9.2.2　向量的数乘 同步课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
第9章　平面向量
9.2　向量运算
9.2.2　向量的数乘
01
预习案　自主学习
02
探究案　讲练互动
03
自测案　当堂达标
04
应用案　巩固提升
学习指导 核心素养
1.理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律．
2.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线． 1.数学抽象、直观想象：向量数乘的定义及几何意义．
2.逻辑推理：向量共线定理的应用．
1．向量的数乘的定义
一般地，实数λ与向量a的积是一个______，记作λa，它的长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝_____________．
(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa与a方向_____；当λ＜0时，λa与a方向_____；实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘．特别地，当λ＝0时，0a＝_____；当a＝0时，λ0＝_____．
0
0
向量
|λ||a|
相同
相反
向量数乘运算的结果是向量还是实数？实数λ与向量a能否进行加、减运算？
提示：λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义．
2．向量数乘的运算律
设a, b为向量，λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μ a)＝_________．
(2)(λ＋μ)a＝__________．
(3)λ(a＋b)＝__________．
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3．向量的线性运算及向量共线定理
(1)向量的加法、减法和数乘统称为向量的__________．
(2)向量共线定理
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使________．那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
线性运算
b＝λa
若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)
(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　)
(3)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．(　　)
√
√
×
2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
√
3．若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是(　　)
A．b＝2a B．b＝－2a
C．a＝2b D．a＝－2b
√
向量的线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的线性运算可类似于代数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2)方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　
用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法

(2)方程法
当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．　
√
2．(多选)(2021·江苏苏州市苏州中学高一月考)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
A．m(a－b)＝ma－mb
B．(m－n)a＝ma－na
C．若ma＝mb，则a＝b
D．若ma＝na，则m＝n
√
√
解析：对于A：根据数乘向量的原则可得m(a－b)＝ma－mb，故A正确；
对于B：根据数乘向量的原则可得(m－n)a＝ma－na，故B正确；
对于C：由ma＝mb可得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，所以不能推出a＝b，故C错误；
对于D：由ma＝na可得(m－n)a＝0，当a＝0，命题也成立，所以不能推出m＝n. 故D错误；故选AB．
√
本部分内容讲解结束