沪科版数学七年级下册 8.3 完全平方公式与平方差公式课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
第8章 整式乘法与因式分解
8.3 完全平方公式与
平方差公式
请用多项式的乘法法则计算：(a+b)2、(a-b)2
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2
由此得到完全平方公式，即：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
新知探究1
完全平方公式用语言叙述是：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍.
总结：
(1)(a＋b)2＝___________，(a－b)2＝___________.
(2)公式特征：①左边：二项式的_____;②右边是___项,且有___个平方项,中间项为首尾两项底数积的2倍.
(3)语言叙述：两数和(或差)的平方,等于这两个数的_______,加上(或减)这两数的___的2倍.
a2＋2ab＋b2
a2－2ab＋b2
平方
两
平方和
积
三
a
b
=
+
+
+
(a+b)2
= a2
2ab
a
b2
+
b
完全平方公式的几何意义：
b
a
b
(a-b)2=
=
a2
- 2ab
+ b2
-
+
a
例1 运用完全平方公式计算：
解: (4m+n)2=
=16m2
(1) (4m+n)2
(a +b)2= a2 + 2 a b + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+8mn
+n2
(2) (x-2y)2
(1)
例题讲解
(x-2y)2=
=x2
(a - b)2= a2 - 2 ab + b2
x2
-2 x 2y
+(2y)2
-4xy
+4y2
应用公式时，可以先确定两数的平方和，再加上（或减去）两数积的2倍；切记不要漏掉两数积的2倍.
(2)
(1) 1022;
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404
(2) 992
解： 992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801
例2 运用完全平方公式计算：
思考：一个较大或较小数的平方运算，如何巧妙地进行变形，应用完全平方公式，快速的进行计算呢？
对于较大数的平方可以转化成整百(千等)数与其它数的平方，再运用完全平方公式进行计算比较简便.
(1)
(2)
由多项式的乘法则可以得到：
从而有下面的平方差公式：
平方差公式用语言叙述是：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差.
新知探究2
(1) 公式左边两个二项式必须是
相同两数的和与差相乘；
且左边两括号内的第一项相等、
第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数的平方差；
即右边是左边括号内的第一项的平方,减去第二项的平方.
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
特征
结构
｛
2y
例3 利用平方差公式计算：
(1) (5+6x)(5 6x)；(2) (x+2y)(x 2y); (3) ( m+n)( m n).
解: (1) (5+6x)(5-6x)=
第一数a
52
平方

第二数b
平方
要用括号把这个数
整个括起来，
当“第一(二)数”是一分数或是数与字母的乘积时,
注意:
再平方;
( )2
6x
=
25

☆ 最后的结果又要去掉括号.
36x2 ;
(2) (x+2y) (x-2y)
=
x2

( )2
=
x2 4y2 ;
(3) ( m+n)( m n )
=
m
( )2

n2
=
m2 n2 .
例题讲解
例4 用平方差公式进行简便计算：
解：
1.已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于( )
A.64 B.48 C.32 D.16
解析：因为16x=2×x×8，所以这两个数是x，8，所以k=82=64.
答案：A
随堂练习
2.计算： (1)(－m－n)2. (2)(－5a－2)(5a＋2).
解：(1)(－m－n)2
＝(－m)2＋2(－m)(－n)＋(－n)2
＝m2＋2mn＋n2.
(2)(－5a－2)(5a＋2)＝－(5a＋2)(5a＋2)
＝－(5a＋2)2＝－(25a2＋20a＋4)
＝－25a2－20a－4.
4.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)=
（2）(3+2a)(－3+2a)=
（3）(－2x2－y)(－2x2+y)=
（4）51×49=
（5）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)=
(a)2－(3b)2
=4 a2－9；
=4x4－y2.
3.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
(2a+3)(2a-3)
=a2－9b2 ；
=(2a)2－32
(-2x2 )2－y2
(50+1)(50-1)
=502－12
=2500-1
=2499
(9x2－16) -
(6x2+5x -6)
=3x2－5x+10
1、完全平方公式：
2、请同学们总结完全平方公式的结构特征.
公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方．而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
课堂小结
（1）公式的左边是两个二项式的积，在这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数；
（2）公式的右边是乘式中两项的平方差，且完全相同的项的平方减去互为相反数的一项的平方；
（3）对于形如两数和与这两数差相乘，就可以运用上述公式来计算.
3、平方差公式：
4、平方差公式的结构特征：