2021-2022学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理综合素质评价（word版含答案）

第一章综合素质评价
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是(　　)
A．(c＋b)(c－b)＝a2 B．∠A＋∠B＝∠C
C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a：b：c＝5：12：13
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)
A． B． C．13 D．
3．【2022 广东揭阳期末】下列选项中不是勾股数的是(　　)
A．7，24，25 B．4，5，6
C．3，4，5 D．9，12，15
4．下列说法：
①如果直角三角形的两边长分别是6，8，那么斜边长必是10；
②如果a，b，c是一组勾股数，那么3a，3b，3c仍是勾股数；
③如果一个三角形的三边长分别是12，25，21，那么此三角形必是直角三角形；
④一个等腰直角三角形的三边长分别是a，b，c，其中a＞b＝c，那么a2：b2：c2＝2：1：1.
其中正确的是(　　)
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
5．如图，一棵大树在离地面6 m，11 m两处被折成三段，中间一段AB恰好与地面平行，大树顶部C落在离大树底部D13 m处，则大树折断前的高度是(　　)
A．15 m B．17 m C．19 m D．21 m
(第5题) (第7题)
6．亮亮准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.2 m远的水底，竹竿高出水面0.4 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为(　　)
A．1.6 m B．2 m C．2.5 m D．3 m
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图①，②(图②为图①的平面示意图)，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺＝10寸)，则AB的长是(　　)
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
8．现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人．如图①，②(图②为图①的平面示意图)，已知云梯最多只能伸长到15 m，消防车高3 m．救人时云梯伸长至最长，在完成从12 m高处救人后，还要从15 m高处救人，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近的距离AC为(　　)
A．3 m B．5 m C．7 m D．9 m
(第8题) (第9题)
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积之和等于(　　)
A．12π B．6π C．12 D．24
10．如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是(　　)
A．100 B．144 C．148 D．196
(第10题) (第11题) (第12题)
11．如图，圆柱形容器的高为1.2 m，底面周长为1 m，在容器内壁离容器底部0.3 m的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器顶部0.3 m与蚊子相对的点A处，容器厚度忽略不计，则壁虎捕捉蚊子的最短路程为(　　)
A．1.3 m B．1.4 m C．1.5 m D．1.2 m
12．如图，P是等边三角形ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边在△ABC外作△AP′C≌△APB，连接PP′，则以下结论错误的是(　　)
A．△APP′是等边三角形 B．△PCP′是直角三角形
C．∠APB＝150° D．∠APC＝135°
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
13．如图，在高为5 m，坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 ________m.
(第13题) (第14题)
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则CD的长是 __________．
15．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝____________.
16．观察下列勾股数组：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；….若a，144，145是其中的一组勾股数，则根据你发现的规律，a＝________.
17．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时20海里的速度沿北偏东30°方向航行，“海天”号以每小时15海里的速度沿北偏西60°方向航行．两小时后，“远航”号、“海天”号分别位于Q，R处，则此时“远航”号与“海天”号的距离为 ________海里．
(第17题) (第18题)
18．如图，一根长20 cm的吸管置于底面周长为9π cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，假设吸管露在水杯外面的长度为m cm，则 m的取值范围是________．
三、解答题(一)：本大题共2小题，每小题8分，共16分．
19．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求△ABC的周长．
20．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地(四边形ABCD)，经测量，在四边形ABCD中，AB＝3 m，BC＝4 m，CD＝12 m，DA＝13 m，∠B＝90°.小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米30元，铺满这块空地共需花费多少元？
四、解答题(二)：本大题共2小题，每小题10分，共20分．
21．为了积极响应国家新农村建设的号召，某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，在笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为600 m(即AB＝600 m)，假设宣讲车P周围1 000 m以内(包含1 000 m)能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶．
(1)请问村庄能否听到广播宣传？说明理由．
(2)如果村庄能听到广播宣传，已知宣讲车P的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的广播宣传？
22．如图，在长方形ABCD中，AD∥BC，AB＝4，BC＝8.将长方形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，点C落在点G处．
(1)试判断△BEF的形状，并说明理由；
(2)求△BEF的面积．
五、解答题(三)：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
23．如图，直角三角形ABC和直角三角形DEF全等，顶点F在BC边上，顶点C，D重合，连接AE，EB，AB，DE交于点G，∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b(a＞b)，AB＝DE＝c.请回答以下问题：
(1)填空：∠AGE＝________°.
(2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
24．如图，在△ABC中，AB＝AC＝25 cm，BC＝30 cm，BD⊥AC交AC于点D.动点P从点C出发，按C→A→B→C的路径运动，且速度为2 cm/s，设动点P的出发时间为t s.
(1)求边BC上的高；
(2)当动点P在BC边上运动时，若△CDP是以CD为腰的等腰三角形，请求出满足条件的t的值．
答案
一、1．C　2．B　3．B　4．D　
5．D　点拨：如图，过点B作BO⊥DC于点O，
由题意，得AD＝6m，
AB＝5m，
易知BO＝6 m，OD＝5 m.
因为DC＝13m，
所以OC＝8m，
所以在Rt△BOC中，有
BC2＝BO2＋OC2，
所以BC＝10 m.
所以大树折断前的高度为11＋10＝21(m)．
6．A　点拨：设河水深x m，
则竹竿长为(x＋0.4)m，
由题意，得x2＋1.22＝(x＋0.4)2，
解得x＝1.6，
所以河水的深度为1.6 m.
7．C　8．A
9．D　点拨：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
所以AB2＝AC2＋BC2＝100，
所以AB＝10.
因为阴影部分的面积之和＝两个小半圆的面积和－(大半圆的面积－△ABC的面积)，
所以阴影部分的面积之和＝π＋π＋S△ABC－π
＝π＋8π＋24－π＝24.
10．C　11．A　12．D
二、13．17　14．
15．25或7　 点拨：如图①所示，当点D在线段BC上时，
因为AD＝12，BD＝9，AB＝15，
所以AD2＋BD2＝AB2，
所以△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
所以∠ADC＝90°.
因为AC＝20，
所以DC2＝AC2－AD2＝202－122＝256，
所以DC＝16，
所以BC＝BD＋CD＝9＋16＝25；
如图②所示，当点D在线段CB的延长线上时，
同理可得DC＝16，
所以BC＝CD－BD＝16－9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在线段BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7.
16．17
17．50
18．5≤m≤8
三、19．解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得
AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.
因为AD＝12，BD＝16，CD＝5，
所以AB＝20，AC＝13，
所以△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AB＋AC＋BD＋DC＝20＋13＋16＋5＝54.
20．解：如图，连接AC，
因为在△ABC中，AB＝3 m，BC＝4 m，∠B＝90°，
所以AC＝5 m.
在△ACD中，AC＝5 m，CD＝12 m，DA＝13 m，
所以AC2＋CD2＝AD2，
所以△ACD是直角三角形，
所以S△ABC＝×3×4＝6 (m2)，
S△ACD＝×5×12＝30 (m2)，
所以S四边形ABCD＝6＋30＝36 (m2)，
36×30＝1 080(元)．
答：铺满这块空地共需花费1 080元．
四、21．解：(1)村庄能听到广播宣传．
理由：因为村庄到公路MN的距离为600 m，
600<1 000，
所以村庄能听到广播宣传．
(2)假设当宣讲车P行驶到点G时，村庄开始能听到广播宣传，行驶到点Q时，村庄刚好听不到广播宣传，连接AG，AQ，则AG＝AQ＝1 000m.
因为AB⊥MN，
所以BG＝BQ.
在Rt△ABG中，
AB＝600 m，AG＝1 000 m，
所以BG＝800 m，
所以GQ＝1 600 m.
1 600÷200＝8(min)，
所以村庄总共能听到8min的广播宣传．
22．解：(1)△BEF是等腰三角形．
理由：因为ED∥FC，所以∠DEF＝∠BFE.
根据折叠的性质，得∠DEF＝∠BEF，
所以∠BEF＝∠BFE.
过点B作BH⊥EF于点H，
所以∠BHE＝∠BHF＝90°.
因为BH＝BH，
所以△BHE≌△BHF.
所以BE＝BF.
所以△BEF是等腰三角形．
(2)因为长方形ABCD沿EF折叠后点B与点D重合，
所以BE＝DE.
设BE＝DE＝x，
则AE＝AD－DE＝8－x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
即42＋(8－x)2＝x2，
解得x＝5，
所以BE＝5，
由(1)知BE＝BF，
所以BF＝5，
所以△BEF的面积＝×5×4＝10.
五、23．解：(1)90
(2)因为∠AGE＝90°，
所以S四边形ACBE＝S△ACB＋S△ABE＝AB·DG＋AB·EG＝AB·(DG＋EG)＝AB·DE＝c2.
又由题意知S四边形ACBE＝S四边形ACFE＋S△EFB＝(AC＋EF)·CF＋BF·EF＝(b＋a)b＋(a－b)·a＝b2＋ab＋a2－ab＝a2＋b2，
所以c2＝a2＋b2,
所以 a2＋b2＝c2.
24．解：(1)如图，过点A作AH⊥BC于点H，
因为AB＝AC，AH⊥BC，
所以BH＝BC＝15cm.
在Rt△ABH中，由勾股定理，得
AH2＝AB2－BH2，所以AH＝20 cm.
所以边BC上的高为20 cm.
(2)因为S△ABC＝BC·AH＝AC·BD，
BC＝30 cm，AH＝20 cm，AC＝25 cm，
所以BD＝24 cm.
在Rt△BDA中，AB＝25 cm，BD＝24 cm，
所以AD＝7 cm.
所以CD＝AC－AD＝18cm.
因为动点P在BC边上，且△CDP是以CD为腰的等腰三角形，
所以分两种情况讨论：
①当CP＝CD＝18 cm时，
t＝(25＋25＋30－18)÷2＝31；
②当DC＝DP时，如图，过点D作DF⊥BC于点F，
因为S△BDC＝BD·CD＝BC·DF，
所以DF＝＝ cm.
在Rt△CDF中，由勾股定理，得CF＝cm.
因为CD＝DP，DF⊥CP，
所以PC＝2CF＝cm，
所以t＝(25＋25＋30－)÷2＝29.2.
综上所述，满足条件的t的值为31或29.2.