典型讲解01 空间向量及其应用
过关基础
1．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】正六棱柱中，
故选：B
2．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，.
故选：D
3．（2022·福建宁德·高二期中）向量，，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为，所以，即，所以，所以，故选：A
4．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于B选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于C选项，，，所以点与、、三点不共面；
对于D选项，，,所以点与、、三点共面.故选：D.
二、多选题
5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若为正四面体，G为的重心，则
【答案】CD
【解析】A：因为与是一个标量，设，，
若要，则需要向量方向相同，但不一定相同，
所以不一定成立，故A错误；
B：点关于坐标平面的对称点为，故B错误；
C：因为是空间的一个基底，所以不共面，
假设共面，则存在实数使得，
即，所以，方程组无解，
所以不共面，所以也是空间的一个基底，故C正确；
D：，
则，又为的重心，
所以，故，故D正确.
故选：CD
6．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ABD
【解析】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面 不共线，
∴若，则，A正确，B正确；
若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；
设，则，此方程组无解，
∴，，不共面，D正确.
故选：ABD.
培优提升
一、单选题
1．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因空间向量，，，，
所以向量在向量上的投影向量是.故选：C
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）设x，,向量，且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】由得： ，解得，
故，故选：A.
3．（2022·全国·高二课时练习）若平面 的法向量分别为，，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】, 平面 的法向量分别为，，
，
, 解得，故选：D
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．若，，不共线，且，则，，、四点共面
C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.
D．中，若，则一定是钝角三角形.
【答案】ACD
【解析】对于A，依题意，，且与不同向共线，求得，解得：且，A错误；
对于B，由，则，即，
于是得共面，且公共起点C，而，，不共线，，，，四点共面，B正确；
对于C，同一平面内不共线的非零向量，，，才存在唯一的一对实数，，使得，否则不成立，C错误；
对于D，在中，，则，于是得是锐角，不能确定是钝角三角形，D错误.故选：ACD
5．（2022·全国·高二课时练习）在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若G为的重心，则
C．若，，则
D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则
【答案】BC
【解析】
对于A ，由已知，即，则，故A错误；
对于B，由G为的重心，得，又，，，，即，故B正确；
对于C，若，，则，即，即，故C正确；
对于D，
，又，，故D错误.故选：BC典型讲解01 空间向量及其应用
过关基础
1．（2022·全国·高二课时练习）正六棱柱中，设，，，那么等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川成都·高二期中（理））如图所示，在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·福建宁德·高二期中）向量，，若，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P A B C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
5．（2022·辽宁葫芦岛·高二期末）给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是
C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
D．若为正四面体，G为的重心，则
6．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
培优提升
一、单选题
1．（2022·全国·高二期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）设x，,向量，且，则的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
3．（2022·全国·高二课时练习）若平面 的法向量分别为，，且，则等于（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
4．（2022·全国·高三专题练习）下列说法不正确的是（ ）
A．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
B．若，，不共线，且，则，，、四点共面
C．对同一平面内给定的三个向量，，，一定存在唯一的一对实数，，使得.
D．中，若，则一定是钝角三角形.
5．（2022·全国·高二课时练习）在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若G为的重心，则
C．若，，则
D．若三棱锥的棱长都为2，P，Q分别为MA，BC中点，则
