福建省泉州市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（Word版含解析）

泉州市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题
1. 将3个男生和2个女生随机排成一行，要求2个女生不相邻，则不同的排列方法共有（ ）种.
A.120 B.72 C.60 D.36
2. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ）
A. 3 B. 4 C.1 D. 2
3.的展开式中的系数为（ ）
A. -23 B. 23 C. -27 D. 27
4. 某学校安排音乐、阅读、体育和编程四项课后服务供学生自愿选择参加，甲、乙、丙、丁4位同学每人限报其中1项，已知甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率等于（ ）
A. B. C. D.
5. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑和冰壶3个项目进行集训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）种
A. 30 B. 60 C. 90 D. 150
6. 给图中五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（ ）
A. 24种 B. 36种 C. 48种 D. 72种
7. 若数，若方程有2个解，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，为整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为，若，则的值可以是（ ）
A. 2019 B. 2020 C. 2021 D. 2022
二、多选题
9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则下列结果正确的是（ ）
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
A. B.
C. D.
10.在研究某种产品的零售价（单位：元）与销售量（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如表所示的对应表：
12 14 16 18 20
17 16 14 13 11
利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 与的样本相关系数
B. 回归直线必过点
C.
D. 若该产品的零售价定为22元，可预测销售量是9.7万件
11. 下列说法正确的是（ ）
A.的展开式中，的系数为30
B. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有36种
C. 已知，则
D. 记，则
12. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 在区间单调递减，在区间单调递增
B. 有极小值，且极小值是的最小值
C. 设，若对任意，都存在，使成立，则
D.
三、填空题
13. 用0，1，2，3，4能组成____________个可以有重复数字的三位数（用数字作答）.
14. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为___________.
15.某病毒会造成“持续的人传人”，即存在传，又传，又传的传染现象，那么就被称为第一代、第二代、第三代传播者，假设一个身体健康的人被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.6.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为______________.
16. 购买某种意外伤害保险，每个投保人年度向保险公司交纳保险费20元，若被保险人在购买保险的一年度内出险，可获得赔偿金20万元。已知该保险每一份保单需要赔付的概率为，某保险公司一年能销售10万份保单，且每份保单相互独立，则一年度内该保险公司此项保险业务需要赔付的概率约为_________（保留两位有效数字）；一年度内盈利的期望为__________万元.（参考数据：）
四、解答题
17.（10分）某中学为了解2022届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 10
女生 20
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（12分）一位同学分别参加了三所大学自主招生笔试（各校试题各不相同），如果该同学通过各校笔试的概率分别为，，，且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响.
（1）求该同学至少通过一所大学笔试的概率；
（2）设该同学通过笔试的大学所数为，求的分布列和数学期望.
19.（12分）车辆定位系统由全球卫星定位系统和地理信息系统组成，可以实现对汽车的跟踪和定位，某地区通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度.
（1）预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率；
（2）记表示从该地区的家用汽车随机抽取的10辆家用汽车中导航精确度在之外的汽车数量，求及的数学期望.
附：若，则，
20.（12分）为了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用表示活动推出的天数，表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
同学甲选择指数型函数模型（均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中，
62．14 1.54 140 2535 50.12 27694 3.47
（1） 根据表中相关数据，利用同学甲的模型建立关于的经验回归方程.
（2）若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为，同学乙选择线性回归模型，并计算得经验回归方程为，以及该回归模型的决定系数.
①用决定系数比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.决定系数：
21.（12分）某地的水果店老板记录了过去100天类水果的日需求量（单位：箱），整理得到数据如下表所示.
22 23 24 25 26
频数 20 20 30 18 12
其中每箱4类水果的进货价为50元，出售价为100元，如果当天卖不完，就将剩下的类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业，以这100天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率.
（1）如果某天的进货量为24箱，用表示该水果店当天卖出类水果所获得的利润，求的分布列与数学期望；
（2）如果店老板计划某天购进24箱或25箱的类水果，请以当天利润的期望作为决策依据，判断应当购进24箱还是25箱.
22.（12分）已知函数.
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
泉州市部分中学2021-2022学年高二下学期期中考试参考答案
1.B
【解析】利用正难则反的方法，先求出2个女生相邻的方法种数，用总方法数减去即可.
【详解】将3个男生和2个女生随机排成一行，2个女生相邻的方法种数有种，总的排列方法有种，
所以2个女生不相邻的排列方法有种.
2.D
【解析】因为随机变量服从正态分布，且，由正态分布的对称性可得答案.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且
所以由正态分布的对称性可知，，
，故选D.
3.B
【解析】求出的展开式的通项公式，再令展开式中的指数为4和5即可求得结论.
【详解】∵的展开式的通项公式为
∴取，得，
取，得
∴的展开式中的系数为：
故选B.
4.C
【解析】甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的情况有种，甲同学报的项目其他同学不报的情况有种，前面数据除以后面数据可得答案.
【详解】甲同学报的项目其他同学不报的情况下，4位同学所报项目各不相同的概率为故选：C.
5.D
【解析】根据题意，分2步进行分析：①将5人分为3组，②将分好的三个组分配到花样滑冰，短道速滑和冰壶3个项目进行集调，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5人分为3组，有种分组方法，
②将分好的三个组分配到花样滑冰，短道速滑和冰壶3个项目进行集训，有种情况，
则有种不同的分配方案，故选：D.
6.D
【解析】分相同和不同，由分类计数原理可得其他个区域的染色方法的数目.
【详解】当同色时，共有种不同的染色方案.
当不同色时，共有种不同的染色方案.
所以共有72种不同的染色方案.故选D.
7.C
【解析】求导得，分析的单调性和最值，又时时，问题转化为与有2个交点时，的取值范围.
【详解】
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以
因为时，时，
所以若方程有2个解.
则与有2个交点，
则，
故的取值范围为
8. A
【解析】利用二项式定理化简为，
展开可得到被10除余9，由此能求出的值
【详解】∵
∴被10除余9，
2019，2020，2021，2022除以10余9的是2019.
故选：A.
9.BD
【解析】根据分布列的性质计算的值，然后根据期望和方差公式计算，
由分布列的性质可得和.
【详解】由分布列的性质可得，解得
故选：BD.
10.BCD
【解析】根据已知条件，求出的平均值，再结合线性回归方程过样本中心，即可依次求解.
【详解】对于，由表中数据可得，随着增大，逐渐减小，故与的相关系数，故A错误.
对于B，，
由线性回归方程的性质可知，线性回归方程必过样本中心，故B正确，
对于C，，解得，故C正确，
对于D，线性回归方程为，
当时，，故D正确
故选：BCD.
11．ACD
【解析】对于AD，结合二项式定理，即可求解，
对于B，先放1，2的卡片有种，再将3，4，5，6的卡片平均分成两组再放置有种，再结合分步乘法计数原理，即可求解，
对于C，结合组合数和排列数的公式，即可求解.
【详解】对于A，，
其展开式的通项公式为，
令，得的通项公式为，
再令，解得
故的展开式中，的系数为30，故A正确，
对于B，先放1，2的卡片有种，再将3，4，5，6的卡片平均分成两组再放置有种，
故共有种，故B错误，
对于C，∵，
∴，解得，故C正确，
对于D，令得.，
∵展开式通项为.令，
则
∴，故D正确.
故选：ACD.
12.ACD
【解析】对函数求导，得，分析其单调性与极值，对ABCD四个选项逐一分析可得答案.
【详解】由题意，函数，，
对于A，当时，在单调递减，
当时，单调递增，故A正确；
对于B，当时，，当时，函数取得极小值，
故极小值不是的最小值，故B错误；
对于C，因为，所以其值域为；
当时，由上面的分析可知，的值域
因为对任意，都存在，使成立，即，
所以，故C正确；
对于D，∵在上单调递增，
∴，同，即，又，，
∴，故D正确；
故选：ACD.
13.100
【解析】因为首位不能为0，所以特殊位置先排，其他再排.
【详解】三位数的百位不能为0，但可以有重复数字，
首先考虑百位的排法，除0外共有4种排法，十位、个位都可以排0，有5种排法.
因此，共可排出（个）
14.
【解析】通过导数法求解函数的单调区间进而求得函数的极值.
【详解】∵，定义域为，则有，
根据题意，函数在处取得极小值，则必有，
由此解得；
∴函数解析式为，
则有
令，则有，或，则列表如下：
1 2
>0 0 <0 0 >0
单调递增 取得极大值 单调递减 取得极小值 单调递增
所以，函数的极大值为
15.0.81
【解析】根据互斥事件概率求法计算即可.
【详解】小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为
故答案为：0.81
16. 0.63；150
【解析】设该保险业务需要赔付为事件，由相互独立事件的概率公式可得，结合对立事件的概率公式求出，再由数学期望的定义求解即可.
【详解】由题意，设该保险业务需要赔付为事件，
该保险每一份保单需要赔付的概率为，
则每一份保单不需要赔付的概率为，
故10万份保单都不需要赔付的概率为，
则保险业务需要赔付的概率为，
所以一年度内盈利的期望为万元.
故答案为：0.63；150
17.【答案】（1）
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）可以认为喜欢游泳与性别有关.
【解析】
（1）计算100人中喜欢游泳的学生数以及对应的男生、女生人生，填写列联表即可：
（2） 根据表中数据，计算观测值，对照临界值即可得出结论.
【详解】解：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，
所以喜欢游泳的学生人数为人；
其中女生有20人，则男生有40人.
列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（2）根据表中数据，计算
所以可以认为喜欢游泳与性别有关.
18.【解析】（1）该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响.由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过，根据对立事件的概率写出结果.
（2）通过大学考试的所数的可能取值为0，1，2，3，然后分别求出其概率，列出分布列，求出数学期望.
【详解】解：（1）如果该同学通过各校笔试的概率分别为，，，
且该同学参加三所大学的笔试通过与否互不影响.
由题意知该同学至少通过一所大学的对立事件是一所大学也没有通过，
∴要求的概率是
（2）通过大学考试的所数的可能取值为0，1，2，3，那么
，
该同学恰好通过两所大学笔试包括三种情况，且这三种情况是互斥的，
∴该同学恰好通过两所大学笔试的概率是，
，
∴通过大学考试的所数的分布列为
0 1 2 3
通过大学考试的所数的数学期望为：
19.（1） 0.8186.
（2）；
【解析】考查正态分布及二项分布的数学期望.
【详解】（1）由，知易知
所以预估该地区某辆家用汽车导航精确度在的概率为0.8186.
（2）因为
则
所以
所以
20.【解析】
【详解】（1）∵，两边同时取常用对数得：；
设，∴，
∵，
∴，
把样本中心点代入，
得：，∴，∴，
∴关于的回归方程式：
（3）①，
因为，
所以甲的拟合效果更好.
②把代入
所以；
所以活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；
21.【解析】（1）根据题意先求出当天的利润，再算出对应的的概率，计算器王即刻；
（2）分别计算出购进24箱和25箱的类水果的当天利润期望，比较大小可得结果.
【详解】解：（1）设当天需求量为，当天的利润为，
当时，，
当时，，
∴
可知当时，时，时，，
的可能取值为：1040，1120，1200，
，
∴的分布列为：
1040 1120 1200
∴；
（2）由（1）知，当购进24箱时，，
当购进25箱时，
，设表示当天利润，
当时，，当时，，
当时，，头时，，
，
，
∴，
∵，∴每天购进24箱比较合理.
22.【解析】（1）函数，求出，可得，利用点斜式可得的图象在处的切线方程.
（2）令，对分类讨论，利用函数在上存在唯一的零点，即可得出结论.
【详解】解：（1）函数，
，∴，
∴的图象在处的切线方程为：，即
（2）令，
，
，
∵，∴，
∴在上单调递增，
，
时，
∴在上单调递增，∴，
∴当时，恒成立.
时，，
∵函数在上存在唯一的零点，
∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上可得：a的取值范围是.