．
故选A．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
13．（2012 凉山州）如图，有四张不透明的卡片除正面的算式不同外，其余完全相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，则抽到得卡片上算式正确的概率是（　　）
A． B． C． D． 1
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；合并同类项 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的乘法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；幂的乘方与积的乘方 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；同底数幂的除法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先判断运算正确的卡片的数量，然后利用概率的公式求解即可．
解答：解：四张卡片中第一张和第三张正确，
∵四张卡片中有两张正确，
故随机抽取一张，则抽到得卡片上算式正确的概率是，
故选B．
点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
15．（2012 兰州）用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（　　）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据扇形统计图可以得出“陆地”部分占地球总面积的比例，根据这个比例即可求出落在陆地的概率．
解答：解：∵“陆地”部分对应的圆心角是108°，
∴“陆地”部分占地球总面积的比例为：108÷360=，
∴宇宙中一块陨石落在地球上，落在陆地的概率是=0.3，
故选B．
点评：此题主要考查了几何概率，以及扇形统计图．用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
16．（2012 呼和浩特）如图，在一长方形内有对角线长分别为2和3的菱形，边长为1的正六边形和半径为1的圆，则一点随机落在这三个图形内的概率较大的是（　　）
A．落在菱形内 B．落在圆内
C．落在正六边形内 D．一样大
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别求得三个图形的面积，则面积最大的就是所求的图形．
解答：解：菱形的面积是：×2×3=3；
正六边形的面积是：6×=；
圆的面积是：π．
∵π＞＞3，
∴圆的面积最大．
∴一点随机落在这三个图形内的概率较大的是：圆．
故选B．
点评：本题考查了几何概率，正确求得三个图形的面积是关键．
17．（2012 大庆）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为60°的扇形AOB绕点0转动，在其半径OA上装有带指示灯的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，指示灯发光的概率为（　　）
A． B． C． D．
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：当扇形AOB落在区域I时，指示灯会发光；当扇形AOB落在区域Ⅱ的∠FOC（∠FOC=60°）内部时，指示灯会发光；当扇形AOB落在区域Ⅳ的∠DOE（∠DOE=60°）内部时，指示灯会发光；这三个部分都是发光区域，发光区域与圆的面积之比即是指示灯发光的概率．
解答：解：如图，∵当扇形AOB落在区域I时，指示灯会发光；
当扇形AOB落在区域Ⅱ的∠FOC（∠FOC=60°）内部时，指示灯会发光；
当扇形AOB落在区域Ⅳ的∠DOE（∠DOE=60°）内部时，指示灯会发光．
∴指示灯发光的概率为：．
故选D．
点评：本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到指示灯发光的区域是解题的关键，本题难度中等．
18．（2012 玉林）一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-1、1、2．随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；根的判别式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵x2+px+q=0有实数根，
∴△=b2-4ac=p2-4q≥0，
∵共有6种等可能的结果，满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的有（1，-1），（2，-1），（2，1）共3种情况，
∴满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根的概率是：．
故选A．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（2012 桂林）中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽取一项；从50米、50×2米、100米中随机抽取一项．恰好抽中实心球和50米的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果与恰好抽中实心球和50米的情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，恰好抽中实心球和50米的有1种情况，
∴恰好抽中实心球和50米的概率是：．
故选D．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（2012 义乌市）义乌国际小商品博览会某志愿小组有五名翻译，其中一名只会翻译阿拉伯语，三名只会翻译英语，还有一名两种语言都会翻译．若从中随机挑选两名组成一组，则该组能够翻译上述两种语言的概率是（　　）
A． B． C． D．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，即可画树状图，由树状图即可求得所有等可能的结果与能够翻译上述两种语言的情况，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：将一名只会翻译阿拉伯语用A表示，三名只会翻译英语都用B表示，一名两种语言都会翻译用C表示，
画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，该组能够翻译上述两种语言的有14种情况，
∴该组能够翻译上述两种语言的概率为：．
故选B．
点评：此题考查了列表法或树状图法求概率．注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
二、填空题
21．（2012 长沙）任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是 随机
事件．
考点：随机事件 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
解答：解：抛掷1枚均匀硬币可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛掷1枚均匀硬币正面朝上是随机事件．
故答案为：随机．
点评：本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
22．（2012 盐城）小勇第一次抛一枚质地均匀的硬币时正面向上，他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是 ．
考点：概率的意义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：抛一枚质地均匀的硬币，有两种结果，正面或反面朝上，每种结果等可能出现，利用概率公式即可求得答案．
解答：解：∵抛掷一枚质地均匀的硬币，有两种结果：正面朝上，反面朝上，每种结果等可能出现，
∴他第二次再抛这枚硬币时，正面向上的概率是：．
故答案为：．
点评：本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率的求解．此题属基础题，注意如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
23． （2012 台州）不透明的袋子里装有3个红球5个白球，它们除颜色外其它都相同，从中随机摸出一个球，则摸到红球的概率是 ．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．
解答：解：袋子里装有3个红球，5个白球共8个球，
从中摸出一个球是红球的概率是；
故答案为：．
点评：此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
24．（2012 西宁）5张不透明的卡片，除正面画有不同的图形外，其它均相同．把这5张卡片洗匀后，正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，与卡片上图形相对应的这种地板砖能进行平面镶嵌的概率是 ．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平面镶嵌（密铺） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据镶嵌的定义可得这5个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，再根据概率的概念即可求出利用一种地板砖能进行平面镶嵌的概率．
解答：解：∵这5个图形中只有正三角形，正方形，正六边形能够进行平面镶嵌，
∴P（单独一种能镶嵌）=．
故答案为：．
点评：本题考查的是平面镶嵌以及概率的定义：P（A）= ，n表示该试验中所有可能出现的基本结果的总数目．m表示事件A包含的试验基本结果数．
25． （2012 绥化）一只盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色不同外都相同．从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是 m+n=8
．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于每个球都有被摸到的可能性，故可利用概率公式求出摸到白球的概率与摸到的球不是白球的概率，列出等式，求出m、n的关系．
解答：解：根据概率公式，摸出白球的概率，
摸出不是白球的概率，
由于二者相同，故有=，
整理得m+n=8．
故答案为：m+n=8．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
26．（2012 重庆）将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形三边关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先求出将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算即可．
解答：解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，
共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1，1，6；
因为1，2，5两边之和小于第三边，
所以错误；
因为1，3，4两边之和等于第三边，
所以错误；
因为2，3，3两边之和大于于第三边，
所以正确；
因为4，2，2两边之和等于第三边，
所以错误；
因为1，1，6两边之和小于第三边，
所以错误；
所以其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况，
所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是；
故答案为：．
点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
27．（2012 阜新）一个暗箱里放有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中红球只有3个．若每次将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%附近，那么可以推算出a的值大约是 15
．
考点：利用频率估计概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
解答：解：由题意可得，×100%=20%，
解得，a=15个．
故答案为15．
点评：本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
28．（2012 岳阳）“校园手机”现象受社会普遍关注，某校针对“学生是否可带手机”的问题进行了问卷调查，并绘制了扇形统计图．从调查的学生中，随机抽取一名恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是 9%
．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据扇形统计图求出持“无所谓”态度的学生所占的百分比，即可求出持“无所谓”态度的学生的概率．
解答：解：恰好是持“无所谓”态度的学生的概率是1-35%-56%=9%．
故答案为：9%．
点评：此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
29．（2012 青海）随意抛一粒豆子，恰好落在如图的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么这粒豆子落在黑色方格中的概率是 ．
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据面积法：求出豆子落在黑色方格的面积与总面积的比即可解答．
解答：解：∵共有15个方格，其中黑色方格占4个，
∴这粒豆子停在黑色方格中的概率是，
故答案为：．
点评：此题考查了几何概率的求法，利用概率=相应的面积与总面积之比求出是解题关键．
30．（2012 南充）如图，把一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，自由转动转盘，停止后指针落在B区域的概率为 ．
考点：几何概率 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先确定在图中B区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向B区域的概率．
解答：解：∵一个圆形转盘按1：2：3：4的比例分成A、B、C、D四个扇形区域，
∴圆被等分成10份，其中B区域占2份，
∴落在B区域的概率==．
故答案为：．
点评：本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；
此题将概率的求解设置于几何图象或游戏中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．
31．（2012 龙岩）鸡蛋孵出后，小鸡为雌与雄的概率相同．如果两个鸡蛋都成功孵化，则孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率为 ．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先画树状图展示所有4种等可能的结果数，再找出两只小鸡中都为雄鸡占1种，然后根据概率公式即可得到孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率．
解答：解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果数，其中两只小鸡中都为雄鸡占1种，
所以孵出的两只小鸡中都为雄鸡的概率=．
故答案为：。
点评：本题考查了列表法与树状图法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出其中某事件所占有的结果数m，然后根据概率公式得到这个事件的概率= ．
32．（2012 泸州）有三张正面分别标有数字3，4，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余完全相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，记下数字后将卡片背面朝上放回，又洗匀后从中再任取一张，则两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是 ．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的有2种情况，
∴两次抽得卡片上数字的差的绝对值大于1的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；概率=所求情况数与总情况数之比．
33．（2012 宁德）一只昆虫在如图所示的树枝上爬行，假定昆虫的每个岔路口都会随机地选择一条路径，则停留在A叶面的概率是 ．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由题意可得：昆虫共有6种等可能的选择结果，而停留在A叶面的只有1种情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵根据题意可得：昆虫共有6种等可能的选择结果，而停留在A叶面的只有1种情况，
∴停留在A叶面的概率是：．
故答案为：．
点评：此题考查的是用树状图法求概率．注意理解题意，根据题意得到昆虫共有6种等可能的选择结果，而停留在A叶面的只有1种情况是解此题的关键，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
34．（2012 衢州）如图，“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种，那么双方出现相同手势的概率P= ．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与双方出现相同手势的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，双方出现相同手势的有3种情况，
∴双方出现相同手势的概率P=．
故答案为：．
点评：此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．此题比较简单，注意列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，注意概率=所求情况数与总情况数之比．
三、解答题
35．（2012 怀化）投掷一枚普通的正方体股子24次．
（1）你认为下列四种说法哪种是正确的？
①出现1点的概率等于出现3点的概率；
②投掷24次，2点一定会出现4次；
③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果出现4点的可能性就会加大；
④连续投掷6次，出现的点数之和不可能等于37．
（2）求出现5点的概率；
（3）出现6点大约有多少次？
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率的意义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为；
（2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是 ；
（3）用抛掷次数乘以出现6点的概率即可．
解答：解：（1）∵抛掷正方体骰子出现3和出现1的概率均为。
故①正确；
∵连续投掷6次，最多为6×6=36，
∴出现的点数之和不可能等于37，
∴④正确．
（2）出现5点的概率不受抛掷次数的影响，始终是；
（3）出现6点大约有24×=4次．
点评：本题考查了概率的公式，解题时注意出现1点的概率不受实验次数的影响．
36．（2012 内江）已知ai≠0（i=1，2，…，2012）满足 ：
，使直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai概率是 ．
36．
考点：概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；绝对值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一次函数图象与系数的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据ai≠0（i=1，2，…，2012）满足，ai有22个是负数，1990个是正数，从而得到图象经过一、二、四象限的ai概率
解答：解：∵ai≠0（i=1，2，…，2012）满足，
∴ai有22个是负数，1990个是正数，
∵ai＜0时直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限，
∴使直线y=aix+i（i=1，2，…，2012）的图象经过一、二、四象限的ai概率是=，
故答案为：，
点评：本题考查了概率的公式，将所有情况都列举出来是解决此题的关键．
37．（2012 肇庆）从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生，求下列事件的概率：
（1）抽取1名，恰好是男生；
（2）抽取2名，恰好是1名女生和1名男生．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由从1名男生和2名女生中随机抽取参加“我爱我家乡”演讲赛的学生，故利用概率公式即可求得抽取1名，恰好是男生的概率；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽取2名，恰好是1名女生和1名男生的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）∵有1名男生和2名女生，
∴抽取1名，恰好是男生的概率为：；
（2）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，抽取2名，恰好是1名女生和1名男生有4种情况，
∴抽取2名，恰好是1名女生和1名男生概率为：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验．
38．（2012 漳州）有A、B、C1、C2四张同样规格的硬纸片，它们的背面完全一样，正面如图1所示．将它们背面朝上洗匀后，随机抽出两张（不放回）可拼成如图2的四种图案之一．请你用画树状图或列表的方法，分析拼成哪种图案的概率最大？
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格求得所有等可能的结果与拼成各种图案的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解答：解：画树状图如下：
列表如下：
第二张
结果
第一张 A B C1 C2
A - （A，B） （A，C1） （A，C2）
B （B，A） - （B，C1） （B，C2）
C1 （C1，A） （C1，B） - （C1，C2）
C2 （C2，A） （C2，B） （C2，C1） -
∵共有12种等可能的结果，拼成卡通人，电灯、房子、小山的分别有2，4，4，2种情况，
∴P（卡通人）=，P（电灯）=，P（房子）=，P（小山）=．
∴拼成电灯或房子的概率最大．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
39．（2012 张家界）第七届中博会于2012年5月18日至20日在湖南召开，设立了长沙、株洲、湘潭和张家界4个会展区，聪聪一家用两天时间参观两个会展区：第一天从4个会展区中随机选择一个，第二天从余下3个会展区中再随机选择一个，如果每个会展区被选中的机会均等．
（1）请用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率；
（3）求张家界会展区被选中的概率．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据题意列表或画树状图，即可求得所有可能出现的结果；
（2）根据（1）可求得聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
（3）根据（1）可求得张家界会展区被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）列表得：
第1天
第2天 长 株 潭 张
长 株-长 潭-长 张-长
株 长-株 潭-株 张-株
潭 长-潭 株-潭 张-潭
张 长-张 株-张 潭-张
画树状图得：
则可得共有12种等可能的结果；
（2）∵聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的就1种情况，
∴聪聪一家第一天参观长沙会展区，第二天参观张家界会展区的概率为：；
（3）∵张家界会展区被选中的有6种情况，
∴张家界会展区被选中的概率为：=．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
40.（2012 天门）小明和小刚玩“石头、剪刀、布”的游戏，每一局游戏双方各自随机做出“石头”、“剪刀”、“布”三种手势的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，相同的手势是和局．
（1）用树形图或列表法计算在一局游戏中两人获胜的概率各是多少？
（2）如果两人约定：只要谁率先胜两局，就成了游戏的赢家．用树形图或列表法求只进行两局游戏便能确定赢家的概率．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与在一局游戏中两人获胜的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）因为由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为．可画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与进行两局游戏便能确定赢家的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：（1）画树状图得：
∵总共有9种情况，每一种出现的机会均等，每人获胜的情形都是3种，
∴两人获胜的概率都是．
（2）由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等，都为．
任选其中一人的情形可画树状图得：
∵总共有9种情况，每一种出现的机会均等，当出现（胜，胜）或（负，负）这两种情形时，赢家产生，
∴两局游戏能确定赢家的概率为：．
点评：此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
41．（2012 珠海）某学校课程安排中，各班每天下午只安排三节课．
（1）初一（1）班星期二下午安排了数学、英语、生物课各一节，通过画树状图求出把数学课安排在最后一节的概率；
（2）星期三下午，初二（1）班安排了数学、物理、政治课各一节，初二（2）班安排了数学、语文、地理课各一节，此时两班这六节课的每一种课表排法出现的概率是 ．已知这两个班的数学课都有同一个老师担任，其他课由另外四位老师担任．求这两个班数学课不相冲突的概率（直接写结果）．
考点：列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：图表型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；
（2）利用树状图分别画出每一个班级的课程安排情况，再根据（1）班的每一种排列都与（2）班的所有排列可以相组合，求出所有的排列情况，然后找出不冲突的排列，最后根据概率公式列式计算即可得解．
解答：解：（1）如图，共有6种情况，
数学科安排在最后一节的概率是；
（2）如图，两个班级的课程安排，（1）班的没有一种安排可以与（2）班的所有安排情况相对应，
所有共有6×6=36种情况，
每一种组合都有6种情况，其中有2种情况数学课冲突，其余4种情况不冲突，
所有，不冲突的情况有4×6=24，
数学课不相冲突的概率为：=．
点评：本题考查了列表法或树状图法，根据题意列出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
42．（2012 黔东南州）在一个不透明的布袋里装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的形状、大小完全相同，小明从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y．
（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的概率．
（2）小明和小红约定做一个游戏，其规则为：若x、y满足xy＞6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜，这个游戏公平吗？说明理由．若不公平，请写出公平的游戏规则．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；一次函数图象上点的坐标特征 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的情况，利用概率公式即可求得答案；
（2）根据（1）求得小明胜与小红胜的概率，比较概率大小，即可确定游戏是否公平，只要概率等则公平，否则不公平．
解答：解：（1）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，在函数y=-x+5的图象上的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），
∴点（x，y）在函数y=-x+5的图象上的概率为：；
（2）∵x、y满足xy＞6有：（2，4），（3，4），（4，2），（4，3）共4种情况，x、y满足xy＜6有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1）共6种情况，
∴P（小明胜）=，
P（小红胜）==，
∴P（小明胜）≠P（小红胜），
∴不公平；
公平的游戏规则为：若x、y满足xy≥6则小明胜，若x、y满足xy＜6则小红胜．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
43．（2012 六盘水）假期，六盘水市教育局组织部分教师分别到A、B、C、D四个地方进行新课程培训，教育局按定额购买了前往四地的车票．如图1是未制作完成的车票种类和数量的条形统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）若去C地的车票占全部车票的30%，则去C地的车票数量是 30
张，补全统计图．
（2）若教育局采用随机抽取的方式分发车票，每人一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么余老师抽到去B地的概率是多少？
（3）若有一张去A地的车票，张老师和李老师都想要，决定采取旋转转盘的方式来确定．其中甲转盘被分成四等份且标有数字1、2、3、4，乙转盘分成三等份且标有数字7、8、9，如图2所示．具体规定是：同时转动两个转盘，当指针指向的两个数字之和是偶数时，票给李老师，否则票给张老师（指针指在线上重转）．试用“列表法”或“树状图”的方法分析这个规定对双方是否公平．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；条形统计图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；概率公式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）根据去A、B、D的车票总数除以所占的百分比求出总数，再减去去A、B、D的车票总数即可；
（2）用去B地的车票数除以总的车票数即可；
（3）根据题意用列表法分别求出当指针指向的两个数字之和是偶数时的概率，即可求出这个规定对双方是否公平．
解答：解：（1）根据题意得：
总的车票数是：（20+40+10）÷（1-30%）=100，
则去C地的车票数量是100-70=30；
故答案为：30．

（2）余老师抽到去B地的概率是；
（3）根据题意列表如下：
因为两个数字之和是偶数时的概率是，
所以票给李老师的概率是，
所以这个规定对双方公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
44．（2012 黄石）已知甲同学手中藏有三张分别标有数字 ， ，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有1，3，2的卡片，卡片外形相同．现从甲乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为a，b．
（1）请你用树形图或列表法列出所有可能的结果．
（2）现制定这样一个游戏规则：若所选出的a，b能使得ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜．请问这样的游戏规则公平吗？请你用概率知识解释．
考点：游戏公平性 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；根的判别式 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；列表法与树状图法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先根据题意画出树状图，然后根据树状图即可求得所有等可能的结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙获胜的概率，比较概率大小，即可确定这样的游戏规是否公平．
解答：解：（1）画树状图得：
∵（a，b）的可能结果有（，1）、（，3）、（，2）、（，1）、（，3）、（，2）、（1，1）、（1，3）及（1，3），
∴（a，b）取值结果共有9种；
（2）∵当a=，b=1时，△=b2-4a=-1＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=，b=3时，△=b2-4a=7＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2-4a=2＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=1时，△=b2-4a=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
当a=，b=3时，△=b2-4a=8＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=，b=2时，△=b2-4a=3＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=1时，△=b2-4a=-3＜0，此时ax2+bx+1=0无实数根，
当a=1，b=3时，△=b2-4a=5＞0，此时ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
当a=1，b=2时，△=b2-4a=0，此时ax2+bx+1=0有两个相等的实数根，
∴P（甲获胜）=P（△＞0）=＞P（乙获胜）=，
∴这样的游戏规则对甲有利，不公平．
点评：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．2013年中考数学专题复习第二十四讲 与圆有关的位置关系
【基础知识回顾】
点与圆的位置关系：
1、点与圆的位置关系有 种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d
则：点P在圆内 <＝> 点P在圆上<＝>
点P在圆外 <＝>
过三点的圆：
⑴过同一直线上三点 作用，过 三点，有且只有一个圆
⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的
外接圆的圆心叫做三角形的 这个三角形叫做这个圆的
⑶三角形外心的形成：三角形 的交点，外心的性质：到 相等
【名师提醒：1、锐角三角形外心在三角形 直角三角形的外心是 锐角三角形的外心在三角形 】
直线与圆的位置关系：
1、直线与圆的位置关系有 种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆 直线叫圆的 线，这的直线叫做圆的 直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆
2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：
直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r
直线l与Qo相离<＝>d r
切线的性质和判定：
⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的
【名师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】
⑵判定定理：经过半径的 且 这条半径的直线式圆的切线
【名师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】
切线长定理：
⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的长叫做这点到圆的切线长。
⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的 相等，并且圆心和这一点的连线平分 的夹角
三角形的内切圆：
⑴与三角形各边都 的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的
⑵三角形内心的形成：是三角形 的交点
内心的性质：到三角形各 的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分
【名师提醒：三类三角形内心都在三角形 若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】
圆和圆的位置关系：
圆和圆的位置关系有 种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝>
两圆相交<＝> 两圆内切<＝>
两圆内含<＝>
【名师提醒：两圆相离无公共点包含 和 两种情况，两圆相切有唯一公共点包含 和 两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆 此时d= 】
反证法：
假设命题的结论 ，由此经过推理得出 由矛盾判定所作的假设 从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法
【名师提醒：反证法正题的关键是提出 即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与 相矛盾，也可以与 相矛盾，从而肯定原命题成立】
【典型例题解析】
考点一：切线的性质
例1 （2012 永州）如图，AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，A为切点，连接PC交⊙O于点B，连接AB，且PC=10，PA=6．
求：（1）⊙O的半径；
（2）cos∠BAC的值．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据切线的性质，即可得∠PAC=90°，又由PC=10，PA=6，利用勾股定理即可求得AC的值，继而求得⊙O的半径；
（2）由AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，根据圆周角定理与切线的性质，即可得∠ABC=∠PAC=90°，又由同角的余角相等，可得∠BAC=∠P，然后在Rt△PAC中，求得cos∠P的值，即可得cos∠BAC的值．
解答：解：（1）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴CA⊥PA，
即∠PAC=90°，
∵PC=10，PA=6，
∴AC==8，
∴OA=AC=4，
∴⊙O的半径为4；
（2）∵AC是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，
∴∠ABC=∠PAC=90°，
∴∠P+∠C=90°，∠BAC+∠C=90°，
∴∠BAC=∠P，
在Rt△PAC中，cos∠P=，
∴cos∠BAC=．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
例2 （2012 珠海）已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等边三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；含30度角的直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆心角、弧、弦的关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）PO与BC的位置关系是平行；
（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；
（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．
解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；
（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC；
（3）∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由折叠可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=PC，
又∵PC=OP=AB，
∴PD=AB，即AB=4PD．
点评：此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含30°直角三角形的性质，折叠的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题的关键．
对应训练
1．（2012 玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．
（1）求证：AE平分∠CAB；
（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；特殊角的三角函数值 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；
（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．
解答：（1）证明：连接OE，
∵⊙O与BC相切于点E，
∴OE⊥BC，
∵AB⊥BC，
∴AB∥OE，
∴∠2=∠AEO，
∵OA=OE，
∴∠1=∠AEO，
∴∠1=∠2，即AE平分∠CAB；
（2）解：2∠1+∠C=90°，tanC=．
∵∠EOC是△AOE的外角，
∴∠1+∠AEO=∠EOC，
∵∠1=∠AEO，∠OEC=90°，
∴2∠1+∠C=90°，
当AE=CE时，∠1=∠C，
∵2∠1+∠C=90°
∴3∠C=90°，∠C=30°
∴tanC=tan30°=．
点评：本题考查的是切线的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质，在解答此类题目时要熟知“若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系”．
2．（2012 泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．
（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；
（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；
（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；等腰三角形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直线与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，根据AB=AC推出52-r2=(2)2-（5-r）2，求出r，证△DPB∽△CPA，得出 ，代入求出即可；
（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案．
解答：解：（1）AB=AC，理由如下：
连接OB．
∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，
∴∠OBA=∠OAC=90°，
∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，
∵OP=OB，
∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，
∴∠ACP=∠ABC，
∴AB=AC；
（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，
∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，
∴AB2=OA2-OB2=52-r2，
AC2=PC2-PA2=(2)2-（5-r）2，
∴52-r2=(2)2-（5-r）2，
解得：r=3，
∴AB=AC=4，
∵PD是直径，
∴∠PBD=90°=∠PAC，
∵∠DPB=∠CPA，
∴△DPB∽△CPA，
∴，
∴，
解得：PB=．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为；
（3）作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出OE=AC=AB=；
又∵圆O要与直线MN交点，
∴OE=≤r，
∴r≥，
又∵圆O与直线l相离，
∴r＜5，
即≤r＜5．
点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度．
考点二：切线的判定
例2 （2012 铁岭）如图，⊙O的直径AB的长为10，直线EF经过点B且∠CBF=∠CDB．连接AD．
（1）求证：直线EF是⊙O的切线；
（2）若点C是弧AB的中点，sin∠DAB= ，求△CBD的面积．
考点：切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）先由AB是⊙O的直径可得出∠ADB=90°，再根据∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB即可得出∠ABF=90°，故EF是⊙O的切线；
（2）作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中，AB=10，sin∠DAB= 可求出BD的长，再由C是弧AB的中点，可知∠ADC=∠CDB=45°，根据BG=DG=BDsin45°可求出BG的长，由∠DAB=∠DCB可得出CG的长，进而得出CD的长，利用三角形的面积公式即可得出结论．
解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°即∠ADC+∠CDB=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠CBF=∠CDB，
∴∠ABC+∠CBF=90°即∠ABF=90°，
∴AB⊥EF
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，
在Rt△ABD中
∵AB=10，sin∠DAB=，
又∵sin∠DAB=，
∴BD=6
∵C是弧AB的中点，
∴∠ADC=∠CDB=45°，
∴BG=DG=BDsin45°=6×=3，
∵∠DAB=∠DCB
∴tan∠DCB==，
∴CG=4，
∴CD=CG+DG=4+3=7，
∴S△CBD=CD BG=．
点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
对应训练
考点三：三角形的外接圆和内切圆
例4 （2012 阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为 cm的圆形纸片所覆盖．
考点：三角形的外接圆与外心 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；锐角三角函数的定义 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的定义得出sin∠D= ，代入求出CD即可．
解答：解：作圆O的直径CD，连接BD，
∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，
∴∠D=∠A=60°，
∵直径CD，
∴∠DBC=90°，
∴sin∠D=，
即sin60°=，
解得：CD=2，
∴圆O的半径是，
故答案为：．
点评：本题考查了圆周角定理，三角形的外接圆与外心，锐角三角函数的定义的应用，关键是得出sin∠D= ，题目比较典型，是一道比较好的题目．
例5 （2012 玉林）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为（　　）
A．r B． C．2r D．
考点：三角形的内切圆与内心 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；矩形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；正方形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；切线长定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．
解答：解：连接OD、OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，
∵∠ABC=90°，
∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，
∴四边形ODBE是矩形，
∵OD=OE，
∴矩形ODBE是正方形，
∴BD=BE=OD=OE=r，
∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，
∴MP=DM，NP=NE，
∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，
故选C．
点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．
对应训练
4．（2012 台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．
考点：三角形的外接圆与外心 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由∠ABC=∠DBE可知∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，即∠ABD=∠CBE，根据SAS定理可知△ABD≌△CBE；
（2）由（1）可知，△ABD≌△CBE，故CE=AD，根据点D是△ABC外接圆圆心可知DA=DB=DC，再由BD=BE可判断出BD=BE=CE=CD，故可得出四边形BDCE是菱形．
解答：（1）证明：∵∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC+∠CBD=∠DBE+∠CBD，
∴∠ABD=∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
∵，
∴△ABD≌△CBE …4分
（2）解：四边形BDEF是菱形．证明如下：
同（1）可证△ABD≌△CBE，
∴CE=AD，
∵点D是△ABC外接圆圆心，
∴DA=DB=DC，
又∵BD=BE，
∴BD=BE=CE=CD，
∴四边形BDCE是菱形．
点评：本题考查的是三角形的外接圆与外心、全等三角形的判定与性质及菱形的判定定理，先根据题意判断出△ABD≌△CBE是解答此题的关键．
5．（2012 武汉）在锐角三角形ABC中，BC=5，sinA= ，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA=BC，求AI的长．
考点：三角形的内切圆与内心 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形的面积 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）作直径CD，连接BD，求出∠DBC=90°，∠A=∠D，根据sin∠A的值求出即可；
（2）连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，求出BF⊥AC，AF=CF，根据sin∠A求出BF\AF，求出AC，根据三角形的面积公式得出5×R+5×R+6×R=6×4，求出R，在△AIF中，由勾股定理求出AI即可．
解答：（1）解：作直径CD，连接BD，
∵CD是直径，
∴∠DBC=90°，∠A=∠D，
∵BC=5，sin∠A=，
∴sin∠D==，
∴CD=，
答：三角形ABC外接圆的直径是．
（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，
∵AB=BC=5，I为△ABC内心，
∴BF⊥AC，AF=CF，
∵sin∠A==，
∴BF=4，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，
AC=2AF=6，
∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，
∴IE=IF=IG，
设IE=IF=IG=R，
∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，
∴AB×R+BC×R+AC×R=AC×BF，
即5×R+5×R+6×R=6×4，
∴R=，
在△AIF中，AF=3，IF=，由勾股定理得：AI=．
答：AI的长是．
点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．
考点三：圆与圆的位置关系
例6 （2012 毕节地区）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（　　）
A．外离 B．内切 C．外切 D．相交
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．
解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．
故选B．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d=R+r，两圆外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d=R-r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R-r（R＞r），两圆内含．
对应训练
6．（2012 德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 4
个．
6．4
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；直线与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．
解答：解：
如图，满足条件的⊙P有4个，
故答案为4．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．
【聚焦山东中考】
1．（2012 济南）已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与圆的位置关系即可判断．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，
∴两根之和=5=两圆半径之和，
又∵圆心距O1O2=5，
∴两圆外切．
故选B．
点评：此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断．
圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：
①两圆外离 d＞R+r；
②两圆外切 d=R+r；
③两圆相交 R-r＜d＜R+r（R≥r）；
④两圆内切 d=R-r（R＞r）；
⑤两圆内含 d＜R-r（R＞r）．
2．（2012 青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（　　）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，
∴O1O2=6-4=2，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．
故选A．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
3．（2012 泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则的长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．5π
考点：切线的性质；弧长的计算．分析：连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，在利用弧长公式即可求出
的长．
解答：解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴∠ABO=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∴ BC 的长为nπr 180 =120×π×3 180 =2π，
故选B．
点评：本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．
4．（2012 潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（　　）
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解一元二次方程-因式分解法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵x2-7x+10=0，
∴（x-2）（x-5）=0，
∴x1=2，x2=5，
即两圆半径r1、r2分别是2，5，
∵2+5=7，两圆的圆心距为7，
∴两圆的位置关系是外切．
故选C．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
5．（2012 济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是 ．
5．48
48考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质．
分析：首先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．
解答：解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，
∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，
∵AB∥EF，BC∥FG，
∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，
∴AL=BL，BK=CK，
∴OL=BC=×8=4，OK=AB=×6=3，
∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，
∴PL=AB=×6=3，KN=BC=×8=4，
在Rt△ABC中，AC= =10，
∴OM=OQ=AC=5，
∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，
∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．
故答案为：48．
点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
6．（2012 菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．
6．23
考点：切线的性质．专题：计算题．
分析：由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数．
解答：解：∵PA，PB是⊙O是切线，
∴PA=PB，又∠P=46°，
∴∠PAB=∠PBA==67°，
又PA是⊙O是切线，AO为半径，
∴OA⊥AP，
∴∠OAP=90°，
∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°．
故答案为：23。
点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
7．（2012 烟台）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若sin∠BAC= ，求 的值．
考点：切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）首先连接OC，由CD⊥AB，CF⊥AF，CF=CE，即可判定AC平分∠BAF，由圆周角定理即可得∠BOC=2∠BAC，则可证得∠BOC=∠BAF，即可判定OC∥AF，即可证得CF是⊙O的切线；
（2）由垂径定理可得CE=DE，即可得S△CBD=2S△CEB，由△ABC∽△CBE，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，易求得△CBE与△ABC的面积比，继而可求得的值．
解答：（1）证明：连接OC．
∵CE⊥AB，CF⊥AF，CE=CF，
∴AC平分∠BAF，即∠BAF=2∠BAC．
∵∠BOC=2∠BAC，
∴∠BOC=∠BAF．
∴OC∥AF．
∴CF⊥OC．
∴CF是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=ED，∠ACB=∠BEC=90°．
∴S△CBD=2S△CEB，∠BAC=∠BCE，
∴△ABC∽△CBE．
∴=()2=（sin∠BAC）2=()2=．
∴=．
点评：此题考查了切线的判定、垂径定理、相似三角形的判定与性质以及圆周角定理等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 恩施州）如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（　　）
A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm
考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理．分析：首先连接OC，AO，由切线的性质，可得OC⊥AB，由垂径定理可得AB=2AC，然后由勾股定理求得AC的长，继而可求得AB的长．解答：解：如图，连接OC，AO，
∵大圆的一条弦AB与小圆相切，
∴OC⊥AB，
∴AC=BC=AB，
∵OA=5cm，OC=4cm，
在Rt△AOC中，AC= =3cm，
∴AB=2AC=6（cm）．
故选C．
点评：此题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．
2．（2012 河南）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，．则下列结论中不一定正确的是（　　）
A．BA⊥DA B．OC∥AE C．∠COE=2∠CAE D．OD⊥AC
考点：切线的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：分别根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．
解答：解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
∴BA⊥DA，故A正确；
∵，
∴∠EAC=∠CAB，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∴∠EAC=∠ACO，
∴OC∥AE，故B正确；
∵∠COE是所对的圆心角，∠CAE是所对的圆周角，
∴∠COE=2∠CAE，故C正确；
只有当时OD⊥AC，故本选项错误．
故选D．
点评：本题考查的是切线的性质，圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．
3．（2012 黄石）如图所示，直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C，且AB=2，AD=1，P点在切线CD上移动．当∠APB的度数最大时，则∠ABP的度数为（　　）
A．15° B．30° C．60° D．90°
考点：切线的性质；三角形的外角性质；圆周角定理．
分析：连接BD，由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大，利用圆周角定理和直角三角形的性质即可求出∠ABP的度数．
解答：解：连接BD，
∵直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D，
∴∠ADB=90°，
当∠APB的度数最大时，
则P和D重合，
∴∠APB=90°，
∵AB=2，AD=1，
∴sin∠DBP=，
∴∠ABP=30°，
∴当∠APB的度数最大时，∠ABP的度数为30°．
故选B．
点评：本题考查了切线的性质，圆周角定理以及解直角三角形的有关知识，解题的关键是由题意可知当P和D重合时，∠APB的度数最大为90°．
4．（2012 乐山）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是（　　）
A．内含 B．内切 C．相交 D．外切
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，
∴3+2=5，
∵两圆的圆心距为O1O2=5，
∴两圆的位置关系是外切．
故选D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是熟记两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
6．（2012 上海）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（　　）
A．外离 B．相切 C．相交 D．内含
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，
又∵6-2=4，4＞3，
∴这两个圆的位置关系是内含．
故选：D．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
7．（2012 宿迁）若⊙O1，⊙O2的半径分别是r1=2，r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是（　　）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先求出两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系．
解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别是2和4，圆心距d是5，
则4-2=2，4+2=6，d=5，
∴2＜d＜6，
两圆相交时，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
∴两圆相交．
故选B．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意外离，则P＞R+r；外切，则P=R+r；相交，则R-r＜P＜R+r；内切，则P=R-r；内含，则P＜R-r．（P表示圆心距，R，r分别表示两圆的半径）．
9．（2012 嘉兴）如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（　　）
A．15° B．20° C．30° D．70°
考点：切线的性质．分析：由BC与⊙0相切于点B，根据切线的性质，即可求得∠OBC=90°，又由∠ABC=70°，即可求得∠OBA的度数，然后由OA=OB，利用等边对等角的知识，即可求得∠A的度数．解答：解：∵BC与⊙0相切于点B，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∵∠ABC=70°，
∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=90°-70°=20°，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBA=20°．
故选B．
点评：此题考查了切线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意圆的切线垂直于经过切点的半径定理的应用．
10. （2012 泉州）如图，O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交E、F，则（　　）
A．EF＞AE+BF B．EF＜AE+BF C．EF=AE+BF D．EF≤AE+BF
考点：三角形的内切圆与内心 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：探究型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：连接OA，OB，由O是△ABC的内心可知OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，故可得出∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，再由EF∥AB可知，∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，故可得出∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，故AE=OE，OF=BF，由此即可得出结论．
解答：解：连接OA，OB，
∵O是△ABC的内心，
∴OA、OB分别是∠CAB及∠ABC的平分线，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO，
∵EF∥AB，
∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO，
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF，
∴AE=OE，OF=BF，
∴EF=AE+BF．
故选C．
点评：本题考查的是三角形的内切圆与内心，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．
二、填空题
11．（2012 吉林） 如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，∠ACB=40°，点P在边BC上，则∠PAB的度数可能为 （写出一个符合条件的度数即可）。
11．45°（答案不唯一）
考点：切线的性质．专题：开放型．
分析：由切线的性质可以证得△ABC是直角三角形，然后根据直角三角形的两个锐角互余知，∠CAB=50°；因为点P在边BC上，所以∠PAB＜∠CAB．解答：解：∵AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=40°（已知），
∴∠CAB=50°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵点P在边BC上，
∴0＜∠PAB＜∠CAB，
∴∠PAB可以取49°，45°，40…
故答案可以是：45°。
点评：本题考查了切线的性质．此题属于开放型题目，解题时注意答案的不唯一性．
12．（2012 江西）如图，AC经过⊙O的圆心O，AB与⊙O相切于点B，若∠A=50°，则∠C= 度．
12．20
考点：切线的性质；圆周角定理．
分析：首先连接OB，由AB与⊙O相切于点B，根据切线的性质，即可得OB⊥AB，又由∠A=50°，即可求得∠AOB的度数，然后由圆周角定理，求得∠C的度数．
解答：解：连接OB，
∵AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
即∠OBA=90°，
∵∠A=50°，
∴∠AOB=90°-∠A=40°，
∴∠C=∠AOB=×40°=20°．
故答案为：20．
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理与直角三角形的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
13．（2012 淮安）如图，⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，则⊙N的半径为 4
cm．
13．4
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据两圆外切圆心距等于两半径之和求得另一圆的半径即可．
解答：解：∵⊙M与⊙N外切，MN=10cm，若⊙M的半径为6cm，
∴⊙N的半径=10-6=4cm
故答案为4．
点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是了解当两圆外切时圆心距等于两半径之和．
14．（2012 六盘水）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 相交
．
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
解答：解：∵两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，
∴2+3=5，3-2=1，
∵1＜4＜5，
∴这两圆的位置关系是相交．
故答案为：相交．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．
15．（2012 铜仁地区）已知圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，则圆O2的半径为 7cm
．
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，利用两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可求得圆O2的半径．
解答：解：∵圆O1和圆O2外切，圆心距为10cm，圆O1的半径为3cm，
∴圆O2的半径为：10-3=7（cm）．
故答案为：7cm．
点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
16．（2012 盐城）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t= 2或0
．
考点：圆与圆的位置关系 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解一元二次方程-因式分解法 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：先解方程求出⊙O1、⊙O2的半径，再分两圆外切和两圆内切两种情况列出关于t的方程讨论求解．
解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是方程x2-4x+3=0的两根，
解得⊙O1、⊙O2的半径分别是1和3．
①当两圆外切时，圆心距O1O2=t+2=1+3=4，解得t=2；
②当两圆内切时，圆心距O1O2=t+2=3-1=2，解得t=0．
∴t为2或0．
故答案为：2或0．
点评：考查解一元二次方程-因式分解法和圆与圆的位置关系，同时考查综合应用能力及推理能力．注意：两圆相切，应考虑内切或外切两种情况是解本题的难点．
17．（2012 荆门）如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分别与OA、OC、BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2，0），B（1，2），则tan∠FDE= ．
17．
考点：切线的性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义．分析：先连接PB、PE，根据⊙P分别与OA、BC相切，得出PB⊥BC，PE⊥OA，再根据A、B点的坐标，得出AE和BE的值，从而求出tan∠ABE，最后根据∠EDF=∠ABE，即可得出答案．
解答：解：连接PB、PE．
∵⊙P分别与OA、BC相切于点E、B，
∴PB⊥BC，PE⊥OA，
∵BC∥OA，
∴B、P、E在一条直线上，
∵A（2，0），B（1，2），
∴AE=1，BE=2，
∴tan∠ABE=AE BE =，
∵∠EDF=∠ABE，
∴tan∠FDE=．
故答案为：．
点评：此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、解直角三角形、圆周角定理，解题的关键是做出辅助线，构建直角三角形．
18．（2012 连云港）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B，C两点作⊙O的切线，两切线相交与点P，则∠BPC= °．
18．70
考点：切线的性质；圆周角定理．
分析：首先连接OB，OC，由PB，PC是⊙O的切线，利用切线的性质，即可求得∠PBO=∠PCO=90°，又由圆周角定理可得：∠BOC=2∠BAC，继而求得∠BPC的度数．
解答：解：连接OB，OC，
∵PB，PC是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∴∠PBO=∠PCO=90°，
∵∠BOC=2∠BAC=2×55°=110°，
∴∠BPC=360°-∠PBO-∠BOC-∠PCO=360°-90°-110°-90°=70°．
故答案为：70．
点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及四边形的内角和定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19．（2012 武汉）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是 ．
19．
考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．
分析：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．解答：解：当OC与圆A相切（即到C′点）时，∠BOC最小，
AC′=2，OA=3，由勾股定理得：OC′=，
∵∠BOA=∠AC′O=90°，
∴∠BOC′+∠AOC′=90°，∠C′AO+∠AOC′=90°，
∴∠BOC′=∠OAC′，
tan∠BOC=，
随着C的移动，∠BOC越来越大，但不到E点，即∠BOC＜90°，
∴tan∠BOC≥，
故答案为：．
点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．
20．（2012 宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是AD
的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：
①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP AD=CQ CB．
其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．
20．②③④
考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．
分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为 的中点，得到两条弧相等，再由C为 的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP AD，等量代换可得出AP AD=CQ CB，选项④正确．
解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；
连接BD，如图所示：
∵GD为圆O的切线，
∴∠GDP=∠ABD，
又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，
∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，
∴△APF∽△ABD，
∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，
∴∠GDP=∠GPD，
∴GP=GD，选项②正确；
∵直径AB⊥CE，
∴A为的中点，即，
又C为的中点，∴ ，
∴，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP，
又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，
∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；
连接CD，如图所示：
∵，
∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，
∴△ACQ∽△BCA，
∴AC CQ =CB AC ，即AC2=CQ CB，
∵，
∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，
∴△ACP∽△ADC，
∴，即AC2=AP AD，
∴AP AD=CQ CB，选项④正确，
则正确的选项序号有②③④．
故答案为：②③④。
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
21.（2012 黄石）如图所示，已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，经过t秒后，以O、A为顶点作菱形OABC，使B、C点都在第一象限内，且∠AOC=60°，又以P（0，4）为圆心，PC为半径的圆恰好与OA所在的直线相切，则t= ．
21.
考点：切线的性质；坐标与图形性质；菱形的性质；解直角三角形．专题：动点型．分析：先根据已知条件，求出经过t秒后，OC的长，当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，利用垂径定理和解直角三角形的有关知识即可求出t的值．解答：解：∵已知A点从（1，0）点出发，以每秒1个单位长的速度沿着x轴的正方向运动，
∴经过t秒后，
∴OA=1+t，
∵四边形OABC是菱形，
∴OC=1+t，
当⊙P与OA，即与x轴相切时，如图所示，则切点为O，此时PC=OP，过P作PE⊥OC，
∴OE=CE=OC，
∴OE=1+t 2 ，
在Rt△OPE中，
OE=OP cos30°=，
∴= ，
∴t=，
故答案为：．
点评：本题综合性的考查了菱形的性质、坐标与图形性质、切线的性质、垂径定理的运用以及解直角三角形的有关知识，属于中档题目．
22.（2012 湘潭）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为 ∠ABC=90°
．
22.∠ABC=90°
考点：切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：开放型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据切线的判定方法知，能使BC成为切线的条件就是能使AB垂直于BC的条件，进而得出答案即可．
解答：解：当△ABC为直角三角形时，即∠ABC=90°时，
BC与圆相切，
∵AB是⊙O的直径，∠ABC=90°，
∴BC是⊙O的切线，（经过半径外端，与半径垂直的直线是圆的切线）．
故答案为：∠ABC=90°．
点评：此题主要考查了切线的判定，本题是一道典型的条件开放题，解决本类题目可以是将最终的结论当做条件，而答案就是使得条件成立的结论．
三、解答题
23．（2012 天津）已知⊙O中，AC为直径，MA、MB分别切⊙O于点A、B．
（Ⅰ）如图①，若∠BAC=25°，求∠AMB的大小；
（Ⅱ）如图②，过点B作BD⊥AC于E，交⊙O于点D，若BD=MA，求∠AMB的大小．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：计算题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（Ⅰ）由AM与圆O相切，根据切线的性质得到AM垂直于AC，可得出∠MAC为直角，再由∠BAC的度数，用∠MAC-∠BAC求出∠MAB的度数，又MA，MB为圆O的切线，根据切线长定理得到MA=MB，利用等边对等角可得出∠MAB=∠MBA，由底角的度数，利用三角形的内角和定理即可求出∠AMB的度数；
（Ⅱ）连接AB，AD，由直径AC垂直于弦BD，根据垂径定理得到A为优弧的中点，根据等弧对等弦可得出AB=AD，由AM为圆O的切线，得到AM垂直于AC，又BD垂直于AC，根据垂直于同一条直线的两直线平行可得出BD平行于AM，又BD=AM，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADBM为平行四边形，再由邻边MA=MB，得到ADBM为菱形，根据菱形的邻边相等可得出BD=AD，进而得到AB=AD=BD，即△ABD为等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠D为60°，再利用菱形的对角相等可得出∠AMB=∠D=60°．
解答：解：（Ⅰ）∵MA切⊙O于点A，
∴∠MAC=90°，又∠BAC=25°，
∴∠MAB=∠MAC-∠BAC=65°，
∵MA、MB分别切⊙O于点A、B，
∴MA=MB，
∴∠MAB=∠MBA，
∴∠MAB=180°-（∠MAB+∠MBA）=50°；
（Ⅱ）如图，连接AD、AB，
∵MA⊥AC，又BD⊥AC，
∴BD∥MA，又BD=MA，
∴四边形MADB是平行四边形，又MA=MB，
∴四边形MADB是菱形，
∴AD=BD．
又∵AC为直径，AC⊥BD，
∴，
∴AB=AD，又AD=BD，
∴AB=AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴在菱形MADB中，∠AMB=∠D=60°．
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，弦、弧及圆心角之间的关系，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，切线长定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
24.（2012 铜仁地区）如图，已知⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，AB⊥CD，⊙O的切线BF与弦AD的延长线相交于点F．
（1）求证：CD∥BF；
（2）若⊙O的半径为5，cos∠BCD= ，求线段AD的长．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，根据切线的性质，即可得BF⊥AB，又由AB⊥CD，即可得CD∥BF；
（2）又由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，由圆周角定理，可得∠BAD=∠BCD，然后由⊙O的半径为5，cos∠BCD= ，即可求得线段AD的长．
解答：（1）证明：∵BF是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴BF⊥AB，
∵CD⊥AB，
∴CD∥BF；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵⊙O的半径5，
∴AB=10，
∵∠BAD=∠BCD，
∴cos∠BAD=cos∠BCD==，
∴AD=cos∠BAD AB=×10=8，
∴AD=8．
点评：此题考查了切线的性质、平行线的判定、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意数形结合思想与转化思想的应用．
25．（2012 咸宁）如图，AB是⊙O的直径，点E是AB上的一点，CD是过E点的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，BF∥CD，连接BC．
（1）已知AB=18，BC=6，求弦CD的长；
（2）连接BD，如果四边形BDCF为平行四边形，则点E位于AB的什么位置？试说明理由．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；垂径定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；相似三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由BF与⊙O相切，根据切线的性质，可得BF⊥AB，又由BF∥CD，易得CD⊥AB，由垂径定理即可求得CE=DE，然后连接CO，设OE=x，则BE=9-x，由勾股定理即可求得OE的长，继而求得CD的长；
（2）由四边形BDCF为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得CD=BF，又由△AEC∽△ABF，即可求得点E是AB的中点．
解答：（1）解：∵BF与⊙O相切，
∴BF⊥AB．
而BF∥CD，
∴CD⊥AB．
又∵AB是直径，
∴CE=ED．
连接CO，设OE=x，则BE=9-x．
由勾股定理可知：CO2-OE2=BC2-BE2=CE2，
即92-x2=62-（9-x）2，
解得：x=7．
∴CD=2=2．
（2）∵四边形BDCF为平行四边形，
∴BF=CD．
而CE=DE=CD，
∴CE=BF．
∵BF∥CD，
∴△AEC∽△ABF．
∴．
∴点E是AB的中点．
点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
26．（2012 张家界）如图，⊙O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2，过点C作⊙O的切线DC，P点为优弧 上一动点（不与A、C重合）．
（1）求∠APC与∠ACD的度数；
（2）当点P移动到CB弧的中点时，求证：四边形OBPC是菱形．
（3）P点移动到什么位置时，△APC与△ABC全等，请说明理由．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；全等三角形的判定与性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；菱形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）连接AC，由直径AB=4，得到半径OA=OC=2，又AC=2，得到AC=OC=OA，即三角形AOC为等边三角形，可得出三个内角都为60°，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，得到∠APC为30°，由CD为圆O的切线，得到OC垂直于CD，可得出∠OCD为直角，用∠OCD-∠OCA可得出∠ACD的度数；
（2）由∠AOC为60°，AB为圆O的直径，得到∠BOC=120°，再由P为的中点，得到两条弧相等，根据等弧对等角，可得出∠COP=∠BOP=60°，进而得到三角形COP与三角形BOP都为等边三角形，可得出OC=OB=PC=PB，即四边形OBPC为菱形；
（3）P有两个位置使三角形APC与三角形ABC全等，其一：P与B重合时，显然两三角形全等；第二：当CP为圆O的直径时，此时两三角形全等，理由为：当CP与AB都为圆的直径时，根据直径所对的圆周角为直角可得出三角形ACP与三角形ABC为直角三角形，由AB=CP，AC为公共边，利用HL即可得到直角三角形ACP与直角三角形ABC全等．
解答：解：（1）连接AC，如图所示：
∵AC=2，OA=OB=OC=AB=2，
∴AC=OA=OC，
∴△ACO为等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60°，
∴∠APC=∠AOC=30°，
又DC与圆O相切于点C，
∴OC⊥DC，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠DCO-∠ACO=90°-60°=30°；
（2）连接PB，OP，
∵AB为直径，∠AOC=60°，
∴∠COB=120°，
当点P移动到CB的中点时，∠COP=∠POB=60°，
∴△COP和△BOP都为等边三角形，
∴OC=CP=OB=PB，
则四边形OBPC为菱形；
（3）当点P与B重合时，△ABC与△APC重合，显然△ABC≌△APC；
当点P继续运动到CP经过圆心时，△ABC≌△CPA，理由为：
∵CP与AB都为圆O的直径，
∴∠CAP=∠ACB=90°，
在Rt△ABC与Rt△CPA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△CPA（HL）．
点评：此题考查切线的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，等边三角形的判定与性质，以及弧、圆心角及弦之间的关系，熟练掌握性质与判定是解本题的关键．
27.（2012 河北）如图，A（-5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．
（1）求点C的坐标；
（2）当∠BCP=15°时，求t的值；
（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．
考点：切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；坐标与图形性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；勾股定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标；
（2）需要对点P的位置进行分类讨论：①当点P在点B右侧时，如图2所示，由∠BCO=45°，用∠BCO-∠BCP求出∠PCO为30°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；②当点P在点B左侧时，如图3所示，用∠BCO+∠BCP求出∠PCO为60°，又OC=3，在Rt△POC中，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出OP的长，由PQ=OQ+OP求出运动的总路程，由速度为1个单位/秒，即可求出此时的时间t；
（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况考虑：
①当⊙P与BC边相切时，利用切线的性质得到BC垂直于CP，可得出∠BCP=90°，由∠BCO=45°，得到∠OCP=45°，即此时△COP为等腰直角三角形，可得出OP=OC，由OC=3，得到OP=3，用OQ-OP求出P运动的路程，即可得出此时的时间t；
②当⊙P与CD相切于点C时，P与O重合，可得出P运动的路程为OQ的长，求出此时的时间t；
③当⊙P与CD相切时，利用切线的性质得到∠DAO=90°，得到此时A为切点，由PC=PA，且PA=9-t，PO=t-4，在Rt△OCP中，利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到此时的时间t．
综上，得到所有满足题意的时间t的值．
解答：解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，
∴OC=OB=3，
又∵点C在y轴的正半轴上，
∴点C的坐标为（0，3）；
（2）分两种情况考虑：
①当点P在点B右侧时，如图2，
若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，
故PO=CO tan30°=，此时t=4+；
②当点P在点B左侧时，如图3，
由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，
故OP=COtan60°=3，
此时，t=4+3，
∴t的值为4+或4+3；
（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：
①当⊙P与BC相切于点C时，有∠BCP=90°，
从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1；
②当⊙P与CD相切于点C时，有PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4；
③当⊙P与AD相切时，由题意，得∠DAO=90°，
∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9-t）2，PO2=（t-4）2，
于是（9-t）2=（t-4）2+32，即81-18t+t2=t2-8t+16+9，
解得：t=5.6，
∴t的值为1或4或5.6．
点评：此题考查了切线的性质，坐标与图形性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
28．（2012 宁波）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知sinA=，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．
考点：切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；扇形面积的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线．
（2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF求解即可．
解答：解：（1）连接OE．
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠OBE=∠EBC
∴∠OEB=∠EBC
∴OE∥BC
∵∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°
∴AC是⊙O的切线；

（2）连接OF．
∵sinA=，∴∠A=30°
∵⊙O的半径为4，∴AO=2OE=8，
∴AE=4，∠AOE=60°，∴AB=12，
∴BC=AB=6 AC=6，
∴CE=AC-AE=2．
∵OB=OF，∠ABC=60°，∴△OBF是正三角形．
∴∠FOB=60°，CF=6-4=2，∴∠EOF=60°．
∴S梯形OECF=（2+4）×2=6．
S扇形EOF==，
∴S阴影部分=S梯形OECF-S扇形EOF=6-．
点评：本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．
29．（2012 莆田）如图，点C在以AB为直径的半圆O上，延长BC到点D，使得CD=BC，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，点G为DF的中点，连接CG、OF、FB．
（1）求证：CG是⊙O的切线；
（2）若△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，求证：OF∥BC．
考点：切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：几何综合题 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）连接OC．欲证CG是⊙O的切线，只需证明∠CGO=90°，即CG⊥OC；
（2）根据直角三角形ABC、直角三角形DCF的面积公式，以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得AC=2AF；然后根据三角形中位线的判定与定理证得该结论．
解答：证明：（1）在△ABC中，∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO（等边对等角）；
在Rt△DCF中，∵点G为DF的中点，∴CG=GF（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半），
∴∠GCF=∠CFG（等边对等角）；
∵DE⊥AB（已知），∠CFG=∠AFE（对顶角相等）；
∴在Rt△AEF中，∠A+∠AEF=90°；
∴∠ACO+∠GCF=90°，即∠CGO=90°，
∴CG⊥OC，
∴CG是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），即AC⊥BD；
又∵CD=BC，点G为DF的中点，
∴S△AFB=S△ABC-S△BCF=（AC BC-CF BC），S△DCG=S△FCD=×DC CF=BC CF；
∵△AFB的面积是△DCG的面积的2倍，
∴（AC BC-CF BC）=2×BC CF，
∴AC=2CF，即点F是AC的中点；
∵O点是AB的中点，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OF∥BC．
点评：本题考查了切线的判定、圆周角定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
30 （2012 义乌市）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
考点：切线的判定 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；圆周角定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；弧长的计算 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；
（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；
（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．
解答：解：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为π．
点评：此题考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．2013年中考数学专题复习第二十讲 多边形与平行四边形
【基础知识回顾】
多边形：
1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形
2、多边形的内外角和：
n(n≥3)的内角和事 外角和是 正几边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是
3、多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个几边形共有 条对边线
【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形
2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】
二、平面图形的密铺：
1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 地铺成一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的
2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用 、 或
⑵用两正多边形密铺，组合方式有： 和 、 和 、 和
合 等几种
【名师提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 并使相等的边互相平合】
三、平行四边
1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成
2、平行四边形的特质：
⑴平行四边形的两组对边分别
⑵平行四边形的两组对角分别
⑶平行四边形的对角线
【名师提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对边的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】
3、平行四边形的判定：
⑴用定义判定
⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形
⑶一组对它 的四边形是平行四边形
⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形
⑸对角线 的四边形是平行四边形
【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】
4、平行四边形的面积：计算公式 X
同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积
【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段 两平行线之间的距离处 】
【重点考点例析】
考点一：多边形内角和、外角和公式
例1 （2012 南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．
对应训练
1．（2012 广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．
考点二：平面图形的密铺
例2 （2012 贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
考点三：平行四边形的性质
例3 （2012 阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14
AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（　　）
A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8
例4 （2012 广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
对应训练
3．（2012 永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
4．（2012 大连）如图， ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．
考点四：平行四边形的判定
例5 （2012 资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行的四边形是梯形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
例6 （2012 湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
对应训练
5．（2012 泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2012 沈阳）已知，如图，在 ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
2．（2012 玉林）正六边形的每个内角都是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
3．（2012 深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
4．（2012 南宁）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
5．（2012 杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
6．（2012 巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等
7．（2012 广元）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（2012 益阳）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
9．（2012 德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）
A． B． C． D．
1．（2012 孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
二、填空题
10．（2012 义乌市）正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为 ．
11．（2012 厦门）五边形的内角和的度数是 ．
12．（2012 德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是 ．
13．（2012 成都）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．
14．（2012 黑龙江）如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
2．（2012 咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为　28　．
　
3．（2012 天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　　．
　
4．（2012 沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为　16　cm2．
　
5．（2012 深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为　7　．
三、解答题
15．（2012 湖州）已知：如图，在 ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC=3，求AD的长．
16．（2012 黄石）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
17．（2012 泰州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．（2012 厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．
（1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3-4，求BC的长．
6．（2012 重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
　
7．（2012 襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．2013年中考数学专题复习第十三讲 反比例函数
【基础知识回顾】
反比例函数的概念：
一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数
【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）
3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于 】
二、反比例函数的同象和性质：
1、反比例函数y=（k≠0）的同象是 它有两个分支，关于 对称
2、反比例函数y=（k≠0）当k>0时它的同象位于 象限，在每一个象限内y随x的增大而 当k<0时，它的同象位于 象限，在每一个象限内，y随x的增大而
【名师提醒：1、在反比例函数y=中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴无限接近，但永不与x轴y轴
2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k的几何意义：
反曲线y=（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线 →
两线与坐标轴围成的形面积 ，即如图： AOBP=
S△AOP=
【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数y=（k≠0）中只有一个被定系数 所以求反比例函数关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法
反比例函数的应用
解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
考点一：反比例函数的同象和性质
例1 （2012 张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数 在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．
解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=过一、三象限；
当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=过二、四象限；
故选C．
点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．
例2 （2012 佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数
图象的两个分支分别在（　　）
A．第一、三象限 B．第二、四象限
C．第一、二象限 D．第三、四象限
思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．
解：a2-a+2，
=a2-a+-+2，
=（a-）2+7 4 ，
∵（a-）2≥0，
∴（a-）2+7 4 ＞0，
∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限．
故选A．
点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数（k≠0）：（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
例3 （2012 台州）点（-1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y2
思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答．
解：∵函数中k=6＞0，
∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵-1＜0，
∴点（-1，y1）在第三象限，
∴y1＜0，
∵0＜2＜3，
∴（2，y2），（3，y3）在第一象限，
∴y2＞y3＞0，
∴y2＞y3＞y1．
故选D．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．
对应训练
1．（2012 毕节地区）一次函数y=x+m（m≠0）与反比例函数的图象在同一平面直角坐标系中是（　　）
A． B． C． D．
1．C
2．（2012 内江）函数的图象在（　　）
A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二象限 D．第二、四象限
2．A
2．解：∵中x≥0，中x≠0，
故x＞0，此时y＞0，
则函数在第一象限．
故选A．
3．（2012 佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数的图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．
3．＞
考点二：反比例函数解析式的确定
例4 （2012 哈尔滨）如果反比例函数的图象经过点（-1，-2），则k的值是（　　）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得
-2=，即2=k-1，
解得k=3．
故选D．
点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
对应训练
4．（2012 广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（　　）
A． B． C． D．
4．D
4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可求得b的值，然后根据反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．
解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，
△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，
解得：b=-3或1．
∵反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴1+b＜0
∴b＜-1，
∴b=-3．
则反比例函数的解析式是：y=，即．
故选D．
考点三：反比例函数k的几何意义
例5 （2012 铁岭）如图，点A在双曲线上，
点B在双曲线（k≠0）上，AB∥x轴，
分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为
D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k的符号，再延长线段BA，交y轴于点E，由于AB∥x轴，所以AE⊥y轴，故四边形AEOD是矩形，由于点A在双曲线上，所以S矩形AEOD=4，同理可得S矩形OCBE=k，由S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD即可得出k的值．
解：∵双曲线（k≠0）上在第一象限，
∴k＞0，
延长线段BA，交y轴于点E，
∵AB∥x轴，
∴AE⊥y轴，
∴四边形AEOD是矩形，
∵点A在双曲线上，
∴S矩形AEOD=4，
同理S矩形OCBE=k，
∵S矩形ABCD=S矩形OCBE-S矩形AEOD=k-4=8，
∴k=12．
故选A．
点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
对应训练
5．（2012 株洲）如图，直线x=t（t＞0）与
反比例函数的图象分别交于
B、C两点，A为y轴上的任意一点，
则△ABC的面积为（　　）
A．3 B．
C． D．不能确定
5．C
5．解：把x=t分别代入，得，
所以B（t，）、C（t，），
所以BC=-（）=．
∵A为y轴上的任意一点，
∴点A到直线BC的距离为t，
∴△ABC的面积=．
故选C．
考点四：反比例函数与一次函数的综合运用
例6 （2012 岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
连接AO、BO，下列说法正确的是（　　）
A．点A和点B关于原点对称
B．当x＜1时，y1＞y2
C．S△AOC=S△BOD
D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．
解：A、，
∵把①代入②得：x+1=，
解得：x1=-2，x2=1，
代入①得：y1=-1，y2=2，
∴B（-2，-1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；
C、∵S△AOC=×1×2=1，S△BOD=×|-2|×|-1|=1，
∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．
对应训练
6．（2012 达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=(m≠0)，在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　）
A．-2＜x＜0或x＞1? B．x＜-2或0＜x＜1
C．x＞1 D．-2＜x＜1
6．A
6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2= (m≠0)的交点坐标为（1，4），（-2，-2），
由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，
∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．
故选A．
【聚焦山东中考】
1．（2012 青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
1．A
1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，
∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选A．
2．（2012 菏泽）反比例函数的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系成立的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1=y2 D．不能确定
2．D
3．（2012 滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=中，y是x的反比例函数的有 （填序号）。
3．②⑤
4．（2012 济宁）如图，是反比例函数的图象的一个分支，对于给出的下列说法：
①常数k的取值范围是k＞2；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；
④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；
其中正确的是 （在横线上填出正确的序号）
4．①②④
4．解：①根据函数图象在第一象限可得k-2＞0，故k＞2，故①正确；
②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；
③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；
④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确；
故答案为：①②④．
5．（2012 潍坊）点P在反比例函数（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y轴对称，则反比例函数的解析式为 ．
5．
5．解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，
∴P点坐标为（-2，4），
将（-2，4）解析式得，
k=xy=-2×4=-8，
∴函数解析式为．
故答案为．
6．（2012 聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．
6．
6．解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b，则b2=9，解得b=6，
∵正方形的中心在原点O，
∴直线AB的解析式为：x=3，
∵点P（3a，a）在直线AB上，
∴3a=3，解得a=1，
∴P（3，1），
∵点P在反比例函数（k＞0）的图象上，
∴k=3，
∴此反比例函数的解析式为：．
故答案为：．
7．（2012 泰安）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB的面积为1．
（1）求一次函数与反比例的解析式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b-＞0的解集．
7．解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1
∴B（-2，0），OA=1，
∴A（0，-1）
∴，
∴，
∴y=x-1
又∵OD=4，OD⊥x轴，
∴C（-4，y），
将x=-4代入y=x-1得y=1，
∴C（-4，1）
∴1=，
∴m=-4，
∴y=。
（2）当x＜0时，kx+b-＞0的解集是x＜-4．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 南充）矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系式用图象表示大致为（　　）
A． B． C． D．
1．C
2．（2012 孝感）若正比例函数y=-2x与反比例函数图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为（　　）
A．（2，-1） B．（1，-2） C．（-2，-1） D．（-2，1）
2．B
3．（2012 恩施州）已知直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则x1y2+x2y1的值为（　　）
A．-6 B．-9 C．0 D．9
3．A
3．思路分析：先根据点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点可得出x1 y1=x2 y2=3，再根据直线y=kx（k＞0）与双曲线交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点可得出x1=-x2，y1=-y2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可．
解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线上的点
∴x1 y1=x2 y2=3①，
∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y=3 x 交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴x1=-x2，y1=-y2②，
∴原式=-x1y1-x2y2=-3-3=-6．
故选A．
4．（2012 常德）对于函数，下列说法错误的是（　　）
A．它的图象分布在一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小
4．C
5．（2012 淮安）已知反比例函数的图象如图所示，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0
5．A
6．（2012 南平）已知反比例函数的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n的大小关系为（　　）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定
6．A
7．（2012 内江）已知反比例函数的图象经过点（1，-2），则k的值为（　　）
A．2 B． C．1 D．-2
7．D
8．（2012 荆门）已知：多项式x2-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数的解析式为（　　）
A． B． C．或 D．或
8．C
8．解：∵多项式x2-kx+1是一个完全平方式，
∴k=±2，
把k=±2分别代入反比例函数y=k-1 x 的解析式得：y=1 x 或y=-3 x ，
故选：C．
9．（2012 铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数的图象过点A，则k的值是（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
9．D
10．（2012 黔东南州）如图，点A是反比例函数（x＜0）的图象上的一点，过点A作ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则ABCD的面积为（　　）
A．1 B．3 C．6 D．12
10．C
10．解：过点A作AE⊥OB于点E，
因为矩形ADOC的面积等于AD×AE，平行四边形的面积等于：AD×AE，
所以 ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，
根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOC的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6．
故选C．
11．（2012 无锡）若双曲线与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1，则k的值为（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
11．B
12．（2012 梅州）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线的交点的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
12．C
13．（2012 阜新）如图，反比例函数的图象
与正比例函数y2=k2x的图象交于点（2，1），则使
y1＞y2的x的取值范围是（　　）
A．0＜x＜2
B．x＞2
C．x＞2或-2＜x＜0
D．x＜-2或0＜x＜2
13．D
13．解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A（2，1），
∴B（-1，-2），
∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜-2时函数y1的图象在y2的上方，
∴使y1＞y2的x的取值范围是x＜-2或0＜x＜2．
故选D．
14．（2012 南京）若反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k的值可以是（　　）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
14．A
14．解：∵反比例函数与一次函数y=x+2的图象没有交点，
∴ 无解，即=x+2无解，整理得x2+2x-k=0，
∴△=4+4k＜0，解得k＜-1，四个选项中只有-2＜-1，所以只有A符合条件．
故选A．
二、填空题
16．（2012 连云港）已知反比例函数的图象经过点A（m，1），则m的值为 ．
16．2
17．（2012 盐城）若反比例函数的图象经过点P（-1，4），则它的函数关系式是 ．
17．
18．（2012 衡阳）如图，反比例函数的图象经过点P，则k= ．
18．-6
19．（2012 宿迁）在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线和于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于 ．
19．4
19．解：如图所示：分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵点A、B分别在双曲线和上，
∴S矩形ACOE=6，S矩形BEOD=2，
∴S矩形ACBD=S矩形ACOE+S矩形BEOD=6+2=8，即AB AC=8，
∴S△ABP=AB AC=×8=4．
故答案为：4．
20．（2012 毕节地区）如图，双曲线 (k≠0)上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为 ．
20．
21．（2012 益阳）反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），则反比例函数的解析式是 ．
21．
三、解答题
24．（2012 湖州）如图，已知反比例函数（k≠0）的图象经过点（-2，8）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．
24．解：（1）把（-2，8）代入，得8=，
解得：k=-16，所以y=-16 x ；
（2）y1＜y2．
理由：∵k=-16＜0，
∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4，
∴y1＜y2．
25．（2012 资阳）已知：一次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点（0，-2）旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．
25．解：（1）把x=1代入y=3x-2，得y=1，
设反比例函数的解析式为，
把x=1，y=1代入得，k=1，
∴该反比例函数的解析式为；
（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，
解方程组，得或．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（，3）和（-1，-1）；
（3）y=-2x-2．
（结论开放，常数项为-2，一次项系数小于-1的一次函数均可）
26．（2012 肇庆）已知反比例函数图象的两个分支分别位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．
①求当x=-6时反比例函数y的值；
②当0＜x＜时，求此时一次函数y的取值范围．
26．解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，
∴k-1＞0，
解得：k＞1；
（2）①∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，
∴将y=4代入得：4x=k-1，即x=，
将y=4代入②得：2x+k=4，即x=，
∴=，即k-1=2（4-k），
解得：k=3，
∴反比例解析式为，
当x=-6时，y=；
②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即x=，
∵0＜x＜，∴0＜＜，
解得：3＜y＜4，
则一次函数y的取值范围是3＜y＜4．2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用
【基础知识回顾】
一元二次方程的定义：
1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最 方程
2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ， 是常数项
【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件
2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】
二、一元二次方程的常用解法：
1、直接开平方法：如果aX 2 =b 则X 2 = X1= X2=
2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数
2、移项：把 项移到方程的 边
3、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式
4、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程
3、公式法：如果方程aX 2 +bx+c=0(a±0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式为
4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 从而方程的两根
【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和 法】
三、一元二次方程根的判别式
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示
①当 时，方程有两个不等的实数根
②当 时，方程看两个相等的实数根
③当 时，方程没有实数根
【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数 】
一元二次方程根与系数的关系：
关于X的一元二次方程aX 2 +bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2则X1+X2 =
X2 =
一元二次方程的应用：
解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行
常见题型
增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa（1+X）2=b
利润问题：总利润= X 或利润 —
几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程
【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件】
【重点考点例析】
考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）
例1 （2012 兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+=0 B．ax2+bx+c=0
C．（x-1）（x+2）=1 D．3x2-2xy-5y2=0
思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；
B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；
C、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；
D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．
故选C．
点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
对应训练
1．（2012 惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a= ．
1．1
解：∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，
∴a+1≠0且a2-1=0，
∴a=1．
故答案为1．
点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．
考点二：一元二次方程的解法
例2 （2012 安徽）解方程：x2-2x=2x+1．
思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
解：∵x2-2x=2x+1，
∴x2-4x=1，
∴x2-4x+4=1+4，
（x-2）2=5，
∴x-2=±，
∴x1=2+，x2=2-．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；
（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
例3 （2012 黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（　　）
A．7 B．3 C．7或3 D．无法确定
思路分析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长．
解：x2-10x+21=0，
因式分解得：（x-3）（x-7）=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，2+3＜6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为2，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
故选A
点评：此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解，以及三角形的边角关系，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解．
对应训练
2．（2012 台湾）若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？（　　）
A．-57 B．63 C．179 D．181
2．D
2．解：x2-2x-3599=0，
移项得：x2-2x=3599，
x2-2x+1=3599+1，
即（x-1）2=3600，
x-1=60，x-1=-60，
解得：x=61，x=-59，
∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，
∴a=61，b=-59，
∴2a-b=2×61-（-59）=181，
故选D．
3．（2012 南充）方程x（x-2）+x-2=0的解是（　　）
A．2 B．-2，1 C．-1 D．2，-1
3．D
考点三：根的判别式的运用
例3 （2012 襄阳）如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　）
A．k＜ B．k＜且k≠0 C．-≤k＜ D．-≤k＜且k≠0
思路分析：根据方程有两个不相等的实数根，则△＞0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．
解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，△=2k+1-4k＞0，
∴-≤k＜且k≠0．
故选D．
点评：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的判别式△=b2-4ac．一元二次方程根的情况与判别式△的关系为：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0 方程没有实数根．
例4 （2012 绵阳）已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0．
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．
思路分析：（1）根据关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0的根的判别式的符号来证明结论；
（2）根据一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为；再根据三角形的周长公式进行计算．
解：（1）证明：∵△=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，
∴在实数范围内，m无论取何值，（m-2）2+4≥4，即△≥4，
∴关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根；
（2）根据题意，得
12-1×（m+2）+（2m-1）=0，
解得，m=2，
则方程的另一根为：3；
①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；
该直角三角形的周长为1+3+=4+；
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．
点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想．
对应训练
3．（2012 桂林）关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．k＜-1 D．k＞-1
3．A．
4．（2012 珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．
（1）当m=3时，判断方程的根的情况；
（2）当m=-3时，求方程的根．
4．解：（1）∵当m=3时，
△=b2-4ac=22-4×3=-8＜0，
∴原方程无实数根；
（2）当m=-3时，
原方程变为x2+2x-3=0，
∵（x-1）（x+3）=0，
∴x-1=0，x+3=0，
∴x1=1，x2=-3．
考点四：一元二次方程的应用
例5 （2012 南京）某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为 万元；
（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月返利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）
思路分析：（1）根据若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，得出该公司当月售出3部汽车时，则每部汽车的进价为：27-0.1×2，即可得出答案；
（2）利用设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润，根据当0≤x≤10，以及当x＞10时，分别讨论得出即可．
解：（1）∵若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为：27-0.1×2=26.8，
故答案为：26.8；
（2）设需要售出x部汽车，
由题意可知，每部汽车的销售利润为：
28-[27-0.1（x-1）]=（0.1x+0.9）（万元），
当0≤x≤10，
根据题意，得x （0.1x+0.9）+0.5x=12，
整理，得x2+14x-120=0，
解这个方程，得x1=-20（不合题意，舍去），x2=6，
当x＞10时，
根据题意，得x （0.1x+0.9）+x=12，
整理，得x2+19x-120=0，
解这个方程，得x1=-24（不合题意，舍去），x2=5，
因为5＜10，所以x2=5舍去，
答：需要售出6部汽车．
点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键．
对应训练
5．（2012 乐山）菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．
（1）求平均每次下调的百分率；
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：
方案一：打九折销售；
方案二：不打折，每吨优惠现金200元．
试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．
5．解 （1）设平均每次下调的百分率为x．
由题意，得5（1-x）2=3.2．
解这个方程，得x1=0.2，x2=1.8．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.8不符合题意，
符合题目要求的是x1=0.2=20%．
答：平均每次下调的百分率是20%．
（2）小华选择方案一购买更优惠．
理由：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元），
方案二所需费用为：3.2×5000-200×5=15000（元）．
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠．
【聚焦山东中考】
一、选择题
1．（2012 日照）已知关于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞且k≠2 B．k≥且k≠2 C．k＞且k≠2 D．k≥且k≠2
1．C
1．解：∵方程为一元二次方程，
∴k-2≠0，
即k≠2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2-4（k-2）2＞0，
∴（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）＞0，
∴5（4k-3）＞0，
k＞，
故k＞且k≠2．
故选C．
3．（2012 潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（　　）
A．32 B．126 C．135 D．144
3．D
3．解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出：
x（x+16）=192，
解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去），
故最小的三个数为：8，9，10，
下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17，
第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24，
故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
故选：D．
5．（2012 日照）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）2x2+（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）
　 A．k＞且k≠2 B． k≥且k≠2 C． k＞且k≠2 D． k≥且k≠2
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义。
专题： 计算题。
分析： 根据方程有两个不相等的实数根，可知△＞0，据此列出关于k的不等式，解答即可．
解答： 解：∵方程为一元二次方程，
∴k﹣2≠0，
即k≠2，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＞0，
∴（2k+1）2﹣4（k﹣2）2＞0，
∴（2k+1﹣2k+4）（2k+1+2k﹣4）＞0，
∴5（4k﹣3）＞0，
k＞，
故k＞且k≠2．
故选C．
点评： 本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断出二次项系数不为0是解题的关键．
6．（2012 烟台）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是（　　）
　 A．x2+2x﹣4=0 B． x2﹣4x+4=0 C． x2+4x+10=0 D． x2+4x﹣5=0
考点： 根与系数的关系。
专题： 计算题。
分析： 找出四个选项中二次项系数a，一次项系数b及常数项c，计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac大于等于0时，设方程的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系x1+x2=﹣求出各项中方程的两个之和，即可得到正确的选项．
解答： 解：A、x2+2x﹣4=0，
∵a=1，b=2，c=﹣4，
∴b2﹣4ac=4+16=20＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=﹣2，本选项不合题意；
B、x2﹣4x+4=0，
∵a=1，b=﹣4，c=4，
∴b2﹣4ac=16﹣16=0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=4，本选项不合题意；
C、x2+4x+10=0，
∵a=1，b=4，c=10，
∴b2﹣4ac=16﹣40=﹣28＜0，
即原方程无解，本选项不合题意；
D、x2+4x﹣5=0，
∵a=1，b=4，c=﹣5，
∴b2﹣4ac=16+20=36＞0，
设方程的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=﹣=﹣4，本选项符号题意，
故选D
点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设方程的两个解分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
二、填空题
7．（2012 聊城）一元二次方程x2-2x=0的解是 ．
7．x1=0，x2=2
8．（2012 青岛）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为 ．
8．（22-x）（17-x）=300
9．（2012 德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是 ．
9．a≥-1
解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，
当a≠0时，方程是一元二次方程，
若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，
则△=[2（a+2）]2-4a a≥0，
解得：a≥-1．
故答案为：a≥-1．
10．（2012 莱芜）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元．已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年该市要投入的教育经费为　 　万元．
考点： 一元二次方程的应用。
专题： 增长率问题。
分析： 一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2012年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2012年的基础上再增长x，就是2013年的教育经费数额，即可列出方程求解．
解答： 解：根据题意2012年为2500（1+x），2013年为2500（1+x）（1+x）．
则2500（1+x）（1+x）=3600，
解得x=0.2或x=﹣2.2（不合题意舍去）．
故这两年投入教育经费的平均增长率为20%，2012年该市要投入的教育经费为：2500（1+20%）=3000万元．
故答案为：3000．
点评： 本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数=增长后的量．
11．（2012 枣庄）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则这个方程的另一个根是　 　．
考点： 根与系数的关系。
专题： 计算题。
分析： 设方程的另一根为a，由一个根为2，利用根与系数的关系求出两根之积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即为方程的另一根．
解答： 解：∵方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，设另一个为a，
∴2a=﹣6，
解得：a=﹣3，
则方程的另一根是﹣3．
故答案为：﹣3
点评： 此题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时方程有解，此时设方程的解为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
　
12．（2012 威海）若关于x的方程x2+（a﹣1）x+a2=0的两根互为倒数，则a=　 　．
考点： 根与系数的关系。
专题： 计算题。
分析： 设方程的两根分别为m与n，由m与n互为倒数得到mn=1，再由方程有解，得到根的判别式大于等于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围，然后利用根与系数的关系表示出两根之积，可得出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
解答： 解：设已知方程的两根分别为m，n，
由题意得：m与n互为倒数，即mn=1，
由方程有解，得到△=b2﹣4ac=（a﹣1）2﹣4a2≥0，
解得：﹣1≤a≤，
又mn=a2，∴a2=1，
解得：a=1（舍去）或a=﹣1，
则a=﹣1．
故答案为：﹣1
点评： 此题考查了根与系数的关系，倒数的定义，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，设此时方程的解为x1和x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．
　
13．（2012 日照）已知x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，那么的值为　 ．
考点： 根与系数的关系。
分析： 利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2=﹣7，x1 x2=﹣8；然后将所求的代数式转化为含有x1+x2、x1 x2形式，并将其代入求值即可．
解答： 解：∵x1、x2是方程2x2+14x﹣16=0的两实数根，
∴根据韦达定理知，x1+x2=﹣7，x1 x2=﹣8，
∴==﹣．
故答案是：﹣．
点评： 此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
　
三、解答题
14．（2012 菏泽）解方程：（x+1）（x-1）+2（x+3）=8．
14．解：原方程可化为 x2+2x-3=0．
∴（x+3）（x-1）=0，
∴x1=-3，x2=1．
15．（2012 滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ．根据题意，可列出方程 ．
整理，得 ．
解这个方程，得 ．
合乎实际意义的解为 ．
答：应邀请 支球队参赛．
15．解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 （x-1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为x（x-1）．
根据题意，可列出方程x（x-1）=28．
整理，得x2-x=28，
解这个方程，得 x1=8，x2=-7．
合乎实际意义的解为 x=8．
答：应邀请 8支球队参赛．
故答案为：（x-1； x（x-1）；x（x-1）=28；x2-x=28；x1=8，x2=-7；x=8；8．
16．（2012 济宁）一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
16．解：因为60棵树苗售价为120元×60=7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120-0.5（x-60）]=8800，
解得：x1=220，x2=80．
当x2=220时，120-0.5×（220-60）=40＜100，
∴x1=220（不合题意，舍去）；
当x2=80时，120-0.5×（80-60）=110＞100，
∴x=80，
答：该校共购买了80棵树苗．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　）
A．-1 B．0 C．1 D．-1或1
1．A
1．解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选A．
2．（2012 荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（　　）
A．（x-1）2=4 B．（x+1）2=4 C．（x-1）2=16 D．（x+1）2=16
2．A
3．（2012 宜宾）将代数式x2+6x+2化成（x+p）2+q的形式为（　　）
A．（x-3）2+11 B．（x+3）2-7 C．（x+3）2-11 D．（x+2）2+4
3．B．
4．（2012 莆田）方程（x-1）（x+2）=0的两根分别为（　　）
A．x1=-1，x2=2 B．x1=1，x2=2
C．x1=-1，x2=-2 D．x1=1，x2=-2
4．D
5．（2012 淮安）方程x2-3x=0的解为（　　）
A．x=0 B．x=3 C．x1=0，x2=-3 D．x1=0，x2=3
5．D
6．（2012 南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2x-a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）
A．1 B．-1 C． D．-
6．B．
7．（2012 常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有实数解，则m的取值范围是（　　）
A．m≤-1 B．m≤1 C．m≤4 D．m≤
7．B
8．（2012 泰州）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．36（1-x）2=36-25 B．36（1-2x）=25
C．36（1-x）2=25 D．36（1-x2）=25
8．C．
9．（2012 河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情况是（　　）
　 A．有两个相等的实数根 B． 有两个不相等的实数根
　 C．只有一个实数根 D． 无实数根
考点： 根的判别式。
分析： 求出b2﹣4ac的值，根据b2﹣4ac的正负即可得出答案．
解答： 解：x2+2x+2=0，
这里a=1，b=2，c=2，
∵b2﹣4ac=22﹣4×1×2=﹣4＜0，
∴方程无实数根，
故选D．
点评： 本题考查的知识点是根与系数的关系，当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，一元二次方程无实数根．
　
　
11．（2012 泸州）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k=0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
　 A． k≥2 B． k≤2 C． k＞﹣2 D． k＜﹣2
考点： 根的判别式。
专题： 计算题。
分析： 根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义可得到△≥0，即（﹣4）2﹣4×1×2k≥0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
解答： 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2k=0有两个实数根，
∴△≥0，即（﹣4）2﹣4×1×2k≥0，
解得k≤2．
∴k的取值范围是k≤2．
故选B．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．
　
12．（2012 娄底）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　）
　 A．289（1﹣x）2=256 B． 256（1﹣x）2=289
C．289（1﹣2x）=256 D．256（1﹣2x）=289
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程。
专题： 增长率问题。
分析： 设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为256元，”可得方程289（1﹣x）2=256．
解答： 解：设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289（1﹣x），则第二次降价为289（1﹣x）2，由题意得：
289（1﹣x）2=256．
故选：A．
点评： 此题主要考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
　
二、填空题
13．（2012 吉林）若方程x2-x=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x2-x1= ．
13．1
14．（2012 上海）如果关于x的一元二次方程x2-6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ．
14．c＞9
15．（2012 广州）已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为 ．
15．3
16．（2012 包头）关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=　 　．
考点： 解一元二次方程-因式分解法；分式方程的解。
分析： 首先解出一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解，根据两个方程x2﹣x﹣2=0与解相同，把x的值代入第二个方程中，解出a即可．
解答： 解：x2﹣x﹣2=0，
（x﹣2）（x+1）=0，
x﹣2=0或x+1=0，
x1=2，x2=﹣1，
∵x+1≠0，
∴x≠﹣1，
把x=2代入=中得：=，
解得：a=4，
故答案为：4．
点评： 此题主要考查了解一元二次方程，以及解分式方程，关键是正确确定x的值，注意分式方程要注意分母有意义，还要检验．
　
　
17．（2012 鄂州）设x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，且，则a=　 　．
考点： 根与系数的关系。
专题： 计算题。
分析： 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将已知的等式整理后，把求出的两根之和与两根之积代入列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．
解答： 解：∵x1、x2是一元二次方程x2+5x﹣3=0的两个实根，
∴x1+x2=﹣5，x1x2=﹣3，x22+5x2=3，
又∵2x1（x22+6x2﹣3）+a=2x1（x22+5x2+x2﹣3）+a=2x1（3+x2﹣3）+a=2x1x2+a=4，
∴﹣10+a=4，
解得：a=14．
故答案为：14．
点评： 此题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．
　
18．（2012 丹东）美丽的丹东吸引了许多外商投资，某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平
均增长率为x，则列出关于x的方程为　 　．
考点： 由实际问题抽象出一元二次方程。
专题： 增长率问题。
分析： 由于某外商向丹东连续投资3年，2010年初投资2亿元，2012年初投资3亿元．设每年投资的平均增长率为x，那么2011年初投资2（1+x），2012年初投资2（1+x）2，由2012年初投资的金额不变即可列出方程．
解答： 解：设每年投资的平均增长率为x，由题意，有
2（1+x）2=3．
故答案为2（1+x）2=3．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n=b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率，b是增长了n年后的数据．
　
三、解答题
19．（2012 温州）解方程：x2-2x=5．
19．解：配方得（x-1）2=6
∴x-1=±∴x1=1+，x2=1-．
20．（2012 无锡）解方程：x2-4x+2=0
20．解：△=42-4×1×2=8，
∴，
∴x1= 2+，x2= 2-。
21．（2012 巴中）解方程：2（x-3）=3x（x-3）．
21．解：2（x-3）=3x（x-3）
移项得：2（x-3）-3x（x-3）=0
整理得：（x-3）（2-3x）=0
x-3=0或2-3x=0
解得：x1=3或x2=
22．（2012 孝感）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．
（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根：
（2）若x1，x2是原方程的两根，且|x1-x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根．
22．解：（1）证明：∵△=（m+3）2-4（m+1）…1分
=（m+1）2+4，∵无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=-（m+3），x1 x2=m+1，
∵|x1-x2|=2，
∴（x1-x2）2=（2）2，
∴（x1+x2）2-4x1x2=8。
∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8∴m2+2m-3=0。
解得：m1=-3，m2=1。
当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，
解得：x1=，x2=-.
当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，
解得：x1=-2+，x2=-2-.
　
24．（2012 徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．
（1）求a的值；
（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？
考点： 一元二次方程的应用；分段函数。
专题： 应用题。
分析： （1）由题意知，3月份电量超过了a千瓦，可列等式20+（80﹣a）=35，解一元二次方程求出a的值即可；
（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元．根据题意列出分段函数，然后求出5月份的电量．
解答： 解：（1）根据3月份用电80千瓦时，交电费35元，得，，
即a2﹣80a+1500=0．
解得a=30或a=50．
由4月份用电45千瓦时，交电费20元，得，a≥45．
∴a=50．
（2）设月用电量为x千瓦时，交电费y元．则
∵5月份交电费45元，
∴5月份用电量超过50千瓦时．
∴45=20+0.5（x﹣50），解得x=100．
答：若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为100千瓦时．
点评： 本题主要考查一元二次函数的应用和分段函数的知识点，解答本题的关键是理解题意，列出一元二次方程，此题难度一般．
　
25．（2012 襄阳）为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
考点： 一元二次方程的应用。
专题： 几何图形问题。
分析： 设小道进出口的宽度为x米，然后利用其种植花草的面积为532平方米列出方程求解即可．
解答： 解：设小道进出口的宽度为x米，依题意得（30﹣2x）（20﹣x）=532．
整理，得x2﹣35x+34=0．
解得，x1=1，x2=34．
∵34＞30（不合题意，舍去），
∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为1米．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出方程．
　
26．（2012 湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2．
考点： 一元二次方程的应用。
分析： 根据可以砌50m长的墙的材料，即总长度是50m，AB=xm，则BC=（50﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
解答： 解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．
根据题意可得，x（50﹣2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，
故x1=10（不合题意舍去），
答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形．
点评： 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用25m，舍掉不符合题意的数据．
　
27．（2012 厦门）工厂加工某种零件，经测试，单独加工完成这种零件，甲车床需要x小时，乙车床需用（x2﹣1）小时，丙车床需用（2x﹣2）小时．（1）单独加工完成这种零件，甲车床所用的时间是丙车床的，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间；
（2）加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效率能否相同？请说明理由．
考点： 一元二次方程的应用；一元一次方程的应用。
分析： （1）若甲车床需要x小时，丙车床需用（2x﹣2）小时，根据甲车床所用的时间是丙车床的即可列出方程，
（2）若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，根据题意列方程=，再通过检验得出原分式方程无解，即可说明乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能相同．
解答： 解：（1）若甲车床需要x小时，丙车床需用（2x﹣2）小时，根据题意得；
x=（2x﹣2）
解得；x=4，
乙车床需用的时间是；42﹣1=15（小时），
答：乙车床单独加工完成这种零件所需的时间是15小时；
（2）若乙车床的工作效率与丙车床的工作效率相同，由题意得：
=
解得：x=1，
因为x1=x2=1时，2（x+1）（x﹣1）=0，
所以原分式方程无解，
所以乙车床的工作效率与丙车床的工作效率不能相同．
点评： 此题考查了一元二次方程的应用；关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，在解分式方程时要注意检验．
　
28．（2012 遵义）根据遵义市统计局发布的2011年遵义市国民经济和社会发展统计公报相关数据，我市2011年社会消费品总额按城乡划分绘制统计图①，2010年与2011年社会消费品销售额按行业划分绘制条形统计图②，根据图中信息回答下列问题：
（1）图①中“乡村消费品销售额”的圆心角是 度，乡村消费品销售额为 亿元；
（2）2010年到2011年间，批发业、零售业、餐饮住宿业中销售额增长的百分数最大的行业是 ；
（3）预计2013年我市的社会消品总销售额到达504亿元，求我市2011-2013年社会消费品销售总额的年平均增长率．
28．解：（1）根据2011年城镇消费品销售额占总额80%，得出“乡村消费品销售额”所占百分比为：1-80%=20%，
则“乡村消费品销售额”所占的圆心角是：360°×20%=72°；利用条形图可知：消费总额为：50+260+40=350亿元，
故乡村消费品销售额为：350×20%=70亿元；
故答案为：72，70；
（2）利用条形图可得：批发业：35（1+x）=50，
解得：x=，
零售业：220（1+y）=260，
解得：y=，
餐饮住宿业：35（1+z）=40，
解得：z=，
∵＞＞，
∴批发业销售额增长的百分数最大；
故答案为：批发业；
（3）根据2011年销售总额为350亿元，设年平均增长率是x．根据题意，得
350（1+x）2=504，
1+x=±1.2，
x1=20%，x2=-2.2（不合题意，应舍去）．
答：我市2011-2013年社会消费品销售总额的年平均增长率是20%．
30．（2012 山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
30．解：（1）设每千克核桃应降价x元．
根据题意，得 （60-x-40）（100+×20）=2240．
化简，得 x2-10x+24=0 解得x1=4，x2=6．
答：每千克核桃应降价4元或6元．
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60-6=54（元），
×100%=90%． 分
答：该店应按原售价的九折出售．
方程有两个实数跟，则2013年中考数学专题复习第五讲：分式
【基础知识回顾】
分式的概念
若A，B表示两个整式，且B中含有 那么式子 就叫做公式
【名师提醒：①：若 则分式无意义
②：若分式=0，则应 且 】
分式的基本性质
分式的分子分母都乘以（或除以）同一个 的整式，分式的值不变。
1、= = （m≠0）
2、分式的变号法则=
3、 约分：根据 把一个分式分子和分母的 约去叫做分式的约分。
约分的关键是确保分式的分子和分母中的
约分的结果必须是 分式
4、通分：根据 把几个异分母的分式化为 分母分式的过程叫做分式的通分
通分的关键是确定各分母的
【名师提醒：①最简分式是指
② 约分时确定公因式的方法：当分子、分母是多项式时，公因式应取系数的 应用字母的 当分母、分母是多项式时应先 再进行约分
③通分时确定最简公分母的方法，取各分母系数的 相同字母 分母中有多项式时仍然要先 通分中有整式的应将整式看成是分母为 的式子 ④约分通分时一定注意“都”和“同时”避免漏乘和漏除项】
分式的运算：
1、分式的乘除
①分式的乘法：.=
②分式的除法：= =
2、分式的加减
①用分母分式相加减：±=
②异分母分式相加减：±= =
【名师提醒：①分式乘除运算时一般都化为 法来做，其实质是 的过程
②异分母分式加减过程的关键是 】
3、分式的乘方：应把分子分母各自乘方：即()m =
分式的混合运算：应先算 再算 最后算 有括号的先算括号里面的。
分式求值：①先化简，再求值。
②由值的形式直接化成所求整式的值
③式中字母表示的数隐含在方程的题目条件中
【名师提醒：①实数的各种运算律也符合公式
②分式运算的结果，一定要化成
③分式求值不管哪种情况必须先 此类题目解决过程中要注意整体代入 】
【重点考点例析】
考点一：分式有意义的条件
例1 （2012 宜昌）若分式有意义，则a的取值范围是（　　）
A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0
思路分析：根据分母不等于0列式即可得解．
解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠-1．
故选C．
点评：本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义 分母为零；
（2）分式有意义 分母不为零；
（3）分式值为零 分子为零且分母不为零．
对应训练
1．（2012 湖州）要使分式有意义，x的取值范围满足（　　）
A．x=0 B．x≠0 C．x＞0 D．x＜0
1．B
考点二：分式的基本性质运用
例2 （2012 杭州）化简得 ；当m=-1时，原式的值为 ．
思路分析：先把分式的分子和分母分解因式得出，约分后得出，把m=-1代入上式即可求出答案．
解：
=
=。
当m=-1时，原式==1，
故答案为：，1．
点评：本题主要考查了分式的约分，关键是找出分式的分子和分母的公因式，题目比较典型，难度适中．
对应训练
2．（2011 遂宁）下列分式是最简分式的（　　）
A． B． C． D．
2．C
考点三：分式的化简与求值
例3 （2012 南昌）化简：．
思路分析：将分式的分子、分母因式分解为，再把分式的除法变为乘法进行计算即可．
解：原式=
=
=-1．
点评：本题考查的是分式的乘除法，即分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
例4 （2012 安徽）化简 的结果是（　　）
A．x+1 B．x-1 C．-x D．x
思路分析：将分母化为同分母，通分，再将分子因式分解，约分．
解：
=x，
故选D．
点评：本题考查了分式的加减运算．分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
例5 （2012 天门）化简
的结果是（　　）
A． B． C． D．
思路分析：将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．
解：
=
=
=．
故选D。
点评：此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．
例6 （2012 遵义）化简分式，并从-1≤x≤3中选一个你认为合适的整数x代入求值．
思路分析：先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．
解：原式=
=
=，
由于当x=-1或x=1时，分式的分母为0，
故取x的值时，不可取x=-1或x=1，
不妨取x=2，
此时原式=．
点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
对应训练
3．（2012 河北）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．2（x+1）
3．C
4．（2012 绍兴）化简可得（　　）
A． B． C． D．
4．B
5．（2012 泰安）化简= ．
5．m-6
6．（2012 资阳）先化简，再求值：，其中a是方程x2-x=6的根．
6．解：原式=
=
=
=．
∵a是方程x2-x=6的根，
∴a2-a=6，
∴原式=．
考点四：分式创新型题目
例7 （2012 凉山州）对于正数x，规定，例如：，，则
．
思路分析：当x=1时，；
当x=2时，，当时，；
当x=3时，，当时，…，
故，…，所以
，由此规律即可得出结论．
解：∵当x=1时，；
当x=2时，，当时，；
当x=3时，，当时，…，
∴，…，
∴，
∴．
故答案为：2011.5．
点评：本题考查的是分式的加减法，根据题意得出是解答此题的关键．
对应训练
7．（2012 临沂）读一读：式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于式子比较长，书写不方便，为了简便起见，我们将其表示为，这里“∑”是求和符号，通过对以上材料的阅读，计算 ．
7．解：由题意得，
．
故答案为：．
【聚焦山东中考】
一、选择题
1．（2012 潍坊）计算：2-2=（　　）
A． B． C． D．4
1．A．
2．（2012 德州）下列运算正确的是（　　）
A． B．（-3）2=-9 C．2-3=8 D．20=0
2．A
3．（2012 临沂）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
3．A
4．（2012 威海）化简的结果是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 分式的加减法。
专题： 计算题。
分析： 先把x2﹣9因式分解得到最简公分母为（x+3）（x﹣3），然后通分得到，再把分子化简后约分即可．
解答： 解：原式=﹣
=
=
=．
故选B．
点评： 本题考查了分式的加减法：先把各分母因式分解，确定最简公分母，然后进行通分化为同分母的分式，再把分母不变，分子相加减，然后进行约分化为最简分式或整式．
二、填空题
5．（2012 聊城）计算： ．
5．
6．（2011 泰安）化简：的结果为 ．
6．x-6
三、解答题
7．（2012·济南）化简：．
7．解：原式=
=．
8．（2012 烟台）化简：．
8．解：原式=
=
=。
9．（2012 青岛）化简：。
9．解：原式=。
10．（2012 东营）先化简，再求代数式的值，其中x是不等式组的整数解．
10．解：原式==，
解不等式组得2＜x＜，
因为x是整数，所以x=3，
当x=3时，原式=．
11．（2012 德州）已知：，求的值．
11．解：原式=
=，
当时，原式=．
12．（2012 莱芜）先化简，再求值：÷，其中a=﹣3．
考点： 分式的化简求值。
专题： 计算题。
分析： 将原式被除式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，除式分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将a=﹣3代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答： 解：原式=（﹣）÷
=
=，
∵a=﹣3，
∴原式==﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
　
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 嘉兴）（-2）0等于（　　）
A．1 B．2 C．0 D．-2
1．A．
2．（2012 云南）下列运算正确的是（　　）
A．x2 x3=6 B．3-2=-6 C．（x3）2=x5 D．40=1
2．D
3．（2012 泰州）3-1等于（　　）
A．3 B． C．-3 D．
3．D
4．（2012 嘉兴）若分式的值为0，则（　　）
A．x=-2 B．x=0 C．x=1或2 D．x=1
4．D
4．解：∵分式的值为0，
∴，解得x=1．
故选D．
6．（2012 义乌市）下列计算错误的是（　　）
A． B． C． D．
6．A
7．（2012 仙桃天门潜江江汉）化简的结果是（　　）
　 A． B． C． （x+1）2 D． （x﹣1）2
考点： 分式的混合运算。
专题： 计算题。
分析： 将原式括号中的两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子合并，同时将除式的分母利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到最简结果．
解答： 解：（1﹣）÷
=÷
= （x+1）（x﹣1）
=（x﹣1）2．
故选D
点评： 此题考查了分式的化简混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，同时注意最后结果必须为最简分式．
8．（2012 钦州）如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（　　）
　 A．不变 B． 扩大50倍 C． 扩大10倍 D． 缩小到原来的
考点： 分式的基本性质。
专题： 计算题。
分析： 依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
解答： 解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得
==，可见新分式与原分式的值相等；
故选A．
点评： 本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
二、填空题
9．（2012 宁夏）当a 时，分式有意义．
9．≠-2
10．（2012 台州）计算的结果是 ．
10．
11．（2012 天津）化简的结果是 ．
11．
12．（2012 山西）化简的结果是 ．
12．
13．（2012 内江）已知三个数x，y，z，满足则
．
13．-4
解：∵，
∴，
∴，
整理得， ①，
②，
③，
①+②+③得，，
则，
∴，
于是
故答案为-4．
14．（2012 镇江）若，则的值为　 　．
考点： 分式的加减法。
专题： 计算题。
分析： 先根据分式的加法求出（m+n）2的值，再代入所求代数式进行计算即可．
解答： 解：∵+=，
∴=，
∴（m+n）2=7mn，
∴原式====5．
故答案为：5．
点评： 本题考查的是分式的加减法，先根据分式的加减法则求出（m+n）2的值是解答此题的关键．
　
15．（2012 温州）若代数式的值为零，则x=　 　．
考点： 分式的值为零的条件；解分式方程。
专题： 计算题。
分析： 由题意得=0，解分式方程即可得出答案．
解答： 解：由题意得，=0，
解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．
故答案为：3．
点评： 此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．
　
16．（2012 赤峰）化简=　 　．
考点： 分式的乘除法；因式分解-运用公式法；约分。
专题： 计算题。
分析： 先把分式的分母分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可．
解答： 解：圆式=×，
=1，
故答案为：1．
点评： 本题考查了约分，分解因式，分式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．
　
三、解答题
17．（2012 泰州）化简：．
17．解：
=
=
=
=．
18．（2012 淮安）计算：．
18．解：
=
=x-1+3x+1
=4x．
19．（2012 珠海）先化简，再求值：，其中x=．
19．解：原式=
=
=，
当x= 时，
原式==．
21．（2012 益阳）计算代数式的值，其中a=1，b=2，c=3．
21．解：原式=
=
=c．
当a=1、b=2、c=3时，原式=3．
22．（2012 孝感）先化简，再求值：，其中，．
22．解：原式=
=
=。
当，时，
原式=。
23．（2012 绥化）先化简，再求值：．其中m是方程x2+3x-1=0的根．
23．解：原式=
=
=
=；
∵m是方程x2+3x-1=0的根．
∴m2+3m-1=0，
即m2+3m=1，
∴原式=．
24．（2012 南京）化简代数式，并判断当x满足不等式组时该代数式的符号．
24．解：
=
=
=，
，
解不等式①，得x＜-1．
解不等式②，得x＞-2．
所以，不等式组的解集是-2＜x＜-1．
当-2＜x＜-1时，x+1＜0，x+2＞0，
所以＜0，即该代数式的符号为负号．
25．（2012 重庆）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
考点： 分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解。
专题： 计算题。
分析： 将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解，即为x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答： 解：（﹣）÷
=[﹣]
=
=
=，
又，
由①解得：x＞﹣4，
由②解得：x＜﹣2，
∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2，
其整数解为﹣3，
当x=﹣3时，原式==2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
　
26．（2012 铁岭）先化简，在求值：，其中x=3tan30°+1．
考点： 分式的化简求值；特殊角的三角函数值。
专题： 计算题。
分析： 将原式除式的第一项分子分母同时乘以x+3，然后利用同分母分式的减法法则计算，将被除式分母利用平方差公式分解因式，除式分母利用平方差公式分解因式，分子利用完全平方公式分解因式，再利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，然后利用特殊角的三角函数值求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可求出原式的值．
解答： 解：÷（﹣）
=÷[﹣]
=÷
=
=，
当x=3tan30°+1=3×+1=+1时，
原式===．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时若分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
27．（2012 本溪）先化简，再求值：，其中x=2sin60°﹣（）﹣2．
考点： 分式的化简求值；负整数指数幂；特殊角的三角函数值。
专题： 计算题。
分析： 将原式第二项中被除式的分子利用完全平方公式分解因式，除式的分子利用平方差公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后再利用同分母分式的减法运算计算，得到最简结果，接着利用特殊角的三角函数值及负指数公式化简，求出x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答： 解：﹣÷
=﹣÷
=﹣
=﹣
=﹣，
当x=2sin60°﹣（）﹣2=2×﹣4=﹣4时，
原式=﹣=﹣．
点评： 此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，以及负指数公式，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
　
28．（2012 北京）已知，求代数式的值．
考点： 分式的化简求值。
专题： 计算题。
分析： 将所求式子第一个因式的分母利用平方差公式分解因式，约分后得到最简结果，然后由已知的等式用b表示出a，将表示出的a代入化简后的式子中计算，即可得到所求式子的值．
解答： 解： （a﹣2b）
= （a﹣2b）
=，
∵=≠0，∴a=b，
∴原式====．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
　2013年中考数学专题复习第二十八讲 投影与视图
【基础知识回顾】
投影：
1、定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面上得到得影子叫做物体的 其中照射光线叫做 投影所在的平面叫做
2、平行投影：太阳光可以近似地看作是 光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影
3、中心投影：由圆一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做 如物体在 、 、 等照射下所形成的投影就是中心投影
【名师提醒：1、中心投影的光线 平行投影的光线
2、在同一时刻，不同物体在太阳下的影长与物离成
3、物体投影问题有时也会出现计算解答题，解决这类问题首先要根据图形准确找出比例关系，然后求解】
三、视图：
1、定义：从不同的方向看一个物体，然后描绘出所看到的图形即视图 其中，从 看到的图形称为立视图，从 看到的图形称为左视图，从 看到的图形称为俯视图
2、三种视图的位置及作用
⑴画三视图时，首先确定 的位置，然后在主视图的下面画出 在主视图的右边画出
⑵主视图反映物体的 和 ，左视图反映物体的 和 俯视图反映物体的 和
【名师提醒：1、在画几何体的视图时，看得见部分的轮廓线通常画成 线，看不见部分的轮廓线通常画成 线
2、在画几何体的三视图时要注意主俯 对正，主左 平齐，左俯 相等】
三、立体图形的展开与折叠：
1、许多立体图形是由平面图形围成的，将它们适当展开 即为平面展开图，同一个立体图形按不同的方式展开，会得到不同的平面展开图
2、常见几何体的展开图：⑴正方体的展开图是
⑵几边形的柱展开图是两个几边形和一个
⑶圆柱的展开图是一个 和两个
⑷圆锥的展开图是一个 与一个
【名师提醒：有时会出现根据物体三视图中标注的数据求原几何体的表面积，体积等题目，这时要注意先根据三种视图还原几何体的形状，然后想象有关尺寸在几何体展开图中标注的是哪些部分，最后再根据公式进行计算】
【重点考点例析】
考点一：投影
例1 （2012 湘潭）如图，从左面看圆柱，则图中圆柱的投影是（　　）
A．圆 B．矩形 C．梯形 D．圆柱
考点：平行投影 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据圆柱的左视图的定义直接进行解答即可．
解答：解：如图所示圆柱从左面看是矩形，
故选：B．
点评：本题主要考查了简单几何体的三视图，关键是根据三视图的概念得出是解题关键．
对应训练
2．（2012 梅州）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是 正方形、菱形（答案不唯一）
（写出符合题意的两个图形即可）
考点：平行投影 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：开放型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．
解答：解：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．得到的应是平行四边形或特殊的平行四边形．
故答案为：正方形、菱形（答案不唯一）．
点评：本题考查了平行投影，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行．
考点二：几何题的三视图
例2 （2012 咸宁）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：看哪个几何体的三视图中有长方形，圆，及三角形即可．
解答：解：A、三视图分别为长方形，三角形，圆，符合题意；
B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，不符合题意；
C、三视图分别为正方形，正方形，正方形，不符合题意；
D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，不符合题意；
故选A．
点评：考查三视图的相关知识；判断出所给几何体的三视图是解决本题的关键．
例3 （2012 岳阳）如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A向右平移2个单位，向后平移1个单位后，所得几何体的视图（　　）
A．主视图改变，俯视图改变
B．主视图不变，俯视图不变
C．主视图不变，俯视图改变
D．主视图改变，俯视图不变
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：主视图是从正面观察得到的图形，俯视图是从上面观察得到的图形，结合图形即可作出判断．
解答：解：根据图形可得，图①及图②的主视图一样，俯视图不一样，即主视图不变，俯视图改变．
故选C．
点评：此题考查了简单组合体的三视图，掌握主视图及俯视图的观察方法是解答本题的关键，难度一般．
对应训练
2．（2012 随州）下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别分析四种几何体的三种视图，再找出有两个相同，而另一个不同的几何体．
解答：解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；
②圆柱的主视图和左视图都是长方形；
③圆锥主视图与左视图都是三角形；
④球的主视图与左视图都是圆；
故答案为：D．
点评：本题考查了利用几何体判断三视图，培养了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
3．（2012 宜昌）球和圆柱在水平面上紧靠在一起，组成如图所示的几何体，托尼画出了它的三视图，其中他画的俯视图应该是（　　）
A．两个相交的圆 B．两个内切的圆
C．两个外切的圆 D．两个外离的圆
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找到从上面看所得到的图形即可．
解答：解：从上面可看到两个外切的圆，
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．解决此类问题时既要有丰富的数学知识，又要有一定的生活经验．
考点三：判几何体的个数
例4 （2012 宿迁）如图是一个用相同的小立方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小立方体的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，再结合题意和三视图的特点找出每行和每列的小正方体的个数再相加即可．
解答：解：由俯视图易得最底层有3个立方体，第二层有1个立方体，那么搭成这个几何体所用的小立方体个数是4．
故选C．
点评：本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
对应训练
4．（2012 孝感）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数，即可得出这个几何体的体积．
解答：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个，
所以这个几何体的体积是5．
故选：B．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
考点四：几何体的相关计算
例5 （2012 荆州）如图是一个上下底密封纸盒的三视图，请你根据图中数据，计算这个密封纸盒的表面积为 +360）
cm2．（结果可保留根号）
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；解直角三角形 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，其表面积是六个面的面积加上两个底的面积．
解答：解：根据该几何体的三视图知道其是一个六棱柱，
∵其高为12cm，底面半径为5，
∴其侧面积为6×5×12=360cm2
密封纸盒的侧面积为：×5×6×5=75cm2
∴其全面积为：（75+360）cm2．
故答案为：（75+360）．
点评：本题考查了由三视图判断几何体及解直角三角形的知识，解题的关键是正确的判定几何体．
对应训练
1．（2012 南平）如图所示，水平放置的长方体底面是长为4和宽为2的矩形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于（　　）
A．16 B．24 C．32 D．48
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由主视图的面积=长×高，长方体的体积=主视图的面积×宽，得出结论．
解答：解：依题意，得长方体的体积=12×2=24．
故选B．
点评：本题考查了简单几何体的三视图．关键是明确主视图是由长和高组成的．
【聚焦山东中考】
1．（2012 济南）下面四个立体图形中，主视图是三角形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找到立体图形从正面看所得到的图形为三角形即可．
解答：解：A、主视图为长方形，不符合题意；
B、主视图为中间有一条竖线的长方形，不符合题意；
C、主视图为三角形，符合题意；
D、主视图为长方形，不符合题意；
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
2．（2012 烟台）如图是几个小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：俯视图是从上面看到的图形，共分三列，从左到右小正方形的个数是：1，1，1．
解答：解：这个几何体的俯视图从左到右小正方形的个数是：1，1，1，
故选：C．
点评：此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握俯视图所看的方向：从上面看所得到的图形．
3．（2012 潍坊）如图空心圆柱体的主视图的画法正确的是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找到从前面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选C．
点评：本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的前面看得到的视图，考查了学生细心观察能力，属于基础题．
4．（2012 威海）如图所示的机器零件的左视图是 （　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可．
解答：解：机器零件的左视图是一个矩形．中间有1条横着的虚线．
故选D．
点评：本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示．
5．（2012 泰安）如图所示的几何体的主视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从正面看易得第一层有1个大长方形，第二层中间有一个小正方形．
故选A．
点评：本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中．
6．（2012 济宁）如图，是由若干个完全相同的小正方体组成的一个几何体的主视图和左视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是（　　）
A．3个或4个 B．4个或5个 C．5个或6个 D．6个或7个
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：左视图底面有2个小正方体，主视图与左视图相同，则可以判断出该几何体底面最少有3个小正方体，最多有4个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块．
解答：解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有3个小正方体，最多有4个小正方体．而第二行则只有1个小正方体．
则这个几何体的小立方块可能有4或5个．
故选B．
点评：本题考查了由三视图判断几何体，难度不大，主要考查了考生的空间想象能力以及三视图的相关知识．
7．（2012 临沂）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的侧面积是（　　）
A．18cm2 B．20cm2 C．（18+2）cm2 D．（18+4）cm2
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：数形结合 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三视图判断出该几何体是底面边长为2cm，侧棱长为3cm的正三棱柱，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．
解答：解：根据三视图判断，该几何体是正三棱柱，
底边边长为2cm，侧棱长是3cm，
所以侧面积是：（3×2）×3=6×3=18cm2．
故选A．
点评：本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三棱柱的三视图，然后判断出该几何体是三棱柱是解本题的关键．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 绵阳）把一个正五菱柱如图摆放，当投射线由正前方射到后方时，它的正投影是（　　）
A． B． C． D．
考点：平行投影 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据正投影的性质：当投射线由正前方射到后方时，其正投影应是矩形．
解答：解：根据投影的性质可得，该物体为五棱柱，则正投影应为矩形．故选B．
点评：本题考查正投影的定义及正投影形状的确定，解题时要有一定的空间想象能力．
2．（2012 益阳）下列命题是假命题的是（　　）
A．中心投影下，物高与影长成正比
B．平移不改变图形的形状和大小
C．三角形的中位线平行于第三边
D．圆的切线垂直于过切点的半径
考点：中心投影 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；三角形中位线定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；切线的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；命题与定理 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；平移的性质 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：分别利用中心投影的性质以及切线的性质、平移的性质、三角形中位线定理等进行判断即可得出答案．
解答：解：A．中心投影下，物高与影长取决于物体距光源的距离，故此选项错误，符合题意；
B．平移不改变图形的形状和大小，根据平移的性质，故此选项正确，不符合题意；
C．三角形的中位线平行于第三边，根据三角形中位线的性质，故此选项正确，不符合题意；
D．圆的切线垂直于过切点的半径，利用切线的判定定理，故此选项正确，不符合题意．
故选：A．
点评：此题主要考查了中心投影的性质以及切线的性质、平移的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握并区分这些性质是解题关键．
3．（2012 玉林）下列基本几何体中，三视图都相同图形的是（　　）
A． B． C． D．
圆柱 三棱柱 球 长方体
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三视图的基本知识，分析各个几何体的三视图然后可解答．
解答：解：A、圆柱的主视图与左视图均是矩形，俯视图是圆，故本选项错误；
B、三棱柱的主视图与左视图均是矩形，俯视图是三角形，故本选项错误；
C、球体的三视图均是圆，故本答案正确；
D、长方体的主视图与俯视图是矩形，左视图是正方形，故本答案错误．
故选C．
点评：本题难度一般，主要考查的是三视图的基本知识．解题时也应具有一定的生活经验．
4．（2012 永州）如图所示，下列水平放置的几何体中，俯视图是矩形的是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：俯视图是从物体的上面看得到的视图，仔细观察各个简单几何体，便可得出选项．
解答：解：A、圆柱的俯视图为矩形，故本选项正确；
B、圆锥的俯视图为圆，故本选项错误；
C、三棱柱的俯视图为三角形，故本选项错误；
D、三棱锥的俯视图为三角形，故本选项错误．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．本题比较简单．
5．（2012 义乌市）下列四个立体图形中，主视图为圆的是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．
解答：解：A、主视图是正方形，故此选项错误；
B、主视图是圆，故此选项正确；
C、主视图是三角形，故此选项错误；
D、主视图是长方形，故此选项错误；
故选：B．
点评：此题主要考查了简单几何体的主视图，关键是掌握主视图所看的位置．
6．（2012 六盘水）如图是教师每天在黑板上书写用的粉笔，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先判断该几何体是圆台，然后确定从正面看到的图形即可．
解答：解：该几何体是圆台，主视图是等腰梯形．
故选C．
点评：本题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，比较简单．
7. （2012 黄冈）如图，水平放置的圆柱体的三视图是（　　）
A． B．
C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，即可得出答案．
解答：解：依据圆柱体放置的方位来说，从正面和上面可看到的长方形是一样的；
从左面可看到一个圆．
故选A．
点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键，本题是基础题，常规题型．
8．（2012 白银）将如图所示的Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体的主视图（正视图）是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；点、线、面、体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：首先判断直角三角形ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体是圆锥，再找出圆锥的主视图即可．
解答：解：Rt△ACB绕直角边AC旋转一周，所得几何体是圆锥，主视图是等腰三角形．
故选：D．
点评：此题主要考查了面动成体，以及简单几何体的三视图，关键是正确判断出Rt△ACB绕直角边AC旋转一周所得到的几何体的形状
9．（2012 资阳）如图是一个正方体被截去一角后得到的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；截一个几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
解答：解：从上面看，是正方形右边有一条斜线，
故选：A．
点评：本题考查了三视图的知识，根据俯视图是从物体的上面看得到的视图得出是解题关键．
10．（2012 云南）如图是由6个形同的小正方体搭成的一个几何体，则它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据俯视图是从上面看到的识图分析解答．
解答：解：从上面看，是1行3列并排在一起的三个正方形．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
11．（2012 襄阳）如图是由两个小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其主视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：主视图是从正面看，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
解答：解：从上面看，圆锥看见的是：三角形，两个正方体看见的是两个正方形．
故答案为B．
点评：此题主要考查了三视图的知识，关键是掌握三视图的几种看法．
12．（2012 西宁）如图所示的物体由两个紧靠在一起的圆柱组成，小刚准备画好它的三视图，那么他所画的三视图的俯视图应该是（　　）
A．两个外切的圆 B．两个内切的圆
C．两个相交的圆 D．两个外离的圆
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：找到从上面看所得到的图形即可．
解答：解：从上面可看到两个外切的圆．
故选A．
点评：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
13．（2012 武汉）如图，是由4个相同小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：常规题型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
解答：解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形．
故选D．
点评：此题考查了简单几何体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的观察位置．
14．（2012 温州）我国古代数学家利用“牟合方盖”（如图甲）找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体．图乙所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
考点：简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为3个正方形组合体，进而得出答案即可．
解答：解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选：B．
点评：此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
15．（2012 肇庆）如图是某几何体的三视图，则该几何体是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
解答：解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．
故选A．
点评：主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为锥体．
16．（2012 扬州）如图是由几个相同的小立方块搭成的几何体的三视图，则这几个几何体的小立方块的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两行三列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
解答：解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有3+1=4个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1=5个．
故选B．
点评：此题主要考查了学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
17．（2012 厦门）如图是一个立体图形的三视图，则这个立体图形是（　　）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．三棱锥
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解答：解：A、圆锥的三视图分别为三角形，三角形，圆，故选项正确；
B、球的三视图都为圆，错误；
C、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，故选项错误；
D、三棱锥的三视图分别为三角形，三角形，三角形及中心与顶点的连线，故选项错误．
故选A．
点评：本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析．
二、填空题
18．（2012 新疆）请你写出一个主视图与左视图相同的立体图形是 圆柱（答案不唯一）
．
考点：简单几何体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
专题：开放型 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：主视图、左视图是分别从物体正面、左面看，所得到的图形．
解答：解：圆柱的主视图与左视图都为长方形．
故答案为：圆柱（答案不唯一）．
点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
19．（2012 内江）由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为 4
．
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
解答：解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；
由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．
所以图中的小正方体最少4块，最多5块．
故答案为：4．
点评：本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
20．（2012 鸡西）由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是 4或5或6或7
．
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：易得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由主视图可得第二层立方体的可能的个数，相加即可．
解答：解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高两层，右侧一列最高一层；
由左视图可知左侧两行，右侧一行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．
所以图中的小正方体最少4块，最多7块．
故答案为：4或5或6或7．
点评：本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
21．（2012 大庆）用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1，得到的几何体的三视图如图2所示，若小明从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图2，则他取走的小立方体最多可以是 2
个．
考点：由三视图判断几何体 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )；简单组合体的三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：由于从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图都相同，由主视图可知有2层2列，由左视图可知有2层2行，由俯视图可知最少有4个小立方体，所以第一层4个小立方体不变，同时第二层每一横行和每一竖列上都有一个小立方体．
解答：解：由主视图和左视图可得第二层的每一行每一列都要保留一个立方体，
∴取走的小立方体最多可以是2个，即一条对角线上的2个．
故答案为2．
点评：本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力，难度中等．
三、解答题
22．（2012 自贡）画出如图所示立体图的三视图．
考点：作图-三视图 ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )．
分析：从正面看下面是一个横着的长方形，上面是一个竖着的长方形；从左面看下面是一个横着的长方形，上面是一个三角形；从上面看是一个大正方形中右上一个小正方形．
解答：解：如图所示：
点评：考查了作三视图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来．2013年中考数学专题复习第二十讲 多边形与平行四边形
【基础知识回顾】
多边形：
1、定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段 相连组成的 图形叫做多边形，各边相等 也相等的多边形叫做正多边形
2、多边形的内外角和：
n(n≥3)的内角和事 外角和是 正几边形的每个外角的度数是 ，每个内角的度数是
3、多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形 的两个顶点的线段，从几边形的一个顶点出发有 条对角线，将多边形分成 个三角形，一个几边形共有 条对边线
【名师提醒：1、三角形是边数最少的多边形
2、所有的正多边形都是轴对称图形，正n边形共有 条对称轴，边数为 数的正多边形也是中心对称图形】
二、平面图形的密铺：
1、定义：用 、 完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 地铺成一起，这就是平面图形的密铺，称作平面图形的
2、密铺的方法：⑴用同一种正多边形密铺，可以用 、 或
⑵用两正多边形密铺，组合方式有： 和 、 和 、 和
合 等几种
【名师提醒：密铺的图形在一个拼接处的特点：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于 并使相等的边互相平合】
三、平行四边
1、定义：两组对边分别 的四边形是平行四边形，平行四边形ABCD可写成
2、平行四边形的特质：
⑴平行四边形的两组对边分别
⑵平行四边形的两组对角分别
⑶平行四边形的对角线
【名师提醒：1、平行四边形是 对称图形，对称中心是 过对角线交点的任一直线被一组对边的线段 该直线将原平行四边形分成全等的两个部分】
3、平行四边形的判定：
⑴用定义判定
⑵两组对边分别 的四边形是平行四边形
⑶一组对它 的四边形是平行四边形
⑷两组对角分别 的四边形是平行四边形
⑸对角线 的四边形是平行四边形
【名师提醒：特别的：一组对边平行，另一组对边相等的四边形和一组对边相等、一组对角相等的四边形两个命题都不被保证是平行四边形】
4、平行四边形的面积：计算公式 X
同底（等底）同边（等边）的平行四边形面积
【名师提醒：夹在两平行线间的平行线段 两平行线之间的距离处 】
【重点考点例析】
考点一：多边形内角和、外角和公式
例1 （2012 南京）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角．若∠A=120°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．
思路分析：根据题意先求出∠5的度数，然后根据多边形的外角和为360°即可求出∠1+∠2+∠3+∠4的值．
解：由题意得，∠5=180°-∠EAB=60°，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-∠5=300°．
故答案为：300°．
点评：本题考查了多边形的外角和等于360°的性质以及邻补角的和等于180°的性质，是基础题，比较简单．
对应训练
1．（2012 广安）如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到一个五边形，则∠1+∠2= 度．
1．240
考点：多边形内角与外角．专题：数形结合．
分析：利用四边形的内角和得到∠B+∠C+∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B+∠C+∠D的度数即为所求的度数．
解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴∠B+∠C+∠D=360°-60°=300°，
∵五边形的内角和为（5-2）×180°=540°，
∴∠1+∠2=540°-300°=240°，
故答案为240．
点评：考查多边形的内角和知识；求得∠B+∠C+∠D的度数是解决本题的突破点．
考点二：平面图形的密铺
例2 （2012 贵港）如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
思路分析：分别求出各个正多边形的每个内角的度数，再利用镶嵌应符合一个内角度数能整除360°即可作出判断．
解：A、正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
B、正四边形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
C、正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°，是360°的约数，能镶嵌平面，不符合题意；
D、正八边形的一个内角度数为180°-360°÷8=135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
故选D．
点评：本题考查平面密铺的问题，用到的知识点为：一种正多边形能镶嵌平面，这个正多边形的一个内角的度数是360°的约数；正多边形一个内角的度数=180°-360°÷边数．
对应训练
考点三：平行四边形的性质
例3 （2012 阜新）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，BE、CF交于点G．若使EF=14
AD，那么平行四边形ABCD应满足的条件是（　　）
A．∠ABC=60° B．AB：BC=1：4 C．AB：BC=5：2 D．AB：BC=5：8
思路分析：根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到对边平行且相等，然后根据两直线平行内错角相等，得到∠AEB=∠EBC，再由BE平分∠ABC得到∠ABE=∠EBC，等量代换后根据等角对等边得到AB=AE，同理可得DC=DF，再由AB=DC得到AE=DF，根据等式的基本性质在等式两边都减去EF得到AF=DE，当EF=AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，然后根据设出的量再表示出AF，进而根据AB=AF+EF用含x的式子表示出AB即可得到AB与BC的比值．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
又BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DC=DF，
∴AE=DF，
∴AE-EF=DE-EF，
即AF=DE，
当EF= AD时，设EF=x，则AD=BC=4x，
∴AF=DE=（AD-EF）=1.5x，
∴AE=AB=AF+EF=2.5x，
∴AB：BC=2.5：4=5：8．
故选D．
点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分性的定义以及等式的基本性质，利用了等量代换的数学思想，要求学生把所学的知识融汇贯穿，灵活运用．
例4 （2012 广安）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，且BE=AD，点F在AD上，AF=AB，求证：△AEF≌△DFC．
思路分析：由四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质，即可得AB=CD，AB∥CD，又由平行线的性质，即可得∠D=∠EAF，然后由BE=AD，AF=AB，求得AF=CD，DF=AE，继而利用SAS证得：△AEF≌△DFC．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠D=∠EAF，
∵AF=AB，BE=AD，
∴AF=CD，AD-AF=BE-AB，
即DF=AE，
在△AEF和△DFC中，
，
∴△AEF≌△DFC（SAS）．
点评：此题考查了平行四边形的性质与全等三角的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用．
对应训练
3．（2012 永州）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD交BC于点E．若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长为 ．
3．20
考点：平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得OB=OD，AB=CD，AD=BC，又由OE⊥BD，即可得OE是BD的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得BE=DE，又由△CDE的周长为10，即可求得平行四边形ABCD的周长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，AB=CD，AD=BC，
∵OE⊥BD，
∴BE=DE，
∵△CDE的周长为10，
即CD+DE+EC=10，
∴平行四边形ABCD的周长为：AB+BC+CD+AD=2（BC+CD）=2（BE+EC+CD）=2（DE+EC+CD）=2×10=20．
故答案为：20．
点评：此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
4．（2012 大连）如图， ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC．
4．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．
分析：根据ED=BF，可得出AE=CF，结合平行线的性质，可得出∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，继而可判定△AEO≌△CFO，即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO，
又∵ED=BF，
∴AD-ED=BC-BF，即AE=CF，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO，
∴OA=OC．
点评：此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出ED=BF及∠AEO=∠CFO，∠FCO=∠EAO是解答本题的关键．
考点四：平行四边形的判定
例5 （2012 资阳）如图，△ABC是等腰三角形，点D是底边BC上异于BC中点的一个点，∠ADE=∠DAC，DE=AC．运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组对边平行的四边形是梯形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．对角线相等的四边形是矩形
思路分析：已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形，根据全等三角形判定方法得出∠B=∠E，AB=DE，进而得出一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，得出答案即可．
解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；
B．有一组对边平行的四边形是梯形，若另一组对边也平行，则此四边形是平行四边形，故此选项错误；
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形，
∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=AC，∠B=∠C，
∵DE=AC，AD=AD，∠ADE=∠DAC，
即，
∴△ADE≌△DAC，
∴∠E=∠C，
∴∠B=∠E，AB=DE，
但是四边形ABDE不是平行四边形，
故一组对边相等，一组对角相等的四边形不是平行四边形，因此C符合题意，
故此选项正确；
D．对角线相等的四边形是矩形，根据等腰梯形符合要求，得出故此选项错误；
故选：C．
点评：此题主要考查了平行四边形的判定方法以及全等三角形的判定，结合已知选项，得出已知条件应分析一组边相等，一组角对应相等的四边不是平行四边形是解题关键．
例6 （2012 湛江）如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC边上，且AE=CF．
求证：（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE是平行四边形．
思路分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A=∠C，AB=CD，又由AE=CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥BC，AD=BC，又由AE=CF，即可证得DE=BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形．
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB=CD，
在△ABE和△CDF中，
∵，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AE=CF，
∴AD-AE=BC-CF，
即DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
点评：此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．
对应训练
5．（2012 泰州）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；菱形的判定；正方形的判定；命题与定理；轴对称图形；中心对称图形．
分析：根据平行四边形的各种判定方法、正方形的各种判定方法、菱形的各种判定方法以及正多边形的轴对称性逐项分析即可．
解：①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；
②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，如图所示），故该命题错误；
③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；
④正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误；
所以正确的命题个数为2个，
故选B．
点评：本题考查菱形的判定，平行四边形的判定以及正方形的判定定理以及真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．（2012 沈阳）已知，如图，在 ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点M，N，连接DM，BN．
（1）求证：△AEM≌△CFN；
（2）求证：四边形BMDN是平行四边形．
考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．
分析：（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAM=∠FCN，从而利用ASA可作出证明；
（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BMDN，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明．
证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB=∠BCD，
∴∠EAM=∠FCN，
又∵AD∥BC，
∴∠E=∠F．
在△AEM与△CFN中，
，
∴△AEM≌△CFN；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB ∥= CD，
又由（1）得AM=CN，
∴BMDN，
∴四边形BMDN是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定，属于基础题，比较简单．
【聚焦山东中考】
1．（2012 烟台）如图为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度（不取近似值）。
1．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据正多边形的定义可得：正多边形的每一个内角都相等，则每一个外角也都相等，首先由多边形外角和为360°可以计算出正七边形的每一个外角度数，再用180°-一个外角的度数=一个内角的度数．
解：正七边形的每一个外角度数为：360°÷7=（）°
则内角度数是：180°-（）°=（）°，
故答案为：．
点评：此题主要考查了正多边形的内角与外角，关键是掌握正多边形的每一个内角都相等．
2．（2012 泰安）如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度数为（　　）
A．53° B．37° C．47° D．123°
2．考点：平行四边形的性质．
分析：设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出∠BCE的度数．
解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°-53°=37°，
∴∠DFC=37
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故选B．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质和对顶角相等，根据题意得出∠E=90°和的对顶角相等是解决问题的关键．
3．（2012 聊城）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BC上，如果点F是边AD上的点，那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是（　　）
A．DF=BE B．AF=CE C．CF=AE D．CF∥AE
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．分析：根据平行四边形的性质和全等三角形的判定方法逐项分析即可．
解：A、当DF=BE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
B、当AF=CE时，有平行四边形的性质可得：BE=DF，AB=CD，∠B=∠D，利用SAS可判定△CDF≌△ABE；
C、当CF=AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，利用SSA不能可判定△CDF≌△ABE；
D、当CF∥AE时，有平行四边形的性质可得：AB=CD，∠B=∠D，∠AEB=∠CFD，利用AAS可判定△CDF≌△ABE．
故选C．
点评：本题考查了平行四边形的性质和重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
4．（2012 烟台） ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1）．则点C的坐标为 ．
4．（3，1）
考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．专题：计算题．
分析：画出图形，根据平行四边形性质求出DC∥AB，DC=AB=3，根据D的纵坐标和CD=3即可求出答案．
解：如图，∵平行四边形ABCD中，已知点A（-1，0），B（2，0），D（0，1），
∴AB=CD=2-（-1）=3，DC∥AB，
∴C的横坐标是3，纵坐标和D的纵坐标相等，是1，
∴C的坐标是（3，1），
故答案为：（3，1）．
点评：本题考查了平行四边形的性质和坐标与图形性质的应用，能根据图形进行推理和求值是解此题的关键，本题主要考查学生的观察能力，用了数形结合思想．
5．（2012 济南）（1）如图1，在 ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，AE=CF．求证：DE=BF．
（2）如图2，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．
5．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．专题：证明题．
分析：（1）根据四边形ABCD是平行四边形，利用平行四边形的性质得到一对边和一对角的对应相等，在加上已知的一对边的相等，利用“SAS”，证得△ADE≌△CBF，最后根据全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）首先根据AB=AC，利用等角对等边和已知的∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，再根据已知的BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF；
（2）解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C==70°，
又BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°．
点评：此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握定理与性质是解本题的关键．
6．（2012 威海）（1）如图①， ABCD的对角线AC，BD交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
求证：AE=CF．
（2）如图②，将 ABCD（纸片）沿过对角线交点O的直线EF折叠，点A落在点A1处，点B落在点B1处，设FB1交CD于点G，A1B1分别交CD，DE于点H，I．
求证：EI=FG．
6．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，OA=OC，又由平行线的性质，可得∠1=∠2，继而利用ASA，即可证得△AOE≌△COF，则可证得AE=CF．
（2）根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，继而可证得△A1IE≌△CGF，即可证得EI=FG．
证明：（1）如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
由（1）得AE=CF，
由折叠的性质可得：AE=A1E，∠A1=∠A，∠B1=∠B，
∴A1E=CF，∠A1=∠A=∠C，∠B1=∠B=∠D，
又∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠5=∠3，∠4=∠6，
∴∠5=∠6，
在△A1IE与△CGF中，
，
∴△A1IE≌△CGF（AAS），
∴EI=FG．
点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
7．（2012 潍坊）如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．
7．考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形．专题：几何综合题．
分析：（1）根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（2）如图，连接AC交BF于点0．由菱形的判定定理推知 ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM丄BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF（全等三角形的对应边相等），从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，利用锐角三角函数的定义求得CF：BC=tan∠CBF=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=．
解答：（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）；
又∵AM丄BC（已知），
∴AM⊥AD；
∵CN丄AD（已知），
∴AM∥CN，
∴AE∥CF；
又由平行得∠ADE=∠CBD，又AD=BC（平行四边形的对边相等），
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等），
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
（2）如图，连接AC交BF于点0，当AECF为菱形时，
则AC与EF互相垂直平分，
∵BO=OD（平行四边形的对角线相互平分），
∴AC与BD互相垂直平分，
∴ ABCD是菱形（对角线相互垂直平分的平行四边形是菱形），
∴AB=BC（菱形的邻边相等）；
∵M是BC的中点，AM丄BC（已知），
∴△ABM≌△CAM，
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等），
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠CBD=30°；
在Rt△BCF中，CF：BC=tan∠CBF=，
又∵AE=CF，AB=BC，
∴AB：AE=．
点评：本题综合考查了解直角三角形、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点．证明（2）题时，证得 ABCD是菱形是解题的难点．
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2012 肇庆）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
1．考点：多边形内角与外角．
分析：首先设此多边形是n边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n-2）=360，解此方程即可求得答案．
解：设此多边形是n边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴180（n-2）=360，
解得：n=4．
∴这个多边形是四边形．
故选A．
点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n边形的内角和等于180°（n-2）．
2．（2012 玉林）正六边形的每个内角都是（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
2．考点：多边形内角与外角．专题：常规题型．
分析：先利用多边形的内角和公式（n-2） 180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；
或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．
解：（6-2） 180°=720°，
所以，正六边形的每个内角都是720°÷6=120°，
或：360°÷6=60°，
180°-60°=120°．
故选D．
点评：本题考查了多边形的内角与外角，利用正多边形的外角度数、边数、外角和三者之间的关系求解是此类题目常用的方法，而且求解比较简便．
3．（2012 深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
3．考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理．
分析：三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°-60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°-120°=240°．
故选C．
点评：主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．
4．（2012 南宁）如图，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是（　　）
A．2cm＜OA＜5cm B．2cm＜OA＜8cm C．1cm＜OA＜4cm D．3cm＜OA＜8cm
4．考点：平行四边形的性质；三角形三边关系．分析：由在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，根据平行四边形对角线互相平分与三角形三边关系，即可求得OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，继而求得OA的取值范围．
解：∵平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，
∴OA=OC=AC，2cm＜AC＜8cm，
∴1cm＜OA＜4cm．
故选C．
点评：此题考查了平行四边形的性质与三角形三边关系．此题比较简单，注意数形结合思想的应用，注意掌握平行四边形对角线互相平分定理的应用．
5．（2012 杭州）已知平行四边形ABCD中，∠B=4∠A，则∠C=（　　）
A．18° B．36° C．72° D．144°
5．考点：平行四边形的性质；平行线的性质．专题：计算题．
分析：关键平行四边形性质求出∠C=∠A，BC∥AD，推出∠A+∠B=180°，求出∠A的度数，即可求出∠C．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A，BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠B=4∠A，
∴∠A=36°，
∴∠C=∠A=36°，
故选B．
点评：本题考查了平行四边形性质和平行线的性质的应用，主要考查学生运用平行四边形性质进行推理的能力，题目比较好，难度也不大．
6．（2012 巴中）不能判定一个四边形是平行四边形的条件是（　　）
A．两组对边分别平行 B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别相等
6．考点：平行四边形的判定．
分析：根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．
解：根据平行四边形的判定，A、D、C均符合是平行四边形的条件，B则不能判定是平行四边形．
故选B．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
7．（2012 广元）若以A（-0.5，0）、B（2，0）、C（0，1）三点为顶点要画平行四边行，则第四个顶点不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．考点：平行四边形的判定；坐标与图形性质．专题：数形结合．
分析：令点A为（-0.5，4），点B（2，0），点C（0，1），①以BC为对角线作平行四边形，②以AC为对角线作平行四边形，③以AB为对角线作平行四边形，从而得出点D的三个可能的位置，由此可判断出答案．
解：根据题意画出图形，如图所示：
分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；
②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；
③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，
则第四个顶点不可能落在第三象限．
故选C
点评：本题考查了平行四边形的性质及坐标的性质，利用了数形结合的数学思想，学生做题时注意应以每条边为对角线分别作平行四边形，不要遗漏．
8．（2012 益阳）如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
8．考点：平行四边形的判定；作图—复杂作图．
分析：利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形．
解：∵别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD=BC AB=CD
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．
故选A．
点评：本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．
9．（2012 德阳）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又（点P、E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．考点：平行四边形的判定与性质．
分析：首先过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，易得四边形APEB，BFPH是平行四边形，又由四边形BDEF是平行四边形，设BD=a，则AB=4a，可求得BH=PF=3a，又由S△HBC=S△PBC，S△HBC：S△ABC=BH：AB，即可求得△PBC的面积与△ABC面积之比．解答：解：过点P作PH∥BC交AB于H，连接CH，PF，
∵，
∴四边形APEB是平行四边形，
∴PE∥AB，PE=AB，
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴EF∥BD，EF=BD，
即EF∥AB，
∴P，E，F共线，
设BD=a，
∵BD=AB，
∴PE=AB=4a，
则PF=PE-EF=3a，
∵PH∥BC，
∴S△HBC=S△PBC，
∵PF∥AB，
∴四边形BFPH是平行四边形，
∴BH=PF=3a，
∵S△HBC：S△ABC=BH：AB=3a：4a=3：4，
∴S△PBC：S△ABC=3：4．
故选D．
点评：此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比．
1．（2012 孝感）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：
①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（　　）
　 A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。
专题： 综合题。
分析： 先判断出△ABD、BDC是等边三角形，然后根据等边三角形的三心（重心、内心、垂心）合一的性质，结合菱形对角线平分一组对角，三角形的判定定理可分别进行各项的判断．
解答： 解：①由菱形的性质可得△ABD、BDC是等边三角形，∠DGB=∠GBE+∠GEB=30°+90°=120°，故①正确；②∵∠DCG=∠BCG=30°，DE⊥AB，∴可得DG=CG（30°角所对直角边等于斜边一半）、BG=CG，故可得出BG+DG=CG，即②也正确；③首先可得对应边BG≠FD，因为BG=DG，DG＞FD，故可得△BDF不全等△CGB，即③错误；④S△ABD=AB DE=AB （BE）=AB AB=AB2，即④正确．综上可得①②④正确，共3个．故选C．
点评： 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．
二、填空题
10．（2012 义乌市）正n边形的一个外角的度数为60°，则n的值为 ．
10．考点：多边形内角与外角．专题：探究型．
分析：先根据正n边形的一个外角的度数为60°求出其内角的度数，再根据多边形的内角和公式解答即可．
解：∵正n边形的一个外角的度数为60°，
∴其内角的度数为：180°-60°=120°，
∴(n-2) 180°÷n =120°，解得n=6．
故答案为：6．
点评：本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键．
11．（2012 厦门）五边形的内角和的度数是 ．
11．540°
考点：多边形内角与外角．
分析：根据n边形的内角和公式：180°（n-2），将n=5代入即可求得答案．
解：五边形的内角和的度数为：180°×（5-2）=180°×3=540°．
故答案为：540°．
点评：此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，准确记住公式是解此题的关键．
12．（2012 德阳）已知一个多边形的内角和是外角和的，则这个多边形的边数是 ．
12．5
考点：多边形内角与外角．分析：根据内角和等于外角和之间的关系列出有关边数n的方程求解即可．解答：解：设该多边形的边数为n
则（n-2）×180=×360
解得：n=5
故答案为5．
点评：本题考查了多边形的内角与外角，解题的关键是牢记多边形的内角和与外角和．
13．（2012 成都）如图，将平行四边形ABCD的一边BC延长至E，若∠A=110°，则∠1= ．
13．70°
考点：平行四边形的性质．
分析：根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．
解：∵平行四边形ABCD的∠A=110°，
∴∠BCD=∠A=110°，
∴∠1=180°-∠BCD=180°-110°=70°．
故答案为：70°．
点评：本题考查了平行四边形的对角相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．
14．（2012 黑龙江）如图，已知点E、F是平行四边形ABCD对角线上的两点，请添加一个条件 使△ABE≌△CDF（只填一个即可）．
14．AE=CF
考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：开放型．
分析：根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出∠BAE=∠DCF，根据SAS证两三角形全等即可．
解：添加的条件是AE=CF，
理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
∵在△ABE和△CDF中
AB=CD，∠BAE=∠DCF ，AE=CF，
∴△ABE≌△CDF，
故答案为：AE=CF．
点评：本题考查了平行四边形的性质和全等三角形的判定的应用，通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力，也培养了学生的发散思维能力，题目比较好，是一道开放性的题目，答案不唯一．
2．（2012 咸宁）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BE平分∠ABC且交CD于E，E为CD的中点，EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，当AD=2，BC=12时，四边形BGEF的周长为　28　．
考点： 梯形中位线定理；菱形的判定与性质。
专题： 探究型。
分析： 先根据EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分∠ABC且交CD于E可得出∠FBE=∠EBC，由EF∥BC可知，∠EBC=∠FEB，故∠FBE=FEB，由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2，BC=12求出EF的长，进而可得出结论．
解答： 解：∵EF∥BC交AB于F，EG∥AB交BC于G，∴四边形BGEF是平行四边形，∵BE平分∠ABC且交CD于E，∴∠FBE=∠EBC，∵EF∥BC，∴∠EBC=∠FEB，∴∠FBE=FEB，∴四边形BGEF是菱形，∵E为CD的中点，AD=2，BC=12，∴EF=（AD+BC）=×（2+12）=7，∴四边形BGEF的周长=4×7=28．故答案为：28．
点评： 本题考查的是梯形中位线定理及菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形BGEF是菱形是解答此题的关键．
　
3．（2012 天津）如图，已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为　　．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
分析： 连接AE，BE，DF，CF，可证明三角形AEB是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出边AB上的高线，同理可求出CD边上的高线，进而求出EF的长．
解答： 解：连接AE，BE，DF，CF．∵以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB是等边三角形，∴边AB上的高线为：，同理：CD边上的高线为：，延长EF交AB于N，并反向延长EF交DC于M，则E、F、M，N共线，∵AE=BE，∴点E在AB的垂直平分线上，同理：点F在DC的垂直平分线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，∴MN⊥AB，MN⊥DC，设F到AB到距离为x，E到DC的距离为x′，EF=y，由题意可知：x=x′，则x+y+x=1，∵x+y=，∴x=1﹣，∴EF=1﹣2x=﹣1．故答案为﹣1．
点评： 本题考查了正方形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是添加辅助线构造等边三角形，利用等边三角形的性质解答即可．
　
4．（2012 沈阳）如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为　16　cm2．
考点： 菱形的性质；等边三角形的判定与性质。
分析： 连接BD，可得△ABD是等边三角形，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，然后求出DE的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
解答： 解：如图，连接BD，∵∠A=60°，AB=AD（菱形的边长），∴△ABD是等边三角形，∴DE=AD=×8=4cm，根据菱形的对称性与等边三角形的对称性可得，四边形BEDF的面积等于△ABD的面积，×8×4=16cm2．故答案为：16．
点评： 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，作出辅助线构造出等边三角形是解题的关键．
　
5．（2012 深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为　7　．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。
专题： 计算题。
分析： 过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
解答： 解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．
点评： 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．
三、解答题
15．（2012 湖州）已知：如图，在 ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB，连接FD，交BC于点E．
（1）说明△DCE≌△FBE的理由；
（2）若EC=3，求AD的长．
15．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，即可得AB=DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE=∠F，又由BF=AB，即可利用AAS，判定△DCE≌△FBE；
（2）由（1），可得BE=EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，即可求得AD的长．
解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AB∥DC，1分
∴∠CDE=∠F，1分
又∵BF=AB，1分
∴DC=FB，
在△DCE和△FBE中，
∵，
∴△DCE≌△FBE（AAS）
（2）解：∵△DCE≌△FBE，
∴EB=EC，
∵EC=3，
∴BC=2EB=6，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴AD=6．
点评：此题考查了平行线的性质与全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用．
16．（2012 黄石）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，BE=DF．求证：∠DAE=∠BCF．
16．考点：平行四边形的性质；平行线的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．
分析：根据平行四边形性质求出AD∥BC，且AD=BC，推出∠ADE=∠CBF，求出DE=BF，证△ADE≌△CBF，推出∠DAE=∠BCF即可．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴∠ADE=∠CBF 又∵BE=DF，
∴BF=DE，
∵在△ADE和△CBF中
，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠DAE=∠BCF．
点评：本题考查了平行四边形性质，平行线性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出证出△ADE和△CBF全等的三个条件，主要考查学生的推理能力．
17．（2012 泰州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．
17．考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．
分析：由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△CFB，
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评：本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
19．（2012 厦门）已知平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，点P在边AD上，过点P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分别为E、F，PE=PF．
（1）如图，若PE=，EO=1，求∠EPF的度数；
（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF=BC+3-4，求BC的长．
19．考点：平行四边形的性质；角平分线的性质；三角形中位线定理；正方形的判定与性质．专题：几何综合题．
分析：（1）连接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”证明△PEO和△PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FPO=∠EPO，从而得解；
（2）根据三角形中位线定理可得PF∥AO，且PF=AO，然后根据两直线平行，同位角相等可得∠AOD=∠PFD=90°，再根据同位角相等，两直线平行可得PE∥OD，所以PE也是△AOD的中位线，然后证明四边形ABCD是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解．
解：（1）如图，连接PO，∵PE⊥AC，PE= 3 ，EO=1，
∴tan∠EPO=，
∴∠EPO=30°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
在Rt△PEO和Rt△PFO中，，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴∠FPO=∠EPO=30°，
∴∠EPF=∠FPO+∠EPO=30°+30°=60°；
（2）如图，∵点P是AD的中点，点F是DO的中点，
∴PF∥AO，且PF=AO，
∵PF⊥BD，
∴∠PFD=90°，
∴∠AOD=∠PFD=90°，
又∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
∴∠AOD=∠AEP，
∴PE∥OD，
∵点P是AD的中点，
∴PE是△AOD的中位线，
∴PE=OD，
∵PE=PF，
∴AO=OD，且AO⊥OD，
∴平行四边形ABCD是正方形，
设BC=x，
则BF=x+×x=x，
∵BF=BC+3-4=x+3 -4，
∴x+3-4=x，
解得x=4，
即BC=4．
点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形ABCD是正方形是解题的关键．
6．（2012 重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
考点： 菱形的性质；全等三角形的判定与性质。
专题： 综合题。
分析： （1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．
解答： （1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．
点评： 本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
　
7．（2012 襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．
考点： 等腰梯形的判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
分析： （1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．
解答： （1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC AG=2×=2
点评： 此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．