苏教版（2019）必修第二册9.2.2向量的数乘 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
9.2.2　向量的数乘
1.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.
2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.
课标要求
素养要求
通过向量数乘运算知识的形成过程，体会数学抽象在概念及性质的产生发展过程中的作用，进一步提升数学运算素养及数学抽象素养.
课前预习
知识探究
1
1.向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与向量a______的运算，叫作向量的数乘，记作______，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②若a≠0，则当λ>0时，λa与a方向______；
当λ<0时，λa与a方向______.
特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0.
(2)几何意义：当λ>0时，把向量a沿着a的______方向放大或缩小；当λ<0时，把向量a沿着a的______方向放大或缩小.
相乘
λa
相同
相反
相同
相反
(3)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μa)＝____________；
②(λ＋μ)a＝____________；
③λ(a＋b)＝____________；
特别地，有(－λ)a＝_________＝________；λ(a－b)＝____________.
(4)向量的加、减、数乘运算统称为向量的______运算，向量的线性运算结果仍是______.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
－(λa)
λ(－a)
λa－λb
线性
向量
点睛
(1)λ是实数，a是向量，它们的积是向量，其方向与λ的符号有关.
(2)实数可以与向量相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义.　　　
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量，反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
2.向量共线定理
思考辨析，判断正误
(1)若向量b与a共线，则存在唯一的实数λ使b＝λa.( )
提示　当b＝0，a＝0时，实数λ不唯一.当a＝0，b≠0时，不存在实数λ.
(2)若b＝λa，则a与b共线(其中λ为实数).( )
提示　由共线向量定理可知其正确.
(3)若λa＝0，则a＝0(其中λ为实数).( )
提示　若λa＝0，则a＝0或λ＝0.
×
√
×
√
课堂互动
题型剖析
2
题型一　向量的线性运算
9a
向量的线性运算类似于实数的运算，其化简的方法与代数式的化简类似，也满足运算律，可以进行去括号、移项、合并同类项等变形手段.
思维升华
【训练1】　化简下列各式：
题型二　向量共线的判定及应用
角度1　判定向量共线或三点共线
【例2】　已知非零向量e1，e2不共线.
解　∵b＝6a，∴a与b共线.
∴A，B，D三点共线.
三点共线
构造向量
证明两向量共线
1.利用b＝λa(a≠0)
2.说明向量a，b有公共点
A，B，D
角度2　利用向量共线求参数值
【例3】　已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定k的值.
解　∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，
∴存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.
∴k＝±1.
利用向量共线定理，即b与a(a≠0)共线 b＝λa，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.
思维升华
一、牢记3个知识点
1.实数与向量可以进行数乘运算
2.λa的几何意义，其中向量表示与向量a同向的单位向量.
3.向量共线定理
课堂小结
二、掌握2种方法
1.判断两个向量a(a≠0)，b是否共线，关键是能否找到实数λ，使b＝λa.
2.向量共线定理的应用
(1)证明共线向量 (2)证明三点共线 (3)求参数值
一.计算：
(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；
二、选择题
1.(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列说法中正确的是(　　)
A.m(a－b)＝ma－mb B.(m－n)a＝ma－na
C.若ma＝mb，则a＝b D.若ma＝na，则m＝n
本节内容结束