选择性必修第三册 6.2 组合与组合数公式
一、单选题
1．（2022·包头模拟）将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．2400种 B．1800种 C．1200种 D．1600种
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将6名教师分组，只有一种分法，即1，1，1，1，2，共有 ，
再排列得
，
故答案为：B.
【分析】先按1，1，1，1，2分组，再进行全排列即可求解。
2．（2020高二上·昌平期末）小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】A
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意知：小王同学选择另外两门的方法有 种.
故答案为：A
【分析】由组合数公式的定义结合题意，计算出结果即可。
3．（2021高三上·五华月考）一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生．从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为既有男生又有女生包含两种情况：1名男生2名女生，2名男生1名女生，
当选出的同学为1名男生2名女生时，选法数为种；
当选出的同学为2名男生1名女生时，选法数为种，
又总的选法数为种
故所求概率为：
故答案为：A.
【分析】根据组合数公式以及古典概型概率计算公式求解即可.
4．（2021·安徽模拟）把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（ ）
A．20个 B．62个 C．63个 D．64个
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：该数列恰先增后减，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当7前有1个数字时，有=6种，
当7前有2个数字时，有=15种，
当7前有3个数字时，有=20种，
当7前有4个数字时，有=15种，
当7前有5个数字时，有=6种，
根据分类计数原理，共有6+15+20+15+6=62种，
故答案为：B.
【分析】根据分类计数原理，结合组合数的计算直接求解即可.
5．（2021高二下·朝阳期末）从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ）
A．50 B．70 C．80 D．140
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，
又3 人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生，
所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，
所以不同选法种数为
故答案为：C
【分析】先从9人中任选3人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，根据组合数的计算可得答案。
6．（2021高二下·朝阳期末）一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（ ）
A．70 B．140 C．210 D．280
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，
并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，
从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，
从圆周上8个点中任取4点可以构成 个圆内接四边形，
所以圆上的“自由弦对”总组数为 .
故答案为：B.
【分析】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，由组合数的运算可得答案。
7．（2021高二下·武功月考）如图所示一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A．96 B．84 C．60 D．48
【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意可分情况讨论：
取2种花来种，则有种方法；
取3种花来种，则有种方法；
取4种花来种，则有种方法，
故共有12+48+24=84种方法.
故答案为：B
【分析】根据组合及组合数公式，结合分步、分类计数原理求解即可.
8．（2021·汕头模拟）根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ）
A．35种 B．30种 C．28种 D．25种
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】从7名党员选3名去甲村共有 种情况，3名全是男性党员共有 种情况，
3名全是女性党员共有 种情况，
3名既有男性，又有女性共有 种情况.
故答案为：B
【分析】根据题意由组合的定义即可得出：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男
2女两种情况，利用对立事件的定义即可得出答案。
9．（2021高二下·安康期中）某小区的道路网如图所示，则由A到的最短路径中，经过的条数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】由 到 最短路径有 种，
由 到 最短路径有 种，
故经过 的最短路径有 种.
故答案为：D.
【分析】先确定A到B， B到C的种数，由乘法原理即可求解。
10．（2021高二下·延庆期中）若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因为
，所以
或
，解得
或
，
故答案为：C
【分析】 直接利用组合数公式的性质列式求解x的值.
11．（2020高二下·莲湖期末） （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因为 ，
所以
．
故答案为：B
【分析】利用组合数的性质： 即可求解.
12．（2020高二下·重庆期末）某地产公司计划在4个候选城市中选出2个城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目至少1个，则该地产公司不同的投资方案有（ ）
A．16种 B．24种 C．36种 D．60种
【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】选出2个城市有 ，对3个不同的项目进行分组 ，进行排列 ，
，
故答案为：36.
【分析】先选出2个城市，再对3个不同的项目进行分组，最后进行排列，即可得答案；
13．（2020高二下·项城期末）金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为 （种），
故答案为：D.
【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为 ，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
二、多选题
14．（2021高二上·宁德期末）使不等式成立的n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A,B,C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】在中，，在中，，即有，
因，则有，即，解得，因此有，，
所以n的取值可以是3或4或5.
故答案为：ABC
【分析】根据给定条件结合组合的意义，组合数公式列式，解不等式，可得答案。
15．（2021高二下·太仓期中）对于 关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】排列数公式的推导；组合数公式的推导
【解析】【解答】由题意，利用组合数的运算公式和性质，可得 ， ，
所以A、B符合题意；
因为 ， ，
所以C不正确；
由 ，
，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合组合数公式的推导方法和排列数公式的推导方法，从而选出结论正确的选项。
16．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
三、填空题
17．（2021高二下·天津期末）在天津的新高考改革中，考生除参加语文 数学 英语的统一考试外，还需从思想政治 历史 地理 物理 化学 生物6科中任选3科参加高考，则不同的选考方法共有种 .若某同学计划从思想政治 历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有 种.(用数字作答)
【答案】20；16
【知识点】组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】从思想政治 历史 地理 物理 化学 生物6科中任选3科，共有 种选法；
若思想政治和历史均未被选择，则共有 种选法，则从思想政治和历史中至少选一科的选法种数为 种.
故答案为：20；16.
【分析】 对于第一空，由组合数公式直接计算可得答案；对于第二空，由间接法分析，计算“思想政治、历史都没有被选中”的选法，分析可得答案.
18．（2021·重庆模拟）某中学的学生会共有7名同学负责活动策划，其中高一年级3人，高二年级4人，现随机安排其中3人负责新学期的社团推广活动.要求这3人中既有高一年级的也有高二年级的，则不同的安排方案共有 种.
【答案】30
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】从这7名同学中任选3人，有 种选法
若这3人全是高一年级的同学，则有 种选法
若这3人全是高二年级的同学，则有 种选法
所以这3人中既有高一年级的也有高二年级的，共有 种不同的选法.
故答案为：30
【分析】先求出从7人中选出3人的所有选法，然后将所有不满足题意的选法计算出来，作差即可。
19．（2020高二上·麻城月考）如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…记其前n项和为Sn，S19＝ .
【答案】274
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 ，
，
，
.
故答案为：274
【分析】 根据杨辉三角的特点转化为组合数运算，利用组合数性质求解.
四、解答题
20．（2021高二上·西城期末）从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
【答案】（1）解：从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，
选择方法数为.
（2）解：没有女生入选的选择方法数为，
所以至少有1位女生入选的选择方法数为.
【知识点】互斥事件与对立事件；组合及组合数公式
【解析】【分析】 (1)根据组合数公式，即可求出选择方法数；
(2)由题意可知，“没有女生入选”是“至少有1位女生入选”的对立事件，由此即可求出至少有1位女生入选的选择方法数。
21．（2021高二下·遵义期末）一次考试中，每位考生要在8道试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题为及格．
（1）某位考生会答8道题中的5道题，这位考生及格的概率有多大？
（2）若某位考生及格的概率小于50%，则他最多只会答几道题？
【答案】（1）8道题中5道题会的，3道题不会的，该考生答对1道或2道都为及格，
所以这位考生及格的概率为 ，
（2）某位考生及格的概率小于50%，则不及格的概率大于或等于 ，
设他最多只会答 道题，则 即 ，
整理可得： ，
解得： 或
，即 ，
所以他最多只会答2道题.
【知识点】等可能事件的概率；组合及组合数公式
【解析】【分析】 (1)这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，由此利用对立事件概率计算公式能求出这位考生及格的概率.
(2)一位考生及格的概率小于50%，则他不及格的概率大于，设他最多会n道题，则 结合组合数公式求解出n的取值范围，结合已知条件即可求出答案。
1 / 1选择性必修第三册 6.2 组合与组合数公式
一、单选题
1．（2022·包头模拟）将6名优秀教师分配到5个不同的学校进行教学交流，每名优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．2400种 B．1800种 C．1200种 D．1600种
2．（2020高二上·昌平期末）小王同学在完成了高中必修课程的学习后，准备在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课程中选择三门来学习，他已经选择了物理，那么他选择另外两门的不同选法种数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
3．（2021高三上·五华月考）一个学习小组有7名同学，其中3名男生，4名女生．从这个小组中任意选出3名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·安徽模拟）把1、2、3、4、5、6、7这七个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰好先减后增，则这样的数列共有（ ）
A．20个 B．62个 C．63个 D．64个
5．（2021高二下·朝阳期末）从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ）
A．50 B．70 C．80 D．140
6．（2021高二下·朝阳期末）一个圆的周上有8个点，连接任意两点画出弦.如果有一对弦不相交且没有共同的端点，我们称它们为一组“自由弦对”.则此圆上的“自由弦对”总组数为（ ）
A．70 B．140 C．210 D．280
7．（2021高二下·武功月考）如图所示一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
A．96 B．84 C．60 D．48
8．（2021·汕头模拟）根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ）
A．35种 B．30种 C．28种 D．25种
9．（2021高二下·安康期中）某小区的道路网如图所示，则由A到的最短路径中，经过的条数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．（2021高二下·延庆期中）若，则实数的值为（ ）
A．1 B．3 C．1或3 D．0
11．（2020高二下·莲湖期末） （ ）．
A． B． C． D．
12．（2020高二下·重庆期末）某地产公司计划在4个候选城市中选出2个城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目至少1个，则该地产公司不同的投资方案有（ ）
A．16种 B．24种 C．36种 D．60种
13．（2020高二下·项城期末）金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节，“……洪七公道：肉只五种，但猪羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有几般变化，我可算不出了”.现有五种不同的肉，任何两种（含两种）以上的肉混合后的滋味都不一样，则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为（ ）
A．20 B．24 C．25 D．26
二、多选题
14．（2021高二上·宁德期末）使不等式成立的n的取值可以是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2021高二下·太仓期中）对于 关于下列排列组合数，结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．（2020高二下·宿迁期末）在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（ ）
A．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
B．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有 种
C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种
三、填空题
17．（2021高二下·天津期末）在天津的新高考改革中，考生除参加语文 数学 英语的统一考试外，还需从思想政治 历史 地理 物理 化学 生物6科中任选3科参加高考，则不同的选考方法共有种 .若某同学计划从思想政治 历史中至少选一科参加高考，则该生不同的选考方法共有 种.(用数字作答)
18．（2021·重庆模拟）某中学的学生会共有7名同学负责活动策划，其中高一年级3人，高二年级4人，现随机安排其中3人负责新学期的社团推广活动.要求这3人中既有高一年级的也有高二年级的，则不同的安排方案共有 种.
19．（2020高二上·麻城月考）如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…记其前n项和为Sn，S19＝ .
四、解答题
20．（2021高二上·西城期末）从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动.
（1）共有多少种不同的选择方法？
（2）如果至少有1位女生入选，共有多少种不同的选择方法？
21．（2021高二下·遵义期末）一次考试中，每位考生要在8道试题中随机抽出2道题回答，答对其中1题为及格．
（1）某位考生会答8道题中的5道题，这位考生及格的概率有多大？
（2）若某位考生及格的概率小于50%，则他最多只会答几道题？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】将6名教师分组，只有一种分法，即1，1，1，1，2，共有 ，
再排列得
，
故答案为：B.
【分析】先按1，1，1，1，2分组，再进行全排列即可求解。
2．【答案】A
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由题意知：小王同学选择另外两门的方法有 种.
故答案为：A
【分析】由组合数公式的定义结合题意，计算出结果即可。
3．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：因为既有男生又有女生包含两种情况：1名男生2名女生，2名男生1名女生，
当选出的同学为1名男生2名女生时，选法数为种；
当选出的同学为2名男生1名女生时，选法数为种，
又总的选法数为种
故所求概率为：
故答案为：A.
【分析】根据组合数公式以及古典概型概率计算公式求解即可.
4．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：该数列恰先增后减，则数字7一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，
当7前有1个数字时，有=6种，
当7前有2个数字时，有=15种，
当7前有3个数字时，有=20种，
当7前有4个数字时，有=15种，
当7前有5个数字时，有=6种，
根据分类计数原理，共有6+15+20+15+6=62种，
故答案为：B.
【分析】根据分类计数原理，结合组合数的计算直接求解即可.
5．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题，
又3 人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生，
所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，
所以不同选法种数为
故答案为：C
【分析】先从9人中任选3人有种 选法，没有高二学生的选法种数是 ，根据组合数的计算可得答案。
6．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，
并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，
从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，
从圆周上8个点中任取4点可以构成 个圆内接四边形，
所以圆上的“自由弦对”总组数为 .
故答案为：B.
【分析】因顺次连接一组“自由弦对”的两条弦的4个端点构成的四边形是圆内接四边形，并且这个四边形的每一组对边都是一组“自由弦对”，从而得每个圆内接四边形都有两组“自由弦对”，由组合数的运算可得答案。
7．【答案】B
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意可分情况讨论：
取2种花来种，则有种方法；
取3种花来种，则有种方法；
取4种花来种，则有种方法，
故共有12+48+24=84种方法.
故答案为：B
【分析】根据组合及组合数公式，结合分步、分类计数原理求解即可.
8．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】从7名党员选3名去甲村共有 种情况，3名全是男性党员共有 种情况，
3名全是女性党员共有 种情况，
3名既有男性，又有女性共有 种情况.
故答案为：B
【分析】根据题意由组合的定义即可得出：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男
2女两种情况，利用对立事件的定义即可得出答案。
9．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；组合及组合数公式
【解析】【解答】由 到 最短路径有 种，
由 到 最短路径有 种，
故经过 的最短路径有 种.
故答案为：D.
【分析】先确定A到B， B到C的种数，由乘法原理即可求解。
10．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因为
，所以
或
，解得
或
，
故答案为：C
【分析】 直接利用组合数公式的性质列式求解x的值.
11．【答案】B
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】因为 ，
所以
．
故答案为：B
【分析】利用组合数的性质： 即可求解.
12．【答案】C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】选出2个城市有 ，对3个不同的项目进行分组 ，进行排列 ，
，
故答案为：36.
【分析】先选出2个城市，再对3个不同的项目进行分组，最后进行排列，即可得答案；
13．【答案】D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为 （种），
故答案为：D.
【分析】利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为 ，再利用组合数的计算公式可得所求的种数.
14．【答案】A,B,C
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】在中，，在中，，即有，
因，则有，即，解得，因此有，，
所以n的取值可以是3或4或5.
故答案为：ABC
【分析】根据给定条件结合组合的意义，组合数公式列式，解不等式，可得答案。
15．【答案】A,B,D
【知识点】排列数公式的推导；组合数公式的推导
【解析】【解答】由题意，利用组合数的运算公式和性质，可得 ， ，
所以A、B符合题意；
因为 ， ，
所以C不正确；
由 ，
，所以D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合组合数公式的推导方法和排列数公式的推导方法，从而选出结论正确的选项。
16．【答案】A,C,D
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】解：根据题意，若抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品，即抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，
则合格品的取法有 种，不合格品的取法有 种，
则恰好有1件是不合格品的取法有 种取法；则 正确， 错误；
若抽出的3件中至少有1件是不合格品，有2种情况，
①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，有 种取法，
②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，有 种取法，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种， 正确；
也可以使用间接法：在100件产品中任选3件，有 种取法，
其中全部为合格品的取法有 种，
则抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有 种取法， 正确；
故答案为：ACD．
【分析】根据题意，依次分析选项，对于 ，由分步计数原理计算可得合格品的取法以及不合格品的取法，由分步计数原理可得 正确， 错误；
对于 ，分2种情况讨论：①抽出的3件产品中有2件合格品，1件不合格品，②抽出的3件产品中有1件合格品，2件不合格品，由加法原理可得 ；
对于 ，由间接法分析：先计算在100件产品中任选3件的取法数目，再计算其中全部为合格品的取法，据此分析可得 正确；
综合即可得答案．
17．【答案】20；16
【知识点】组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】从思想政治 历史 地理 物理 化学 生物6科中任选3科，共有 种选法；
若思想政治和历史均未被选择，则共有 种选法，则从思想政治和历史中至少选一科的选法种数为 种.
故答案为：20；16.
【分析】 对于第一空，由组合数公式直接计算可得答案；对于第二空，由间接法分析，计算“思想政治、历史都没有被选中”的选法，分析可得答案.
18．【答案】30
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】从这7名同学中任选3人，有 种选法
若这3人全是高一年级的同学，则有 种选法
若这3人全是高二年级的同学，则有 种选法
所以这3人中既有高一年级的也有高二年级的，共有 种不同的选法.
故答案为：30
【分析】先求出从7人中选出3人的所有选法，然后将所有不满足题意的选法计算出来，作差即可。
19．【答案】274
【知识点】组合及组合数公式
【解析】【解答】 ，
，
，
.
故答案为：274
【分析】 根据杨辉三角的特点转化为组合数运算，利用组合数性质求解.
20．【答案】（1）解：从2位女生，4位男生中选出3人参加垃圾分类宣传活动，
选择方法数为.
（2）解：没有女生入选的选择方法数为，
所以至少有1位女生入选的选择方法数为.
【知识点】互斥事件与对立事件；组合及组合数公式
【解析】【分析】 (1)根据组合数公式，即可求出选择方法数；
(2)由题意可知，“没有女生入选”是“至少有1位女生入选”的对立事件，由此即可求出至少有1位女生入选的选择方法数。
21．【答案】（1）8道题中5道题会的，3道题不会的，该考生答对1道或2道都为及格，
所以这位考生及格的概率为 ，
（2）某位考生及格的概率小于50%，则不及格的概率大于或等于 ，
设他最多只会答 道题，则 即 ，
整理可得： ，
解得： 或
，即 ，
所以他最多只会答2道题.
【知识点】等可能事件的概率；组合及组合数公式
【解析】【分析】 (1)这位考生及格的对立事件是抽出的两道题都不会，由此利用对立事件概率计算公式能求出这位考生及格的概率.
(2)一位考生及格的概率小于50%，则他不及格的概率大于，设他最多会n道题，则 结合组合数公式求解出n的取值范围，结合已知条件即可求出答案。
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