01选择题知识点分类-北京市高考数学真题三年（2020-2022）分类汇编（word含答案解析）

01选择题知识点分类-北京市高考数学真题三年（2020-2022）分类汇编
一．并集及其运算（共1小题）
1．（2021 北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0≤x≤2}
二．交集及其运算（共1小题）
2．（2020 北京）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
三．补集及其运算（共1小题）
3．（2022 北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则 UA＝（　　）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
四．充分条件、必要条件、充要条件（共1小题）
4．（2022 北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
五．函数的最值及其几何意义（共1小题）
5．（2021 北京）设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“f（x）在区间[0，1]上单调递增”是“f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（1）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
六．指数函数的图象与性质（共1小题）
6．（2022 北京）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
七．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
7．（2021 北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）．24 h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1～9.9
中雨 10.0～24.9
大雨 25.0～49.9
暴雨 50.0～99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm （ 如图所示），则这24h降雨量的等级是（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
八．其他不等式的解法（共1小题）
8．（2020 北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
九．数列的函数特性（共1小题）
9．（2021 北京）已知{an}是各项为整数的递增数列，且a1≥3，若a1+a2+a3+…+an＝100，则n的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
一十．等差数列的通项公式（共2小题）
10．（2021 北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5 （单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm ），且长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（　　）
A．64 B．96 C．128 D．160
11．（2020 北京）在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（　　）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
12．（2022 北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是（　　）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
一十二．复数的运算（共2小题）
13．（2021 北京）若复数z满足（1﹣i） z＝2，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
14．（2020 北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i z＝（　　）
A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i
一十三．复数的模（共1小题）
15．（2022 北京）若复数z满足i z＝3﹣4i，则|z|＝（　　）
A．1 B．5 C．7 D．25
一十四．二项式定理（共2小题）
16．（2022 北京）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　）
A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41
17．（2020 北京）在（﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
一十五．进行简单的合情推理（共1小题）
18．（2022 北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（　　）
A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
一十六．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
19．（2022 北京）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减
B．f（x）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减
D．f（x）在（，）上单调递增
一十七．三角形中的几何计算（共1小题）
20．（2020 北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔 卡西的方法，π的近似值的表达式是（　　）
A．3n（sin+tan） B．6n（sin+tan）
C．3n（sin+tan） D．6n（sin+tan）
一十八．三角函数的最值（共1小题）
21．（2021 北京）函数f（x）＝cosx﹣cos2x是（　　）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
一十九．圆的标准方程（共1小题）
22．（2020 北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
二十．直线与圆的位置关系（共2小题）
23．（2022 北京）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
24．（2021 北京）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（　　）
A．±1 B．± C．± D．±2
二十一．抛物线的性质（共1小题）
25．（2020 北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
二十二．双曲线的性质（共1小题）
26．（2021 北京）双曲线C：﹣＝1的离心率为2，且过点（，），则双曲线的方程为（　　）
A．2x2﹣y2＝1 B．x2﹣＝1
C．5x2﹣3y2＝1 D．﹣＝1
二十三．由三视图求面积、体积（共2小题）
27．（2021 北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（　　）
A．+ B．3+ C．+ D．3+
28．（2020 北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（　　）
A．6+ B．6+2 C．12+ D．12+2
二十四．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）
29．（2022 北京）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
二十五．三角方程（共1小题）
30．（2020 北京）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ+（﹣1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案与试题解析
一．并集及其运算（共1小题）
1．（2021 北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0≤x＜1} D．{x|0≤x≤2}
【解析】解：∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：B．
二．交集及其运算（共1小题）
2．（2020 北京）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【解析】解：集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，
故选：D．
三．补集及其运算（共1小题）
3．（2022 北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则 UA＝（　　）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
【解析】解：因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，
所以 UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．
故选：D．
四．充分条件、必要条件、充要条件（共1小题）
4．（2022 北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】解：因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
五．函数的最值及其几何意义（共1小题）
5．（2021 北京）设函数f（x）的定义域为[0，1]，则“f（x）在区间[0，1]上单调递增”是“f（x）在区间[0，1]上的最大值为f（1）”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】解：若函数f（x）在[0，1]上单调递增，
则函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），
若f（x）＝（x﹣）2，则函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），
但函数f（x）在[0，1]上不单调，
故选：A．
六．指数函数的图象与性质（共1小题）
6．（2022 北京）已知函数f（x）＝，则对任意实数x，有（　　）
A．f（﹣x）+f（x）＝0 B．f（﹣x）﹣f（x）＝0
C．f（﹣x）+f（x）＝1 D．f（﹣x）﹣f（x）＝
【解析】解：因为函数f（x）＝，所以f（﹣x）＝＝，
所以f（﹣x）+f（x）＝＝1．
故选：C．
七．根据实际问题选择函数类型（共1小题）
7．（2021 北京）某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm）．24 h降雨量的等级划分如下：
等级 24h降雨量（精确到0.1）
…… ……
小雨 0.1～9.9
中雨 10.0～24.9
大雨 25.0～49.9
暴雨 50.0～99.9
…… ……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm （ 如图所示），则这24h降雨量的等级是（　　）
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
【解析】解：圆锥的体积为，
因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，
所以圆锥内积水部分的半径为mm，
将r＝50，h＝150代入公式可得V＝125000π（mm3），
图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，
平底上积水的体积为V＝Sh，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，
所以（mm2），
则平地上积水的厚度h＝（mm），
因为10＜12.5＜25，
由题意可知，这一天的雨水属于中雨．
故选：B．
八．其他不等式的解法（共1小题）
8．（2020 北京）已知函数f（x）＝2x﹣x﹣1，则不等式f（x）＞0的解集是（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
C．（0，1） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）
【解析】解：不等式f（x）＞0，即 2x＞x+1．
由于函数y＝2x和直线y＝x+1的图象都经过点（0，1）、
（1，2），如图所示：
不等式f（x）＞0的解集是（﹣∞，0）∪（1，+∞），
故选：D．
九．数列的函数特性（共1小题）
9．（2021 北京）已知{an}是各项为整数的递增数列，且a1≥3，若a1+a2+a3+…+an＝100，则n的最大值为（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
【解析】解：数列{an}是递增的整数数列，
∴n要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，
假设递增的幅度为1，
∵a1＝3，
∴an＝n+2，
则＝，
当n＝10时，a10＝12，S10＝75，
∵100﹣S10＝25＞a10＝12，即n可继续增大，n＝10非最大值，
当n＝12时，a12＝14，S12＝102，
∵100﹣S12＝100﹣102＜0，不满足题意，
即n＝11为最大值．
故选：C．
一十．等差数列的通项公式（共2小题）
10．（2021 北京）《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种．这五种规格党旗的长a1，a2，a3，a4，a5 （单位：cm）成等差数列，对应的宽为b1，b2，b3，b4，b5（单位：cm ），且长与宽之比都相等．已知a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（　　）
A．64 B．96 C．128 D．160
【解析】解：{an}和{bn}是两个等差数列，且（1≤k≤5）是常值，由于a1＝288，a5＝96，
故，
由于
所以b3＝128．
另解：，解得：
故：．
故选：C．
11．（2020 北京）在等差数列{an}中，a1＝﹣9，a5＝﹣1．记Tn＝a1a2…an（n＝1，2，…），则数列{Tn}（　　）
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，由a1＝﹣9，a5＝﹣1，得d＝，
∴an＝﹣9+2（n﹣1）＝2n﹣11．
由an＝2n﹣11＝0，得n＝，而n∈N*，
可知数列{an}是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值．
可知T1＝﹣9＜0，T2＝63＞0，T3＝﹣315＜0，T4＝945＞0为最大项，
自T5起均小于0，且逐渐减小．
∴数列{Tn}有最大项，无最小项．
故选：B．
一十一．平面向量数量积的性质及其运算（共1小题）
12．（2022 北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC＝1，则 的取值范围是（　　）
A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]
【解析】解：在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，
以C为坐标原点，CA，CB所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：
则A（3，0），B（0，4），C（0，0），
设P（x，y），
因为PC＝1，
所以x2+y2＝1，
又＝（3﹣x，﹣y），＝（﹣x，4﹣y），
所以＝﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）＝x2+y2﹣3x﹣4y＝﹣3x﹣4y+1，
设x＝cosθ，y＝sinθ，
所以＝﹣（3cosθ+4sinθ）+1＝﹣5sin（θ+φ）+1，其中tanφ＝，
当sin（θ+φ）＝1时，有最小值为﹣4，
当sin（θ+φ）＝﹣1时，有最大值为6，
所以∈[﹣4，6]，
故选：D．
一十二．复数的运算（共2小题）
13．（2021 北京）若复数z满足（1﹣i） z＝2，则z＝（　　）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
【解析】解：因为（1﹣i） z＝2，
所以．
故选：D．
14．（2020 北京）在复平面内，复数z对应的点的坐标是（1，2），则i z＝（　　）
A．1+2i B．﹣2+i C．1﹣2i D．﹣2﹣i
【解析】解：∵复数z对应的点的坐标是（1，2），
∴z＝1+2i，
则i z＝i（1+2i）＝﹣2+i，
故选：B．
一十三．复数的模（共1小题）
15．（2022 北京）若复数z满足i z＝3﹣4i，则|z|＝（　　）
A．1 B．5 C．7 D．25
【解析】解：由i z＝3﹣4i，得z＝，
∴|z|＝||＝＝．
故选：B．
一十四．二项式定理（共2小题）
16．（2022 北京）若（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，则a0+a2+a4＝（　　）
A．40 B．41 C．﹣40 D．﹣41
【解析】解：∵（2x﹣1）4＝a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，
∴a0+a2+a4＝+ 22+＝1+24+16＝41，
故选：B．
17．（2020 北京）在（﹣2）5的展开式中，x2的系数为（　　）
A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10
【解析】解：（﹣2）5的展开式的通项公式为 Tr+1＝ （﹣2）r ，
令＝2，求得r＝1，可得x2的系数为 （﹣2）＝﹣10，
故选：C．
一十五．进行简单的合情推理（共1小题）
18．（2022 北京）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（　　）
A．当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态
B．当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态
C．当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态
D．当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态
【解析】解：对于A，当T＝220，P＝1026时，lgP＞3，由图可知二氧化碳处于固态，故A错误；
对于B：当T＝270，P＝128时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于液态，故B错误；
对于C：当T＝300，P＝9987时，lgP≈4，由图可知二氧化碳处于固态，故C错误；
对于D：当T＝360，P＝729时，2＜lgP＜3，由图可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确；
故选：D．
一十六．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
19．（2022 北京）已知函数f（x）＝cos2x﹣sin2x，则（　　）
A．f（x）在（﹣，﹣）上单调递减
B．f（x）在（﹣，）上单调递增
C．f（x）在（0，）上单调递减
D．f（x）在（，）上单调递增
【解析】解：f（x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，周期T＝π，
∴f（x）的单调递减区间为[kπ，]（k∈Z），单调递增区间为[，π+kπ]（k∈Z），
对于A，f（x）在（﹣，﹣）上单调递增，故A错误，
对于B，f（x）在（﹣，0）上单调递增，在（0，）上单调递减，故B错误，
对于C，f（x）在（0，）上单调递减，故C正确，
对于D，f（x）在（，）上单调递减，在（，）上单调递增，故D错误，
故选：C．
一十七．三角形中的几何计算（共1小题）
20．（2020 北京）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（πDay）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔 卡西的方法，π的近似值的表达式是（　　）
A．3n（sin+tan） B．6n（sin+tan）
C．3n（sin+tan） D．6n（sin+tan）
【解析】解：如图，设内接正6n边形的边长为a，外切正6n边形的边长为b，
可得a＝2sin＝2sin，
b＝2tan＝2tan，
则2π≈＝6n（sin+tan），
即π≈3n（sin+tan），
故选：A．
一十八．三角函数的最值（共1小题）
21．（2021 北京）函数f（x）＝cosx﹣cos2x是（　　）
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【解析】解：因为f（x）＝cosx﹣cos2x＝cosx﹣（2cos2x﹣1）＝﹣2cos2x+cosx+1，
因为f（﹣x）＝﹣2cos2（﹣x）+cos（﹣x）+1＝﹣2cos2x+cosx+1＝f（x），
故函数f（x）为偶函数，
令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，
故f（t）＝﹣2t2+t+1是开口向下的二次函数，
所以当t＝时，f（t）取得最大值f（）＝﹣2×（）2++1＝，
故函数的最大值为．
综上所述，函数f（x）是偶函数，有最大值．
故选：D．
一十九．圆的标准方程（共1小题）
22．（2020 北京）已知半径为1的圆经过点（3，4），则其圆心到原点的距离的最小值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】解：如图示：
半径为1的圆经过点（3，4），可得该圆的圆心轨迹为（3，4）为圆心，1为半径的圆，
故当圆心到原点的距离的最小时，
连结OB，A在OB上且AB＝1，此时距离最小，
由OB＝5，得OA＝4，
即圆心到原点的距离的最小值是4，
故选：A．
二十．直线与圆的位置关系（共2小题）
23．（2022 北京）若直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，则a＝（　　）
A． B． C．1 D．﹣1
【解析】解：圆（x﹣a）2+y2＝1的圆心坐标为（a，0），
∵直线2x+y﹣1＝0是圆（x﹣a）2+y2＝1的一条对称轴，
∴圆心在直线2x+y﹣1＝0上，可得2a+0﹣1＝0，即a＝．
故选：A．
24．（2021 北京）已知直线y＝kx+m（m为常数）与圆x2+y2＝4交于M，N，当k变化时，若|MN|的最小值为2，则m＝（　　）
A．±1 B．± C．± D．±2
【解析】解：圆C：x2+y2＝4，直线l：y＝kx+m，
直线被圆C所截的弦长的最小值为2，设弦长为a，
则圆心C到直线l的距离d＝，
当弦长取得最小值2时，则d有最大值，
又，因为k2≥0，则，
故d的最大值为，解得m＝．
故选：C．
二十一．抛物线的性质（共1小题）
25．（2020 北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【解析】解：（本题属于选择题）不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，
不妨设P（1，2），
∴Q（﹣1，2），
设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），
可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，
故选：B．
另解：由抛物线的定义知，|PF|＝|PQ|，
所以△PQF为等腰三角形，且FQ为等腰三角形PQF的底边，
所以线段FQ的垂直平分线经过点P．
故选：B．
二十二．双曲线的性质（共1小题）
26．（2021 北京）双曲线C：﹣＝1的离心率为2，且过点（，），则双曲线的方程为（　　）
A．2x2﹣y2＝1 B．x2﹣＝1
C．5x2﹣3y2＝1 D．﹣＝1
【解析】解：因为双曲线﹣＝1过点（，），
则有①，
又离心率为2，
则②，
由①②可得，a2＝1，b2＝3，
所以双曲线的标准方程为．
故选：B．
二十三．由三视图求面积、体积（共2小题）
27．（2021 北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（　　）
A．+ B．3+ C．+ D．3+
【解析】解：由三视图还原原几何体如图，
PA⊥底面ABC，AB⊥AC，PA＝AB＝AC＝1，
则△PBC是边长为的等边三角形，
则该四面体的表面积为S＝．
故选：A．
28．（2020 北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（　　）
A．6+ B．6+2 C．12+ D．12+2
【解析】解：几何体的直观图如图：是三棱柱，底面边长与侧棱长都是2，
几何体的表面积为：3×2×2+2××2＝12+2．
故选：D．
二十四．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共1小题）
29．（2022 北京）已知正三棱锥P﹣ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为（　　）
A． B．π C．2π D．3π
【解析】解：设点P在面ABC内的投影为点O，连接OA，则OA＝＝2，
所以OP＝＝＝2，
由＝＝1，知T表示的区域是以O为圆心，1为半径的圆，
所以其面积S＝π．
故选：B．
二十五．三角方程（共1小题）
30．（2020 北京）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ+（﹣1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】解：当k＝2n，为偶数时，α＝2nπ+β，此时sinα＝sin（2nπ+β）＝sinβ，
当k＝2n+1，为奇数时，α＝2nπ+π﹣β，此时sinα＝sin（π﹣β）＝sinβ，即充分性成立，
当sinα＝sinβ，则α＝2nπ+β，n∈Z或α＝2nπ+π﹣β，n∈Z，即α＝kπ+（﹣1）kβ，即必要性成立，
则“存在k∈Z使得α＝kπ+（﹣1）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要条件，
故选：C．